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Theorem wallispi2lem2 32020
Description: Two expressions are proven to be equal, and this is used to complete the proof of the second version of Wallis' formula for π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
wallispi2lem2  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem wallispi2lem2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5774 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 1 ) )
2 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  1 ) )
32oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) ) )
4 fveq2 5774 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
1 ) )
54oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 1 ) ^
4 ) )
63, 5oveq12d 6214 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 ) ) )
7 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
87fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  1 ) ) )
98oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  1 ) ) ^
2 ) )
106, 9oveq12d 6214 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! `
 1 ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) ) )
111, 10eqeq12d 2404 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! `  1 ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  1 ) ) ^
2 ) ) ) )
12 fveq2 5774 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y ) )
13 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  y ) )
1413oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  y
) ) )
15 fveq2 5774 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  y ) )
1615oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )
1714, 16oveq12d 6214 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) ) )
18 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
1918fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  y ) ) )
2019oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 ) )
2117, 20oveq12d 6214 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 ) ) )
2212, 21eqeq12d 2404 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  y
)  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 ) ) ) )
23 fveq2 5774 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) )
24 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )
2524oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
26 fveq2 5774 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( y  +  1 ) ) )
2726oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
2825, 27oveq12d 6214 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
29 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
3029fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
3130oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
3228, 31oveq12d 6214 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
3323, 32eqeq12d 2404 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) ) )
34 fveq2 5774 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 N ) )
35 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  N ) )
3635oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  N
) ) )
37 fveq2 5774 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
3837oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 N ) ^
4 ) )
3936, 38oveq12d 6214 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `  N ) ^ 4 ) ) )
40 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  N ) )
4140fveq2d 5778 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  N ) ) )
4241oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) ^
2 ) )
4339, 42oveq12d 6214 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `
 N ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 ) ) )
4434, 43eqeq12d 2404 . 2  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N
)  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `  N ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) ^
2 ) ) ) )
45 1z 10811 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
46 seq1 12023 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
) )
4745, 46ax-mp 5 . . 3  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
)
48 1nn 10463 . . . 4  |-  1  e.  NN
49 oveq2 6204 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
5049oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  1 ) ^
4 ) )
5149oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )
5249, 51oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
5352oveq1d 6211 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )
5450, 53oveq12d 6214 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
55 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
56 ovex 6224 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )  e. 
_V
5754, 55, 56fvmpt 5857 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
5848, 57ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 ) )
59 2t1e2 10601 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
6059oveq1i 6206 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  =  ( 2 ^ 4 )
61 2exp4 14573 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
62 1nn0 10728 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
63 6nn0 10733 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN0
64 0nn0 10727 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
65 1t1e1 10600 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6665oveq1i 6206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  0 )  =  ( 1  +  0 )
67 1p0e1 10565 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  0 )  =  1
6866, 67eqtri 2411 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  0 )  =  1
69 6cn 10534 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
7069mulid1i 9509 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  x.  1 )  =  6
7163dec0h 10911 . . . . . . . . 9  |-  6  = ; 0 6
7270, 71eqtri 2411 . . . . . . . 8  |-  ( 6  x.  1 )  = ; 0
6
7362, 62, 63, 61, 63, 64, 68, 72decmul1c 10942 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )  = ; 1
6
7461, 73eqtr4i 2414 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )
75 2nn0 10729 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
76 2t2e4 10602 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
77 sq1 12165 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7862, 75, 76, 77, 65numexp2x 14567 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 4 )  =  1
7978eqcomi 2395 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 1 ^ 4 )
8079oveq2i 6207 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
1 ^ 4 ) )
81 4cn 10530 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
8281mulid1i 9509 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
8382eqcomi 2395 . . . . . . . 8  |-  4  =  ( 4  x.  1 )
8483oveq2i 6207 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 2 ^ (
4  x.  1 ) )
85 fac1 12259 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 1 )  =  1
8685eqcomi 2395 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( ! ` 
1 )
8786oveq1i 6206 . . . . . . 7  |-  ( 1 ^ 4 )  =  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 )
8884, 87oveq12i 6208 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 1 ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
8974, 80, 883eqtri 2415 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9060, 89eqtri 2411 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9159oveq1i 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
92 2m1e1 10567 . . . . . . . 8  |-  ( 2  -  1 )  =  1
9391, 92eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1
9493oveq2i 6207 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )
9559oveq1i 6206 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )  =  ( 2  x.  1 )
9695, 59eqtri 2411 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )  =  2
9759fveq2i 5777 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 ( 2  x.  1 ) )  =  ( ! `  2
)
98 fac2 12261 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 2 )  =  2
9997, 98eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 2  x.  1 ) )  =  2
10099eqcomi 2395 . . . . . 6  |-  2  =  ( ! `  ( 2  x.  1 ) )
10194, 96, 1003eqtri 2415 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ! `  (
2  x.  1 ) )
102101oveq1i 6206 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 )
10390, 102oveq12i 6208 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  1 ) ) ^ 2 ) )
10447, 58, 1033eqtri 2415 . 2  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) )
105 elnnuz 11037 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  <->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
106105biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
108 seqp1 12025 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) ) )
109107, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) ) )
110 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )
111110oveq1d 6211 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 ) )  x.  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  (
y  +  1 ) ) ) )
112 eqidd 2383 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) )
113 oveq2 6204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
114113oveq1d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
115113oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) )
116113, 115oveq12d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) )
117116oveq1d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) )
118114, 117oveq12d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
119118adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  k  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
120 peano2nn 10464 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
121 2cnd 10525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  CC )
122 nncn 10460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
123 1cnd 9523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  CC )
124122, 123addcld 9526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
125121, 124mulcld 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
126 4nn0 10731 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
127126a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
128125, 127expcld 12212 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  e.  CC )
129125, 123subcld 9844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
130125, 129mulcld 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )
131130sqcld 12210 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
132 2pos 10544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  2 )
134133gt0ne0d 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
135120nnne0d 10497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  =/=  0 )
136121, 124, 134, 135mulne0d 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  0 )
137 1red 9522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
138 2re 10522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
140 nnre 10459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
141140, 137readdcld 9534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
142 1lt2 10619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  2 )
144 nnrp 11148 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
145137, 144ltaddrp2d 11207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( y  +  1 ) )
146139, 141, 143, 145mulgt1d 10398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )
147137, 146gtned 9631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  1 )
148125, 123, 147subne0d 9853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =/=  0 )
149125, 129, 136, 148mulne0d 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  =/=  0 )
150 2z 10813 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
151150a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
152130, 149, 151expne0d 12218 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
153128, 131, 152divcld 10237 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
154112, 119, 120, 153fvmptd 5862 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
155154oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
156 nnnn0 10719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
157127, 156nn0mulcld 10774 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
4  x.  y )  e.  NN0 )
158121, 157expcld 12212 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  y ) )  e.  CC )
159 faccl 12265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 y )  e.  NN )
160 nncn 10460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ! `  y )  e.  NN  ->  ( ! `  y )  e.  CC )
161156, 159, 1603syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  y )  e.  CC )
162161, 127expcld 12212 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  y
) ^ 4 )  e.  CC )
163158, 162mulcld 9527 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  e.  CC )
16475a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
165164, 156nn0mulcld 10774 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  NN0 )
166 faccl 12265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  e.  NN )
167 nncn 10460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
168165, 166, 1673syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
169168sqcld 12210 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  e.  CC )
170165, 166syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  NN )
171170nnne0d 10497 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  =/=  0 )
172168, 171, 151expne0d 12218 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
173163, 169, 128, 131, 172, 152divmuldivd 10278 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
174121, 124, 127mulexpd 12227 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) ) )
175174oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  x.  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
( y  +  1 ) ^ 4 ) ) ) )
176121, 127expcld 12212 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ 4 )  e.  CC )
177124, 127expcld 12212 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 ) ^ 4 )  e.  CC )
178158, 162, 176, 177mul4d 9703 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y ) ^
4 )  x.  (
( y  +  1 ) ^ 4 ) ) ) )
179161, 124, 127mulexpd 12227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  y ) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) ) )
180179eqcomd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y ) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
181180oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y
) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
182175, 178, 1813eqtrd 2427 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
183121, 122mulcld 9527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
184183, 123addcld 9526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  CC )
185125, 184mulcomd 9528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
186185oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
187121, 122, 123adddid 9531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
188187oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
18959, 121syl5eqel 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
190183, 189, 123addsubassd 9864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
19159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
192191oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
193192, 92syl6eq 2439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1 )
194193oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
195188, 190, 1943eqtrd 2427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
196195oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
197196oveq2d 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ) )
198168, 184, 125mulassd 9530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
199186, 197, 1983eqtr4d 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
200199oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
201168, 130, 164mulexpd 12227 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
202 df-2 10511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
203202a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
204203oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
205183, 123, 123addassd 9529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
206204, 205eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
207206fveq2d 5778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  2 ) )  =  ( ! `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
20862a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
209165, 208nn0addcld 10773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  NN0 )
210 facp1 12260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
211209, 210syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
212 facp1 12260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
213165, 212syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
214203eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
215214oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) )
216214, 202, 593eqtr4g 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
217216oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
218217, 187eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
219205, 215, 2183eqtrd 2427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
220213, 219oveq12d 6214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
221207, 211, 2203eqtrrd 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) )
222221oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^
2 ) )
223200, 201, 2223eqtr3d 2431 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^
2 ) )
224182, 223oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) ) )
225173, 224eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) ) )
22683a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  4  =  ( 4  x.  1 ) )
227226oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 4  x.  y
)  +  4 )  =  ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )
228227oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  4 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) ) )
229121, 127, 157expaddd 12214 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) ) )
23081a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  4  e.  CC )
231230, 122, 123adddid 9531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
4  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )
232231eqcomd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 4  x.  y
)  +  ( 4  x.  1 ) )  =  ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )
233232oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
234228, 229, 2333eqtr3d 2431 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
235 facp1 12260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) )
236156, 235syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) )
237236eqcomd 2390 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  y
)  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ! `  ( y  +  1 ) ) )
238237oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
239234, 238oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y
)  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
240218fveq2d 5778 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  2 ) )  =  ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
241240oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  y
)  +  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
242239, 241oveq12d 6214 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
243155, 225, 2423eqtrd 2427 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) )
244243adantr 463 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) )
245109, 111, 2443eqtrd 2427 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
246245ex 432 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
24711, 22, 33, 44, 104, 246nnind 10470 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    - cmin 9718    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   4c4 10504   6c6 10506   NN0cn0 10712   ZZcz 10781  ;cdc 10895   ZZ>=cuz 11001    seqcseq 12010   ^cexp 12069   !cfa 12255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-rp 11140  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256
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