Theorem wallispilem1 37927

Description: I is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem1.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
wallispilem1.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem1	|- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) <_ ( I ` N ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( n)   I( x, n)

Proof of Theorem wallispilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9643	. . . . 5 |- 0 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
3		pire 23413	. . . . 5 |- pi e. RR
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> pi e. RR )
5		wallispilem1.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		peano2nn0 10910	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
8		iblioosinexp 37829	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. L^1 )
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. L^1 )
10		iblioosinexp 37829	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
12		elioore 11666	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. RR )
13	12	resincld 14197	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. RR )
14	13	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. RR )
15	7	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
16	14, 15	reexpcld 12433	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
17	5	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. NN0 )
18	14, 17	reexpcld 12433	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. RR )
19	5	nn0zd 11038	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
20		uzid 11173	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
22		peano2uz 11212	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
24	23	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
25	13, 1	jctil 540	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 e. RR /\ ( sin ` x ) e. RR ) )
26		sinq12gt0 23462	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` x ) )
27		ltle 9722	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ ( sin ` x ) e. RR ) -> ( 0 < ( sin ` x ) -> 0 <_ ( sin ` x ) ) )
28	25, 26, 27	sylc 62	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 <_ ( sin ` x ) )
29	28	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 0 <_ ( sin ` x ) )
30		sinbnd 14234	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` x ) /\ ( sin ` x ) <_ 1 ) )
31	12, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( -u 1 <_ ( sin ` x ) /\ ( sin ` x ) <_ 1 ) )
32	31	simprd 465	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) <_ 1 )
33	32	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) <_ 1 )
34	14, 17, 24, 29, 33	leexp2rd 12449	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( sin ` x ) ^ N ) )
35	9, 11, 16, 18, 34	itgle 22767	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x <_ S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
36		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) )
37	36	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( n = ( N + 1 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) )
38	37	itgeq2dv 22739	. . . 4 |- ( n = ( N + 1 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
39		wallispilem1.1	. . . 4 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
40		itgex 22728	. . . 4 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x e. _V
41	38, 39, 40	fvmpt 5948	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( N + 1 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
42	7, 41	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
43		oveq2 6298	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
44	43	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( n = N /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
45	44	itgeq2dv 22739	. . . 4 |- ( n = N -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
46		itgex 22728	. . . 4 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V
47	45, 39, 46	fvmpt 5948	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
48	5, 47	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
49	35, 42, 48	3brtr4d 4433	1 |- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) <_ ( I ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   -ucneg 9861   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   (,)cioo 11635   ^cexp 12272   sincsin 14116   picpi 14119   L^1cibl 22575   S.citg 22576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  wallispilem5  37931