MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpf Unicode version

Theorem vrgpf 15355
Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
vrgpfval.u  |-  U  =  (varFGrp `  I )
vrgpf.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
vrgpf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
vrgpf  |-  ( I  e.  V  ->  U : I --> X )

Proof of Theorem vrgpf
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4299 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
21prid1 3872 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
3 df2o3 6696 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
42, 3eleqtrri 2477 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  2o
5 opelxpi 4869 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  ->  <. j ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
64, 5mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  I  ->  <. j ,  (/) >.  e.  (
I  X.  2o ) )
76adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  -> 
<. j ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
87s1cld 11711 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  <" <. j ,  (/) >. ">  e. Word  ( I  X.  2o ) )
9 2on 6691 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  On
10 xpexg 4948 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
119, 10mpan2 653 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
I  X.  2o )  e.  _V )
1211adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
13 wrdexg 11694 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
14 fvi 5742 . . . . . 6  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1512, 13, 143syl 19 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
168, 15eleqtrrd 2481 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  <" <. j ,  (/) >. ">  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
17 vrgpf.m . . . . 5  |-  G  =  (freeGrp `  I )
18 vrgpfval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
19 eqid 2404 . . . . 5  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
20 vrgpf.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2117, 18, 19, 20frgpeccl 15348 . . . 4  |-  ( <" <. j ,  (/) >. ">  e.  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  ->  [ <"
<. j ,  (/) >. "> ]  .~  e.  X )
2216, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  [ <" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  e.  X )
23 eqid 2404 . . 3  |-  ( j  e.  I  |->  [ <"
<. j ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  ( j  e.  I  |->  [
<" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  )
2422, 23fmptd 5852 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
j  e.  I  |->  [
<" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  ) : I --> X )
25 vrgpfval.u . . . 4  |-  U  =  (varFGrp `  I )
2618, 25vrgpfval 15353 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  U  =  ( j  e.  I  |->  [ <" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  ) )
2726feq1d 5539 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( U : I --> X  <->  ( j  e.  I  |->  [ <"
<. j ,  (/) >. "> ]  .~  ) : I --> X ) )
2824, 27mpbird 224 1  |-  ( I  e.  V  ->  U : I --> X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   {cpr 3775   <.cop 3777    e. cmpt 4226    _I cid 4453   Oncon0 4541    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413   1oc1o 6676   2oc2o 6677   [cec 6862  Word cword 11672   <"cs1 11674   Basecbs 13424   ~FG cefg 15293  freeGrpcfrgp 15294  varFGrpcvrgp 15295
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  15364  frgpup3  15365  0frgp  15366  frgpnabllem2  15440  frgpnabl  15441  frgpcyg  16809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-word 11678  df-s1 11680  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-imas 13689  df-divs 13690  df-frmd 14749  df-frgp 15297  df-vrgp 15298
  Copyright terms: Public domain W3C validator