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Theorem wallispi 31370
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispi.2  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Distinct variable groups:    k, n    n, F
Allowed substitution hints:    F( k)    W( k, n)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables  j  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11113 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10890 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
4 wallispi.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
5 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x )  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
6 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( n  e. 
NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
7 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )
8 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) )
94, 5, 6, 7, 8wallispilem5 31369 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )  ~~>  1
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )  ~~>  1 )
11 2cnd 10604 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
12 pire 22585 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
1312recni 9604 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  pi  e.  CC )
15 pipos 22587 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
1612, 15gt0ne0ii 10085 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  pi  =/=  0 )
1811, 14, 17divcld 10316 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 2  /  pi )  e.  CC )
19 nnex 10538 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2019mptex 6129 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  _V
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e. 
_V )
2213a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
2322halfcld 10779 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
24 elnnuz 11114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2524biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
27 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
2827oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
2927, 28oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
3027oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
3127, 30oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
3229, 31oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  j )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )
34 elfznn 11710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  NN )
35 2cnd 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
36 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
3735, 36mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  CC )
38 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
4037, 39subcld 9926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  CC )
41 1re 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
43 1t1e1 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4442, 42remulcld 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  e.  RR )
45 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
4746, 42remulcld 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
48 nnre 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
4946, 48remulcld 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
50 1rp 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR+
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
52 1lt2 10698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  2 )
5442, 46, 51, 53ltmul1dd 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 ) )
55 0le2 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  <_  2
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  2 )
57 nnge1 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
5842, 48, 46, 56, 57lemul2ad 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )
5944, 47, 49, 54, 58ltletrd 9737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) )
6043, 59syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  j
) )
6142, 60gtned 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =/=  1 )
6237, 39, 61subne0d 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  =/=  0 )
6337, 40, 62divcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  CC )
6437, 39addcld 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  CC )
65 0re 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
6749, 42readdcld 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
6851rpgt0d 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
69 2rp 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR+
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
71 nnrp 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
7270, 71rpmulcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
7342, 72ltaddrp2d 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7466, 42, 67, 68, 73lttrd 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7566, 74gtned 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
7637, 64, 75divcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  CC )
7763, 76mulcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7834, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7926, 33, 34, 78fvmptd 5953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
8069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR+ )
8134nnrpd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR+ )
8280, 81rpmulcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
8349, 42resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR )
84 1m1e0 10600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8542, 49, 42, 60ltsub1dd 10160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
8684, 85syl5eqbrr 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )
8783, 86elrpd 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
8834, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
8982, 88rpdivcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  RR+ )
9045a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
9134nnred 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR )
9290, 91remulcld 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
9380rpge0d 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
9481rpge0d 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  j )
9590, 91, 93, 94mulge0d 10125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  ( 2  x.  j
) )
9692, 95ge0p1rpd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
9782, 96rpdivcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
9889, 97rpmulcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
9979, 98eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
101 rpmulcl 11237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
j  x.  w )  e.  RR+ )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  ->  ( j  x.  w )  e.  RR+ )
10325, 100, 102seqcl 12091 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  RR+ )
104103rpcnd 11254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
105103rpne0d 11257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =/=  0 )
106104, 105reccld 10309 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  CC )
10723, 106mulcld 9612 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC )
1087, 107fmpti 6042 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) ) : NN --> CC
109108a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) : NN --> CC )
110109ffvelrnda 6019 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
111 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )
112111eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n )  e.  RR+  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
)
113112, 103vtoclga 3177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
114113rpcnd 11254 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  CC )
115113rpne0d 11257 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =/=  0 )
11639, 114, 115divrecd 10319 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
11713a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
11870rpne0d 11257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
11916a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
12035, 117, 118, 119divcan6d 10335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  1 )
121120eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2
) ) )
122121oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
12335, 117, 119divcld 10316 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
124117halfcld 10779 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
125114, 115reccld 10309 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
126123, 124, 125mulassd 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) ) ) ) )
127116, 122, 1263eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) ) ) ) )
128 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
129111oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
130129adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
131 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
132113rpreccld 11262 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  RR+ )
133128, 130, 131, 132fvmptd 5953 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
134 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
135130oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
136124, 125mulcld 9612 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  e.  CC )
137134, 135, 131, 136fvmptd 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
138137oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) ) )
139127, 133, 1383eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
140139adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1411, 3, 10, 18, 21, 110, 140climmulc2 13418 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 ) )
142 2cn 10602 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
143142, 13, 16divcli 10282 . . . . . 6  |-  ( 2  /  pi )  e.  CC
144143mulid1i 9594 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )  =  ( 2  /  pi )
145141, 144syl6breq 4486 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( 2  /  pi ) )
146 2ne0 10624 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
147142, 13, 146, 16divne0i 10288 . . . . 5  |-  ( 2  /  pi )  =/=  0
148147a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  /  pi )  =/=  0 )
149133, 125eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  CC )
150114, 115recne0d 10310 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =/=  0
)
151133, 150eqnetrd 2760 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0
)
152 elsni 4052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  {
0 }  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  0 )
153152necon3ai 2695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) `  j
)  e.  { 0 } )
154151, 153syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j )  e. 
{ 0 } )
155149, 154eldifd 3487 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
156155adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
157114, 115recrecd 10313 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) )
158128, 130, 131, 125fvmptd 5953 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
159158oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) )  =  ( 1  /  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
160 wallispi.2 . . . . . . 7  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
161111, 160, 103fvmpt3 5951 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
)
162157, 159, 1613eqtr4rd 2519 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j ) ) )
163162adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j ) ) )
16419mptex 6129 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  _V
165160, 164eqeltri 2551 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
166165a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  W  e.  _V )
1671, 3, 145, 148, 156, 163, 166climrec 31145 . . 3  |-  ( T. 
->  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) ) )
168167trud 1388 . 2  |-  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )
169 recdiv 10246 . . 3  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
170142, 146, 13, 16, 169mp4an 673 . 2  |-  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  /  2 )
171168, 170breqtri 4470 1  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   ...cfz 11668    seqcseq 12071   ^cexp 12130    ~~> cli 13266   sincsin 13657   picpi 13660   S.citg 21762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812  df-limc 22005  df-dv 22006
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