MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpinv Structured version   Unicode version

Theorem vrgpinv 16590
Description: The inverse of a generating element is represented by  <. A ,  1 >. instead of  <. A ,  0
>.. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
vrgpfval.u  |-  U  =  (varFGrp `  I )
vrgpf.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
vrgpinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
vrgpinv  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  [ <"
<. A ,  1o >. "> ]  .~  )

Proof of Theorem vrgpinv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vrgpfval.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 vrgpfval.u . . . 4  |-  U  =  (varFGrp `  I )
31, 2vrgpval 16588 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( U `  A
)  =  [ <"
<. A ,  (/) >. "> ]  .~  )
43fveq2d 5869 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  ( N `
 [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  ) )
5 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  I )
6 0ex 4577 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
76prid1 4135 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
8 df2o3 7143 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
97, 8eleqtrri 2554 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
10 opelxpi 5030 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  ->  <. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
115, 9, 10sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  -> 
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
1211s1cld 12577 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  I  e.  V )
14 2on 7138 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
15 xpexg 6710 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
17 wrdexg 12522 . . . . 5  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
18 fvi 5923 . . . . 5  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1916, 17, 183syl 20 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
2012, 19eleqtrrd 2558 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
21 eqid 2467 . . . 4  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
22 vrgpf.m . . . 4  |-  G  =  (freeGrp `  I )
23 vrgpinv.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
24 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )
2521, 22, 1, 23, 24frgpinv 16585 . . 3  |-  ( <" <. A ,  (/) >. ">  e.  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  ->  ( N `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  [ (
( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> ) ) ]  .~  )
2620, 25syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  [ ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  o.  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )
) ]  .~  )
27 revs1 12701 . . . . . 6  |-  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> )  =  <" <. A ,  (/) >. ">
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" <. A ,  (/)
>. "> )
2928coeq2d 5164 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  (reverse ` 
<" <. A ,  (/) >. "> ) )  =  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )
)
3024efgmf 16534 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o )
31 s1co 12761 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o )  /\  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. ) : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o ) )  ->  ( (
x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) "> )
3211, 30, 31sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) "> )
3324efgmval 16533 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) (/) )  =  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.
)
345, 9, 33sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) (/) )  =  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.
)
35 df-ov 6286 . . . . . 6  |-  ( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) (/) )  =  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. )
36 dif0 3897 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
3736opeq2i 4217 . . . . . 6  |-  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.  =  <. A ,  1o >.
3834, 35, 373eqtr3g 2531 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. ) `  <. A ,  (/)
>. )  =  <. A ,  1o >. )
3938s1eqd 12575 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) ">  =  <" <. A ,  1o >. "> )
4029, 32, 393eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  (reverse ` 
<" <. A ,  (/) >. "> ) )  = 
<" <. A ,  1o >. "> )
4140eceq1d 7348 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  [ ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  o.  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )
) ]  .~  =  [ <" <. A ,  1o >. "> ]  .~  )
424, 26, 413eqtrd 2512 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  [ <"
<. A ,  1o >. "> ]  .~  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   (/)c0 3785   {cpr 4029   <.cop 4033    _I cid 4790   Oncon0 4878    X. cxp 4997    o. ccom 5003   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    |-> cmpt2 6285   1oc1o 7123   2oc2o 7124   [cec 7309  Word cword 12499   <"cs1 12502  reversecreverse 12505   invgcminusg 15727   ~FG cefg 16527  freeGrpcfrgp 16528  varFGrpcvrgp 16529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-hash 12373  df-word 12507  df-concat 12509  df-s1 12510  df-substr 12511  df-splice 12512  df-reverse 12513  df-s2 12775  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-sca 14570  df-vsca 14571  df-ip 14572  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-0g 14696  df-imas 14762  df-divs 14763  df-mnd 15731  df-frmd 15846  df-grp 15864  df-minusg 15865  df-efg 16530  df-frgp 16531  df-vrgp 16532
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  16598
  Copyright terms: Public domain W3C validator