MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpinv Unicode version

Theorem vrgpinv 15356
Description: The inverse of a generating element is represented by  <. A ,  1 >. instead of  <. A ,  0
>.. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
vrgpfval.u  |-  U  =  (varFGrp `  I )
vrgpf.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
vrgpinv.n  |-  N  =  ( inv g `  G )
Assertion
Ref Expression
vrgpinv  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  [ <"
<. A ,  1o >. "> ]  .~  )

Proof of Theorem vrgpinv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vrgpfval.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 vrgpfval.u . . . 4  |-  U  =  (varFGrp `  I )
31, 2vrgpval 15354 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( U `  A
)  =  [ <"
<. A ,  (/) >. "> ]  .~  )
43fveq2d 5691 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  ( N `
 [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  ) )
5 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  I )
6 0ex 4299 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
76prid1 3872 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
8 df2o3 6696 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
97, 8eleqtrri 2477 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
10 opelxpi 4869 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  ->  <. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
115, 9, 10sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  -> 
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
1211s1cld 11711 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )
13 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  I  e.  V )
14 2on 6691 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
15 xpexg 4948 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
1613, 14, 15sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
17 wrdexg 11694 . . . . 5  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
18 fvi 5742 . . . . 5  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1916, 17, 183syl 19 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
2012, 19eleqtrrd 2481 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
21 eqid 2404 . . . 4  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
22 vrgpf.m . . . 4  |-  G  =  (freeGrp `  I )
23 vrgpinv.n . . . 4  |-  N  =  ( inv g `  G )
24 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )
2521, 22, 1, 23, 24frgpinv 15351 . . 3  |-  ( <" <. A ,  (/) >. ">  e.  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  ->  ( N `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  [ (
( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> ) ) ]  .~  )
2620, 25syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  [ ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  o.  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )
) ]  .~  )
27 revs1 11752 . . . . . 6  |-  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> )  =  <" <. A ,  (/) >. ">
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" <. A ,  (/)
>. "> )
2928coeq2d 4994 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  (reverse ` 
<" <. A ,  (/) >. "> ) )  =  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )
)
3024efgmf 15300 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o )
31 s1co 11757 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o )  /\  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. ) : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o ) )  ->  ( (
x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) "> )
3211, 30, 31sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) "> )
3324efgmval 15299 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) (/) )  =  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.
)
345, 9, 33sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) (/) )  =  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.
)
35 df-ov 6043 . . . . . 6  |-  ( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) (/) )  =  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. )
36 dif0 3658 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
3736opeq2i 3948 . . . . . 6  |-  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.  =  <. A ,  1o >.
3834, 35, 373eqtr3g 2459 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. ) `  <. A ,  (/)
>. )  =  <. A ,  1o >. )
3938s1eqd 11709 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) ">  =  <" <. A ,  1o >. "> )
4029, 32, 393eqtrd 2440 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  (reverse ` 
<" <. A ,  (/) >. "> ) )  = 
<" <. A ,  1o >. "> )
41 eceq1 6900 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> ) )  =  <"
<. A ,  1o >. ">  ->  [ (
( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> ) ) ]  .~  =  [ <" <. A ,  1o >. "> ]  .~  )
4240, 41syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  [ ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  o.  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )
) ]  .~  =  [ <" <. A ,  1o >. "> ]  .~  )
434, 26, 423eqtrd 2440 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  [ <"
<. A ,  1o >. "> ]  .~  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   (/)c0 3588   {cpr 3775   <.cop 3777    _I cid 4453   Oncon0 4541    X. cxp 4835    o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   1oc1o 6676   2oc2o 6677   [cec 6862  Word cword 11672   <"cs1 11674  reversecreverse 11677   inv gcminusg 14641   ~FG cefg 15293  freeGrpcfrgp 15294  varFGrpcvrgp 15295
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  15364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-hash 11574  df-word 11678  df-concat 11679  df-s1 11680  df-substr 11681  df-splice 11682  df-reverse 11683  df-s2 11767  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-frmd 14749  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-efg 15296  df-frgp 15297  df-vrgp 15298
  Copyright terms: Public domain W3C validator