Theorem volun 21031

Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volun	|- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) )

Proof of Theorem volun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 991	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> A e. dom vol )
2		mblss 21019	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> A C_ RR )
4		simpl2 992	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> B e. dom vol )
5		mblss 21019	. . . . . . . 8 |- ( B e. dom vol -> B C_ RR )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> B C_ RR )
7	3, 6	unssd 3537	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( A u. B ) C_ RR )
8		readdcl 9370	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR )
9	8	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR )
10		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
11		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` B ) e. RR )
12		ovolun 20987	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) /\ ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
13	3, 10, 6, 11, 12	syl22anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
14		ovollecl 20971	. . . . . . 7 |- ( ( ( A u. B ) C_ RR /\ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR /\ ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
15	7, 9, 13, 14	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
16		mblsplit 21020	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( A u. B ) C_ RR /\ ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) )
17	1, 7, 15, 16	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) )
18		simpl3 993	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
19		indir 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) i^i A ) = ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) )
20		inidm 3564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i A ) = A
21		incom 3548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
22	20, 21	uneq12i 3513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) ) = ( A u. ( A i^i B ) )
23		unabs 3585	. . . . . . . . . . 11 |- ( A u. ( A i^i B ) ) = A
24	22, 23	eqtri 2463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) ) = A
25	19, 24	eqtri 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) i^i A ) = A
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A u. B ) i^i A ) = A )
27	26	fveq2d 5700	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) = ( vol* ` A ) )
28	21	eqeq1i 2450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i A ) = (/) <-> ( A i^i B ) = (/) )
29		disj3 3728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i A ) = (/) <-> B = ( B \ A ) )
30	28, 29	bitr3i 251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> B = ( B \ A ) )
31	30	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> B = ( B \ A ) )
32		uncom 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( A u. B ) = ( B u. A )
33	32	difeq1i 3475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) \ A ) = ( ( B u. A ) \ A )
34		difun2 3763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B u. A ) \ A ) = ( B \ A )
35	33, 34	eqtri 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) \ A ) = ( B \ A )
36	31, 35	syl6reqr 2494	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A u. B ) \ A ) = B )
37	36	fveq2d 5700	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) = ( vol* ` B ) )
38	27, 37	oveq12d 6114	. . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
39	18, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
40	17, 39	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
41	40	ex 434	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
42		mblvol 21018	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
43	42	eleq1d 2509	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( ( vol ` A ) e. RR <-> ( vol* ` A ) e. RR ) )
44		mblvol 21018	. . . . . 6 |- ( B e. dom vol -> ( vol ` B ) = ( vol* ` B ) )
45	44	eleq1d 2509	. . . . 5 |- ( B e. dom vol -> ( ( vol ` B ) e. RR <-> ( vol* ` B ) e. RR ) )
46	43, 45	bi2anan9 868	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
47	46	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
48		unmbl 21024	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( A u. B ) e. dom vol )
49		mblvol 21018	. . . . . 6 |- ( ( A u. B ) e. dom vol -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( vol* ` ( A u. B ) ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( vol* ` ( A u. B ) ) )
51	42, 44	oveqan12d 6115	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
52	50, 51	eqeq12d 2457	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) <-> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
53	52	3adant3 1008	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) <-> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
54	41, 47, 53	3imtr4d 268	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) ) )
55	54	imp 429	1 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   \ cdif 3330   u. cun 3331   i^i cin 3332   C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   + caddc 9290   <_ cle 9424   vol*covol 20951   volcvol 20952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-ovol 20953  df-vol 20954

This theorem is referenced by:  volinun  21032  volfiniun  21033  volsup  21042  ovolioo  21054  ismblfin  28437