Theorem volun 21718

Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volun	|- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) )

Proof of Theorem volun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 999	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> A e. dom vol )
2		mblss 21705	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> A C_ RR )
4		simpl2 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> B e. dom vol )
5		mblss 21705	. . . . . . . 8 |- ( B e. dom vol -> B C_ RR )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> B C_ RR )
7	3, 6	unssd 3680	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( A u. B ) C_ RR )
8		readdcl 9575	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR )
9	8	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR )
10		simprl 755	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
11		simprr 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` B ) e. RR )
12		ovolun 21673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) /\ ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
13	3, 10, 6, 11, 12	syl22anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
14		ovollecl 21657	. . . . . . 7 |- ( ( ( A u. B ) C_ RR /\ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR /\ ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
15	7, 9, 13, 14	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
16		mblsplit 21706	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( A u. B ) C_ RR /\ ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) )
17	1, 7, 15, 16	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) )
18		simpl3 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
19		indir 3746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) i^i A ) = ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) )
20		inidm 3707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i A ) = A
21		incom 3691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
22	20, 21	uneq12i 3656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) ) = ( A u. ( A i^i B ) )
23		unabs 3728	. . . . . . . . . . 11 |- ( A u. ( A i^i B ) ) = A
24	22, 23	eqtri 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) ) = A
25	19, 24	eqtri 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) i^i A ) = A
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A u. B ) i^i A ) = A )
27	26	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) = ( vol* ` A ) )
28	21	eqeq1i 2474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i A ) = (/) <-> ( A i^i B ) = (/) )
29		disj3 3871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i A ) = (/) <-> B = ( B \ A ) )
30	28, 29	bitr3i 251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> B = ( B \ A ) )
31	30	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> B = ( B \ A ) )
32		uncom 3648	. . . . . . . . . . 11 |- ( A u. B ) = ( B u. A )
33	32	difeq1i 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) \ A ) = ( ( B u. A ) \ A )
34		difun2 3906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B u. A ) \ A ) = ( B \ A )
35	33, 34	eqtri 2496	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) \ A ) = ( B \ A )
36	31, 35	syl6reqr 2527	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A u. B ) \ A ) = B )
37	36	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) = ( vol* ` B ) )
38	27, 37	oveq12d 6302	. . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
39	18, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
40	17, 39	eqtrd 2508	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
41	40	ex 434	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
42		mblvol 21704	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
43	42	eleq1d 2536	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( ( vol ` A ) e. RR <-> ( vol* ` A ) e. RR ) )
44		mblvol 21704	. . . . . 6 |- ( B e. dom vol -> ( vol ` B ) = ( vol* ` B ) )
45	44	eleq1d 2536	. . . . 5 |- ( B e. dom vol -> ( ( vol ` B ) e. RR <-> ( vol* ` B ) e. RR ) )
46	43, 45	bi2anan9 871	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
47	46	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
48		unmbl 21711	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( A u. B ) e. dom vol )
49		mblvol 21704	. . . . . 6 |- ( ( A u. B ) e. dom vol -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( vol* ` ( A u. B ) ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( vol* ` ( A u. B ) ) )
51	42, 44	oveqan12d 6303	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
52	50, 51	eqeq12d 2489	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) <-> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
53	52	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) <-> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
54	41, 47, 53	3imtr4d 268	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) ) )
55	54	imp 429	1 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   + caddc 9495   <_ cle 9629   vol*covol 21637   volcvol 21638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-ovol 21639  df-vol 21640

This theorem is referenced by:  volinun  21719  volfiniun  21720  volsup  21729  ovolioo  21741  ismblfin  29660  volioc  31318