Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wallispi Unicode version

Theorem wallispi 27686
Description: Wallis' formula for π : Wallis' product converges to π / 2 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
wallispi.1  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
wallispi.2  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
Assertion
Ref Expression
wallispi  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Distinct variable groups:    k, n    n, F
Allowed substitution hints:    F( k)    W( k, n)

Proof of Theorem wallispi
Dummy variables  j  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10477 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10267 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 wallispi.1 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
5 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x )  =  ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x )
6 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( 2  x.  n ) )  / 
( ( n  e. 
NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x
) ^ n )  _d x ) `  ( 2  x.  n
) )  /  (
( n  e.  NN0  |->  S. ( 0 (,) pi ) ( ( sin `  x ) ^ n
)  _d x ) `
 ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
7 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )
8 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  /  ( 2  x.  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
( 2  x.  n
) ) )
94, 5, 6, 7, 8wallispilem5 27685 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) )  ~~>  1
109a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )  ~~>  1 )
11 2cn 10026 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  2  e.  CC )
13 pire 20325 . . . . . . . . 9  |-  pi  e.  RR
1413recni 9058 . . . . . . . 8  |-  pi  e.  CC
1514a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  pi  e.  CC )
16 pipos 20326 . . . . . . . . 9  |-  0  <  pi
1713, 16gt0ne0ii 9519 . . . . . . . 8  |-  pi  =/=  0
1817a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  pi  =/=  0 )
1912, 15, 18divcld 9746 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  e.  CC )
20 nnex 9962 . . . . . . . 8  |-  NN  e.  _V
2120mptex 5925 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  _V
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  e. 
_V )
2314a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
2423halfcld 10168 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
25 elnnuz 10478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625biimpi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  F  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
28 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  j ) )
2928oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
3028, 29oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  -  1 ) ) )
3128oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
3228, 31oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  j  ->  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
3330, 32oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  j  ->  (
( ( 2  x.  k )  /  (
( 2  x.  k
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  k )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
3433adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( 1 ... n )  /\  k  =  j )  ->  ( ( ( 2  x.  k )  / 
( ( 2  x.  k )  -  1 ) )  x.  (
( 2  x.  k
)  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )
35 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  NN )
3611a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  CC )
37 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
3836, 37mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  CC )
39 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  CC )
4138, 40subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  CC )
42 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  RR
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR )
44 1t1e1 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
4543, 43remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  e.  RR )
46 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  RR
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR )
4847, 43remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  e.  RR )
49 nnre 9963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
5047, 49remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
51 1rp 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  RR+
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  e.  RR+ )
53 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  2 )
5543, 47, 52, 54ltmul1dd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  1 ) )
56 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  RR
57 2pos 10038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  <  2
5856, 46, 57ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  <_  2
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <_  2 )
60 nnge1 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <_  j )
6143, 49, 47, 59, 60lemul2ad 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  j ) )
6245, 48, 50, 55, 61ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  1 )  <  ( 2  x.  j ) )
6344, 62syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( 2  x.  j
) )
6443, 63gtned 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  =/=  1 )
6538, 40, 64subne0d 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  =/=  0 )
6638, 41, 65divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  CC )
6738, 40addcld 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  CC )
6856a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  e.  RR )
6950, 43readdcld 9071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR )
7052rpgt0d 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  1 )
71 2rp 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  RR+
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
73 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR+ )
7472, 73rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
7543, 74ltaddrp2d 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  e.  NN  ->  1  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7668, 43, 69, 70, 75lttrd 9187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
7768, 76gtned 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  0 )
7838, 67, 77divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  CC )
7966, 78mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8035, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8127, 34, 35, 80fvmptd 5769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  =  ( ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) ) ) )
8271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR+ )
8335nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR+ )
8482, 83rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR+ )
8550, 43resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR )
86 1m1e0 10024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8743, 50, 43, 63ltsub1dd 9594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  -  1 )  <  ( ( 2  x.  j )  - 
1 ) )
8886, 87syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )
8985, 88elrpd 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
9035, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  -  1 )  e.  RR+ )
9184, 90rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  -  1 ) )  e.  RR+ )
9246a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  2  e.  RR )
9335nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  j  e.  RR )
9492, 93remulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
2  x.  j )  e.  RR )
9582rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  2 )
9683rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  j )
9792, 93, 95, 96mulge0d 9559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  0  <_  ( 2  x.  j
) )
9894, 97ge0p1rpd 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  RR+ )
9984, 98rpdivcld 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( 2  x.  j
)  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  e.  RR+ )
10091, 99rpmulcld 10620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  (
( ( 2  x.  j )  /  (
( 2  x.  j
)  -  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  j )  /  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
10181, 100eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( 1 ... n )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR+ )
103 rpmulcl 10589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
j  x.  w )  e.  RR+ )
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( j  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  ->  ( j  x.  w )  e.  RR+ )
10526, 102, 104seqcl 11298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  RR+ )
106105rpcnd 10606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
107105rpne0d 10609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =/=  0 )
108106, 107reccld 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  CC )
10924, 108mulcld 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) )  e.  CC )
1107, 109fmpti 5851 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) ) : NN --> CC
111110a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) : NN --> CC )
112111ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
113 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )
114113eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n )  e.  RR+ 
<->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j )  e.  RR+ ) )
115114, 105vtoclga 2977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  RR+ )
116115rpcnd 10606 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  e.  CC )
117115rpne0d 10609 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
)  =/=  0 )
11840, 116, 117divrecd 9749 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( 1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
11914a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  e.  CC )
12072rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
12117a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  pi  =/=  0 )
12236, 119, 120, 121divcan6d 9765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2 ) )  =  1 )
123122eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  1  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( pi  /  2
) ) )
124123oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) )
12536, 119, 121divcld 9746 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
2  /  pi )  e.  CC )
126119halfcld 10168 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
pi  /  2 )  e.  CC )
127116, 117reccld 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  CC )
128125, 126, 127mulassd 9067 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( 2  /  pi )  x.  (
pi  /  2 ) )  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
129118, 124, 1283eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
pi  /  2 )  x.  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 j ) ) ) ) )
130 eqidd 2405 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) )
131113oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
132131adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
133 id 20 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN )
134115rpreccld 10614 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  e.  RR+ )
135130, 132, 133, 134fvmptd 5769 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
136 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
137132oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  =  j )  ->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
138126, 127mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  e.  CC )
139136, 137, 133, 138fvmptd 5769 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) ) `
 j )  =  ( ( pi  / 
2 )  x.  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
140139oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  (
( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) ) ) )
141129, 135, 1403eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
142141adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( ( 2  /  pi )  x.  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( pi  /  2
)  x.  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1431, 3, 10, 19, 22, 112, 142climmulc2 12385 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( ( 2  /  pi )  x.  1 ) )
14411, 14, 17divcli 9712 . . . . . 6  |-  ( 2  /  pi )  e.  CC
145144mulid1i 9048 . . . . 5  |-  ( ( 2  /  pi )  x.  1 )  =  ( 2  /  pi )
146143, 145syl6breq 4211 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) )  ~~>  ( 2  /  pi ) )
147 2ne0 10039 . . . . . 6  |-  2  =/=  0
14811, 14, 147, 17divne0i 9718 . . . . 5  |-  ( 2  /  pi )  =/=  0
149148a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2  /  pi )  =/=  0 )
150135, 127eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  CC )
151116, 117recne0d 9740 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) )  =/=  0
)
152135, 151eqnetrd 2585 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0
)
153 elsni 3798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  {
0 }  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  0 )
154153necon3ai 2607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =/=  0  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  n )
) ) `  j
)  e.  { 0 } )
155152, 154syl 16 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  -.  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j )  e.  { 0 } )
156150, 155eldifd 3291 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
157156adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
158116, 117recrecd 9743 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( 1  /  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
) )  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j ) )
159130, 132, 133, 127fvmptd 5769 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j )  =  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) )
160159oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) ) ) `  j ) )  =  ( 1  /  (
1  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  j
) ) ) )
161 wallispi.2 . . . . . . 7  |-  W  =  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n ) )
162113, 161, 105fvmpt3 5767 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  j )
)
163158, 160, 1623eqtr4rd 2447 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
164163adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  j  e.  NN )  ->  ( W `  j )  =  ( 1  / 
( ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 n ) ) ) `  j ) ) )
16520mptex 5925 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  n
) )  e.  _V
166161, 165eqeltri 2474 . . . . 5  |-  W  e. 
_V
167166a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  W  e.  _V )
1681, 3, 146, 149, 157, 164, 167climrec 27596 . . 3  |-  (  T. 
->  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) ) )
169168trud 1329 . 2  |-  W  ~~>  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )
170 recdiv 9676 . . 3  |-  ( ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  /\  ( pi  e.  CC  /\  pi  =/=  0
) )  ->  (
1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
17111, 147, 14, 17, 170mp4an 655 . 2  |-  ( 1  /  ( 2  /  pi ) )  =  ( pi  /  2 )
172169, 171breqtri 4195 1  |-  W  ~~>  ( pi 
/  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   (,)cioo 10872   ...cfz 10999    seq cseq 11278   ^cexp 11337    ~~> cli 12233   sincsin 12621   picpi 12624   S.citg 19463
This theorem is referenced by:  wallispi2  27689
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707
  Copyright terms: Public domain W3C validator