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Theorem volsupnfl 28441
Description: volsup 21042 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
volsupnfl.0  |-  ( ( f : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
volsupnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, x, A

Proof of Theorem volsupnfl
Dummy variables  g  m  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4104 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4123 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol `  U. A )  =  ( vol `  (/) ) )
5 0mbl 21026 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  dom  vol
6 mblvol 21018 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
8 ovol0 20981 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
97, 8eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( vol `  (/) )  =  0
104, 9syl6req 2492 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
1110a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
12 reldom 7321 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 4884 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
14 0sdomg 7445 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1615biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
17 fodomr 7467 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
1816, 17sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
19 unissb 4128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
2019anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
21 r19.26 2854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2220, 21bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
23 ovolctb2 20980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
24 nulmbl 21022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  x  e.  dom  vol )
25 mblvol 21018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( vol `  x )  =  ( vol* `  x ) )
26 eqtr 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( vol `  x
)  =  ( vol* `  x )  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  ( vol `  x )  =  0 )
2726expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( ( vol `  x
)  =  ( vol* `  x )  ->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
2825, 27syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( x  e.  dom  vol 
->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( x  e.  dom  vol 
->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3024, 29jcai 536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3123, 30syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
3231ralimi 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
3322, 32sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3433ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
35 fzfi 11799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
36 fzssuz 11504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... m )  C_  ( ZZ>= `  1 )
37 nnuz 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3836, 37sseqtr4i 3394 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  C_  NN
39 fof 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g : NN --> A )
4039ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  ->  ( g `  l )  e.  A
)
41 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
x  e.  dom  vol  <->  (
g `  l )  e.  dom  vol ) )
42 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  ( vol `  x )  =  ( vol `  (
g `  l )
) )
4342eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( vol `  x
)  =  0  <->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 ) )
4441, 43anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  <-> 
( ( g `  l )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
g `  l )
)  =  0 ) ) )
4544rspccva 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( (
g `  l )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 ) )
4645simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( g `  l )  e.  dom  vol )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  l
)  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( g `  l )  e.  dom  vol )
4840, 47sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  ->  (
g `  l )  e.  dom  vol )
4948an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  (
g `  l )  e.  dom  vol )
5049ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( g `  l )  e.  dom  vol )
51 ssralv 3421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  (
g `  l )  e.  dom  vol  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol ) )
5238, 50, 51mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
53 finiunmbl 21030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  e.  dom  vol )
5435, 52, 53sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
56 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
5755, 56fmptd 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) : NN --> dom  vol )
58 fzssp1 11506 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  ( 1 ... (
n  +  1 ) )
59 iunss1 4187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  C_  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  C_  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l )
61 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
6261iuneq1d 4200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  n  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U_ l  e.  ( 1 ... n ) ( g `  l ) )
63 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
64 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g `
 l )  e. 
_V
6563, 64iunex 6562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  e.  _V
6662, 56, 65fvmpt 5779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n )  =  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l ) )
67 peano2nn 10339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
68 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
6968iuneq1d 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U_ l  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ( g `  l ) )
70 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
7170, 64iunex 6562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l )  e.  _V
7269, 56, 71fvmpt 5779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
7367, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
7466, 73sseq12d 3390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  <->  U_ l  e.  (
1 ... n ) ( g `  l ) 
C_  U_ l  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ( g `  l
) ) )
7560, 74mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) )
7675rgen 2786 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )
77 nnex 10333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
7877mptex 5953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
_V
79 feq1 5547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f : NN --> dom  vol  <->  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol ) )
80 fveq1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n ) )
81 fveq1 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) )
8280, 81sseq12d 3390 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) )  <->  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) ) )
8382ralbidv 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
8479, 83anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( f : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  C_  (
f `  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
85 rneq 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ran  f  =  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )
8685unieqd 4106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  U. ran  f  =  U. ran  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
8786fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( vol `  U. ran  f
)  =  ( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) ) )
8885imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( vol " ran  f )  =  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) )
8988supeq1d 7701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
9087, 89eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9184, 90imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( ( f : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  C_  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  f
)  =  sup (
( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
92 volsupnfl.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )
9378, 91, 92vtocl 3029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9457, 76, 93sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
95 df-iun 4178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  {
n  |  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) }
96 eluzfz2 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ( 1 ... x
) )
9796, 37eleq2s 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ( 1 ... x
) )
98 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  x  ->  (
g `  l )  =  ( g `  x ) )
9998eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  x  ->  (
n  e.  ( g `
 l )  <->  n  e.  ( g `  x
) ) )
10099rspcev 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... x )  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. l  e.  (
1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )
10197, 100sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. l  e.  (
1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )
102 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  x  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... x
) )
103102rexeqdv 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  x  ->  ( E. l  e.  (
1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  <->  E. l  e.  ( 1 ... x
) n  e.  ( g `  l ) ) )
104103rspcev 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN  /\  E. l  e.  ( 1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
105101, 104syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
106105rexlimiva 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m
) n  e.  ( g `  l ) )
107 ssrexv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l ) ) )
10838, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l ) )
10999cbvrexv 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l
)  <->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
110108, 109sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
111110rexlimivw 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
112106, 111impbii 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  <->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
113 eliun 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  <->  E. l  e.  ( 1 ... m
) n  e.  ( g `  l ) )
114113rexbii 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  <->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
115112, 114bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  <->  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )
116115abbii 2560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { n  |  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) }  =  { n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) }
11795, 116eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  {
n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) }
118 df-iun 4178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ m  e.  NN  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  {
n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) }
119 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
120119, 64iunex 6562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  _V
121120dfiun3 5099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ m  e.  NN  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
122117, 118, 1213eqtr2i 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
123 fofn 5627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g  Fn  NN )
124 fniunfv 5969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  Fn  NN  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  U. ran  g )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x
)  =  U. ran  g )
126 forn 5628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  ran  g  =  A
)
127126unieqd 4106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ran  g  =  U. A )
128125, 127eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x
)  =  U. A
)
129122, 128syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  =  U. A )
130129fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
131130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol `  U. A ) )
132 rnco2 5350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
133 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
134 volf 21017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
136135feqmptd 5749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  vol  =  ( n  e.  dom  vol  |->  ( vol `  n ) ) )
137 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  ->  ( vol `  n )  =  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )
13855, 133, 136, 137fmptco 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) ) )
139 mblvol 21018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
14055, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
141 mblss 21019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  x  C_  RR )
14325eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  x
)  =  0  <->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
144 0re 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  0  e.  RR
145 eleq1a 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( vol* `  x )  =  0  ->  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
146144, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( vol* `  x )  e.  RR )
147143, 146syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  x
)  =  0  -> 
( vol* `  x )  e.  RR ) )
148147imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
149142, 148jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
150149ralimi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) )
151150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
152 ssid 3380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  NN  C_  NN
153 sseq1 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( g `  l )  C_  RR ) )
154 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
155154eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( vol* `  x )  e.  RR  <->  ( vol* `  (
g `  l )
)  e.  RR ) )
156153, 155anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<->  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
157156ralima 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( g  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. l  e.  NN  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
158123, 152, 157sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. l  e.  NN  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
159 foima 5630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( g " NN )  =  A )
160159raleqdv 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) ) )
161158, 160bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. l  e.  NN  ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) ) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( A. l  e.  NN  (
( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) ) )
163151, 162mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
164 ssralv 3421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  (
( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR )  ->  A. l  e.  (
1 ... m ) ( ( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR ) ) )
16538, 163, 164mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
167 ovolfiniun 20989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( ( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  <_  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) ) )
16835, 166, 167sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  <_  sum_ l  e.  ( 1 ... m ) ( vol* `  (
g `  l )
) )
169 mblvol 21018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( g `
 l ) )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
17049, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
17145simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( vol `  ( g `  l
) )  =  0 )
17240, 171sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN ) )  -> 
( vol `  (
g `  l )
)  =  0 )
173172ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 )
174173an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 )
175170, 174eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( g `
 l ) )  =  0 )
176175ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
177 ssralv 3421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  ( vol* `  ( g `
 l ) )  =  0  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 ) )
17838, 176, 177mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
179178adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
180179sumeq2d 13184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  sum_ l  e.  ( 1 ... m ) 0 )
18135olci 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
182 sumz 13204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1 ... m
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... m )  e. 
Fin )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
183181, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0
184180, 183syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
185168, 184breqtrd 4321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  <_ 
0 )
186 mblss 21019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( g `  l ) 
C_  RR )
187186ralimi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR )
18852, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
189 iunss 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  <->  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  C_  RR )
190188, 189sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
191190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
192 ovolge0 20969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
194 ovolcl 20966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
195190, 194syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
196195adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
197 0xr 9435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR*
198 xrletri3 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  =  0  <->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) ) )
199196, 197, 198sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  =  0  <->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) ) )
200185, 193, 199mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  0 )
201140, 200eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  0 )
202201mpteq2dva 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
203 fconstmpt 4887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
204202, 203syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
205138, 204eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
206 frn 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  C_  dom  vol )
207 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  vol  Fn  dom  vol )
208134, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  vol  Fn  dom  vol
209120, 56fnmpti 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  Fn  NN
210 fnco 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  Fn  NN  /\  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  C_  dom  vol )  ->  ( vol  o.  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
211208, 209, 210mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  C_  dom  vol  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
21257, 206, 2113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
213 1nn 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN
214 ne0i 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
215213, 214ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =/=  (/)
216 fconst5 5940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( vol  o.  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN  /\  NN  =/=  (/) )  -> 
( ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )  <->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } ) )
217212, 215, 216sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( NN  X.  {
0 } )  <->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } ) )
218205, 217mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } )
219132, 218syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } )
220219supeq1d 7701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
221 xrltso 11123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR*
222 supsn 7724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
223221, 197, 222mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
224220, 223syl6eq 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
22594, 131, 2243eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) )
226225ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
22734, 226syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
228227exlimiv 1688 . . . . . . 7  |-  ( E. g  g : NN -onto-> A  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
22918, 228syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
230229expimpd 603 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
23111, 230pm2.61ine 2692 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) )
232 renepnf 9436 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
233144, 232mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
234 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  =  ( vol `  RR ) )
235 rembl 21027 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  dom  vol
236 mblvol 21018 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  dom  vol  ->  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR ) )
237235, 236ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR )
238 ovolre 21013 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
239237, 238eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( vol `  RR )  = +oo
240234, 239syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  = +oo )
241233, 240neeqtrrd 2637 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol `  U. A ) )
242241necon2i 2663 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
243231, 242syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
244243expr 615 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
245 eqimss 3413 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
246245necon3bi 2657 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
247244, 246pm2.61d1 159 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   U.cuni 4096   U_ciun 4176   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    Or wor 4645    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848    o. ccom 4849    Fn wfn 5418   -->wf 5419   -onto->wfo 5421   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ~<_ cdom 7313    ~< csdm 7314   Fincfn 7315   supcsup 7695   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424   NNcn 10327   ZZ>=cuz 10866   [,]cicc 11308   ...cfz 11442   sum_csu 13168   vol*covol 20951   volcvol 20952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cmp 18995  df-ovol 20953  df-vol 20954
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