Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem1 Unicode version

Theorem wallispilem1 27482
Description:  I is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem1.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
wallispilem1.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
wallispilem1  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  +  1 ) )  <_  ( I `  N ) )
Distinct variable groups:    x, n, N    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    I( x, n)

Proof of Theorem wallispilem1
StepHypRef Expression
1 0re 9024 . . . . 5  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3 pire 20239 . . . . 5  |-  pi  e.  RR
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5 wallispilem1.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 peano2nn0 10192 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
8 iblioosinexp 27415 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  L ^1 )
92, 4, 7, 8syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  L ^1 )
10 iblioosinexp 27415 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L ^1 )
112, 4, 5, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L ^1 )
12 elioore 10878 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  RR )
1312resincld 12671 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
1413adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
157adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
1614, 15reexpcld 11467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
175adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
1814, 17reexpcld 11467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  RR )
195nn0zd 10305 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
20 uzid 10432 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
22 peano2uz 10462 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
2423adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
2513, 1jctil 524 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  e.  RR  /\  ( sin `  x )  e.  RR ) )
26 sinq12gt0 20282 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  x
) )
27 ltle 9096 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  x )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  x )  -> 
0  <_  ( sin `  x ) ) )
2825, 26, 27sylc 58 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  ( sin `  x
) )
2928adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  x
) )
30 sinbnd 12708 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  x )  /\  ( sin `  x )  <_ 
1 ) )
3112, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  x )  /\  ( sin `  x )  <_ 
1 ) )
3231simprd 450 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  <_ 
1 )
3332adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  <_ 
1 )
3414, 17, 24, 29, 33leexp2rd 11483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
359, 11, 16, 18, 34itgle 19568 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) )  _d x  <_  S. (
0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
36 oveq2 6028 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  +  1 ) ) )
3736adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( n  =  ( N  +  1 )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) ) )
3837itgeq2dv 19540 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) )  _d x )
39 wallispilem1.1 . . . 4  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
40 itgex 19529 . . . 4  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  _d x  e.  _V
4138, 39, 40fvmpt 5745 . . 3  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( N  + 
1 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) )  _d x )
427, 41syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  +  1 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  _d x )
43 oveq2 6028 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
4443adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
4544itgeq2dv 19540 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
46 itgex 19529 . . . 4  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x  e.  _V
4745, 39, 46fvmpt 5745 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
485, 47syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
4935, 42, 483brtr4d 4183 1  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  +  1 ) )  <_  ( I `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    < clt 9053    <_ cle 9054   -ucneg 9224   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420   (,)cioo 10848   ^cexp 11309   sincsin 12593   picpi 12596   L ^1cibl 19376   S.citg 19377
This theorem is referenced by:  wallispilem5  27486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-ofr 6245  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-cmp 17372  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-ovol 19228  df-vol 19229  df-mbf 19379  df-itg1 19380  df-itg2 19381  df-ibl 19382  df-itg 19383  df-0p 19429  df-limc 19620  df-dv 19621
  Copyright terms: Public domain W3C validator