MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpinv Structured version   Unicode version

Theorem vrgpinv 16259
Description: The inverse of a generating element is represented by  <. A ,  1 >. instead of  <. A ,  0
>.. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
vrgpfval.u  |-  U  =  (varFGrp `  I )
vrgpf.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
vrgpinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
vrgpinv  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  [ <"
<. A ,  1o >. "> ]  .~  )

Proof of Theorem vrgpinv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vrgpfval.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 vrgpfval.u . . . 4  |-  U  =  (varFGrp `  I )
31, 2vrgpval 16257 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( U `  A
)  =  [ <"
<. A ,  (/) >. "> ]  .~  )
43fveq2d 5692 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  ( N `
 [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  ) )
5 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  I )
6 0ex 4419 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
76prid1 3980 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
8 df2o3 6929 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
97, 8eleqtrri 2514 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
10 opelxpi 4867 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  ->  <. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
115, 9, 10sylancl 657 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  -> 
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
1211s1cld 12290 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )
13 simpl 454 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  I  e.  V )
14 2on 6924 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
15 xpexg 6506 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
1613, 14, 15sylancl 657 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
17 wrdexg 12240 . . . . 5  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
18 fvi 5745 . . . . 5  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1916, 17, 183syl 20 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
2012, 19eleqtrrd 2518 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
21 eqid 2441 . . . 4  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
22 vrgpf.m . . . 4  |-  G  =  (freeGrp `  I )
23 vrgpinv.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
24 eqid 2441 . . . 4  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )
2521, 22, 1, 23, 24frgpinv 16254 . . 3  |-  ( <" <. A ,  (/) >. ">  e.  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  ->  ( N `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  [ (
( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> ) ) ]  .~  )
2620, 25syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  [ ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  o.  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )
) ]  .~  )
27 revs1 12401 . . . . . 6  |-  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> )  =  <" <. A ,  (/) >. ">
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" <. A ,  (/)
>. "> )
2928coeq2d 4998 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  (reverse ` 
<" <. A ,  (/) >. "> ) )  =  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )
)
3024efgmf 16203 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o )
31 s1co 12457 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o )  /\  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. ) : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o ) )  ->  ( (
x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) "> )
3211, 30, 31sylancl 657 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) "> )
3324efgmval 16202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) (/) )  =  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.
)
345, 9, 33sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) (/) )  =  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.
)
35 df-ov 6093 . . . . . 6  |-  ( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) (/) )  =  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. )
36 dif0 3746 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
3736opeq2i 4060 . . . . . 6  |-  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.  =  <. A ,  1o >.
3834, 35, 373eqtr3g 2496 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. ) `  <. A ,  (/)
>. )  =  <. A ,  1o >. )
3938s1eqd 12288 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) ">  =  <" <. A ,  1o >. "> )
4029, 32, 393eqtrd 2477 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  (reverse ` 
<" <. A ,  (/) >. "> ) )  = 
<" <. A ,  1o >. "> )
41 eceq1 7133 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> ) )  =  <"
<. A ,  1o >. ">  ->  [ (
( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> ) ) ]  .~  =  [ <" <. A ,  1o >. "> ]  .~  )
4240, 41syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  [ ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  o.  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )
) ]  .~  =  [ <" <. A ,  1o >. "> ]  .~  )
434, 26, 423eqtrd 2477 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  [ <"
<. A ,  1o >. "> ]  .~  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    \ cdif 3322   (/)c0 3634   {cpr 3876   <.cop 3880    _I cid 4627   Oncon0 4715    X. cxp 4834    o. ccom 4840   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   1oc1o 6909   2oc2o 6910   [cec 7095  Word cword 12217   <"cs1 12220  reversecreverse 12223   invgcminusg 15407   ~FG cefg 16196  freeGrpcfrgp 16197  varFGrpcvrgp 16198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-ot 3883  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-word 12225  df-concat 12227  df-s1 12228  df-substr 12229  df-splice 12230  df-reverse 12231  df-s2 12471  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-0g 14376  df-imas 14442  df-divs 14443  df-mnd 15411  df-frmd 15520  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-efg 16199  df-frgp 16200  df-vrgp 16201
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  16267
  Copyright terms: Public domain W3C validator