Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem2 Structured version   Unicode version

Theorem wallispilem2 29770
Description: A first set of properties for the sequence  I that will be used in the proof of the Wallis product formula (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem2.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
Assertion
Ref Expression
wallispilem2  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, n, N
Allowed substitution hints:    I( x, n)

Proof of Theorem wallispilem2
StepHypRef Expression
1 0nn0 10590 . . 3  |-  0  e.  NN0
2 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ 0 ) )
32adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ 0 ) )
4 ioossre 11353 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 (,) pi )  C_  RR
5 ax-resscn 9335 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
64, 5sstri 3362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
76sseli 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
87sincld 13410 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
98adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x
)  e.  CC )
109exp0d 11998 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ 0 )  =  1 )
113, 10eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  1 )
1211itgeq2dv 21159 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x )
13 ioombl 20946 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
14 0re 9382 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
15 pire 21864 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
16 ioovolcl 20950 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( vol `  (
0 (,) pi ) )  e.  RR )
1714, 15, 16mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  RR
18 ax-1cn 9336 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
19 itgconst 21196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) ) )
2013, 17, 18, 19mp3an 1309 . . . . . 6  |-  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )
2117recni 9394 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  CC
2221mulid2i 9385 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) )  =  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )
23 pipos 21866 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  pi
2414, 15, 23ltleii 9493 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  pi
25 volioo 29698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  0  <_  pi )  ->  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  ( pi  -  0 ) )
2614, 15, 24, 25mp3an 1309 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  ( pi  -  0 )
2715recni 9394 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
2827subid1i 9676 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
-  0 )  =  pi
2926, 28eqtri 2461 . . . . . . 7  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  pi
3022, 29eqtri 2461 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) )  =  pi
3120, 30eqtri 2461 . . . . 5  |-  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  pi
3212, 31syl6eq 2489 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  pi )
33 wallispilem2.1 . . . 4  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
3415elexi 2980 . . . 4  |-  pi  e.  _V
3532, 33, 34fvmpt 5771 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( I `
 0 )  =  pi )
361, 35ax-mp 5 . 2  |-  ( I `
 0 )  =  pi
37 1nn0 10591 . . . 4  |-  1  e.  NN0
38 simpl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  n  =  1 )
3938oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ 1 ) )
408adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x
)  e.  CC )
4140exp1d 11999 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ 1 )  =  ( sin `  x ) )
4239, 41eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( sin `  x ) )
4342itgeq2dv 21159 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x )
44 itgex 21148 . . . . 5  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  e. 
_V
4543, 33, 44fvmpt 5771 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( I `
 1 )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x )
4637, 45ax-mp 5 . . 3  |-  ( I `
 1 )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x
47 itgsin0pi 29701 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
4846, 47eqtri 2461 . 2  |-  ( I `
 1 )  =  2
49 id 22 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5033, 49itgsinexp 29704 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I `  N )  =  ( ( ( N  - 
1 )  /  N
)  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) ) )
5136, 48, 503pm3.2i 1161 1  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   (,)cioo 11296   ^cexp 11861   sincsin 13345   picpi 13348   volcvol 20847   S.citg 20998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-fbas 17714  df-fg 17715  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cld 18523  df-ntr 18524  df-cls 18525  df-nei 18602  df-lp 18640  df-perf 18641  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-haus 18819  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-fil 19319  df-fm 19411  df-flim 19412  df-flf 19413  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-ovol 20848  df-vol 20849  df-mbf 20999  df-itg1 21000  df-itg2 21001  df-ibl 21002  df-itg 21003  df-0p 21048  df-limc 21241  df-dv 21242
This theorem is referenced by:  wallispilem3  29771  wallispilem4  29772
  Copyright terms: Public domain W3C validator