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Theorem wallispi 29868
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispi.2  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Distinct variable groups:    k, n    n, F
Allowed substitution hints:    F( k)    W( k, n)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables  j  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10899 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10679 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
4 wallispi.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
5 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x )  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
6 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( n  e. 
NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
7 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )
8 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) )
94, 5, 6, 7, 8wallispilem5 29867 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) )  ~~>  1
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )  ~~>  1 )
11 2cnd 10397 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  2  e.  CC )
12 pire 21924 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
1312recni 9401 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  pi  e.  CC )
15 pipos 21926 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
1612, 15gt0ne0ii 9879 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  pi  =/=  0 )
1811, 14, 17divcld 10110 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 2  /  pi )  e.  CC )
19 nnex 10331 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2019mptex 5951 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  _V
2120a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e. 
_V )
2213a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
2322halfcld 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
24 elnnuz 10900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2524biimpi 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
264a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
27 oveq2 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
2827oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
2927, 28oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
3027oveq1d 6109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
3127, 30oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
3229, 31oveq12d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
3332adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  j )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )
34 elfznn 11481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  NN )
35 2cnd 10397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
36 nncn 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
3735, 36mulcld 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  CC )
38 ax-1cn 9343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
4037, 39subcld 9722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  CC )
41 1re 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
43 1t1e1 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4442, 42remulcld 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  e.  RR )
45 2re 10394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
4746, 42remulcld 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
48 nnre 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
4946, 48remulcld 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
50 1rp 10998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR+
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
52 1lt2 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  2 )
5442, 46, 51, 53ltmul1dd 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 ) )
55 0le2 10415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  <_  2
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  2 )
57 nnge1 10351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
5842, 48, 46, 56, 57lemul2ad 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )
5944, 47, 49, 54, 58ltletrd 9534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) )
6043, 59syl5eqbrr 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  j
) )
6142, 60gtned 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =/=  1 )
6237, 39, 61subne0d 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  =/=  0 )
6337, 40, 62divcld 10110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  CC )
6437, 39addcld 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  CC )
65 0re 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
6749, 42readdcld 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
6851rpgt0d 11033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
69 2rp 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR+
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
71 nnrp 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
7270, 71rpmulcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
7342, 72ltaddrp2d 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7466, 42, 67, 68, 73lttrd 9535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7566, 74gtned 9512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
7637, 64, 75divcld 10110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  CC )
7763, 76mulcld 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7834, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
7926, 33, 34, 78fvmptd 5782 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
8069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR+ )
8134nnrpd 11029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR+ )
8280, 81rpmulcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
8349, 42resubcld 9779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR )
84 1m1e0 10393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8542, 49, 42, 60ltsub1dd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
8684, 85syl5eqbrr 4329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )
8783, 86elrpd 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
8834, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
8982, 88rpdivcld 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  RR+ )
9045a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
9134nnred 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR )
9290, 91remulcld 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
9380rpge0d 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
9481rpge0d 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  j )
9590, 91, 93, 94mulge0d 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  ( 2  x.  j
) )
9692, 95ge0p1rpd 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
9782, 96rpdivcld 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
9889, 97rpmulcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
9979, 98eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
101 rpmulcl 11015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
j  x.  w )  e.  RR+ )
102101adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  ->  ( j  x.  w )  e.  RR+ )
10325, 100, 102seqcl 11829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  RR+ )
104103rpcnd 11032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
105103rpne0d 11035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =/=  0 )
106104, 105reccld 10103 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  CC )
10723, 106mulcld 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC )
1087, 107fmpti 5869 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) ) : NN --> CC
109108a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) : NN --> CC )
110109ffvelrnda 5846 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
111 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )
112111eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n )  e.  RR+  <->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
)
113112, 103vtoclga 3039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
114113rpcnd 11032 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  CC )
115113rpne0d 11035 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =/=  0 )
11639, 114, 115divrecd 10113 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
11713a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
11870rpne0d 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
11916a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
12035, 117, 118, 119divcan6d 10129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  1 )
121120eqcomd 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2
) ) )
122121oveq1d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
12335, 117, 119divcld 10110 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
124117halfcld 10572 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
125114, 115reccld 10103 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
126123, 124, 125mulassd 9412 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) ) ) ) )
127116, 122, 1263eqtrd 2479 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) ) ) ) )
128 eqidd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
129111oveq2d 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
130129adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
131 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
132113rpreccld 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  RR+ )
133128, 130, 131, 132fvmptd 5782 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
134 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
135130oveq2d 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
136124, 125mulcld 9409 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  e.  CC )
137134, 135, 131, 136fvmptd 5782 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
138137oveq2d 6110 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) ) )
139127, 133, 1383eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
140139adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1411, 3, 10, 18, 21, 110, 140climmulc2 13117 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 ) )
142 2cn 10395 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
143142, 13, 16divcli 10076 . . . . . 6  |-  ( 2  /  pi )  e.  CC
144143mulid1i 9391 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )  =  ( 2  /  pi )
145141, 144syl6breq 4334 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( 2  /  pi ) )
146 2ne0 10417 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
147142, 13, 146, 16divne0i 10082 . . . . 5  |-  ( 2  /  pi )  =/=  0
148147a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  /  pi )  =/=  0 )
149133, 125eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  CC )
150114, 115recne0d 10104 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =/=  0
)
151133, 150eqnetrd 2629 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0
)
152 elsni 3905 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  {
0 }  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  0 )
153152necon3ai 2654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) `  j
)  e.  { 0 } )
154151, 153syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j )  e. 
{ 0 } )
155149, 154eldifd 3342 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
156155adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
157114, 115recrecd 10107 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j ) )
158128, 130, 131, 125fvmptd 5782 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
159158oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) )  =  ( 1  /  (
1  /  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
160 wallispi.2 . . . . . . 7  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
161111, 160, 103fvmpt3 5780 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  (  seq 1
(  x.  ,  F
) `  j )
)
162157, 159, 1613eqtr4rd 2486 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j ) ) )
163162adantl 466 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n ) ) ) `
 j ) ) )
16419mptex 5951 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq 1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  _V
165160, 164eqeltri 2513 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
166165a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  W  e.  _V )
1671, 3, 145, 148, 156, 163, 166climrec 29779 . . 3  |-  ( T. 
->  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) ) )
168167trud 1378 . 2  |-  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )
169 recdiv 10040 . . 3  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
170142, 146, 13, 16, 169mp4an 673 . 2  |-  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  /  2 )
171168, 170breqtri 4318 1  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2609   _Vcvv 2975    \ cdif 3328   {csn 3880   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    < clt 9421    <_ cle 9422    - cmin 9598    / cdiv 9996   NNcn 10325   2c2 10374   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   RR+crp 10994   (,)cioo 11303   ...cfz 11440    seqcseq 11809   ^cexp 11868    ~~> cli 12965   sincsin 13352   picpi 13355   S.citg 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cc 8607  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-disj 4266  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-ofr 6324  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-omul 6928  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-acn 8115  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ioc 11308  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-mod 11712  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-shft 12559  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-limsup 12952  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-ef 13356  df-sin 13358  df-cos 13359  df-pi 13361  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-lp 18743  df-perf 18744  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-haus 18922  df-cmp 18993  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cncf 20457  df-ovol 20951  df-vol 20952  df-mbf 21102  df-itg1 21103  df-itg2 21104  df-ibl 21105  df-itg 21106  df-0p 21151  df-limc 21344  df-dv 21345
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