Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem wallispilem2 37928
Description: A first set of properties for the sequence  I that will be used in the proof of the Wallis product formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
wallispilem2.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
Assertion
Ref Expression
wallispilem2  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, n, N
Allowed substitution hints:    I( x, n)

Proof of Theorem wallispilem2
StepHypRef Expression
1 0nn0 10884 . . 3  |-  0  e.  NN0
2 oveq2 6298 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ 0 ) )
32adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ 0 ) )
4 ioosscn 37591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 (,) pi )  C_  CC
54sseli 3428 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  CC )
65sincld 14184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  CC )
76adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x
)  e.  CC )
87exp0d 12410 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ 0 )  =  1 )
93, 8eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  0  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  1 )
109itgeq2dv 22739 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x )
11 ioombl 22518 . . . . . . 7  |-  ( 0 (,) pi )  e. 
dom  vol
12 0re 9643 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
13 pire 23413 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  RR
14 ioovolcl 22522 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( vol `  (
0 (,) pi ) )  e.  RR )
1512, 13, 14mp2an 678 . . . . . . 7  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  RR
16 ax-1cn 9597 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
17 itgconst 22776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 (,) pi )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) ) )
1811, 15, 16, 17mp3an 1364 . . . . . 6  |-  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  ( 1  x.  ( vol `  ( 0 (,) pi ) ) )
1915recni 9655 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  e.  CC
2019mulid2i 9646 . . . . . . 7  |-  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) )  =  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )
21 pipos 23415 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  pi
2212, 13, 21ltleii 9757 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  pi
23 volioo 37825 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  0  <_  pi )  ->  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  ( pi  -  0 ) )
2412, 13, 22, 23mp3an 1364 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  ( pi  -  0 )
2513recni 9655 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  CC
2625subid1i 9946 . . . . . . . 8  |-  ( pi 
-  0 )  =  pi
2724, 26eqtri 2473 . . . . . . 7  |-  ( vol `  ( 0 (,) pi ) )  =  pi
2820, 27eqtri 2473 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  ( vol `  (
0 (,) pi ) ) )  =  pi
2918, 28eqtri 2473 . . . . 5  |-  S. ( 0 (,) pi ) 1  _d x  =  pi
3010, 29syl6eq 2501 . . . 4  |-  ( n  =  0  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  pi )
31 wallispilem2.1 . . . 4  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
3213elexi 3055 . . . 4  |-  pi  e.  _V
3330, 31, 32fvmpt 5948 . . 3  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( I `
 0 )  =  pi )
341, 33ax-mp 5 . 2  |-  ( I `
 0 )  =  pi
35 1nn0 10885 . . . 4  |-  1  e.  NN0
36 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  n  =  1 )
3736oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ 1 ) )
386adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x
)  e.  CC )
3938exp1d 12411 . . . . . . 7  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ 1 )  =  ( sin `  x ) )
4037, 39eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ( n  =  1  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( sin `  x ) )
4140itgeq2dv 22739 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x )
42 itgex 22728 . . . . 5  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  e. 
_V
4341, 31, 42fvmpt 5948 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN0  ->  ( I `
 1 )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x )
4435, 43ax-mp 5 . . 3  |-  ( I `
 1 )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x )  _d x
45 itgsin0pi 37828 . . 3  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( sin `  x
)  _d x  =  2
4644, 45eqtri 2473 . 2  |-  ( I `
 1 )  =  2
47 id 22 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
4831, 47itgsinexp 37831 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( I `  N )  =  ( ( ( N  - 
1 )  /  N
)  x.  ( I `
 ( N  - 
2 ) ) ) )
4934, 46, 483pm3.2i 1186 1  |-  ( ( I `  0 )  =  pi  /\  (
I `  1 )  =  2  /\  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
I `  N )  =  ( ( ( N  -  1 )  /  N )  x.  ( I `  ( N  -  2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    x. cmul 9544    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   ^cexp 12272   sincsin 14116   picpi 14119   volcvol 22415   S.citg 22576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  wallispilem3  37929  wallispilem4  37930
  Copyright terms: Public domain W3C validator