MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vrgpf Structured version   Unicode version

Theorem vrgpf 16985
Description: The mapping from the index set to the generators is a function into the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vrgpfval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
vrgpfval.u  |-  U  =  (varFGrp `  I )
vrgpf.m  |-  G  =  (freeGrp `  I )
vrgpf.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
vrgpf  |-  ( I  e.  V  ->  U : I --> X )

Proof of Theorem vrgpf
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4569 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
21prid1 4124 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  { (/)
,  1o }
3 df2o3 7135 . . . . . . . . 9  |-  2o  =  { (/) ,  1o }
42, 3eleqtrri 2541 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  2o
5 opelxpi 5020 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  I  /\  (/) 
e.  2o )  ->  <. j ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
64, 5mpan2 669 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  I  ->  <. j ,  (/) >.  e.  (
I  X.  2o ) )
76adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  -> 
<. j ,  (/) >.  e.  ( I  X.  2o ) )
87s1cld 12604 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  <" <. j ,  (/) >. ">  e. Word  ( I  X.  2o ) )
9 2on 7130 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  On
10 xpexg 6575 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  2o  e.  On )  -> 
( I  X.  2o )  e.  _V )
119, 10mpan2 669 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
I  X.  2o )  e.  _V )
1211adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  ( I  X.  2o )  e.  _V )
13 wrdexg 12544 . . . . . 6  |-  ( ( I  X.  2o )  e.  _V  -> Word  ( I  X.  2o )  e. 
_V )
14 fvi 5905 . . . . . 6  |-  (Word  (
I  X.  2o )  e.  _V  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  (
I  X.  2o ) )
1512, 13, 143syl 20 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )  = Word  ( I  X.  2o ) )
168, 15eleqtrrd 2545 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  <" <. j ,  (/) >. ">  e.  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) ) )
17 vrgpf.m . . . . 5  |-  G  =  (freeGrp `  I )
18 vrgpfval.r . . . . 5  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
19 eqid 2454 . . . . 5  |-  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
20 vrgpf.x . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2117, 18, 19, 20frgpeccl 16978 . . . 4  |-  ( <" <. j ,  (/) >. ">  e.  (  _I 
` Word  ( I  X.  2o ) )  ->  [ <"
<. j ,  (/) >. "> ]  .~  e.  X )
2216, 21syl 16 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  j  e.  I )  ->  [ <" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  e.  X )
23 eqid 2454 . . 3  |-  ( j  e.  I  |->  [ <"
<. j ,  (/) >. "> ]  .~  )  =  ( j  e.  I  |->  [
<" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  )
2422, 23fmptd 6031 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
j  e.  I  |->  [
<" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  ) : I --> X )
25 vrgpfval.u . . . 4  |-  U  =  (varFGrp `  I )
2618, 25vrgpfval 16983 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  U  =  ( j  e.  I  |->  [ <" <. j ,  (/) >. "> ]  .~  ) )
2726feq1d 5699 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( U : I --> X  <->  ( j  e.  I  |->  [ <"
<. j ,  (/) >. "> ]  .~  ) : I --> X ) )
2824, 27mpbird 232 1  |-  ( I  e.  V  ->  U : I --> X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   {cpr 4018   <.cop 4022    |-> cmpt 4497    _I cid 4779   Oncon0 4867    X. cxp 4986   -->wf 5566   ` cfv 5570   1oc1o 7115   2oc2o 7116   [cec 7301  Word cword 12518   <"cs1 12521   Basecbs 14716   ~FG cefg 16923  freeGrpcfrgp 16924  varFGrpcvrgp 16925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-s1 12529  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-imas 14997  df-qus 14998  df-frmd 16216  df-frgp 16927  df-vrgp 16928
This theorem is referenced by:  frgpup3lem  16994  frgpup3  16995  0frgp  16996  frgpnabllem2  17077  frgpnabl  17078  frgpcyg  18785
  Copyright terms: Public domain W3C validator