Theorem wallispilem1 30009

Description: I is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem1.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
wallispilem1.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem1	|- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) <_ ( I ` N ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( n)   I( x, n)

Proof of Theorem wallispilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9498	. . . . 5 |- 0 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
3		pire 22055	. . . . 5 |- pi e. RR
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> pi e. RR )
5		wallispilem1.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		peano2nn0 10732	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
7	5, 6	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
8		iblioosinexp 29942	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. L^1 )
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. L^1 )
10		iblioosinexp 29942	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
12		elioore 11442	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. RR )
13	12	resincld 13546	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. RR )
14	13	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. RR )
15	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
16	14, 15	reexpcld 12143	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
17	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. NN0 )
18	14, 17	reexpcld 12143	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. RR )
19	5	nn0zd 10857	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
20		uzid 10987	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
22		peano2uz 11020	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
24	23	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
25	13, 1	jctil 537	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 e. RR /\ ( sin ` x ) e. RR ) )
26		sinq12gt0 22103	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` x ) )
27		ltle 9575	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ ( sin ` x ) e. RR ) -> ( 0 < ( sin ` x ) -> 0 <_ ( sin ` x ) ) )
28	25, 26, 27	sylc 60	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 <_ ( sin ` x ) )
29	28	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 0 <_ ( sin ` x ) )
30		sinbnd 13583	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` x ) /\ ( sin ` x ) <_ 1 ) )
31	12, 30	syl 16	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( -u 1 <_ ( sin ` x ) /\ ( sin ` x ) <_ 1 ) )
32	31	simprd 463	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) <_ 1 )
33	32	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) <_ 1 )
34	14, 17, 24, 29, 33	leexp2rd 12159	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( sin ` x ) ^ N ) )
35	9, 11, 16, 18, 34	itgle 21421	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x <_ S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
36		oveq2 6209	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) )
37	36	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( n = ( N + 1 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) )
38	37	itgeq2dv 21393	. . . 4 |- ( n = ( N + 1 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
39		wallispilem1.1	. . . 4 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
40		itgex 21382	. . . 4 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x e. _V
41	38, 39, 40	fvmpt 5884	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( N + 1 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
42	7, 41	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
43		oveq2 6209	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
44	43	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( n = N /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
45	44	itgeq2dv 21393	. . . 4 |- ( n = N -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
46		itgex 21382	. . . 4 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V
47	45, 39, 46	fvmpt 5884	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
48	5, 47	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
49	35, 42, 48	3brtr4d 4431	1 |- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) <_ ( I ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4459   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395   + caddc 9397   < clt 9530   <_ cle 9531   -ucneg 9708   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ZZ>=cuz 10973   (,)cioo 11412   ^cexp 11983   sincsin 13468   picpi 13471   L^1cibl 21231   S.citg 21232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cc 8716  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-disj 4372  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-ofr 6432  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-acn 8224  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-ioc 11417  df-ico 11418  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-fl 11760  df-mod 11827  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-shft 12675  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-limsup 13068  df-clim 13085  df-rlim 13086  df-sum 13283  df-ef 13472  df-sin 13474  df-cos 13475  df-pi 13477  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-fbas 17940  df-fg 17941  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-ntr 18757  df-cls 18758  df-nei 18835  df-lp 18873  df-perf 18874  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-cmp 19123  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-fil 19552  df-fm 19644  df-flim 19645  df-flf 19646  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587  df-ovol 21081  df-vol 21082  df-mbf 21233  df-itg1 21234  df-itg2 21235  df-ibl 21236  df-itg 21237  df-0p 21282  df-limc 21475  df-dv 21476

This theorem is referenced by:  wallispilem5  30013