Theorem vtarsu 15263

Description: The parts and the powersets of the elements of tar(A) are elements of tar(suc A). As well as the parts of tar(A) when they are elements of the smallest Tarski's class of which X is an element. JFM CLASSES1 th. 11.

Assertion

Ref	Expression
vtarsu	|- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc A) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))

Distinct variable groups:   u,A   v,A   u,X   v,X   u,Y   v,Y

Proof of Theorem vtarsu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		valtar 15260	. . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On) -> (tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
2	1	3adant3 896	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
3	2	fveq1d 4683	. 2 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc A) = ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` suc A))
4		fvres 4691	. . 3 |- (suc A e. Y -> ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` suc A) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` suc A))
5	4	3ad2ant3 899	. 2 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` suc A) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` suc A))
6		ordsuccl2 14431	. . . . . 6 |- ((Y e. On /\ suc A e. Y) -> A e. Y)
7		onelon 3683	. . . . . 6 |- ((Y e. On /\ A e. Y) -> A e. On)
8	6, 7	syldan 516	. . . . 5 |- ((Y e. On /\ suc A e. Y) -> A e. On)
9	8	3adant1 894	. . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> A e. On)
10		rdgsuc 5153	. . . 4 |- (A e. On -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` suc A) = ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}` (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A)))
11	9, 10	syl 12	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` suc A) = ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}` (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A)))
12	6	3adant1 894	. . . . 5 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> A e. Y)
13		fvres 4691	. . . . . 6 |- (A e. Y -> ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A))
14	13	eqcomd 1889	. . . . 5 |- (A e. Y -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A) = ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A))
15	12, 14	syl 12	. . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A) = ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A))
16	15	fveq2d 4685	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}` (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A)) = ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}` ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A)))
17	1	eqcomd 1889	. . . . . . 7 |- ((X e. B /\ Y e. On) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) = (tar` <.X, Y>.))
18	17	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) = (tar` <.X, Y>.))
19	18	fveq1d 4683	. . . . 5 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A) = ((tar` <.X, Y>.)` A))
20	19	fveq2d 4685	. . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}` ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A)) = ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}` ((tar` <.X, Y>.)` A)))
21		rexeq 2267	. . . . . . . . . 10 |- (x = ((tar` <.X, Y>.)` A) -> (E.v e. x u C_ v <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v))
22	21	abbidv 2008	. . . . . . . . 9 |- (x = ((tar` <.X, Y>.)` A) -> {u | E.v e. x u C_ v} = {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v})
23		rexeq 2267	. . . . . . . . . 10 |- (x = ((tar` <.X, Y>.)` A) -> (E.v e. x u = ~Pv <-> E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv))
24	23	abbidv 2008	. . . . . . . . 9 |- (x = ((tar` <.X, Y>.)` A) -> {u | E.v e. x u = ~Pv} = {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv})
25	22, 24	uneq12d 2756	. . . . . . . 8 |- (x = ((tar` <.X, Y>.)` A) -> ({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) = ({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}))
26		pweq 3036	. . . . . . . 8 |- (x = ((tar` <.X, Y>.)` A) -> ~Px = ~P((tar` <.X, Y>.)` A))
27	25, 26	uneq12d 2756	. . . . . . 7 |- (x = ((tar` <.X, Y>.)` A) -> (({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) = (({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)))
28	27	ineq1d 2795	. . . . . 6 |- (x = ((tar` <.X, Y>.)` A) -> ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X)) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))
29	28	fvopabg 4748	. . . . 5 |- ((((tar` <.X, Y>.)` A) e. _V /\ ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)) e. _V) -> ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}` ((tar` <.X, Y>.)` A)) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))
30		fvex 4689	. . . . 5 |- ((tar` <.X, Y>.)` A) e. _V
31		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (tarskiMap` X) e. _V
32	31	inex2 3453	. . . . . 6 |- ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)) e. _V
33	32	a1i 8	. . . . 5 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)) e. _V)
34	29, 30, 33	sylancr 526	. . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}` ((tar` <.X, Y>.)` A)) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))
35	20, 34	eqtrd 1925	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}` ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A)) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))
36	11, 16, 35	3eqtrd 1929	. 2 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` suc A) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))
37	3, 5, 36	3eqtrd 1929	1 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ suc A e. Y) -> ((tar` <.X, Y>.)` suc A) = ((({u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u C_ v} u. {u | E.v e. ((tar` <.X, Y>.)` A)u = ~Pv}) u. ~P((tar` <.X, Y>.)` A)) i^i (tarskiMap` X)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044  <.cop 3046  {copab 3395  Oncon0 3657  suc csuc 3659   |` cres 3988  ` cfv 3998  reccrdg 5139  tarskiMapctarskim 15209  tarctar 15258

This theorem is referenced by:  tartarmap 15265  vtarsuelt 15272  partarelt2 15274

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-tar 15259

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