Theorem wallispilem1 31320

Description: I is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem1.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
wallispilem1.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem1	|- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) <_ ( I ` N ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( n)   I( x, n)

Proof of Theorem wallispilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9585	. . . . 5 |- 0 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
3		pire 22578	. . . . 5 |- pi e. RR
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> pi e. RR )
5		wallispilem1.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		peano2nn0 10825	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
7	5, 6	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
8		iblioosinexp 31225	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. L^1 )
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1223	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. L^1 )
10		iblioosinexp 31225	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1223	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
12		elioore 11548	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. RR )
13	12	resincld 13728	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. RR )
14	13	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. RR )
15	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
16	14, 15	reexpcld 12282	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
17	5	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. NN0 )
18	14, 17	reexpcld 12282	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. RR )
19	5	nn0zd 10953	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
20		uzid 11085	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
22		peano2uz 11123	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
23	21, 22	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
24	23	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
25	13, 1	jctil 537	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 e. RR /\ ( sin ` x ) e. RR ) )
26		sinq12gt0 22626	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` x ) )
27		ltle 9662	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ ( sin ` x ) e. RR ) -> ( 0 < ( sin ` x ) -> 0 <_ ( sin ` x ) ) )
28	25, 26, 27	sylc 60	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 <_ ( sin ` x ) )
29	28	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 0 <_ ( sin ` x ) )
30		sinbnd 13765	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` x ) /\ ( sin ` x ) <_ 1 ) )
31	12, 30	syl 16	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( -u 1 <_ ( sin ` x ) /\ ( sin ` x ) <_ 1 ) )
32	31	simprd 463	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) <_ 1 )
33	32	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) <_ 1 )
34	14, 17, 24, 29, 33	leexp2rd 12298	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( sin ` x ) ^ N ) )
35	9, 11, 16, 18, 34	itgle 21944	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x <_ S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
36		oveq2 6283	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) )
37	36	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( n = ( N + 1 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) )
38	37	itgeq2dv 21916	. . . 4 |- ( n = ( N + 1 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
39		wallispilem1.1	. . . 4 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
40		itgex 21905	. . . 4 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x e. _V
41	38, 39, 40	fvmpt 5941	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( N + 1 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
42	7, 41	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
43		oveq2 6283	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
44	43	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( n = N /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
45	44	itgeq2dv 21916	. . . 4 |- ( n = N -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
46		itgex 21905	. . . 4 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V
47	45, 39, 46	fvmpt 5941	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
48	5, 47	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
49	35, 42, 48	3brtr4d 4470	1 |- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) <_ ( I ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   < clt 9617   <_ cle 9618   -ucneg 9795   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   (,)cioo 11518   ^cexp 12122   sincsin 13650   picpi 13653   L^1cibl 21754   S.citg 21755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cc 8804  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758  df-ibl 21759  df-itg 21760  df-0p 21805  df-limc 21998  df-dv 21999

This theorem is referenced by:  wallispilem5  31324