Theorem volun 22577

Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volun	|- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) )

Proof of Theorem volun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1033	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> A e. dom vol )
2		mblss 22563	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> A C_ RR )
4		simpl2 1034	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> B e. dom vol )
5		mblss 22563	. . . . . . . 8 |- ( B e. dom vol -> B C_ RR )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> B C_ RR )
7	3, 6	unssd 3601	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( A u. B ) C_ RR )
8		readdcl 9640	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR )
9	8	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR )
10		simprl 772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
11		simprr 774	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` B ) e. RR )
12		ovolun 22530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) /\ ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
13	3, 10, 6, 11, 12	syl22anc 1293	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
14		ovollecl 22514	. . . . . . 7 |- ( ( ( A u. B ) C_ RR /\ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR /\ ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
15	7, 9, 13, 14	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
16		mblsplit 22564	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( A u. B ) C_ RR /\ ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) )
17	1, 7, 15, 16	syl3anc 1292	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) )
18		simpl3 1035	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
19		indir 3682	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) i^i A ) = ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) )
20		inidm 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i A ) = A
21		incom 3616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
22	20, 21	uneq12i 3577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) ) = ( A u. ( A i^i B ) )
23		unabs 3664	. . . . . . . . . . 11 |- ( A u. ( A i^i B ) ) = A
24	22, 23	eqtri 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) ) = A
25	19, 24	eqtri 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) i^i A ) = A
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A u. B ) i^i A ) = A )
27	26	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) = ( vol* ` A ) )
28	21	eqeq1i 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i A ) = (/) <-> ( A i^i B ) = (/) )
29		disj3 3813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i A ) = (/) <-> B = ( B \ A ) )
30	28, 29	bitr3i 259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> B = ( B \ A ) )
31	30	biimpi 199	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> B = ( B \ A ) )
32		uncom 3569	. . . . . . . . . . 11 |- ( A u. B ) = ( B u. A )
33	32	difeq1i 3536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) \ A ) = ( ( B u. A ) \ A )
34		difun2 3838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B u. A ) \ A ) = ( B \ A )
35	33, 34	eqtri 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) \ A ) = ( B \ A )
36	31, 35	syl6reqr 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A u. B ) \ A ) = B )
37	36	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) = ( vol* ` B ) )
38	27, 37	oveq12d 6326	. . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
39	18, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
40	17, 39	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
41	40	ex 441	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
42		mblvol 22562	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
43	42	eleq1d 2533	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( ( vol ` A ) e. RR <-> ( vol* ` A ) e. RR ) )
44		mblvol 22562	. . . . . 6 |- ( B e. dom vol -> ( vol ` B ) = ( vol* ` B ) )
45	44	eleq1d 2533	. . . . 5 |- ( B e. dom vol -> ( ( vol ` B ) e. RR <-> ( vol* ` B ) e. RR ) )
46	43, 45	bi2anan9 890	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
47	46	3adant3 1050	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
48		unmbl 22569	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( A u. B ) e. dom vol )
49		mblvol 22562	. . . . . 6 |- ( ( A u. B ) e. dom vol -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( vol* ` ( A u. B ) ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( vol* ` ( A u. B ) ) )
51	42, 44	oveqan12d 6327	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
52	50, 51	eqeq12d 2486	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) <-> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
53	52	3adant3 1050	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) <-> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
54	41, 47, 53	3imtr4d 276	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) ) )
55	54	imp 436	1 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   + caddc 9560   <_ cle 9694   vol*covol 22491   volcvol 22493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-ovol 22494  df-vol 22496

This theorem is referenced by:  volinun  22578  volfiniun  22579  volsup  22588  ovolioo  22600  ismblfin  32045  volioc  37946  volico  37958