MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrmdfval Structured version   Unicode version

Theorem vrmdfval 15516
Description: The canonical injection from the generating set  I to the base set of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
vrmdfval.u  |-  U  =  (varFMnd `  I )
Assertion
Ref Expression
vrmdfval  |-  ( I  e.  V  ->  U  =  ( j  e.  I  |->  <" j "> ) )
Distinct variable groups:    j, I    j, V
Allowed substitution hint:    U( j)

Proof of Theorem vrmdfval
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vrmdfval.u . 2  |-  U  =  (varFMnd `  I )
2 elex 2973 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
3 s1cl 12279 . . . . . 6  |-  ( j  e.  I  ->  <" j ">  e. Word  I )
43adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  <" j ">  e. Word  I )
5 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( j  e.  I  |->  <" j "> )  =  ( j  e.  I  |->  <" j "> )
64, 5fmptd 5857 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
j  e.  I  |->  <" j "> ) : I -->Word  I )
7 wrdexg 12230 . . . 4  |-  ( I  e.  V  -> Word  I  e. 
_V )
8 fex2 6523 . . . 4  |-  ( ( ( j  e.  I  |-> 
<" j "> ) : I -->Word  I  /\  I  e.  _V  /\ Word  I  e. 
_V )  ->  (
j  e.  I  |->  <" j "> )  e.  _V )
96, 2, 7, 8syl3anc 1213 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
j  e.  I  |->  <" j "> )  e.  _V )
10 mpteq1 4362 . . . 4  |-  ( i  =  I  ->  (
j  e.  i  |->  <" j "> )  =  ( j  e.  I  |->  <" j "> ) )
11 df-vrmd 15510 . . . 4  |- varFMnd  =  ( i  e. 
_V  |->  ( j  e.  i  |->  <" j "> ) )
1210, 11fvmptg 5762 . . 3  |-  ( ( I  e.  _V  /\  ( j  e.  I  |-> 
<" j "> )  e.  _V )  ->  (varFMnd `  I )  =  ( j  e.  I  |->  <" j "> ) )
132, 9, 12syl2anc 656 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (varFMnd `  I
)  =  ( j  e.  I  |->  <" j "> ) )
141, 13syl5eq 2479 1  |-  ( I  e.  V  ->  U  =  ( j  e.  I  |->  <" j "> ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1757   _Vcvv 2964    e. cmpt 4340   -->wf 5404   ` cfv 5408  Word cword 12207   <"cs1 12210  varFMndcvrmd 15508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-oadd 6914  df-er 7091  df-map 7206  df-pm 7207  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-nn 10313  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-word 12215  df-s1 12218  df-vrmd 15510
This theorem is referenced by:  vrmdval  15517  vrmdf  15518  frgpup3lem  16256
  Copyright terms: Public domain W3C validator