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Theorem wallispi 32034
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispi.2  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Distinct variable groups:    k, n    n, F
Allowed substitution hints:    F( k)    W( k, n)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables  j  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11141 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10916 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 wallispi.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
4 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x )  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
5 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( n  e. 
NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
6 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )
7 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) )
83, 4, 5, 6, 7wallispilem5 32033 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )  ~~>  1
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )  ~~>  1 )
10 2cnd 10629 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
11 picn 22978 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  pi  e.  CC )
13 pire 22977 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
14 pipos 22979 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
1513, 14gt0ne0ii 10110 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  pi  =/=  0 )
1710, 12, 16divcld 10341 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 2  /  pi )  e.  CC )
18 nnex 10562 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
1918mptex 6144 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  _V
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e. 
_V )
2111a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
2221halfcld 10804 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
23 elnnuz 11142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2423biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
253a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
26 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
2726oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
2826, 27oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
2926oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
3026, 29oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
3128, 30oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  j )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )
33 elfznn 11739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  NN )
34 2cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
35 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
3634, 35mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  CC )
37 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3836, 37subcld 9950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  CC )
39 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
40 1t1e1 10704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4139, 39remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  e.  RR )
42 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
4443, 39remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
45 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
4643, 45remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
47 1rp 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR+
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
49 1lt2 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  2 )
5139, 43, 48, 50ltmul1dd 11332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 ) )
52 0le2 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  <_  2
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  2 )
54 nnge1 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
5539, 45, 43, 53, 54lemul2ad 10506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )
5641, 44, 46, 51, 55ltletrd 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) )
5740, 56syl5eqbrr 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  j
) )
5839, 57gtned 9737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =/=  1 )
5936, 37, 58subne0d 9959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  =/=  0 )
6036, 38, 59divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  CC )
6136, 37addcld 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  CC )
62 0red 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
6346, 39readdcld 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
6448rpgt0d 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
65 2rp 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR+
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
67 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
6866, 67rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
6939, 68ltaddrp2d 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7062, 39, 63, 64, 69lttrd 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7162, 70gtned 9737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
7236, 61, 71divcld 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  CC )
7360, 72mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7433, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7525, 32, 33, 74fvmptd 5961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
7665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR+ )
7733nnrpd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR+ )
7876, 77rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
7946, 39resubcld 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR )
80 1m1e0 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8139, 46, 39, 57ltsub1dd 10185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
8280, 81syl5eqbrr 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )
8379, 82elrpd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
8433, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
8578, 84rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  RR+ )
8642a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
8733nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR )
8886, 87remulcld 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
8976rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
9077rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  j )
9186, 87, 89, 90mulge0d 10150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  ( 2  x.  j
) )
9288, 91ge0p1rpd 11307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
9378, 92rpdivcld 11298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
9485, 93rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
9575, 94eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
97 rpmulcl 11266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
j  x.  w )  e.  RR+ )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  ->  ( j  x.  w )  e.  RR+ )
9924, 96, 98seqcl 12130 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  RR+ )
10099rpcnd 11283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
10199rpne0d 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =/=  0 )
102100, 101reccld 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  CC )
10322, 102mulcld 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC )
1046, 103fmpti 6055 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) ) : NN --> CC
105104a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) : NN --> CC )
106105ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
107 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )
108107eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n )  e.  RR+  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
)
109108, 99vtoclga 3173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
110109rpcnd 11283 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  CC )
111109rpne0d 11286 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =/=  0 )
11237, 110, 111divrecd 10344 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
11311a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
11466rpne0d 11286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
11515a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
11634, 113, 114, 115divcan6d 10360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  1 )
117116eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2
) ) )
118117oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
11934, 113, 115divcld 10341 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
120113halfcld 10804 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
121110, 111reccld 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
122119, 120, 121mulassd 9636 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) ) ) ) )
123112, 118, 1223eqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) ) ) ) )
124 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
125107oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
126125adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
127 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
128109rpreccld 11291 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  RR+ )
129124, 126, 127, 128fvmptd 5961 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
130 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
131126oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
132120, 121mulcld 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  e.  CC )
133130, 131, 127, 132fvmptd 5961 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
134133oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) ) )
135123, 129, 1343eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
136135adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1371, 2, 9, 17, 20, 106, 136climmulc2 13471 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 ) )
138 2cn 10627 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
139138, 11, 15divcli 10307 . . . . . 6  |-  ( 2  /  pi )  e.  CC
140139mulid1i 9615 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )  =  ( 2  /  pi )
141137, 140syl6breq 4495 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( 2  /  pi ) )
142 2ne0 10649 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
143138, 11, 142, 15divne0i 10313 . . . . 5  |-  ( 2  /  pi )  =/=  0
144143a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  /  pi )  =/=  0 )
145129, 121eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  CC )
146110, 111recne0d 10335 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =/=  0
)
147129, 146eqnetrd 2750 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0
)
148 elsni 4057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  {
0 }  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  0 )
149148necon3ai 2685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) `  j
)  e.  { 0 } )
150147, 149syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j )  e. 
{ 0 } )
151145, 150eldifd 3482 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
152151adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
153110, 111recrecd 10338 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) )
154124, 126, 127, 121fvmptd 5961 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
155154oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) )  =  ( 1  /  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
156 wallispi.2 . . . . . . 7  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
157107, 156, 99fvmpt3 5959 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
)
158153, 155, 1573eqtr4rd 2509 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j ) ) )
159158adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j ) ) )
16018mptex 6144 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  _V
161156, 160eqeltri 2541 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
162161a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  W  e.  _V )
1631, 2, 141, 144, 152, 159, 162climrec 31791 . . 3  |-  ( T. 
->  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) ) )
164163trud 1404 . 2  |-  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )
165 recdiv 10271 . . 3  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
166138, 142, 11, 15, 165mp4an 673 . 2  |-  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  /  2 )
167164, 166breqtri 4479 1  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1395   T. wtru 1396    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    \ cdif 3468   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   ...cfz 11697    seqcseq 12110   ^cexp 12169    ~~> cli 13319   sincsin 13811   picpi 13814   S.citg 22153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-ibl 22157  df-itg 22158  df-0p 22203  df-limc 22396  df-dv 22397
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