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Theorem volun 21718
Description: The Lebesgue measure function is finitely additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volun  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  A
)  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) )

Proof of Theorem volun
StepHypRef Expression
1 simpl1 999 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  A  e.  dom  vol )
2 mblss 21705 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
4 simpl2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
5 mblss 21705 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  B  C_  RR )
73, 6unssd 3680 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
8 readdcl 9575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) )  e.  RR )
98adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  e.  RR )
10 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
11 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  B )  e.  RR )
12 ovolun 21673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
133, 10, 6, 11, 12syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
14 ovollecl 21657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
157, 9, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  e.  RR )
16 mblsplit 21706 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( A  u.  B
)  \  A )
) ) )
171, 7, 15, 16syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A ) )  +  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A
) ) ) )
18 simpl3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
19 indir 3746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )
20 inidm 3707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  A )  =  A
21 incom 3691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  i^i  A )  =  ( A  i^i  B
)
2220, 21uneq12i 3656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  ( A  u.  ( A  i^i  B ) )
23 unabs 3728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  ( A  i^i  B ) )  =  A
2422, 23eqtri 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  A )  u.  ( B  i^i  A ) )  =  A
2519, 24eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  A
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B )  i^i  A )  =  A )
2726fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A ) )  =  ( vol* `  A ) )
2821eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  A )  =  (/)  <->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
29 disj3 3871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  i^i  A )  =  (/)  <->  B  =  ( B  \  A ) )
3028, 29bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  <->  B  =  ( B  \  A ) )
3130biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  B  =  ( B  \  A
) )
32 uncom 3648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  u.  B )  =  ( B  u.  A
)
3332difeq1i 3618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  ( ( B  u.  A )  \  A
)
34 difun2 3906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  u.  A ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
3533, 34eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  ( B  \  A
)
3631, 35syl6reqr 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  u.  B ) 
\  A )  =  B )
3736fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A ) )  =  ( vol* `  B ) )
3827, 37oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( vol* `  (
( A  u.  B
)  i^i  A )
)  +  ( vol* `  ( ( A  u.  B )  \  A ) ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
3918, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol* `  ( ( A  u.  B )  i^i  A
) )  +  ( vol* `  (
( A  u.  B
)  \  A )
) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) )
4017, 39eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) )
4140ex 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B ) ) ) )
42 mblvol 21704 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
4342eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
44 mblvol 21704 . . . . . 6  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  B )  =  ( vol* `  B ) )
4544eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol* `  B )  e.  RR ) )
4643, 45bi2anan9 871 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  ( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
47463adant3 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( ( vol* `  A )  e.  RR  /\  ( vol* `  B )  e.  RR ) ) )
48 unmbl 21711 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  u.  B )  e.  dom  vol )
49 mblvol 21704 . . . . . 6  |-  ( ( A  u.  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  u.  B ) )  =  ( vol* `  ( A  u.  B
) ) )
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( vol* `  ( A  u.  B ) ) )
5142, 44oveqan12d 6303 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol* `  A
)  +  ( vol* `  B )
) )
5250, 51eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  <->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) ) )
53523adant3 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) )  <->  ( vol* `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( vol* `  A )  +  ( vol* `  B
) ) ) )
5441, 47, 533imtr4d 268 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  ( A  i^i  B
)  =  (/) )  -> 
( ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) ) )
5554imp 429 1  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  A
)  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( A  u.  B )
)  =  ( ( vol `  A )  +  ( vol `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491    + caddc 9495    <_ cle 9629   vol*covol 21637   volcvol 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-ovol 21639  df-vol 21640
This theorem is referenced by:  volinun  21719  volfiniun  21720  volsup  21729  ovolioo  21741  ismblfin  29660  volioc  31318
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