Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispilem1 Unicode version

Theorem wallispilem1 27916
Description:  I is monotone: increasing the exponent, the integral decreases. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispilem1.1  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
wallispilem1.2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
wallispilem1  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  +  1 ) )  <_  ( I `  N ) )
Distinct variable groups:    x, n, N    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    I( x, n)

Proof of Theorem wallispilem1
StepHypRef Expression
1 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
3 pire 19848 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
5 wallispilem1.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 peano2nn0 10020 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
82, 4, 73jca 1132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )
)
9 iblioosinexp 27849 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  L ^1 )
108, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) ) )  e.  L ^1 )
112, 4, 53jca 1132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  N  e.  NN0 ) )
12 iblioosinexp 27849 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) pi )  |->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L ^1 )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 (,) pi ) 
|->  ( ( sin `  x
) ^ N ) )  e.  L ^1 )
14 elioore 10702 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  x  e.  RR )
1514resincld 12439 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
1615adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  e.  RR )
177adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
1816, 17reexpcld 11278 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
195adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  N  e.  NN0 )
2016, 19reexpcld 11278 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ N )  e.  RR )
215nn0zd 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
22 uzid 10258 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
2321, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
24 peano2uz 10288 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
2523, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
2625adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )
2716, 19, 263jca 1132 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) ) )
2815, 1jctil 523 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  (
0  e.  RR  /\  ( sin `  x )  e.  RR ) )
29 sinq12gt0 19891 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <  ( sin `  x
) )
30 ltle 8926 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( sin `  x )  e.  RR )  -> 
( 0  <  ( sin `  x )  -> 
0  <_  ( sin `  x ) ) )
3128, 29, 30sylc 56 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  0  <_  ( sin `  x
) )
3231adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  0  <_  ( sin `  x
) )
33 sinbnd 12476 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  x )  /\  ( sin `  x )  <_ 
1 ) )
3414, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( -u 1  <_  ( sin `  x )  /\  ( sin `  x )  <_ 
1 ) )
3534simprd 449 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 (,) pi )  ->  ( sin `  x )  <_ 
1 )
3635adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( sin `  x )  <_ 
1 )
3727, 32, 36jca32 521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( ( sin `  x
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  /\  (
0  <_  ( sin `  x )  /\  ( sin `  x )  <_ 
1 ) ) )
38 leexp2r 11175 . . . 4  |-  ( ( ( ( sin `  x
)  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
) )  /\  (
0  <_  ( sin `  x )  /\  ( sin `  x )  <_ 
1 ) )  -> 
( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
3937, 38syl 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  (
( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
4010, 13, 18, 20, 39itgle 19180 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) )  _d x  <_  S. (
0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
41 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  +  1 ) ) )
4241adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( n  =  ( N  +  1 )  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) ) )
4342itgeq2dv 19152 . . . 4  |-  ( n  =  ( N  + 
1 )  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) )  _d x )
44 wallispilem1.1 . . . 4  |-  I  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
45 itgex 19141 . . . 4  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  _d x  e.  _V
4643, 44, 45fvmpt 5618 . . 3  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( I `
 ( N  + 
1 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ ( N  + 
1 ) )  _d x )
477, 46syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  +  1 ) )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ ( N  +  1 ) )  _d x )
48 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
( sin `  x
) ^ n )  =  ( ( sin `  x ) ^ N
) )
4948adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( n  =  N  /\  x  e.  ( 0 (,) pi ) )  ->  ( ( sin `  x ) ^ n
)  =  ( ( sin `  x ) ^ N ) )
5049itgeq2dv 19152 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
51 itgex 19141 . . . 4  |-  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x  e.  _V
5250, 44, 51fvmpt 5618 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( I `
 N )  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ N )  _d x )
535, 52syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( I `  N
)  =  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ N )  _d x )
5440, 47, 533brtr4d 4069 1  |-  ( ph  ->  ( I `  ( N  +  1 ) )  <_  ( I `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   -ucneg 9054   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   (,)cioo 10672   ^cexp 11120   sincsin 12361   picpi 12364   L ^1cibl 18988   S.citg 18989
This theorem is referenced by:  wallispilem5  27920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233
  Copyright terms: Public domain W3C validator