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Theorem volun 22081
Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volun  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  A
)  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) )

Proof of Theorem volun
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
2 mblss 22068 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
4 simpl2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
5 mblss 22068 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  B  C_  RR )
73, 6unssd 3676 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
8 readdcl 9592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  e.  RR )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  e.  RR )
10 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
11 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
12 ovolun 22036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
133, 10, 6, 11, 12syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
14 ovollecl 22020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
157, 9, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  e.  RR )
16 mblsplit 22069 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( A  u.  B
)  \  A )
) ) )
171, 7, 15, 16syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A
) ) ) )
18 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
19 indir 3753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )
20 inidm 3703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  A )  =  A
21 incom 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
2220, 21uneq12i 3652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  ( A  u.  ( A  i^i  B ) )
23 unabs 3735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( A  i^i  B ) )  =  A
2422, 23eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  A
2519, 24eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  A
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  A )
2726fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A ) )  =  ( vol* `  A ) )
2821eqeq1i 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
29 disj3 3874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  A )  =  (/)  <->  B  =  ( B  \  A ) )
3028, 29bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  B  =  ( B  \  A ) )
3130biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  B  =  ( B  \  A
) )
32 uncom 3644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  B )  =  ( B  u.  A
)
3332difeq1i 3614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  ( ( B  u.  A )  \  A
)
34 difun2 3910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
3533, 34eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
3631, 35syl6reqr 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  B )
3736fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A ) )  =  ( vol* `  B ) )
3827, 37oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( vol* `  (
( A  u.  B
)  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A ) ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
3918, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( A  u.  B
)  \  A )
) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) )
4017, 39eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
4140ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) ) )
42 mblvol 22067 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
4342eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
44 mblvol 22067 . . . . . 6  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  B )  =  ( vol* `  B ) )
4544eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
4643, 45bi2anan9 873 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
47463adant3 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
48 unmbl 22074 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
49 mblvol 22067 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  u.  B ) )  =  ( vol* `  ( A  u.  B
) ) )
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( vol* `  ( A  u.  B ) ) )
5142, 44oveqan12d 6315 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
) )
5250, 51eqeq12d 2479 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  <->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) ) )
53523adant3 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) )  <->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) ) )
5441, 47, 533imtr4d 268 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) ) )
5554imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  A
)  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508    + caddc 9512    <_ cle 9646   vol*covol 22000   volcvol 22001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-ovol 22002  df-vol 22003
This theorem is referenced by:  volinun  22082  volfiniun  22083  volsup  22092  ovolioo  22104  ismblfin  30239  volioc  31953
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