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Theorem volun 21031
Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volun  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  A
)  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) )

Proof of Theorem volun
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
2 mblss 21019 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
4 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
5 mblss 21019 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  B  C_  RR )
73, 6unssd 3537 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
8 readdcl 9370 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  e.  RR )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  e.  RR )
10 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
11 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
12 ovolun 20987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
133, 10, 6, 11, 12syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
14 ovollecl 20971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
157, 9, 13, 14syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  e.  RR )
16 mblsplit 21020 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( A  u.  B
)  \  A )
) ) )
171, 7, 15, 16syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A
) ) ) )
18 simpl3 993 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
19 indir 3603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )
20 inidm 3564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  A )  =  A
21 incom 3548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
2220, 21uneq12i 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  ( A  u.  ( A  i^i  B ) )
23 unabs 3585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( A  i^i  B ) )  =  A
2422, 23eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  A
2519, 24eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  A
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  A )
2726fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A ) )  =  ( vol* `  A ) )
2821eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
29 disj3 3728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  A )  =  (/)  <->  B  =  ( B  \  A ) )
3028, 29bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  B  =  ( B  \  A ) )
3130biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  B  =  ( B  \  A
) )
32 uncom 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  B )  =  ( B  u.  A
)
3332difeq1i 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  ( ( B  u.  A )  \  A
)
34 difun2 3763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
3533, 34eqtri 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
3631, 35syl6reqr 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  B )
3736fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A ) )  =  ( vol* `  B ) )
3827, 37oveq12d 6114 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( vol* `  (
( A  u.  B
)  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A ) ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
3918, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( A  u.  B
)  \  A )
) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) )
4017, 39eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
4140ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) ) )
42 mblvol 21018 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
4342eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
44 mblvol 21018 . . . . . 6  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  B )  =  ( vol* `  B ) )
4544eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
4643, 45bi2anan9 868 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
47463adant3 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
48 unmbl 21024 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
49 mblvol 21018 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  u.  B ) )  =  ( vol* `  ( A  u.  B
) ) )
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( vol* `  ( A  u.  B ) ) )
5142, 44oveqan12d 6115 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
) )
5250, 51eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  <->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) ) )
53523adant3 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) )  <->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) ) )
5441, 47, 533imtr4d 268 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) ) )
5554imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  A
)  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3330    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286    + caddc 9290    <_ cle 9424   vol*covol 20951   volcvol 20952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-ovol 20953  df-vol 20954
This theorem is referenced by:  volinun  21032  volfiniun  21033  volsup  21042  ovolioo  21054  ismblfin  28437
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