Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volsupnfl Structured version   Unicode version

Theorem volsupnfl 29636
Description: volsup 21701 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
volsupnfl.0  |-  ( ( f : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
volsupnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, x, A

Proof of Theorem volsupnfl
Dummy variables  g  m  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4253 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4272 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol `  U. A )  =  ( vol `  (/) ) )
5 0mbl 21685 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  dom  vol
6 mblvol 21676 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
8 ovol0 21639 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
97, 8eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( vol `  (/) )  =  0
104, 9syl6req 2525 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
1110a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
12 reldom 7519 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 5039 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
14 0sdomg 7643 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1615biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
17 fodomr 7665 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
1816, 17sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
19 unissb 4277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
2019anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
21 r19.26 2989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2220, 21bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
23 ovolctb2 21638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
24 nulmbl 21681 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  x  e.  dom  vol )
25 mblvol 21676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( vol `  x )  =  ( vol* `  x ) )
26 eqtr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( vol `  x
)  =  ( vol* `  x )  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  ( vol `  x )  =  0 )
2726expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( ( vol `  x
)  =  ( vol* `  x )  ->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
2825, 27syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( x  e.  dom  vol 
->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( x  e.  dom  vol 
->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3024, 29jcai 536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3123, 30syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
3231ralimi 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
3322, 32sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3433ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
35 fzfi 12046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
36 fzssuz 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... m )  C_  ( ZZ>= `  1 )
37 nnuz 11113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3836, 37sseqtr4i 3537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  C_  NN
39 fof 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g : NN --> A )
4039ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  ->  ( g `  l )  e.  A
)
41 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
x  e.  dom  vol  <->  (
g `  l )  e.  dom  vol ) )
42 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  ( vol `  x )  =  ( vol `  (
g `  l )
) )
4342eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( vol `  x
)  =  0  <->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 ) )
4441, 43anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  <-> 
( ( g `  l )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
g `  l )
)  =  0 ) ) )
4544rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( (
g `  l )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 ) )
4645simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( g `  l )  e.  dom  vol )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  l
)  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( g `  l )  e.  dom  vol )
4840, 47sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  ->  (
g `  l )  e.  dom  vol )
4948an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  (
g `  l )  e.  dom  vol )
5049ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( g `  l )  e.  dom  vol )
51 ssralv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  (
g `  l )  e.  dom  vol  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol ) )
5238, 50, 51mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
53 finiunmbl 21689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  e.  dom  vol )
5435, 52, 53sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
56 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
5755, 56fmptd 6043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) : NN --> dom  vol )
58 fzssp1 11722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  ( 1 ... (
n  +  1 ) )
59 iunss1 4337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  C_  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  C_  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l )
61 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
6261iuneq1d 4350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  n  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U_ l  e.  ( 1 ... n ) ( g `  l ) )
63 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
64 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g `
 l )  e. 
_V
6563, 64iunex 6761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  e.  _V
6662, 56, 65fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n )  =  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l ) )
67 peano2nn 10544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
68 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
6968iuneq1d 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U_ l  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ( g `  l ) )
70 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
7170, 64iunex 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l )  e.  _V
7269, 56, 71fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
7367, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
7466, 73sseq12d 3533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  <->  U_ l  e.  (
1 ... n ) ( g `  l ) 
C_  U_ l  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ( g `  l
) ) )
7560, 74mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) )
7675rgen 2824 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )
77 nnex 10538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
7877mptex 6129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
_V
79 feq1 5711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f : NN --> dom  vol  <->  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol ) )
80 fveq1 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n ) )
81 fveq1 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) )
8280, 81sseq12d 3533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) )  <->  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) ) )
8382ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
8479, 83anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( f : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  C_  (
f `  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
85 rneq 5226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ran  f  =  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )
8685unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  U. ran  f  =  U. ran  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
8786fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( vol `  U. ran  f
)  =  ( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) ) )
8885imaeq2d 5335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( vol " ran  f )  =  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) )
8988supeq1d 7902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
9087, 89eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9184, 90imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( ( f : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  C_  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  f
)  =  sup (
( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
92 volsupnfl.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )
9378, 91, 92vtocl 3165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9457, 76, 93sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
95 df-iun 4327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  {
n  |  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) }
96 eluzfz2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ( 1 ... x
) )
9796, 37eleq2s 2575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ( 1 ... x
) )
98 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  x  ->  (
g `  l )  =  ( g `  x ) )
9998eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  x  ->  (
n  e.  ( g `
 l )  <->  n  e.  ( g `  x
) ) )
10099rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... x )  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. l  e.  (
1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )
10197, 100sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. l  e.  (
1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )
102 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  x  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... x
) )
103102rexeqdv 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  x  ->  ( E. l  e.  (
1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  <->  E. l  e.  ( 1 ... x
) n  e.  ( g `  l ) ) )
104103rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN  /\  E. l  e.  ( 1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
105101, 104syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
106105rexlimiva 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m
) n  e.  ( g `  l ) )
107 ssrexv 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l ) ) )
10838, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l ) )
10999cbvrexv 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l
)  <->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
110108, 109sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
111110rexlimivw 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
112106, 111impbii 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  <->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
113 eliun 4330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  <->  E. l  e.  ( 1 ... m
) n  e.  ( g `  l ) )
114113rexbii 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  <->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
115112, 114bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  <->  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )
116115abbii 2601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { n  |  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) }  =  { n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) }
11795, 116eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  {
n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) }
118 df-iun 4327 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ m  e.  NN  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  {
n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) }
119 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
120119, 64iunex 6761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  _V
121120dfiun3 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ m  e.  NN  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
122117, 118, 1213eqtr2i 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
123 fofn 5795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g  Fn  NN )
124 fniunfv 6145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  Fn  NN  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  U. ran  g )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x
)  =  U. ran  g )
126 forn 5796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  ran  g  =  A
)
127126unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ran  g  =  U. A )
128125, 127eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x
)  =  U. A
)
129122, 128syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  =  U. A )
130129fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
131130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol `  U. A ) )
132 rnco2 5512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
133 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
134 volf 21675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
136135feqmptd 5918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  vol  =  ( n  e.  dom  vol  |->  ( vol `  n ) ) )
137 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  ->  ( vol `  n )  =  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )
13855, 133, 136, 137fmptco 6052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) ) )
139 mblvol 21676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
14055, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
141 mblss 21677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  x  C_  RR )
14325eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  x
)  =  0  <->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
144 0re 9592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  0  e.  RR
145 eleq1a 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( vol* `  x )  =  0  ->  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
146144, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( vol* `  x )  e.  RR )
147143, 146syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  x
)  =  0  -> 
( vol* `  x )  e.  RR ) )
148147imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
149142, 148jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
150149ralimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) )
151150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
152 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  NN  C_  NN
153 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( g `  l )  C_  RR ) )
154 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
155154eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( vol* `  x )  e.  RR  <->  ( vol* `  (
g `  l )
)  e.  RR ) )
156153, 155anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<->  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
157156ralima 6138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( g  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. l  e.  NN  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
158123, 152, 157sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. l  e.  NN  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
159 foima 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( g " NN )  =  A )
160159raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) ) )
161158, 160bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. l  e.  NN  ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) ) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( A. l  e.  NN  (
( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) ) )
163151, 162mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
164 ssralv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  (
( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR )  ->  A. l  e.  (
1 ... m ) ( ( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR ) ) )
16538, 163, 164mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
167 ovolfiniun 21647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( ( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  <_  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) ) )
16835, 166, 167sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  <_  sum_ l  e.  ( 1 ... m ) ( vol* `  (
g `  l )
) )
169 mblvol 21676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( g `
 l ) )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
17049, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
17145simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( vol `  ( g `  l
) )  =  0 )
17240, 171sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN ) )  -> 
( vol `  (
g `  l )
)  =  0 )
173172ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 )
174173an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 )
175170, 174eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( g `
 l ) )  =  0 )
176175ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
177 ssralv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  ( vol* `  ( g `
 l ) )  =  0  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 ) )
17838, 176, 177mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
179178adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
180179sumeq2d 13483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  sum_ l  e.  ( 1 ... m ) 0 )
18135olci 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
182 sumz 13503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1 ... m
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... m )  e. 
Fin )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
183181, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0
184180, 183syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
185168, 184breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  <_ 
0 )
186 mblss 21677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( g `  l ) 
C_  RR )
187186ralimi 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR )
18852, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
189 iunss 4366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  <->  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  C_  RR )
190188, 189sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
191190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
192 ovolge0 21627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
194 ovolcl 21624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
195190, 194syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
196195adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
197 0xr 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR*
198 xrletri3 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  =  0  <->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) ) )
199196, 197, 198sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  =  0  <->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) ) )
200185, 193, 199mpbir2and 920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  0 )
201140, 200eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  0 )
202201mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
203 fconstmpt 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
204202, 203syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
205138, 204eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
206 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  C_  dom  vol )
207 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  vol  Fn  dom  vol )
208134, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  vol  Fn  dom  vol
209120, 56fnmpti 5707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  Fn  NN
210 fnco 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  Fn  NN  /\  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  C_  dom  vol )  ->  ( vol  o.  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
211208, 209, 210mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  C_  dom  vol  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
21257, 206, 2113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
213 1nn 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN
214 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
215213, 214ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =/=  (/)
216 fconst5 6116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( vol  o.  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN  /\  NN  =/=  (/) )  -> 
( ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )  <->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } ) )
217212, 215, 216sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( NN  X.  {
0 } )  <->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } ) )
218205, 217mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } )
219132, 218syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } )
220219supeq1d 7902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
221 xrltso 11343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR*
222 supsn 7926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
223221, 197, 222mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
224220, 223syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
22594, 131, 2243eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) )
226225ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
22734, 226syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
228227exlimiv 1698 . . . . . . 7  |-  ( E. g  g : NN -onto-> A  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
22918, 228syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
230229expimpd 603 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
23111, 230pm2.61ine 2780 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) )
232 renepnf 9637 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
233144, 232mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
234 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  =  ( vol `  RR ) )
235 rembl 21686 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  dom  vol
236 mblvol 21676 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  dom  vol  ->  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR ) )
237235, 236ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR )
238 ovolre 21671 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
239237, 238eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( vol `  RR )  = +oo
240234, 239syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  = +oo )
241233, 240neeqtrrd 2767 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol `  U. A ) )
242241necon2i 2710 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
243231, 242syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
244243expr 615 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
245 eqimss 3556 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
246245necon3bi 2696 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
247244, 246pm2.61d1 159 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    Or wor 4799    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002    o. ccom 5003    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ~<_ cdom 7511    ~< csdm 7512   Fincfn 7513   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   ZZ>=cuz 11078   [,]cicc 11528   ...cfz 11668   sum_csu 13467   vol*covol 21609   volcvol 21610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator