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Theorem wallispi2lem2 27688
Description: Two expressions are proven to be equal, and this is used to complete the proof of the second version of Wallis' formula for π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
wallispi2lem2  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem wallispi2lem2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 1 ) )
2 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  1 ) )
32oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) ) )
4 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
1 ) )
54oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 1 ) ^
4 ) )
63, 5oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 ) ) )
7 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
87fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  1 ) ) )
98oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  1 ) ) ^
2 ) )
106, 9oveq12d 6058 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! `
 1 ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) ) )
111, 10eqeq12d 2418 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `
 x ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  x
) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
12 fveq2 5687 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y ) )
13 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  y ) )
1413oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  y
) ) )
15 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  y ) )
1615oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )
1714, 16oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) ) )
18 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
1918fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  y ) ) )
2019oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 ) )
2117, 20oveq12d 6058 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 ) ) )
2212, 21eqeq12d 2418 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `
 x ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  x
) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) ) )
23 fveq2 5687 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) )
24 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )
2524oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
26 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( y  +  1 ) ) )
2726oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
2825, 27oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
29 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
3029fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
3130oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
3228, 31oveq12d 6058 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
3323, 32eqeq12d 2418 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `
 x ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  x
) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
34 fveq2 5687 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 N ) )
35 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  N ) )
3635oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  N
) ) )
37 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
3837oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 N ) ^
4 ) )
3936, 38oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `  N ) ^ 4 ) ) )
40 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  N ) )
4140fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  N ) ) )
4241oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) ^
2 ) )
4339, 42oveq12d 6058 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `
 N ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 ) ) )
4434, 43eqeq12d 2418 . 2  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `
 x ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  x
) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) ) )
45 1z 10267 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
46 seq1 11291 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
) )
4745, 46ax-mp 8 . . 3  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
)
48 1nn 9967 . . . 4  |-  1  e.  NN
49 oveq2 6048 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
5049oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  1 ) ^
4 ) )
5149oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )
5249, 51oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
5352oveq1d 6055 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )
5450, 53oveq12d 6058 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
55 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
56 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )  e. 
_V
5754, 55, 56fvmpt 5765 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
5848, 57ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 ) )
59 2cn 10026 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
6059mulid1i 9048 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
6160oveq1i 6050 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  =  ( 2 ^ 4 )
62 2exp4 13376 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
63 1nn0 10193 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
64 6nn0 10198 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN0
65 0nn0 10192 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
66 1t1e1 10082 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6766oveq1i 6050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  0 )  =  ( 1  +  0 )
68 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6968addid1i 9209 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  0 )  =  1
7067, 69eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  0 )  =  1
7164nn0cni 10189 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
7271mulid1i 9048 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  x.  1 )  =  6
7364dec0h 10354 . . . . . . . . 9  |-  6  = ; 0 6
7472, 73eqtri 2424 . . . . . . . 8  |-  ( 6  x.  1 )  = ; 0
6
7563, 63, 64, 62, 64, 65, 70, 74decmul1c 10385 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )  = ; 1
6
7662, 75eqtr4i 2427 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )
77 2nn0 10194 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
78 2t2e4 10083 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
79 sq1 11431 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
8063, 77, 78, 79, 66numexp2x 13370 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 4 )  =  1
8180eqcomi 2408 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 1 ^ 4 )
8281oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
1 ^ 4 ) )
83 4cn 10030 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
8483mulid1i 9048 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
8584eqcomi 2408 . . . . . . . 8  |-  4  =  ( 4  x.  1 )
8685oveq2i 6051 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 2 ^ (
4  x.  1 ) )
87 fac1 11525 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 1 )  =  1
8887eqcomi 2408 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( ! ` 
1 )
8988oveq1i 6050 . . . . . . 7  |-  ( 1 ^ 4 )  =  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 )
9086, 89oveq12i 6052 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 1 ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9176, 82, 903eqtri 2428 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9261, 91eqtri 2424 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9360oveq1i 6050 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
94 2m1e1 10051 . . . . . . . 8  |-  ( 2  -  1 )  =  1
9593, 94eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1
9695oveq2i 6051 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )
9760oveq1i 6050 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )  =  ( 2  x.  1 )
9897, 60eqtri 2424 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )  =  2
9960fveq2i 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 ( 2  x.  1 ) )  =  ( ! `  2
)
100 fac2 11527 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 2 )  =  2
10199, 100eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 2  x.  1 ) )  =  2
102101eqcomi 2408 . . . . . 6  |-  2  =  ( ! `  ( 2  x.  1 ) )
10396, 98, 1023eqtri 2428 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ! `  (
2  x.  1 ) )
104103oveq1i 6050 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 )
10592, 104oveq12i 6052 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  1 ) ) ^ 2 ) )
10647, 58, 1053eqtri 2428 . 2  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) )
107 elnnuz 10478 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  <->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
108107biimpi 187 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
109108adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
110 seqp1 11293 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) ) )
111109, 110syl 16 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) ) )
112 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )
113112oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) ) )
114 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) )
115 oveq2 6048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
116115oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
117115oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) )
118115, 117oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) )
119118oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) )
120116, 119oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
121120adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  k  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
122 peano2nn 9968 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
12359a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  CC )
124 nncn 9964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
12568a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  CC )
126124, 125addcld 9063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
127123, 126mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
128 4nn0 10196 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
129128a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
130127, 129expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  e.  CC )
131127, 125subcld 9367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
132127, 131mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )
133132sqcld 11476 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
134 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  2 )
136135gt0ne0d 9547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
137122nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  =/=  0 )
138123, 126, 136, 137mulne0d 9630 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  0 )
139 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
141 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
143 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
144143, 140readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
145 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  2 )
147 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
148140, 147ltaddrp2d 10634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( y  +  1 ) )
149142, 144, 146, 148mulgt1d 9903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )
150140, 149gtned 9164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  1 )
151127, 125, 150subne0d 9376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =/=  0 )
152127, 131, 138, 151mulne0d 9630 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  =/=  0 )
153 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
155132, 152, 154expne0d 11484 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
156130, 133, 155divcld 9746 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
157114, 121, 122, 156fvmptd 5769 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
158157oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
159 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
160129, 159nn0mulcld 10235 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
4  x.  y )  e.  NN0 )
161123, 160expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  y ) )  e.  CC )
162 faccl 11531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 y )  e.  NN )
163 nncn 9964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ! `  y )  e.  NN  ->  ( ! `  y )  e.  CC )
164159, 162, 1633syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  y )  e.  CC )
165164, 129expcld 11478 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  y
) ^ 4 )  e.  CC )
166161, 165mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  e.  CC )
16777a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
168167, 159nn0mulcld 10235 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  NN0 )
169 faccl 11531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  e.  NN )
170 nncn 9964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
171168, 169, 1703syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
172171sqcld 11476 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  e.  CC )
173168, 169syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  NN )
174173nnne0d 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  =/=  0 )
175171, 174, 154expne0d 11484 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
176166, 172, 130, 133, 175, 155divmuldivd 9787 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
177123, 126, 129mulexpd 11493 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) ) )
178177oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  x.  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
( y  +  1 ) ^ 4 ) ) ) )
179123, 129expcld 11478 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ 4 )  e.  CC )
180126, 129expcld 11478 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 ) ^ 4 )  e.  CC )
181161, 165, 179, 180mul4d 9234 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y ) ^
4 )  x.  (
( y  +  1 ) ^ 4 ) ) ) )
182164, 126, 129mulexpd 11493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  y ) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) ) )
183182eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y ) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
184183oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y
) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
185178, 181, 1843eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
186123, 124mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
187186, 125addcld 9063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  CC )
188127, 187mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
189188oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
190123, 124, 125adddid 9068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
191190oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
19260, 123syl5eqel 2488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
193186, 192, 125addsubassd 9387 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
19460a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
195194oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
196195, 94syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1 )
197196oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
198191, 193, 1973eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
199198oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
200199oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ) )
201171, 187, 127mulassd 9067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
202189, 200, 2013eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
203202oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
204171, 132, 167mulexpd 11493 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
205 df-2 10014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
207206oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
208186, 125, 125addassd 9066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
209207, 208eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
210209fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  2 ) )  =  ( ! `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
21163a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
212168, 211nn0addcld 10234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  NN0 )
213 facp1 11526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
215 facp1 11526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
216168, 215syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
217206eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
218217oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) )
219217, 205, 603eqtr4g 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
220219oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
221220, 190eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
222208, 218, 2213eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
223216, 222oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
224210, 214, 2233eqtrrd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) )
225224oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^
2 ) )
226203, 204, 2253eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^
2 ) )
227185, 226oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) ) )
228176, 227eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) ) )
22985a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  4  =  ( 4  x.  1 ) )
230229oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 4  x.  y
)  +  4 )  =  ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )
231230oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  4 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) ) )
232123, 129, 160expaddd 11480 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) ) )
23383a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  4  e.  CC )
234233, 124, 125adddid 9068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
4  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )
235234eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 4  x.  y
)  +  ( 4  x.  1 ) )  =  ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )
236235oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
237231, 232, 2363eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
238 facp1 11526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) )
239159, 238syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) )
240239eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  y
)  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ! `  ( y  +  1 ) ) )
241240oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
242237, 241oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y
)  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
243221fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  2 ) )  =  ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
244243oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  y
)  +  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
245242, 244oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
246158, 228, 2453eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) )
247246adantr 452 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) )
248111, 113, 2473eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
249248ex 424 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 ) )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
25011, 22, 33, 44, 106, 249nnind 9974 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   4c4 10007   6c6 10009   NN0cn0 10177   ZZcz 10238  ;cdc 10338   ZZ>=cuz 10444    seq cseq 11278   ^cexp 11337   !cfa 11521
This theorem is referenced by:  wallispi2  27689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522
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