Theorem vxveqv 14357

Description: A theorem about things which don't exist _V and (_V X. _V).

Assertion

Ref	Expression
vxveqv	|- (_V X. _V) =/= _V

Proof of Theorem vxveqv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 2695	. . . 4 |- ((_V X. _V) C. _V <-> ((_V X. _V) C_ _V /\ -. _V C_ (_V X. _V)))
2		ssv 2636	. . . 4 |- (_V X. _V) C_ _V
3		0ex 3446	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4		0nelxp 4066	. . . . . 6 |- -. (/) e. (_V X. _V)
5		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- (x = (/) -> (x e. _V <-> (/) e. _V))
6		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (x = (/) -> (x e. (_V X. _V) <-> (/) e. (_V X. _V)))
7	6	notbid 673	. . . . . . . 8 |- (x = (/) -> (-. x e. (_V X. _V) <-> -. (/) e. (_V X. _V)))
8	5, 7	anbi12d 690	. . . . . . 7 |- (x = (/) -> ((x e. _V /\ -. x e. (_V X. _V)) <-> ((/) e. _V /\ -. (/) e. (_V X. _V))))
9	3, 8	cla4ev 2371	. . . . . 6 |- (((/) e. _V /\ -. (/) e. (_V X. _V)) -> E.x(x e. _V /\ -. x e. (_V X. _V)))
10	3, 4, 9	mp2an 761	. . . . 5 |- E.x(x e. _V /\ -. x e. (_V X. _V))
11		nss 2670	. . . . 5 |- (-. _V C_ (_V X. _V) <-> E.x(x e. _V /\ -. x e. (_V X. _V)))
12	10, 11	mpbir 207	. . . 4 |- -. _V C_ (_V X. _V)
13	1, 2, 12	mpbir2an 800	. . 3 |- (_V X. _V) C. _V
14		pssv 2913	. . 3 |- ((_V X. _V) C. _V <-> -. (_V X. _V) = _V)
15	13, 14	mpbi 206	. 2 |- -. (_V X. _V) = _V
16		df-ne 2019	. 2 |- ((_V X. _V) =/= _V <-> -. (_V X. _V) = _V)
17	15, 16	mpbir 207	1 |- (_V X. _V) =/= _V

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   C. wpss 2594  (/)c0 2875   X. cxp 3984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-opab 3396  df-xp 4000

Copyright terms: Public domain