Theorem volun 22081

Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volun	|- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) )

Proof of Theorem volun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 999	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> A e. dom vol )
2		mblss 22068	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> A C_ RR )
4		simpl2 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> B e. dom vol )
5		mblss 22068	. . . . . . . 8 |- ( B e. dom vol -> B C_ RR )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> B C_ RR )
7	3, 6	unssd 3676	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( A u. B ) C_ RR )
8		readdcl 9592	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR )
9	8	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR )
10		simprl 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` A ) e. RR )
11		simprr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` B ) e. RR )
12		ovolun 22036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ RR /\ ( vol* ` A ) e. RR ) /\ ( B C_ RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
13	3, 10, 6, 11, 12	syl22anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
14		ovollecl 22020	. . . . . . 7 |- ( ( ( A u. B ) C_ RR /\ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) e. RR /\ ( vol* ` ( A u. B ) ) <_ ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
15	7, 9, 13, 14	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR )
16		mblsplit 22069	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( A u. B ) C_ RR /\ ( vol* ` ( A u. B ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) )
17	1, 7, 15, 16	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) )
18		simpl3 1001	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( A i^i B ) = (/) )
19		indir 3753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) i^i A ) = ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) )
20		inidm 3703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i A ) = A
21		incom 3687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B i^i A ) = ( A i^i B )
22	20, 21	uneq12i 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) ) = ( A u. ( A i^i B ) )
23		unabs 3735	. . . . . . . . . . 11 |- ( A u. ( A i^i B ) ) = A
24	22, 23	eqtri 2486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i A ) u. ( B i^i A ) ) = A
25	19, 24	eqtri 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) i^i A ) = A
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A u. B ) i^i A ) = A )
27	26	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) = ( vol* ` A ) )
28	21	eqeq1i 2464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i A ) = (/) <-> ( A i^i B ) = (/) )
29		disj3 3874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B i^i A ) = (/) <-> B = ( B \ A ) )
30	28, 29	bitr3i 251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A i^i B ) = (/) <-> B = ( B \ A ) )
31	30	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> B = ( B \ A ) )
32		uncom 3644	. . . . . . . . . . 11 |- ( A u. B ) = ( B u. A )
33	32	difeq1i 3614	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A u. B ) \ A ) = ( ( B u. A ) \ A )
34		difun2 3910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B u. A ) \ A ) = ( B \ A )
35	33, 34	eqtri 2486	. . . . . . . . 9 |- ( ( A u. B ) \ A ) = ( B \ A )
36	31, 35	syl6reqr 2517	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A u. B ) \ A ) = B )
37	36	fveq2d 5876	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) = ( vol* ` B ) )
38	27, 37	oveq12d 6314	. . . . . 6 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
39	18, 38	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( ( vol* ` ( ( A u. B ) i^i A ) ) + ( vol* ` ( ( A u. B ) \ A ) ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
40	17, 39	eqtrd 2498	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
41	40	ex 434	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
42		mblvol 22067	. . . . . 6 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
43	42	eleq1d 2526	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( ( vol ` A ) e. RR <-> ( vol* ` A ) e. RR ) )
44		mblvol 22067	. . . . . 6 |- ( B e. dom vol -> ( vol ` B ) = ( vol* ` B ) )
45	44	eleq1d 2526	. . . . 5 |- ( B e. dom vol -> ( ( vol ` B ) e. RR <-> ( vol* ` B ) e. RR ) )
46	43, 45	bi2anan9 873	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
47	46	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) <-> ( ( vol* ` A ) e. RR /\ ( vol* ` B ) e. RR ) ) )
48		unmbl 22074	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( A u. B ) e. dom vol )
49		mblvol 22067	. . . . . 6 |- ( ( A u. B ) e. dom vol -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( vol* ` ( A u. B ) ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( vol* ` ( A u. B ) ) )
51	42, 44	oveqan12d 6315	. . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) )
52	50, 51	eqeq12d 2479	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol ) -> ( ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) <-> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
53	52	3adant3 1016	. . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) <-> ( vol* ` ( A u. B ) ) = ( ( vol* ` A ) + ( vol* ` B ) ) ) )
54	41, 47, 53	3imtr4d 268	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) ) )
55	54	imp 429	1 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. dom vol /\ ( A i^i B ) = (/) ) /\ ( ( vol ` A ) e. RR /\ ( vol ` B ) e. RR ) ) -> ( vol ` ( A u. B ) ) = ( ( vol ` A ) + ( vol ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   \ cdif 3468   u. cun 3469   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   + caddc 9512   <_ cle 9646   vol*covol 22000   volcvol 22001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-ovol 22002  df-vol 22003

This theorem is referenced by:  volinun  22082  volfiniun  22083  volsup  22092  ovolioo  22104  ismblfin  30239  volioc  31953