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Theorem wallispi 37815
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispi.2  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Distinct variable groups:    k, n    n, F
Allowed substitution hints:    F( k)    W( k, n)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables  j  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11145 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10919 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 wallispi.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
4 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x )  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
5 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( n  e. 
NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
6 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )
7 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) )
83, 4, 5, 6, 7wallispilem5 37814 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )  ~~>  1
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )  ~~>  1 )
10 2cnd 10633 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
11 picn 23356 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  pi  e.  CC )
13 pire 23355 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
14 pipos 23357 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
1513, 14gt0ne0ii 10101 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
1615a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  pi  =/=  0 )
1710, 12, 16divcld 10334 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 2  /  pi )  e.  CC )
18 nnex 10566 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
1918mptex 6095 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  _V
2019a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e. 
_V )
2111a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
2221halfcld 10808 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
23 elnnuz 11146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2423biimpi 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
253a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
26 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
2726oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
2826, 27oveq12d 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
2926oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
3026, 29oveq12d 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
3128, 30oveq12d 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  j )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )
33 elfznn 11779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  NN )
34 2cnd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
35 nncn 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
3634, 35mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  CC )
37 1cnd 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
3836, 37subcld 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  CC )
39 1red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
40 1t1e1 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4139, 39remulcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  e.  RR )
42 2re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
4443, 39remulcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
45 nnre 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
4643, 45remulcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
47 1rp 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR+
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
49 1lt2 10727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  2 )
5139, 43, 48, 50ltmul1dd 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 ) )
52 0le2 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  <_  2
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  2 )
54 nnge1 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
5539, 45, 43, 53, 54lemul2ad 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )
5641, 44, 46, 51, 55ltletrd 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) )
5740, 56syl5eqbrr 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  j
) )
5839, 57gtned 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =/=  1 )
5936, 37, 58subne0d 9946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  =/=  0 )
6036, 38, 59divcld 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  CC )
6136, 37addcld 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  CC )
62 0red 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
6346, 39readdcld 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
6448rpgt0d 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
65 2rp 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR+
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
67 nnrp 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
6866, 67rpmulcld 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
6939, 68ltaddrp2d 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7062, 39, 63, 64, 69lttrd 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7162, 70gtned 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
7236, 61, 71divcld 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  CC )
7360, 72mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7433, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7525, 32, 33, 74fvmptd 5914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
7665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR+ )
7733nnrpd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR+ )
7876, 77rpmulcld 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
7946, 39resubcld 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR )
80 1m1e0 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8139, 46, 39, 57ltsub1dd 10176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
8280, 81syl5eqbrr 4401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )
8379, 82elrpd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
8433, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
8578, 84rpdivcld 11309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  RR+ )
8642a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
8733nnred 10575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR )
8886, 87remulcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
8976rpge0d 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
9077rpge0d 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  j )
9186, 87, 89, 90mulge0d 10141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  ( 2  x.  j
) )
9288, 91ge0p1rpd 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
9378, 92rpdivcld 11309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
9485, 93rpmulcld 11308 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
9575, 94eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
9695adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
97 rpmulcl 11275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
j  x.  w )  e.  RR+ )
9897adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  ->  ( j  x.  w )  e.  RR+ )
9924, 96, 98seqcl 12183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  RR+ )
10099rpcnd 11294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
10199rpne0d 11297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =/=  0 )
102100, 101reccld 10327 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  CC )
10322, 102mulcld 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC )
1046, 103fmpti 6004 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) ) : NN --> CC
105104a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) : NN --> CC )
106105ffvelrnda 5981 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
107 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )
108107eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n )  e.  RR+  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
)
109108, 99vtoclga 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
110109rpcnd 11294 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  CC )
111109rpne0d 11297 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =/=  0 )
11237, 110, 111divrecd 10337 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
11311a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
11466rpne0d 11297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
11515a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
11634, 113, 114, 115divcan6d 10353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  1 )
117116eqcomd 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2
) ) )
118117oveq1d 6264 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
11934, 113, 115divcld 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
120113halfcld 10808 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
121110, 111reccld 10327 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
122119, 120, 121mulassd 9617 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) ) ) ) )
123112, 118, 1223eqtrd 2466 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) ) ) ) )
124 eqidd 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
125107oveq2d 6265 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
126125adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
127 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
128109rpreccld 11302 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  RR+ )
129124, 126, 127, 128fvmptd 5914 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
130 eqidd 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
131126oveq2d 6265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
132120, 121mulcld 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  e.  CC )
133130, 131, 127, 132fvmptd 5914 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
134133oveq2d 6265 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) ) )
135123, 129, 1343eqtr4d 2472 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
136135adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1371, 2, 9, 17, 20, 106, 136climmulc2 13643 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 ) )
138 2cn 10631 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
139138, 11, 15divcli 10300 . . . . . 6  |-  ( 2  /  pi )  e.  CC
140139mulid1i 9596 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )  =  ( 2  /  pi )
141137, 140syl6breq 4406 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( 2  /  pi ) )
142 2ne0 10653 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
143138, 11, 142, 15divne0i 10306 . . . . 5  |-  ( 2  /  pi )  =/=  0
144143a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  /  pi )  =/=  0 )
145129, 121eqeltrd 2506 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  CC )
146110, 111recne0d 10328 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =/=  0
)
147129, 146eqnetrd 2668 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0
)
148 elsni 3966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  {
0 }  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  0 )
149148necon3ai 2626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) `  j
)  e.  { 0 } )
150147, 149syl 17 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j )  e. 
{ 0 } )
151145, 150eldifd 3390 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
152151adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
153110, 111recrecd 10331 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) )
154124, 126, 127, 121fvmptd 5914 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
155154oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) )  =  ( 1  /  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
156 wallispi.2 . . . . . . 7  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
157107, 156, 99fvmpt3 5912 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
)
158153, 155, 1573eqtr4rd 2473 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j ) ) )
159158adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j ) ) )
16018mptex 6095 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  _V
161156, 160eqeltri 2502 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
162161a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  W  e.  _V )
1631, 2, 141, 144, 152, 159, 162climrec 37564 . . 3  |-  ( T. 
->  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) ) )
164163trud 1446 . 2  |-  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )
165 recdiv 10264 . . 3  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
166138, 142, 11, 15, 165mp4an 677 . 2  |-  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  /  2 )
167164, 166breqtri 4390 1  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1872    =/= wne 2599   _Vcvv 3022    \ cdif 3376   {csn 3941   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811    / cdiv 10220   NNcn 10560   2c2 10610   NN0cn0 10820   ZZ>=cuz 11110   RR+crp 11253   (,)cioo 11586   ...cfz 11735    seqcseq 12163   ^cexp 12222    ~~> cli 13491   sincsin 14059   picpi 14062   S.citg 22518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-ef 14064  df-sin 14066  df-cos 14067  df-pi 14069  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519  df-itg1 22520  df-itg2 22521  df-ibl 22522  df-itg 22523  df-0p 22570  df-limc 22763  df-dv 22764
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