Table of ContentsTable of Contents Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem vtarsuelt 15272
Description: C belongs to the value of tar at a successor of A iff it is a part of tar at A, the powerset of an element or a part of an element of tar at A. CLASSES1 th. 13
Assertion
Ref Expression
vtarsuelt |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C e. ((tar` <.X, Y>.)` suc A) <-> ((C C_ ((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ E.z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ z \/ C = ~Pz))))
Distinct variable groups:   z,A   z,C   z,X   z,Y
Proof of Theorem vtarsuelt
StepHypRef Expression
1 vtarsu 15263 . . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc A) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))
21eleq2d 1964 . 2 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C e. ((tar` <.X, Y>.)` suc A) <-> C e. ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X))))
3 elin 2786 . . . 4 |- (C e. ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)) <-> (C e. (({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) /\ C e. (tarskiMap` X)))
43a1i 8 . . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C e. ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)) <-> (C e. (({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) /\ C e. (tarskiMap` X))))
5 elun 2741 . . . . 5 |- (C e. (({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) <-> (C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) \/ C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)))
65a1i 8 . . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C e. (({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) <-> (C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) \/ C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A))))
76anbi1d 679 . . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((C e. (({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> ((C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) \/ C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) /\ C e. (tarskiMap` X))))
8 andir 666 . . . . 5 |- (((C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) \/ C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> ((C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ (C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X))))
98a1i 8 . . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (((C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) \/ C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> ((C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ (C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)))))
10 elun 2741 . . . . . . 7 |- (C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) <-> (C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}))
1110a1i 8 . . . . . 6 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) <-> (C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv})))
1211anbi1d 679 . . . . 5 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> ((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X))))
1312orbi1d 677 . . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (((C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ (C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X))) <-> (((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ (C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)))))
14 elpwg 3038 . . . . . . . 8 |- (C e. (tarskiMap` X) -> (C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) <-> C C_ ((tar` <.X, Y>.)` A)))
1514a1i 8 . . . . . . 7 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C e. (tarskiMap` X) -> (C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) <-> C C_ ((tar` <.X, Y>.)` A))))
1615pm5.32rd 710 . . . . . 6 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> (C C_ ((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X))))
17 sseq1 2637 . . . . . . . . . . . 12 |- (u = C -> (u C_ v <-> C C_ v))
1817rexbidv 2124 . . . . . . . . . . 11 |- (u = C -> (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C C_ v))
1918elabg 2405 . . . . . . . . . 10 |- (C e. (tarskiMap` X) -> (C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C C_ v))
20 eqeq1 1890 . . . . . . . . . . . 12 |- (u = C -> (u = ~Pv <-> C = ~Pv))
2120rexbidv 2124 . . . . . . . . . . 11 |- (u = C -> (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C = ~Pv))
2221elabg 2405 . . . . . . . . . 10 |- (C e. (tarskiMap` X) -> (C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv} <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C = ~Pv))
2319, 22orbi12d 689 . . . . . . . . 9 |- (C e. (tarskiMap` X) -> ((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) <-> (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C C_ v \/ E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C = ~Pv)))
2423a1i 8 . . . . . . . 8 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C e. (tarskiMap` X) -> ((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) <-> (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C C_ v \/ E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C = ~Pv))))
2524pm5.32rd 710 . . . . . . 7 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> ((E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C C_ v \/ E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X))))
26 r19.43 2238 . . . . . . . . . 10 |- (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ v \/ C = ~Pv) <-> (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C C_ v \/ E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C = ~Pv))
2726bicomi 189 . . . . . . . . 9 |- ((E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C C_ v \/ E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C = ~Pv) <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ v \/ C = ~Pv))
2827a1i 8 . . . . . . . 8 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C C_ v \/ E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C = ~Pv) <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ v \/ C = ~Pv)))
2928anbi1d 679 . . . . . . 7 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (((E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C C_ v \/ E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ v \/ C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X))))
30 tartarmap 15265 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` A) C_ (tarskiMap` X))
3130sseld 2619 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (v e. ((tar` <.X, Y>.)` A) -> v e. (tarskiMap` X)))
3231imp 377 . . . . . . . . . . . 12 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> v e. (tarskiMap` X))
33 visset 2295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- v e. _V
3433elpw2 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (C e. ~Pv <-> C C_ v)
35 ssel 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (~Pv C_ (tarskiMap` X) -> (C e. ~Pv -> C e. (tarskiMap` X)))
3635com12 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (C e. ~Pv -> (~Pv C_ (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X)))
3734, 36sylbir 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (C C_ v -> (~Pv C_ (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X)))
38 subtsm 15267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((X e. B /\ v e. (tarskiMap` X)) -> ~Pv C_ (tarskiMap` X))
3937, 38syl5com 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((X e. B /\ v e. (tarskiMap` X)) -> (C C_ v -> C e. (tarskiMap` X)))
4039ex 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (X e. B -> (v e. (tarskiMap` X) -> (C C_ v -> C e. (tarskiMap` X))))
4140com23 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (X e. B -> (C C_ v -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X))))
4241a1d 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (X e. B -> (v e. ((tar` <.X, Y>.)` A) -> (C C_ v -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X)))))
43423ad2ant1 897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (v e. ((tar` <.X, Y>.)` A) -> (C C_ v -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X)))))
4443imp 377 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> (C C_ v -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X))))
4544com12 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (C C_ v -> (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X))))
46 eleq1 1957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (C = ~Pv -> (C e. (tarskiMap` X) <-> ~Pv e. (tarskiMap` X)))
4746imbi2d 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (C = ~Pv -> ((v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X)) <-> (v e. (tarskiMap` X) -> ~Pv e. (tarskiMap` X))))
48 pwtsm 15266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((X e. B /\ v e. (tarskiMap` X)) -> ~Pv e. (tarskiMap` X))
4948ex 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (X e. B -> (v e. (tarskiMap` X) -> ~Pv e. (tarskiMap` X)))
5047, 49syl5cbir 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (X e. B -> (C = ~Pv -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X))))
51503ad2ant1 897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C = ~Pv -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X))))
5251adantr 425 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> (C = ~Pv -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X))))
5352com12 14 . . . . . . . . . . . . . 14 |- (C = ~Pv -> (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X))))
5445, 53jaoi 368 . . . . . . . . . . . . 13 |- ((C C_ v \/ C = ~Pv) -> (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> (v e. (tarskiMap` X) -> C e. (tarskiMap` X))))
5554com13 37 . . . . . . . . . . . 12 |- (v e. (tarskiMap` X) -> (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ((C C_ v \/ C = ~Pv) -> C e. (tarskiMap` X))))
5632, 55mpcom 60 . . . . . . . . . . 11 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ((C C_ v \/ C = ~Pv) -> C e. (tarskiMap` X)))
57 pm4.71 697 . . . . . . . . . . 11 |- (((C C_ v \/ C = ~Pv) -> C e. (tarskiMap` X)) <-> ((C C_ v \/ C = ~Pv) <-> ((C C_ v \/ C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X))))
5856, 57sylib 215 . . . . . . . . . 10 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> ((C C_ v \/ C = ~Pv) <-> ((C C_ v \/ C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X))))
5958bicomd 580 . . . . . . . . 9 |- (((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) /\ v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)) -> (((C C_ v \/ C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> (C C_ v \/ C = ~Pv)))
6059rexbidva 2120 . . . . . . . 8 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)((C C_ v \/ C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ v \/ C = ~Pv)))
61 r19.41v 2236 . . . . . . . 8 |- (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)((C C_ v \/ C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ v \/ C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X)))
62 sseq2 2639 . . . . . . . . . 10 |- (v = z -> (C C_ v <-> C C_ z))
63 pweq 3036 . . . . . . . . . . 11 |- (v = z -> ~Pv = ~Pz)
6463eqeq2d 1895 . . . . . . . . . 10 |- (v = z -> (C = ~Pv <-> C = ~Pz))
6562, 64orbi12d 689 . . . . . . . . 9 |- (v = z -> ((C C_ v \/ C = ~Pv) <-> (C C_ z \/ C = ~Pz)))
6665cbvrexv 2281 . . . . . . . 8 |- (E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ v \/ C = ~Pv) <-> E.z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ z \/ C = ~Pz))
6760, 61, 663bitr3g 613 . . . . . . 7 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ v \/ C = ~Pv) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> E.z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ z \/ C = ~Pz)))
6825, 29, 673bitrd 603 . . . . . 6 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> E.z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ z \/ C = ~Pz)))
6916, 68orbi12d 689 . . . . 5 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (((C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ ((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X))) <-> ((C C_ ((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ E.z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ z \/ C = ~Pz))))
70 orcom 266 . . . . 5 |- ((((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ (C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X))) <-> ((C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ ((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X))))
7169, 70syl5bb 591 . . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((((C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} \/ C e. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ (C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X))) <-> ((C C_ ((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ E.z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ z \/ C = ~Pz))))
729, 13, 713bitrd 603 . . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (((C e. ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) \/ C e. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) /\ C e. (tarskiMap` X)) <-> ((C C_ ((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ E.z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ z \/ C = ~Pz))))
734, 7, 723bitrd 603 . 2 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C e. ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)) <-> ((C C_ ((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ E.z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ z \/ C = ~Pz))))
742, 73bitrd 587 1 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (C e. ((tar` <.X, Y>.)` suc A) <-> ((C C_ ((tar` <.X, Y>.)` A) /\ C e. (tarskiMap` X)) \/ E.z e. ((tar` <.X, Y>.)` A)(C C_ z \/ C = ~Pz))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  <.cop 3046  Oncon0 3657  suc csuc 3659  ` cfv 3998  tarskiMapctarskim 15209  tarctar 15258
This theorem is referenced by:  partarelt1 15273
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-groth 10131
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-tsk 15210  df-tskmp 15248  df-tar 15259
Copyright terms: Public domain