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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > volun | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.) |
Ref | Expression |
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volun |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpl1 1033 |
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2 | mblss 22563 |
. . . . . . . 8
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3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . . . 7
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4 | simpl2 1034 |
. . . . . . . 8
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5 | mblss 22563 |
. . . . . . . 8
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6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . . . . 7
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7 | 3, 6 | unssd 3601 |
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8 | readdcl 9640 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | adantl 473 |
. . . . . . 7
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10 | simprl 772 |
. . . . . . . 8
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11 | simprr 774 |
. . . . . . . 8
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12 | ovolun 22530 |
. . . . . . . 8
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13 | 3, 10, 6, 11, 12 | syl22anc 1293 |
. . . . . . 7
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14 | ovollecl 22514 |
. . . . . . 7
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15 | 7, 9, 13, 14 | syl3anc 1292 |
. . . . . 6
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16 | mblsplit 22564 |
. . . . . 6
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17 | 1, 7, 15, 16 | syl3anc 1292 |
. . . . 5
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18 | simpl3 1035 |
. . . . . 6
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19 | indir 3682 |
. . . . . . . . . 10
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20 | inidm 3632 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | incom 3616 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 20, 21 | uneq12i 3577 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | unabs 3664 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | 22, 23 | eqtri 2493 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 19, 24 | eqtri 2493 |
. . . . . . . . 9
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26 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | fveq2d 5883 |
. . . . . . 7
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28 | 21 | eqeq1i 2476 |
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29 | disj3 3813 |
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30 | 28, 29 | bitr3i 259 |
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31 | 30 | biimpi 199 |
. . . . . . . . 9
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32 | uncom 3569 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | difeq1i 3536 |
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34 | difun2 3838 |
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35 | 33, 34 | eqtri 2493 |
. . . . . . . . 9
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36 | 31, 35 | syl6reqr 2524 |
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37 | 36 | fveq2d 5883 |
. . . . . . 7
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38 | 27, 37 | oveq12d 6326 |
. . . . . 6
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39 | 18, 38 | syl 17 |
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40 | 17, 39 | eqtrd 2505 |
. . . 4
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41 | 40 | ex 441 |
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42 | mblvol 22562 |
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43 | 42 | eleq1d 2533 |
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44 | mblvol 22562 |
. . . . . 6
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45 | 44 | eleq1d 2533 |
. . . . 5
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46 | 43, 45 | bi2anan9 890 |
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47 | 46 | 3adant3 1050 |
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48 | unmbl 22569 |
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49 | mblvol 22562 |
. . . . . 6
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50 | 48, 49 | syl 17 |
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51 | 42, 44 | oveqan12d 6327 |
. . . . 5
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52 | 50, 51 | eqeq12d 2486 |
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53 | 52 | 3adant3 1050 |
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54 | 41, 47, 53 | 3imtr4d 276 |
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55 | 54 | imp 436 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-er 7381 df-map 7492 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-sup 7974 df-inf 7975 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-q 11288 df-rp 11326 df-ioo 11664 df-ico 11666 df-icc 11667 df-fz 11811 df-fl 12061 df-seq 12252 df-exp 12311 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-ovol 22494 df-vol 22496 |
This theorem is referenced by: volinun 22578 volfiniun 22579 volsup 22588 ovolioo 22600 ismblfin 32045 volioc 37946 volico 37958 |
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