Theorem wallispilem1 37215

Description: I is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
wallispilem1.1	|- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
wallispilem1.2	|- ( ph -> N e. NN0 )

Assertion

Ref	Expression
wallispilem1	|- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) <_ ( I ` N ) )

Distinct variable groups:   x, n, N   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( n)   I( x, n)

Proof of Theorem wallispilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 9626	. . . . 5 |- 0 e. RR
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR )
3		pire 23143	. . . . 5 |- pi e. RR
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> pi e. RR )
5		wallispilem1.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN0 )
6		peano2nn0 10877	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. NN0 )
8		iblioosinexp 37119	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. L^1 )
9	2, 4, 7, 8	syl3anc 1230	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) ) e. L^1 )
10		iblioosinexp 37119	. . . 4 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
11	2, 4, 5, 10	syl3anc 1230	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( ( sin ` x ) ^ N ) ) e. L^1 )
12		elioore 11612	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. RR )
13	12	resincld 14087	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. RR )
14	13	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) e. RR )
15	7	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
16	14, 15	reexpcld 12371	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
17	5	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> N e. NN0 )
18	14, 17	reexpcld 12371	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ N ) e. RR )
19	5	nn0zd 11006	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. ZZ )
20		uzid 11141	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
22		peano2uz 11180	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
24	23	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
25	13, 1	jctil 535	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 e. RR /\ ( sin ` x ) e. RR ) )
26		sinq12gt0 23192	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` x ) )
27		ltle 9704	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ ( sin ` x ) e. RR ) -> ( 0 < ( sin ` x ) -> 0 <_ ( sin ` x ) ) )
28	25, 26, 27	sylc 59	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> 0 <_ ( sin ` x ) )
29	28	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> 0 <_ ( sin ` x ) )
30		sinbnd 14124	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( -u 1 <_ ( sin ` x ) /\ ( sin ` x ) <_ 1 ) )
31	12, 30	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( -u 1 <_ ( sin ` x ) /\ ( sin ` x ) <_ 1 ) )
32	31	simprd 461	. . . . 5 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) <_ 1 )
33	32	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( sin ` x ) <_ 1 )
34	14, 17, 24, 29, 33	leexp2rd 12387	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( sin ` x ) ^ N ) )
35	9, 11, 16, 18, 34	itgle 22508	. 2 |- ( ph -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x <_ S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
36		oveq2 6286	. . . . . 6 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) )
37	36	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( n = ( N + 1 ) /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) )
38	37	itgeq2dv 22480	. . . 4 |- ( n = ( N + 1 ) -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
39		wallispilem1.1	. . . 4 |- I = ( n e. NN0 |-> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x )
40		itgex 22469	. . . 4 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x e. _V
41	38, 39, 40	fvmpt 5932	. . 3 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( I ` ( N + 1 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
42	7, 41	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ ( N + 1 ) ) _d x )
43		oveq2 6286	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
44	43	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( n = N /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( sin ` x ) ^ n ) = ( ( sin ` x ) ^ N ) )
45	44	itgeq2dv 22480	. . . 4 |- ( n = N -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ n ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
46		itgex 22469	. . . 4 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x e. _V
47	45, 39, 46	fvmpt 5932	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
48	5, 47	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( I ` N ) = S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin ` x ) ^ N ) _d x )
49	35, 42, 48	3brtr4d 4425	1 |- ( ph -> ( I ` ( N + 1 ) ) <_ ( I ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   < clt 9658   <_ cle 9659   -ucneg 9842   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   (,)cioo 11582   ^cexp 12210   sincsin 14008   picpi 14011   L^1cibl 22318   S.citg 22319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cc 8847  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-cmp 20180  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-ibl 22323  df-itg 22324  df-0p 22369  df-limc 22562  df-dv 22563

This theorem is referenced by:  wallispilem5  37219