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Theorem volun 22484
Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volun  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  A
)  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) )

Proof of Theorem volun
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
2 mblss 22471 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
31, 2syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
4 simpl2 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
5 mblss 22471 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
64, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  B  C_  RR )
73, 6unssd 3642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
8 readdcl 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  e.  RR )
98adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  e.  RR )
10 simprl 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
11 simprr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
12 ovolun 22438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
133, 10, 6, 11, 12syl22anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
14 ovollecl 22422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
157, 9, 13, 14syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  e.  RR )
16 mblsplit 22472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( A  u.  B
)  \  A )
) ) )
171, 7, 15, 16syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A
) ) ) )
18 simpl3 1010 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
19 indir 3721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )
20 inidm 3671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  A )  =  A
21 incom 3655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
2220, 21uneq12i 3618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  ( A  u.  ( A  i^i  B ) )
23 unabs 3703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( A  i^i  B ) )  =  A
2422, 23eqtri 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  A
2519, 24eqtri 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  A
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  A )
2726fveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A ) )  =  ( vol* `  A ) )
2821eqeq1i 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
29 disj3 3837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  A )  =  (/)  <->  B  =  ( B  \  A ) )
3028, 29bitr3i 254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  B  =  ( B  \  A ) )
3130biimpi 197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  B  =  ( B  \  A
) )
32 uncom 3610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  B )  =  ( B  u.  A
)
3332difeq1i 3579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  ( ( B  u.  A )  \  A
)
34 difun2 3875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
3533, 34eqtri 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
3631, 35syl6reqr 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  B )
3736fveq2d 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A ) )  =  ( vol* `  B ) )
3827, 37oveq12d 6319 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( vol* `  (
( A  u.  B
)  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A ) ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
3918, 38syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( A  u.  B
)  \  A )
) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) )
4017, 39eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
4140ex 435 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) ) )
42 mblvol 22470 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
4342eleq1d 2491 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
44 mblvol 22470 . . . . . 6  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  B )  =  ( vol* `  B ) )
4544eleq1d 2491 . . . . 5  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
4643, 45bi2anan9 881 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
47463adant3 1025 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
48 unmbl 22477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
49 mblvol 22470 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  u.  B ) )  =  ( vol* `  ( A  u.  B
) ) )
5048, 49syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( vol* `  ( A  u.  B ) ) )
5142, 44oveqan12d 6320 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
) )
5250, 51eqeq12d 2444 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  <->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) ) )
53523adant3 1025 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) )  <->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) ) )
5441, 47, 533imtr4d 271 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) ) )
5554imp 430 1  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  A
)  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4420   dom cdm 4849   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   RRcr 9538    + caddc 9542    <_ cle 9676   vol*covol 22399   volcvol 22401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-sup 7958  df-inf 7959  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-ovol 22402  df-vol 22404
This theorem is referenced by:  volinun  22485  volfiniun  22486  volsup  22495  ovolioo  22507  ismblfin  31894  volioc  37668  volico  38137
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