Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volsupnfl Structured version   Unicode version

Theorem volsupnfl 30264
Description: volsup 22092 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
volsupnfl.0  |-  ( ( f : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
volsupnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, x, A

Proof of Theorem volsupnfl
Dummy variables  g  m  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4259 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4278 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol `  U. A )  =  ( vol `  (/) ) )
5 0mbl 22076 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  dom  vol
6 mblvol 22067 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
8 ovol0 22030 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
97, 8eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  ( vol `  (/) )  =  0
104, 9syl6req 2515 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
1110a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
12 reldom 7541 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 5049 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
14 0sdomg 7665 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1615biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
17 fodomr 7687 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
1816, 17sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
19 unissb 4283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
2019anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
21 r19.26 2984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2220, 21bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
23 ovolctb2 22029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
24 nulmbl 22072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  x  e.  dom  vol )
25 mblvol 22067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( vol `  x )  =  ( vol* `  x ) )
26 eqtr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( vol `  x
)  =  ( vol* `  x )  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  ( vol `  x )  =  0 )
2726expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( ( vol `  x
)  =  ( vol* `  x )  ->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
2825, 27syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( x  e.  dom  vol 
->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( x  e.  dom  vol 
->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3024, 29jcai 536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3123, 30syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
3231ralimi 2850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
3322, 32sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3433ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
35 fzfi 12085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
36 fzssuz 11750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... m )  C_  ( ZZ>= `  1 )
37 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3836, 37sseqtr4i 3532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  C_  NN
39 fof 5801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g : NN --> A )
4039ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  ->  ( g `  l )  e.  A
)
41 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
x  e.  dom  vol  <->  (
g `  l )  e.  dom  vol ) )
42 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  ( vol `  x )  =  ( vol `  (
g `  l )
) )
4342eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( vol `  x
)  =  0  <->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 ) )
4441, 43anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  <-> 
( ( g `  l )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
g `  l )
)  =  0 ) ) )
4544rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( (
g `  l )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 ) )
4645simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( g `  l )  e.  dom  vol )
4746ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  l
)  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( g `  l )  e.  dom  vol )
4840, 47sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  ->  (
g `  l )  e.  dom  vol )
4948an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  (
g `  l )  e.  dom  vol )
5049ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( g `  l )  e.  dom  vol )
51 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  (
g `  l )  e.  dom  vol  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol ) )
5238, 50, 51mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
53 finiunmbl 22080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  e.  dom  vol )
5435, 52, 53sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
56 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
5755, 56fmptd 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) : NN --> dom  vol )
58 fzssp1 11752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  ( 1 ... (
n  +  1 ) )
59 iunss1 4344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  C_  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  C_  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l )
61 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
6261iuneq1d 4357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  n  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U_ l  e.  ( 1 ... n ) ( g `  l ) )
63 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
64 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g `
 l )  e. 
_V
6563, 64iunex 6779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  e.  _V
6662, 56, 65fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n )  =  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l ) )
67 peano2nn 10568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
68 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
6968iuneq1d 4357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U_ l  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ( g `  l ) )
70 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
7170, 64iunex 6779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l )  e.  _V
7269, 56, 71fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
7367, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
7466, 73sseq12d 3528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  <->  U_ l  e.  (
1 ... n ) ( g `  l ) 
C_  U_ l  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ( g `  l
) ) )
7560, 74mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) )
7675rgen 2817 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )
77 nnex 10562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
7877mptex 6144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
_V
79 feq1 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f : NN --> dom  vol  <->  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol ) )
80 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n ) )
81 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) )
8280, 81sseq12d 3528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) )  <->  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) ) )
8382ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
8479, 83anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( f : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  C_  (
f `  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
85 rneq 5238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ran  f  =  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )
8685unieqd 4261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  U. ran  f  =  U. ran  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
8786fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( vol `  U. ran  f
)  =  ( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) ) )
8885imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( vol " ran  f )  =  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) )
8988supeq1d 7923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
9087, 89eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9184, 90imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( ( f : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  C_  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  f
)  =  sup (
( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
92 volsupnfl.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )
9378, 91, 92vtocl 3161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9457, 76, 93sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
95 df-iun 4334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  {
n  |  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) }
96 eluzfz2 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ( 1 ... x
) )
9796, 37eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ( 1 ... x
) )
98 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  x  ->  (
g `  l )  =  ( g `  x ) )
9998eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  x  ->  (
n  e.  ( g `
 l )  <->  n  e.  ( g `  x
) ) )
10099rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... x )  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. l  e.  (
1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )
10197, 100sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. l  e.  (
1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )
102 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  x  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... x
) )
103102rexeqdv 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  x  ->  ( E. l  e.  (
1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  <->  E. l  e.  ( 1 ... x
) n  e.  ( g `  l ) ) )
104103rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN  /\  E. l  e.  ( 1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
105101, 104syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
106105rexlimiva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m
) n  e.  ( g `  l ) )
107 ssrexv 3561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l ) ) )
10838, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l ) )
10999cbvrexv 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l
)  <->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
110108, 109sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
111110rexlimivw 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
112106, 111impbii 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  <->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
113 eliun 4337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  <->  E. l  e.  ( 1 ... m
) n  e.  ( g `  l ) )
114113rexbii 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  <->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
115112, 114bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  <->  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )
116115abbii 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { n  |  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) }  =  { n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) }
11795, 116eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  {
n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) }
118 df-iun 4334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ m  e.  NN  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  {
n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) }
119 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
120119, 64iunex 6779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  _V
121120dfiun3 5267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ m  e.  NN  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
122117, 118, 1213eqtr2i 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
123 fofn 5803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g  Fn  NN )
124 fniunfv 6160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  Fn  NN  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  U. ran  g )
125123, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x
)  =  U. ran  g )
126 forn 5804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  ran  g  =  A
)
127126unieqd 4261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ran  g  =  U. A )
128125, 127eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x
)  =  U. A
)
129122, 128syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  =  U. A )
130129fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
131130adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol `  U. A ) )
132 rnco2 5520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
133 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
134 volf 22066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
136135feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  vol  =  ( n  e.  dom  vol  |->  ( vol `  n ) ) )
137 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  ->  ( vol `  n )  =  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )
13855, 133, 136, 137fmptco 6065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) ) )
139 mblvol 22067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
14055, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
141 mblss 22068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  x  C_  RR )
14325eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  x
)  =  0  <->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
144 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  0  e.  RR
145 eleq1a 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( vol* `  x )  =  0  ->  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
146144, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( vol* `  x )  e.  RR )
147143, 146syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  x
)  =  0  -> 
( vol* `  x )  e.  RR ) )
148147imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
149142, 148jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
150149ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) )
151150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
152 ssid 3518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  NN  C_  NN
153 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( g `  l )  C_  RR ) )
154 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
155154eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( vol* `  x )  e.  RR  <->  ( vol* `  (
g `  l )
)  e.  RR ) )
156153, 155anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<->  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
157156ralima 6153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( g  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. l  e.  NN  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
158123, 152, 157sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. l  e.  NN  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
159 foima 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( g " NN )  =  A )
160159raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) ) )
161158, 160bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. l  e.  NN  ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) ) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( A. l  e.  NN  (
( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) ) )
163151, 162mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
164 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  (
( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR )  ->  A. l  e.  (
1 ... m ) ( ( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR ) ) )
16538, 163, 164mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
167 ovolfiniun 22038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( ( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  <_  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) ) )
16835, 166, 167sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  <_  sum_ l  e.  ( 1 ... m ) ( vol* `  (
g `  l )
) )
169 mblvol 22067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( g `
 l ) )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
17049, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
17145simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( vol `  ( g `  l
) )  =  0 )
17240, 171sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN ) )  -> 
( vol `  (
g `  l )
)  =  0 )
173172ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 )
174173an32s 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 )
175170, 174eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( g `
 l ) )  =  0 )
176175ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
177 ssralv 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  ( vol* `  ( g `
 l ) )  =  0  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 ) )
17838, 176, 177mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
179178adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
180179sumeq2d 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  sum_ l  e.  ( 1 ... m ) 0 )
18135olci 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
182 sumz 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1 ... m
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... m )  e. 
Fin )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
183181, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0
184180, 183syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
185168, 184breqtrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  <_ 
0 )
186 mblss 22068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( g `  l ) 
C_  RR )
187186ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR )
18852, 187syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
189 iunss 4373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  <->  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  C_  RR )
190188, 189sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
191190adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
192 ovolge0 22018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
194 ovolcl 22015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
195190, 194syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
196195adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
197 0xr 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR*
198 xrletri3 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  =  0  <->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) ) )
199196, 197, 198sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  =  0  <->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) ) )
200185, 193, 199mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  0 )
201140, 200eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  0 )
202201mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
203 fconstmpt 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
204202, 203syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
205138, 204eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
206 frn 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  C_  dom  vol )
207 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  vol  Fn  dom  vol )
208134, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  vol  Fn  dom  vol
209120, 56fnmpti 5715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  Fn  NN
210 fnco 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  Fn  NN  /\  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  C_  dom  vol )  ->  ( vol  o.  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
211208, 209, 210mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  C_  dom  vol  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
21257, 206, 2113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
213 1nn 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN
214213ne0ii 3800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =/=  (/)
215 fconst5 6130 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( vol  o.  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN  /\  NN  =/=  (/) )  -> 
( ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )  <->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } ) )
216212, 214, 215sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( NN  X.  {
0 } )  <->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } ) )
217205, 216mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } )
218132, 217syl5eqr 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } )
219218supeq1d 7923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
220 xrltso 11372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR*
221 supsn 7948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
222220, 197, 221mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
223219, 222syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
22494, 131, 2233eqtr3rd 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) )
225224ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
22634, 225syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
227226exlimiv 1723 . . . . . . 7  |-  ( E. g  g : NN -onto-> A  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
22818, 227syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
229228expimpd 603 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
23011, 229pm2.61ine 2770 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) )
231 renepnf 9658 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
232144, 231mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
233 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  =  ( vol `  RR ) )
234 rembl 22077 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  dom  vol
235 mblvol 22067 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  dom  vol  ->  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR ) )
236234, 235ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR )
237 ovolre 22062 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
238236, 237eqtri 2486 . . . . . . 7  |-  ( vol `  RR )  = +oo
239233, 238syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  = +oo )
240232, 239neeqtrrd 2757 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol `  U. A ) )
241240necon2i 2700 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
242230, 241syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
243242expr 615 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
244 eqimss 3551 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
245244necon3bi 2686 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
246243, 245pm2.61d1 159 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    Or wor 4808    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ~<_ cdom 7533    ~< csdm 7534   Fincfn 7535   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZ>=cuz 11106   [,]cicc 11557   ...cfz 11697   sum_csu 13520   vol*covol 22000   volcvol 22001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator