Theorem vr1cl 17780

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	|- X = (var1 ` R )
vr1cl.p	|- P = (Poly1 ` R )
vr1cl.b	|- B = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	|- ( R e. Ring -> X e. B )

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 |- X = (var1 ` R )
2	1	vr1val 17757	. 2 |- X = ( ( 1o mVar R ) ` (/) )
3		eqid 2451	. . 3 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
4		eqid 2451	. . 3 |- ( 1o mVar R ) = ( 1o mVar R )
5		vr1cl.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
6		eqid 2451	. . . 4 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
7		vr1cl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
8	5, 6, 7	ply1bas 17760	. . 3 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
9		1onn 7180	. . . 4 |- 1o e. om
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( R e. Ring -> 1o e. om )
11		id 22	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Ring )
12		0lt1o 7046	. . . 4 |- (/) e. 1o
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( R e. Ring -> (/) e. 1o )
14	3, 4, 8, 10, 11, 13	mvrcl 17637	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( 1o mVar R ) ` (/) ) e. B )
15	2, 14	syl5eqel 2543	1 |- ( R e. Ring -> X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   (/)c0 3737   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   omcom 6578   1oc1o 7015   Basecbs 14278   Ringcrg 16753   mVar cmvr 17527   mPoly cmpl 17528  PwSer₁cps1 17740  var₁cv1 17741  Poly₁cpl1 17742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-tset 14361  df-ple 14362  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-grp 15649  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-psr 17531  df-mvr 17532  df-mpl 17533  df-opsr 17535  df-psr1 17745  df-vr1 17746  df-ply1 17747

This theorem is referenced by:  ply1moncl  17834  coe1pwmul  17842  ply1scltm  17844  ply1coefsupp  17856  ply1coe  17857  ply1coeOLD  17858  evls1varpw  17872  evl1var  17881  evl1vard  17882  evls1var  17883  pf1id  17892  evl1scvarpw  17908  evl1scvarpwval  17909  evl1gsummon  17910  deg1pwle  21709  deg1pw  21710  ply1remlem  21752  fta1blem  21758  plypf1  21798  lgsqrlem2  22799  lgsqrlem3  22800  lgsqrlem4  22801  hbtlem4  29622  idomrootle  29700  ply1vr1smo  30970  mon1ply1  30984  gsummoncoe1  30987  ply1mulgsumlem4  30991  ply1mulgsum  30992  lply1binom  30999  linply1  31001  pmatcollpw1id  31228  pmatcollpw1lem4  31232  pmatcollpw1  31234  pmatcollpwlem  31235  pmatcollpw  31236  monmatcollpw  31238  pmatcollpw3lem  31239  pmatcollpw3  31240  pmatcollpw3fi  31241  pmatcollpw4fi1lem1  31244  pmatcollpwscmatlem1  31247  pmatcollpwscmatlem3  31249  mply1topmatcllem  31252  mply1topmatcl  31254  pmattomply1ghmlem1  31255  pmattomply1rn  31259  idpmattoidmply1  31262  mp2pm2mplem2  31264  mp2pm2mplem4  31266  pmattomply1ghm  31272  pmattomply1mhmlem1  31275  pmattomply1mhmlem2  31276  monmat2matmon  31280  pmat2matp  31281  chmacl  31284  matcpmatval  31289  cpmat0d  31290  cpmat1dlem  31291  cpmat1d  31292  cpdmatlem0  31293  cpdmatlem2  31295  cpdmatlem3  31296  cpscmat  31298  cpscmatgsumbin  31300  cpscmatgsummon  31301  cp0mat  31302  cpidmat  31303  chfacfscmulcl  31313  chfacfscmul0  31314  chfacfscmulgsum  31316  cpmadugsumlemB  31330  cpmadugsumlemC  31331  cpmadugsumlemF  31332  cpmadugsumfi  31333  cpmidgsum2  31335