Theorem vtarl 15264

Description: The value of tar at a limit ordinal. JFM CLASSES1 th. 12.

Assertion

Ref	Expression
vtarl	|- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> ((tar` <.X, Y>.)` A) = U.((tar` <.X, Y>.)"A))

Proof of Theorem vtarl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		valtar 15260	. . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On) -> (tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
2	1	fveq1d 4683	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On) -> ((tar` <.X, Y>.)` A) = ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A))
3	2	3adant3 896	. 2 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> ((tar` <.X, Y>.)` A) = ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A))
4		simp3l 904	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> A e. Y)
5		fvres 4691	. . 3 |- (A e. Y -> ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A))
6	4, 5	syl 12	. 2 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)` A) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A))
7		rdglim 5156	. . . 4 |- ((A e. Y /\ Lim A) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A) = U.(rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})"A))
8	7	3ad2ant3 899	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A) = U.(rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})"A))
9		eloni 3667	. . . . . . 7 |- (Y e. On -> Ord Y)
10	9	3ad2ant2 898	. . . . . 6 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> Ord Y)
11		imresord 14427	. . . . . 6 |- ((Ord Y /\ A e. Y) -> ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)"A) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})"A))
12	10, 4, 11	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)"A) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})"A))
13	1	3adant3 896	. . . . . . 7 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> (tar` <.X, Y>.) = (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y))
14	13	eqcomd 1889	. . . . . 6 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y) = (tar` <.X, Y>.))
15	14	imaeq1d 4263	. . . . 5 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> ((rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X}) |` Y)"A) = ((tar` <.X, Y>.)"A))
16	12, 15	eqtr3d 1927	. . . 4 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})"A) = ((tar` <.X, Y>.)"A))
17	16	unieqd 3188	. . 3 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> U.(rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})"A) = U.((tar` <.X, Y>.)"A))
18	8, 17	eqtrd 1925	. 2 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> (rec({<.x, y>. | y = ((({u | E.v e. x u C_ v} u. {u | E.v e. x u = ~Pv}) u. ~Px) i^i (tarskiMap` X))}, {X})` A) = U.((tar` <.X, Y>.)"A))
19	3, 6, 18	3eqtrd 1929	1 |- ((X e. B /\ Y e. On /\ (A e. Y /\ Lim A)) -> ((tar` <.X, Y>.)` A) = U.((tar` <.X, Y>.)"A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  ~Pcpw 3032  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177  {copab 3395  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658   |` cres 3988  "cima 3989  ` cfv 3998  reccrdg 5139  tarskiMapctarskim 15209  tarctar 15258

This theorem is referenced by:  tartarmap 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-tar 15259

Copyright terms: Public domain