MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpinv Structured version   Unicode version

Theorem vrgpinv 16986
Description: The inverse of a generating element is represented by  <. A ,  1 >. instead of  <. A ,  0
>.. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
vrgpfval.u  |-  U  =  (varFGrp `  I )
vrgpf.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
vrgpinv.n  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
vrgpinv  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  [ <"
<. A ,  1o >. "> ]  .~  )

Proof of Theorem vrgpinv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vrgpfval.r . . . 4  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
2 vrgpfval.u . . . 4  |-  U  =  (varFGrp `  I )
31, 2vrgpval 16984 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( U `  A
)  =  [ <"
<. A ,  (/) >. "> ]  .~  )
43fveq2d 5852 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  ( N `
 [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  ) )
5 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  A  e.  I )
6 0ex 4569 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  _V
76prid1 4124 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
8 df2o3 7135 . . . . . . 7  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
97, 8eleqtrri 2541 . . . . . 6  |-  (/)  e.  2o
10 opelxpi 5020 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  ->  <. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
115, 9, 10sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  -> 
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
1211s1cld 12604 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e. Word  (
I  X.  2o ) )
13 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  I  e.  V )
14 2on 7130 . . . . . 6  |-  2o  e.  On
15 xpexg 6575 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
1613, 14, 15sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
17 wrdexg 12544 . . . . 5  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
18 fvi 5905 . . . . 5  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1916, 17, 183syl 20 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
2012, 19eleqtrrd 2545 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" <. A ,  (/)
>. ">  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
21 eqid 2454 . . . 4  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
22 vrgpf.m . . . 4  |-  G  =  (freeGrp `  I )
23 vrgpinv.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
24 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )
2521, 22, 1, 23, 24frgpinv 16981 . . 3  |-  ( <" <. A ,  (/) >. ">  e.  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  ->  ( N `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  [ (
( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> ) ) ]  .~  )
2620, 25syl 16 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  [ <" <. A ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  [ ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  o.  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )
) ]  .~  )
27 revs1 12730 . . . . . 6  |-  (reverse `  <"
<. A ,  (/) >. "> )  =  <" <. A ,  (/) >. ">
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" <. A ,  (/)
>. "> )
2928coeq2d 5154 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  (reverse ` 
<" <. A ,  (/) >. "> ) )  =  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )
)
3024efgmf 16930 . . . . 5  |-  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o )
31 s1co 12790 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o )  /\  ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. ) : ( I  X.  2o ) --> ( I  X.  2o ) )  ->  ( (
x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
)  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) "> )
3211, 30, 31sylancl 660 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  <" <. A ,  (/) >. "> )  =  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) "> )
3324efgmval 16929 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  -> 
( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) (/) )  =  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.
)
345, 9, 33sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. ) (/) )  =  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.
)
35 df-ov 6273 . . . . . 6  |-  ( A ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) (/) )  =  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. )
36 dif0 3886 . . . . . . 7  |-  ( 1o 
\  (/) )  =  1o
3736opeq2i 4207 . . . . . 6  |-  <. A , 
( 1o  \  (/) ) >.  =  <. A ,  1o >.
3834, 35, 373eqtr3g 2518 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. ) `  <. A ,  (/)
>. )  =  <. A ,  1o >. )
3938s1eqd 12602 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  <" ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <.
x ,  ( 1o 
\  y ) >.
) `  <. A ,  (/)
>. ) ">  =  <" <. A ,  1o >. "> )
4029, 32, 393eqtrd 2499 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \  y )
>. )  o.  (reverse ` 
<" <. A ,  (/) >. "> ) )  = 
<" <. A ,  1o >. "> )
4140eceq1d 7340 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  [ ( ( x  e.  I ,  y  e.  2o  |->  <. x ,  ( 1o  \ 
y ) >. )  o.  (reverse `  <" <. A ,  (/) >. "> )
) ]  .~  =  [ <" <. A ,  1o >. "> ]  .~  )
424, 26, 413eqtrd 2499 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  A  e.  I )  ->  ( N `  ( U `  A )
)  =  [ <"
<. A ,  1o >. "> ]  .~  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458   (/)c0 3783   {cpr 4018   <.cop 4022    _I cid 4779   Oncon0 4867    X. cxp 4986    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   1oc1o 7115   2oc2o 7116   [cec 7301  Word cword 12518   <"cs1 12521  reversecreverse 12524   invgcminusg 16253   ~FG cefg 16923  freeGrpcfrgp 16924  varFGrpcvrgp 16925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-ot 4025  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-lsw 12527  df-concat 12528  df-s1 12529  df-substr 12530  df-splice 12531  df-reverse 12532  df-s2 12804  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-0g 14931  df-imas 14997  df-qus 14998  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-frmd 16216  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-efg 16926  df-frgp 16927  df-vrgp 16928
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  16994
  Copyright terms: Public domain W3C validator