MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vr1cl2 Structured version   Unicode version

Theorem vr1cl2 17624
Description: The variable  X is a member of the power series algebra  R [ [ X ] ]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
vr1val.1  |-  X  =  (var1 `  R )
vr1cl2.2  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
vr1cl2.3  |-  B  =  ( Base `  S
)
Assertion
Ref Expression
vr1cl2  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  B )

Proof of Theorem vr1cl2
StepHypRef Expression
1 vr1val.1 . . 3  |-  X  =  (var1 `  R )
21vr1val 17623 . 2  |-  X  =  ( ( 1o mVar  R
) `  (/) )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1o mPwSer  R )  =  ( 1o mPwSer  R )
4 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 1o mVar  R )  =  ( 1o mVar  R )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)
6 1on 6919 . . . . 5  |-  1o  e.  On
76a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  1o  e.  On )
8 id 22 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Ring )
9 0lt1o 6936 . . . . 5  |-  (/)  e.  1o
109a1i 11 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  e.  1o )
113, 4, 5, 7, 8, 10mvrcl2 17476 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1o mVar  R ) `  (/) )  e.  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
) )
12 vr1cl2.2 . . . . . 6  |-  S  =  (PwSer1 `  R )
1312psr1val 17617 . . . . 5  |-  S  =  ( ( 1o ordPwSer  R ) `
 (/) )
14 0ss 3661 . . . . . 6  |-  (/)  C_  ( 1o  X.  1o )
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  (/)  C_  ( 1o  X.  1o ) )
163, 13, 15opsrbas 17535 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  ( Base `  S ) )
17 vr1cl2.3 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  S
)
1816, 17syl6eqr 2488 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  ( 1o mPwSer  R )
)  =  B )
1911, 18eleqtrd 2514 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( 1o mVar  R ) `  (/) )  e.  B )
202, 19syl5eqel 2522 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3323   (/)c0 3632   Oncon0 4714    X. cxp 4833   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1oc1o 6905   Basecbs 14166   Ringcrg 16633   mPwSer cmps 17395   mVar cmvr 17396  PwSer1cps1 17606  var1cv1 17607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-tset 14249  df-ple 14250  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-psr 17400  df-mvr 17401  df-opsr 17404  df-psr1 17611  df-vr1 17612
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator