Theorem vr1cl 18029

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	|- X = (var1 ` R )
vr1cl.p	|- P = (Poly1 ` R )
vr1cl.b	|- B = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	|- ( R e. Ring -> X e. B )

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 |- X = (var1 ` R )
2	1	vr1val 18002	. 2 |- X = ( ( 1o mVar R ) ` (/) )
3		eqid 2467	. . 3 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
4		eqid 2467	. . 3 |- ( 1o mVar R ) = ( 1o mVar R )
5		vr1cl.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
6		eqid 2467	. . . 4 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
7		vr1cl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
8	5, 6, 7	ply1bas 18005	. . 3 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
9		1onn 7285	. . . 4 |- 1o e. om
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( R e. Ring -> 1o e. om )
11		id 22	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Ring )
12		0lt1o 7151	. . . 4 |- (/) e. 1o
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( R e. Ring -> (/) e. 1o )
14	3, 4, 8, 10, 11, 13	mvrcl 17882	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( 1o mVar R ) ` (/) ) e. B )
15	2, 14	syl5eqel 2559	1 |- ( R e. Ring -> X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1379   e. wcel 1767   (/)c0 3785   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678   1oc1o 7120   Basecbs 14486   Ringcrg 16986   mVar cmvr 17772   mPoly cmpl 17773  PwSer₁cps1 17985  var₁cv1 17986  Poly₁cpl1 17987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-tset 14570  df-ple 14571  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-psr 17776  df-mvr 17777  df-mpl 17778  df-opsr 17780  df-psr1 17990  df-vr1 17991  df-ply1 17992

This theorem is referenced by:  ply1moncl  18083  coe1pwmul  18091  ply1scltm  18093  ply1coefsupp  18107  ply1coe  18108  ply1coeOLD  18109  gsummoncoe1  18117  lply1binom  18119  evls1varpw  18134  evl1var  18143  evl1vard  18144  evls1var  18145  pf1id  18154  evl1scvarpw  18170  evl1scvarpwval  18171  evl1gsummon  18172  pmatcollpwscmatlem1  19057  mply1topmatcllem  19071  mply1topmatcl  19073  pm2mpghm  19084  monmat2matmon  19092  pm2mp  19093  chmatcl  19096  chmatval  19097  chpmat0d  19102  chpmat1dlem  19103  chpmat1d  19104  chpdmatlem0  19105  chpdmatlem2  19107  chpdmatlem3  19108  chpscmat  19110  chpscmatgsumbin  19112  chpscmatgsummon  19113  chp0mat  19114  chpidmat  19115  chfacfscmulcl  19125  chfacfscmul0  19126  chfacfscmulgsum  19128  cpmadugsumlemB  19142  cpmadugsumlemC  19143  cpmadugsumlemF  19144  cpmadugsumfi  19145  cpmidgsum2  19147  deg1pwle  22255  deg1pw  22256  ply1remlem  22298  fta1blem  22304  plypf1  22344  lgsqrlem2  23345  lgsqrlem3  23346  lgsqrlem4  23347  hbtlem4  30679  idomrootle  30757  ply1vr1smo  32054  ply1mulgsumlem4  32062  ply1mulgsum  32063  linply1  32066