MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpf Structured version   Unicode version

Theorem vrgpf 16258
Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
vrgpfval.u  |-  U  =  (varFGrp `  I )
vrgpf.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
vrgpf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
vrgpf  |-  ( I  e.  V  ->  U : I --> X )

Proof of Theorem vrgpf
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4419 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
21prid1 3980 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
3 df2o3 6929 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
42, 3eleqtrri 2514 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  2o
5 opelxpi 4867 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  ->  <. j ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
64, 5mpan2 666 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  I  ->  <. j ,  (/) >.  e.  (
I  X.  2o ) )
76adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  -> 
<. j ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
87s1cld 12290 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  <" <. j ,  (/) >. ">  e. Word  ( I  X.  2o ) )
9 2on 6924 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  On
10 xpexg 6506 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
119, 10mpan2 666 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
I  X.  2o )  e.  _V )
1211adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
13 wrdexg 12240 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
14 fvi 5745 . . . . . 6  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1512, 13, 143syl 20 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
168, 15eleqtrrd 2518 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  <" <. j ,  (/) >. ">  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
17 vrgpf.m . . . . 5  |-  G  =  (freeGrp `  I )
18 vrgpfval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
19 eqid 2441 . . . . 5  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
20 vrgpf.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2117, 18, 19, 20frgpeccl 16251 . . . 4  |-  ( <" <. j ,  (/) >. ">  e.  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  ->  [ <"
<. j ,  (/) >. "> ]  .~  e.  X )
2216, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  [ <" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  e.  X )
23 eqid 2441 . . 3  |-  ( j  e.  I  |->  [ <"
<. j ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  ( j  e.  I  |->  [
<" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  )
2422, 23fmptd 5864 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
j  e.  I  |->  [
<" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  ) : I --> X )
25 vrgpfval.u . . . 4  |-  U  =  (varFGrp `  I )
2618, 25vrgpfval 16256 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  U  =  ( j  e.  I  |->  [ <" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  ) )
2726feq1d 5543 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( U : I --> X  <->  ( j  e.  I  |->  [ <"
<. j ,  (/) >. "> ]  .~  ) : I --> X ) )
2824, 27mpbird 232 1  |-  ( I  e.  V  ->  U : I --> X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   {cpr 3876   <.cop 3880    e. cmpt 4347    _I cid 4627   Oncon0 4715    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415   1oc1o 6909   2oc2o 6910   [cec 7095  Word cword 12217   <"cs1 12220   Basecbs 14170   ~FG cefg 16196  freeGrpcfrgp 16197  varFGrpcvrgp 16198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-word 12225  df-s1 12228  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-imas 14442  df-divs 14443  df-frmd 15520  df-frgp 16200  df-vrgp 16201
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  16267  frgpup3  16268  0frgp  16269  frgpnabllem2  16345  frgpnabl  16346  frgpcyg  17965
  Copyright terms: Public domain W3C validator