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Theorem wallispi2lem2 31327
Description: Two expressions are proven to be equal, and this is used to complete the proof of the second version of Wallis' formula for π . (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
wallispi2lem2  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem wallispi2lem2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5857 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 1 ) )
2 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  1 ) )
32oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) ) )
4 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( ! `  x )  =  ( ! ` 
1 ) )
54oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 1 ) ^
4 ) )
63, 5oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 ) ) )
7 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
87fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  1 ) ) )
98oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  1 ) ) ^
2 ) )
106, 9oveq12d 6293 . . 3  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! `
 1 ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) ) )
111, 10eqeq12d 2482 . 2  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! `  1 ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  1 ) ) ^
2 ) ) ) )
12 fveq2 5857 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y ) )
13 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  y ) )
1413oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  y
) ) )
15 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  y ) )
1615oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )
1714, 16oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) ) )
18 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
1918fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  y ) ) )
2019oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 ) )
2117, 20oveq12d 6293 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 ) ) )
2212, 21eqeq12d 2482 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  y
)  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 ) ) ) )
23 fveq2 5857 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) )
24 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )
2524oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
26 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  ( y  +  1 ) ) )
2726oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
2825, 27oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
29 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
3029fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) )
3130oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
3228, 31oveq12d 6293 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
3323, 32eqeq12d 2482 . 2  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) ) )
34 fveq2 5857 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  x )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 N ) )
35 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
4  x.  x )  =  ( 4  x.  N ) )
3635oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
2 ^ ( 4  x.  x ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  N
) ) )
37 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  x )  =  ( ! `  N ) )
3837oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  x
) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 N ) ^
4 ) )
3936, 38oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `  N ) ^ 4 ) ) )
40 oveq2 6283 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  N ) )
4140fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  ( ! `  ( 2  x.  x ) )  =  ( ! `  (
2  x.  N ) ) )
4241oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( x  =  N  ->  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) ^
2 ) )
4339, 42oveq12d 6293 . . 3  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  x
) )  x.  (
( ! `  x
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `
 N ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  N
) ) ^ 2 ) ) )
4434, 43eqeq12d 2482 . 2  |-  ( x  =  N  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 x )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  x ) )  x.  ( ( ! `  x ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  x ) ) ^ 2 ) )  <->  (  seq 1
(  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N
)  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  N ) )  x.  ( ( ! `  N ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  N ) ) ^
2 ) ) ) )
45 1z 10883 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
46 seq1 12076 . . . 4  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
) )
4745, 46ax-mp 5 . . 3  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
)
48 1nn 10536 . . . 4  |-  1  e.  NN
49 oveq2 6283 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  1 ) )
5049oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  1 ) ^
4 ) )
5149oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )
5249, 51oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
5352oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )
5450, 53oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
55 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
56 ovex 6300 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )  e. 
_V
5754, 55, 56fvmpt 5941 . . . 4  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1
)  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
5848, 57ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  1 )  =  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 ) )
59 2cn 10595 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
6059mulid1i 9587 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
6160oveq1i 6285 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  =  ( 2 ^ 4 )
62 2exp4 14419 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
63 1nn0 10800 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN0
64 6nn0 10805 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN0
65 0nn0 10799 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
66 1t1e1 10672 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
6766oveq1i 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  0 )  =  ( 1  +  0 )
68 1p0e1 10637 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  +  0 )  =  1
6967, 68eqtri 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  0 )  =  1
70 6cn 10606 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  CC
7170mulid1i 9587 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  x.  1 )  =  6
7264dec0h 10981 . . . . . . . . 9  |-  6  = ; 0 6
7371, 72eqtri 2489 . . . . . . . 8  |-  ( 6  x.  1 )  = ; 0
6
7463, 63, 64, 62, 64, 65, 69, 73decmul1c 11012 . . . . . . 7  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )  = ; 1
6
7562, 74eqtr4i 2492 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )
76 2nn0 10801 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
77 2t2e4 10674 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
78 sq1 12217 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7963, 76, 77, 78, 66numexp2x 14413 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ^ 4 )  =  1
8079eqcomi 2473 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 1 ^ 4 )
8180oveq2i 6286 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  1 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
1 ^ 4 ) )
82 4cn 10602 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  CC
8382mulid1i 9587 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  x.  1 )  =  4
8483eqcomi 2473 . . . . . . . 8  |-  4  =  ( 4  x.  1 )
8584oveq2i 6286 . . . . . . 7  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( 2 ^ (
4  x.  1 ) )
86 fac1 12312 . . . . . . . . 9  |-  ( ! `
 1 )  =  1
8786eqcomi 2473 . . . . . . . 8  |-  1  =  ( ! ` 
1 )
8887oveq1i 6285 . . . . . . 7  |-  ( 1 ^ 4 )  =  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 )
8985, 88oveq12i 6287 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( 1 ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9075, 81, 893eqtri 2493 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9161, 90eqtri 2489 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )
9260oveq1i 6285 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 )
93 2m1e1 10639 . . . . . . . 8  |-  ( 2  -  1 )  =  1
9492, 93eqtri 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1
9594oveq2i 6286 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )
9660oveq1i 6285 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )  =  ( 2  x.  1 )
9796, 60eqtri 2489 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  1 )  =  2
9860fveq2i 5860 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 ( 2  x.  1 ) )  =  ( ! `  2
)
99 fac2 12314 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 2 )  =  2
10098, 99eqtri 2489 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 ( 2  x.  1 ) )  =  2
101100eqcomi 2473 . . . . . 6  |-  2  =  ( ! `  ( 2  x.  1 ) )
10295, 97, 1013eqtri 2493 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) )  =  ( ! `  (
2  x.  1 ) )
103102oveq1i 6285 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 )
10491, 103oveq12i 6287 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  1 ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  1 )  x.  ( ( 2  x.  1 )  - 
1 ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  ( ( ! ` 
1 ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  1 ) ) ^ 2 ) )
10547, 58, 1043eqtri 2493 . 2  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  1 ) )  x.  (
( ! `  1
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  1 ) ) ^ 2 ) )
106 elnnuz 11107 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  <->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
108107adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
109 seqp1 12078 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) ) )
110108, 109syl 16 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) ) `  y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) `
 ( y  +  1 ) ) ) )
111 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )
112111oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 ) )  x.  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  (
y  +  1 ) ) ) )
113 eqidd 2461 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k
) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) ) )
114 oveq2 6283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
115114oveq1d 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
) ^ 4 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
116114oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) )
117114, 116oveq12d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) )
118117oveq1d 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) )
119115, 118oveq12d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
120119adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  NN  /\  k  =  ( y  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
121 peano2nn 10537 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  NN )
12259a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  CC )
123 nncn 10533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
124 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  CC )
126123, 125addcld 9604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  CC )
127122, 126mulcld 9605 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  e.  CC )
128 4nn0 10803 . . . . . . . . . . 11  |-  4  e.  NN0
129128a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
130127, 129expcld 12265 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  e.  CC )
131127, 125subcld 9919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
132127, 131mulcld 9605 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )
133132sqcld 12263 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 )  e.  CC )
134 2pos 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  2
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  0  <  2 )
136135gt0ne0d 10106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
137121nnne0d 10569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  =/=  0 )
138122, 126, 136, 137mulne0d 10190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  0 )
139 1re 9584 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  RR )
141 2re 10594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  RR )
143 nnre 10532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
144143, 140readdcld 9612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  +  1 )  e.  RR )
145 1lt2 10691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  2 )
147 nnrp 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR+ )
148140, 147ltaddrp2d 11275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( y  +  1 ) )
149142, 144, 146, 148mulgt1d 10471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) )
150140, 149gtned 9708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =/=  1 )
151127, 125, 150subne0d 9928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =/=  0 )
152127, 131, 138, 151mulne0d 10190 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  =/=  0 )
153 2z 10885 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
154153a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
155132, 152, 154expne0d 12271 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
156130, 133, 155divcld 10309 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
157113, 120, 121, 156fvmptd 5946 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )
158157oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
159 nnnn0 10791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 )
160129, 159nn0mulcld 10846 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
4  x.  y )  e.  NN0 )
161122, 160expcld 12265 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( 4  x.  y ) )  e.  CC )
162 faccl 12318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 y )  e.  NN )
163 nncn 10533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ! `  y )  e.  NN  ->  ( ! `  y )  e.  CC )
164159, 162, 1633syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  y )  e.  CC )
165164, 129expcld 12265 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  y
) ^ 4 )  e.  CC )
166161, 165mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  e.  CC )
16776a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  2  e.  NN0 )
168167, 159nn0mulcld 10846 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  NN0 )
169 faccl 12318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  e.  NN )
170 nncn 10533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
171168, 169, 1703syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  CC )
172171sqcld 12263 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  e.  CC )
173168, 169syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  e.  NN )
174173nnne0d 10569 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( 2  x.  y ) )  =/=  0 )
175171, 174, 154expne0d 12271 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  =/=  0 )
176166, 172, 130, 133, 175, 155divmuldivd 10350 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) ) ^
2 )  x.  (
( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
177122, 126, 129mulexpd 12280 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) ) )
178177oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `
 y ) ^
4 ) )  x.  ( ( 2 ^ 4 )  x.  (
( y  +  1 ) ^ 4 ) ) ) )
179122, 129expcld 12265 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ 4 )  e.  CC )
180126, 129expcld 12265 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( y  +  1 ) ^ 4 )  e.  CC )
181161, 165, 179, 180mul4d 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2 ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y ) ^
4 )  x.  (
( y  +  1 ) ^ 4 ) ) ) )
182164, 126, 129mulexpd 12280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( ( ! `  y ) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) ) )
183182eqcomd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y ) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
184183oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y
) ^ 4 )  x.  ( ( y  +  1 ) ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
185178, 181, 1843eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
( ! `  y
) ^ 4 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
186122, 123mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  y )  e.  CC )
187186, 125addcld 9604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  CC )
188127, 187mulcomd 9606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
189188oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
190122, 123, 125adddid 9609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
191190oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  - 
1 ) )
19260, 122syl5eqel 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  CC )
193186, 192, 125addsubassd 9939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) ) )
19460a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  =  2 )
195194oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
196195, 93syl6eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  1 )  -  1 )  =  1 )
197196oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( ( 2  x.  1 )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
198191, 193, 1973eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )
199198oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
200199oveq2d 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) ) )
201171, 187, 127mulassd 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ) )
202189, 200, 2013eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
203202oveq1d 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ! `  (
2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
204171, 132, 167mulexpd 12280 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) )
205 df-2 10583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =  ( 1  +  1 )
206205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
207206oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
208186, 125, 125addassd 9607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 1  +  1 ) ) )
209207, 208eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )
210209fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  2 ) )  =  ( ! `  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
21163a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  1  e.  NN0 )
212168, 211nn0addcld 10845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  NN0 )
213 facp1 12313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
214212, 213syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 ) ) )
215 facp1 12313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  y )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) ) )
216168, 215syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) ) )
217206eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  =  2 )
218217oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) )
219217, 205, 603eqtr4g 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  NN  ->  2  =  ( 2  x.  1 ) )
220219oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( ( 2  x.  y )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
221220, 190eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2  x.  y
)  +  2 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
222208, 218, 2213eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  y )  +  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )
223216, 222oveq12d 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  y
)  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
224210, 214, 2233eqtrrd 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) )  x.  (
( 2  x.  y
)  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) )
225224oveq1d 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 ( 2  x.  y ) )  x.  ( ( 2  x.  y )  +  1 ) )  x.  (
2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^
2 ) )
226203, 204, 2253eqtr3d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  ( 2  x.  y
) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  -  1 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ! `
 ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^
2 ) )
227185, 226oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  x.  (
( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 )  x.  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) ) )
228176, 227eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  ( y  +  1 ) )  - 
1 ) ) ^
2 ) ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y )  x.  ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) ) )
22984a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  4  =  ( 4  x.  1 ) )
230229oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 4  x.  y
)  +  4 )  =  ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )
231230oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  4 ) )  =  ( 2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) ) )
232122, 129, 160expaddd 12267 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) ) )
23382a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  4  e.  CC )
234233, 123, 125adddid 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  (
4  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )
235234eqcomd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 4  x.  y
)  +  ( 4  x.  1 ) )  =  ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )
236235oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
2 ^ ( ( 4  x.  y )  +  ( 4  x.  1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
237231, 232, 2363eqtr3d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( 2 ^ (
4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  =  ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
238 facp1 12313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) )
239159, 238syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 y )  x.  ( y  +  1 ) ) )
240239eqcomd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  y
)  x.  ( y  +  1 ) )  =  ( ! `  ( y  +  1 ) ) )
241240oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 )  =  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )
242237, 241oveq12d 6293 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( 2 ^ ( 4  x.  y
) )  x.  (
2 ^ 4 ) )  x.  ( ( ( ! `  y
)  x.  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  =  ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) ) )
243221fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  ( ! `  ( (
2  x.  y )  +  2 ) )  =  ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) )
244243oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ! `  (
( 2  x.  y
)  +  2 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) )
245242, 244oveq12d 6293 . . . . . 6  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( 2 ^ 4 ) )  x.  (
( ( ! `  y )  x.  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( ( 2  x.  y )  +  2 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `
 ( y  +  1 ) ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  (
y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
246158, 228, 2453eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( y  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) )
247246adantr 465 . . . 4  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  /  ( ( ( 2  x.  k
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2 ^ (
4  x.  ( y  +  1 ) ) )  x.  ( ( ! `  ( y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `
 ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^
2 ) ) )
248110, 112, 2473eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ( y  e.  NN  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) )
249248ex 434 . 2  |-  ( y  e.  NN  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^ 4 )  / 
( ( ( 2  x.  k )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `
 y )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  y ) )  x.  ( ( ! `  y ) ^ 4 ) )  /  (
( ! `  (
2  x.  y ) ) ^ 2 ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  (
y  +  1 ) ) )  x.  (
( ! `  (
y  +  1 ) ) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  ( y  +  1 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
25011, 22, 33, 44, 105, 249nnind 10543 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k ) ^
4 )  /  (
( ( 2  x.  k )  x.  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) ) ^ 2 ) ) ) ) `  N )  =  ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  N
) )  x.  (
( ! `  N
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  N ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   4c4 10576   6c6 10578   NN0cn0 10784   ZZcz 10853  ;cdc 10965   ZZ>=cuz 11071    seqcseq 12063   ^cexp 12122   !cfa 12308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309
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