Theorem vr1cl 18580

Description: The generator of a univariate polynomial algebra is contained in the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
vr1cl.x	|- X = (var1 ` R )
vr1cl.p	|- P = (Poly1 ` R )
vr1cl.b	|- B = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
vr1cl	|- ( R e. Ring -> X e. B )

Proof of Theorem vr1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vr1cl.x	. . 3 |- X = (var1 ` R )
2	1	vr1val 18553	. 2 |- X = ( ( 1o mVar R ) ` (/) )
3		eqid 2404	. . 3 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
4		eqid 2404	. . 3 |- ( 1o mVar R ) = ( 1o mVar R )
5		vr1cl.p	. . . 4 |- P = (Poly1 ` R )
6		eqid 2404	. . . 4 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
7		vr1cl.b	. . . 4 |- B = ( Base ` P )
8	5, 6, 7	ply1bas 18556	. . 3 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
9		1onn 7327	. . . 4 |- 1o e. om
10	9	a1i 11	. . 3 |- ( R e. Ring -> 1o e. om )
11		id 23	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Ring )
12		0lt1o 7193	. . . 4 |- (/) e. 1o
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( R e. Ring -> (/) e. 1o )
14	3, 4, 8, 10, 11, 13	mvrcl 18433	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( 1o mVar R ) ` (/) ) e. B )
15	2, 14	syl5eqel 2496	1 |- ( R e. Ring -> X e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1407   e. wcel 1844   (/)c0 3740   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   omcom 6685   1oc1o 7162   Basecbs 14843   Ringcrg 17520   mVar cmvr 18323   mPoly cmpl 18324  PwSer₁cps1 18536  var₁cv1 18537  Poly₁cpl1 18538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-tset 14930  df-ple 14931  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-grp 16383  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-psr 18327  df-mvr 18328  df-mpl 18329  df-opsr 18331  df-psr1 18541  df-vr1 18542  df-ply1 18543

This theorem is referenced by:  ply1moncl  18634  coe1pwmul  18642  ply1scltm  18644  ply1coefsupp  18658  ply1coe  18659  ply1coeOLD  18660  gsummoncoe1  18668  lply1binom  18670  evls1varpw  18685  evl1var  18694  evl1vard  18695  evls1var  18696  pf1id  18705  evl1scvarpw  18721  evl1scvarpwval  18722  evl1gsummon  18723  pmatcollpwscmatlem1  19584  mply1topmatcllem  19598  mply1topmatcl  19600  pm2mpghm  19611  monmat2matmon  19619  pm2mp  19620  chmatcl  19623  chmatval  19624  chpmat0d  19629  chpmat1dlem  19630  chpmat1d  19631  chpdmatlem0  19632  chpdmatlem2  19634  chpdmatlem3  19635  chpscmat  19637  chpscmatgsumbin  19639  chpscmatgsummon  19640  chp0mat  19641  chpidmat  19642  chfacfscmulcl  19652  chfacfscmul0  19653  chfacfscmulgsum  19655  cpmadugsumlemB  19669  cpmadugsumlemC  19670  cpmadugsumlemF  19671  cpmadugsumfi  19672  cpmidgsum2  19674  deg1pw  22815  ply1remlem  22857  fta1blem  22863  plypf1  22903  lgsqrlem2  24000  lgsqrlem3  24001  lgsqrlem4  24002  hbtlem4  35452  idomrootle  35529  ply1vr1smo  38505  ply1mulgsumlem4  38513  ply1mulgsum  38514  linply1  38517