Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vsfval Structured version   Unicode version

Theorem vsfval 24158
 Description: Value of the function for the vector subtraction operation on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
vsfval.2
vsfval.3
Assertion
Ref Expression
vsfval

Proof of Theorem vsfval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-vs 24122 . . . . 5
21fveq1i 5793 . . . 4
3 fo1st 6699 . . . . . . . 8
4 fof 5721 . . . . . . . 8
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7
6 fco 5669 . . . . . . 7
75, 5, 6mp2an 672 . . . . . 6
8 df-va 24118 . . . . . . 7
98feq1i 5652 . . . . . 6
107, 9mpbir 209 . . . . 5
11 fvco3 5870 . . . . 5
1210, 11mpan 670 . . . 4
132, 12syl5eq 2504 . . 3
14 0ngrp 23843 . . . . . 6
15 vex 3074 . . . . . . . . . 10
1615rnex 6615 . . . . . . . . 9
1716, 16mpt2ex 6753 . . . . . . . 8
18 df-gdiv 23826 . . . . . . . 8
1917, 18dmmpti 5641 . . . . . . 7
2019eleq2i 2529 . . . . . 6
2114, 20mtbir 299 . . . . 5
22 ndmfv 5816 . . . . 5
2321, 22mp1i 12 . . . 4
24 fvprc 5786 . . . . 5
2524fveq2d 5796 . . . 4
26 fvprc 5786 . . . 4
2723, 25, 263eqtr4rd 2503 . . 3
2813, 27pm2.61i 164 . 2
29 vsfval.3 . 2
30 vsfval.2 . . 3
3130fveq2i 5795 . 2
3228, 29, 313eqtr4i 2490 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wceq 1370   wcel 1758  cvv 3071  c0 3738   cdm 4941   crn 4942   ccom 4945  wf 5515  wfo 5517  cfv 5519  (class class class)co 6193   cmpt2 6195  c1st 6678  cgr 23818  cgn 23820   cgs 23821  cpv 24108  cnsb 24112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-grpo 23823  df-gdiv 23826  df-va 24118  df-vs 24122 This theorem is referenced by:  nvm  24166  nvmfval  24169  nvnnncan1  24173  nvnnncan2  24174  nvaddsubass  24183  nvaddsub  24184  nvmtri2  24205
 Copyright terms: Public domain W3C validator