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Theorem volsupnfl 31688
Description: volsup 22386 is incompatible with the Feferman-Levy model. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
volsupnfl.0  |-  ( ( f : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
volsupnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, x, A

Proof of Theorem volsupnfl
Dummy variables  g  m  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4230 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4249 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol `  U. A )  =  ( vol `  (/) ) )
5 0mbl 22370 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  dom  vol
6 mblvol 22361 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
8 ovol0 22324 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
97, 8eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( vol `  (/) )  =  0
104, 9syl6req 2487 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
1110a1d 26 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
12 reldom 7583 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 4895 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
14 0sdomg 7707 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1615biimparc 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
17 fodomr 7729 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
1816, 17sylancom 671 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
19 unissb 4253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
2019anbi1i 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
21 r19.26 2962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2220, 21bitr4i 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
23 ovolctb2 22323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
24 nulmbl 22366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  x  e.  dom  vol )
25 mblvol 22361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( vol `  x )  =  ( vol* `  x ) )
26 eqtr 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( vol `  x
)  =  ( vol* `  x )  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  ( vol `  x )  =  0 )
2726expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( ( vol `  x
)  =  ( vol* `  x )  ->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
2825, 27syl5 33 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( x  e.  dom  vol 
->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
2928adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( x  e.  dom  vol 
->  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3024, 29jcai 538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  -> 
( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3123, 30syldan 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
3231ralimi 2825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
3322, 32sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )
3433ancoms 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )
35 fzfi 12182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... m )  e. 
Fin
36 fzssuz 11837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... m )  C_  ( ZZ>= `  1 )
37 nnuz 11194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3836, 37sseqtr4i 3503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... m )  C_  NN
39 fof 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g : NN --> A )
4039ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  ->  ( g `  l )  e.  A
)
41 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
x  e.  dom  vol  <->  (
g `  l )  e.  dom  vol ) )
42 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  ( vol `  x )  =  ( vol `  (
g `  l )
) )
4342eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( vol `  x
)  =  0  <->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 ) )
4441, 43anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  <-> 
( ( g `  l )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
g `  l )
)  =  0 ) ) )
4544rspccva 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( (
g `  l )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 ) )
4645simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( g `  l )  e.  dom  vol )
4746ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  l
)  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( g `  l )  e.  dom  vol )
4840, 47sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  ->  (
g `  l )  e.  dom  vol )
4948an32s 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  (
g `  l )  e.  dom  vol )
5049ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( g `  l )  e.  dom  vol )
51 ssralv 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  (
g `  l )  e.  dom  vol  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol ) )
5238, 50, 51mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
53 finiunmbl 22374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  e.  dom  vol )
5435, 52, 53sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
5554adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  dom  vol )
56 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
5755, 56fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) : NN --> dom  vol )
58 fzssp1 11839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... n )  C_  ( 1 ... (
n  +  1 ) )
59 iunss1 4314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  ( 1 ... ( n  +  1 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  C_  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  C_  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l )
61 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
6261iuneq1d 4327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  n  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U_ l  e.  ( 1 ... n ) ( g `  l ) )
63 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
64 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g `
 l )  e. 
_V
6563, 64iunex 6787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l )  e.  _V
6662, 56, 65fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n )  =  U_ l  e.  ( 1 ... n
) ( g `  l ) )
67 peano2nn 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
68 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
6968iuneq1d 4327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U_ l  e.  ( 1 ... ( n  + 
1 ) ) ( g `  l ) )
70 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  e. 
_V
7170, 64iunex 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l )  e.  _V
7269, 56, 71fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
7367, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  U_ l  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) ( g `  l ) )
7466, 73sseq12d 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )  <->  U_ l  e.  (
1 ... n ) ( g `  l ) 
C_  U_ l  e.  ( 1 ... ( n  +  1 ) ) ( g `  l
) ) )
7560, 74mpbiri 236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) )
7675rgen 2792 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) )
77 nnex 10615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  e.  _V
7877mptex 6151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
_V
79 feq1 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f : NN --> dom  vol  <->  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol ) )
80 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n ) )
81 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
f `  ( n  +  1 ) )  =  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) )
8280, 81sseq12d 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) )  <->  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) ) )
8382ralbidv 2871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  n )  C_  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
8479, 83anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( f : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( f `  n )  C_  (
f `  ( n  +  1 ) ) )  <->  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  n ) 
C_  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
85 rneq 5080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ran  f  =  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )
8685unieqd 4232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  U. ran  f  =  U. ran  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
8786fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( vol `  U. ran  f
)  =  ( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) ) )
8885imaeq2d 5188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  ( vol " ran  f )  =  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) )
8988supeq1d 7966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
9087, 89eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  )  <->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) )
9184, 90imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  ->  (
( ( f : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  (
f `  n )  C_  ( f `  (
n  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  f
)  =  sup (
( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( (
( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) ) ) )
92 volsupnfl.0 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( f `  n
)  C_  ( f `  ( n  +  1 ) ) )  -> 
( vol `  U. ran  f )  =  sup ( ( vol " ran  f ) ,  RR* ,  <  ) )
9378, 91, 92vtocl 3139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) `  n
)  C_  ( (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9457, 76, 93sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
95 df-iun 4304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  {
n  |  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) }
96 eluzfz2 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  x  e.  ( 1 ... x
) )
9796, 37eleq2s 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ( 1 ... x
) )
98 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( l  =  x  ->  (
g `  l )  =  ( g `  x ) )
9998eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( l  =  x  ->  (
n  e.  ( g `
 l )  <->  n  e.  ( g `  x
) ) )
10099rspcev 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... x )  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. l  e.  (
1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )
10197, 100sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. l  e.  (
1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )
102 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  x  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... x
) )
103102rexeqdv 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  x  ->  ( E. l  e.  (
1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  <->  E. l  e.  ( 1 ... x
) n  e.  ( g `  l ) ) )
104103rspcev 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN  /\  E. l  e.  ( 1 ... x ) n  e.  ( g `  l ) )  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
105101, 104syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  NN  /\  n  e.  ( g `  x ) )  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
106105rexlimiva 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  ->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m
) n  e.  ( g `  l ) )
107 ssrexv 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l ) ) )
10838, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l ) )
10999cbvrexv 3063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( E. l  e.  NN  n  e.  ( g `  l
)  <->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
110108, 109sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
111110rexlimivw 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l )  ->  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) )
112106, 111impbii 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  <->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
113 eliun 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  <->  E. l  e.  ( 1 ... m
) n  e.  ( g `  l ) )
114113rexbii 2934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  <->  E. m  e.  NN  E. l  e.  ( 1 ... m ) n  e.  ( g `  l ) )
115112, 114bitr4i 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x
)  <->  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )
116115abbii 2563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { n  |  E. x  e.  NN  n  e.  ( g `  x ) }  =  { n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) }
11795, 116eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  {
n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) }
118 df-iun 4304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ m  e.  NN  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  {
n  |  E. m  e.  NN  n  e.  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) }
119 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1 ... m )  e. 
_V
120119, 64iunex 6787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  e.  _V
121120dfiun3 5109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ m  e.  NN  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
122117, 118, 1213eqtr2i 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )
123 fofn 5812 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g  Fn  NN )
124 fniunfv 6167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  Fn  NN  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x )  =  U. ran  g )
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x
)  =  U. ran  g )
126 forn 5813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  ran  g  =  A
)
127126unieqd 4232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ran  g  =  U. A )
128125, 127eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ x  e.  NN  ( g `  x
)  =  U. A
)
129122, 128syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  =  U. A )
130129fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( vol `  U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
131130adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol `  U. A ) )
132 rnco2 5362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
133 eqidd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  =  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
134 volf 22360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
136135feqmptd 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  vol  =  ( n  e.  dom  vol  |->  ( vol `  n ) ) )
137 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  ->  ( vol `  n )  =  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )
13855, 133, 136, 137fmptco 6071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) ) )
139 mblvol 22361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
14055, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
141 mblss 22362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
142141adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  x  C_  RR )
14325eqeq1d 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  x
)  =  0  <->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
144 0re 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  0  e.  RR
145 eleq1a 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 0  e.  RR  ->  (
( vol* `  x )  =  0  ->  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
146144, 145ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( vol* `  x
)  =  0  -> 
( vol* `  x )  e.  RR )
147143, 146syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  x
)  =  0  -> 
( vol* `  x )  e.  RR ) )
148147imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
149142, 148jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
150149ralimi 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. x  e.  A  (
x  e.  dom  vol  /\  ( vol `  x
)  =  0 )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) )
151150adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) )
152 ssid 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  NN  C_  NN
153 sseq1 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( g `  l )  C_  RR ) )
154 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
155154eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( vol* `  x )  e.  RR  <->  ( vol* `  (
g `  l )
)  e.  RR ) )
156153, 155anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  =  ( g `  l )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<->  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
157156ralima 6160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( g  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. l  e.  NN  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
158123, 152, 157sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. l  e.  NN  ( ( g `  l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) ) )
159 foima 5815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( g " NN )  =  A )
160159raleqdv 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) ) )
161158, 160bitr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. l  e.  NN  ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) 
<-> 
A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  e.  RR ) ) )
162161adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( A. l  e.  NN  (
( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR ) ) )
163151, 162mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
164 ssralv 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  (
( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR )  ->  A. l  e.  (
1 ... m ) ( ( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR ) ) )
16538, 163, 164mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
166165adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( ( g `
 l )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  l
) )  e.  RR ) )
167 ovolfiniun 22332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( ( g `  l
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 l ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  <_  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) ) )
16835, 166, 167sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  <_  sum_ l  e.  ( 1 ... m ) ( vol* `  (
g `  l )
) )
169 mblvol 22361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( g `
 l ) )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
17049, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  ( vol* `  ( g `  l
) ) )
17145simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g `  l )  e.  A
)  ->  ( vol `  ( g `  l
) )  =  0 )
17240, 171sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 )  /\  ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN ) )  -> 
( vol `  (
g `  l )
)  =  0 )
173172ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  l  e.  NN )  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 )
174173an32s 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol `  ( g `  l ) )  =  0 )
175170, 174eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  l  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( g `
 l ) )  =  0 )
176175ralrimiva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  NN  ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
177 ssralv 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  NN  ->  ( A. l  e.  NN  ( vol* `  ( g `
 l ) )  =  0  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 ) )
17838, 176, 177mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
179178adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
180179sumeq2d 13746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  sum_ l  e.  ( 1 ... m ) 0 )
18135olci 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1 ... m ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
182 sumz 13766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( 1 ... m
)  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... m )  e. 
Fin )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0 )
183181, 182ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) 0  =  0
184180, 183syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ l  e.  ( 1 ... m
) ( vol* `  ( g `  l
) )  =  0 )
185168, 184breqtrd 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  <_ 
0 )
186 mblss 22362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  ( g `  l ) 
C_  RR )
187186ralimi 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l )  e.  dom  vol  ->  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR )
18852, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  A. l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
189 iunss 4343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  <->  A. l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
)  C_  RR )
190188, 189sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
191190adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l )  C_  RR )
192 ovolge0 22312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
193191, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )
194 ovolcl 22309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) 
C_  RR  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
195190, 194syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
196195adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  e. 
RR* )
197 0xr 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR*
198 xrletri3 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  =  0  <->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) ) )
199196, 197, 198sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  =  0  <->  (
( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  <_  0  /\  0  <_  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) ) ) )
200185, 193, 199mpbir2and 930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol* `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  0 )
201140, 200eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  =  0 )
202201mpteq2dva 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 ) )
203 fconstmpt 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
204202, 203syl6eqr 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
205138, 204eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } ) )
206 frn 5752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) )  C_  dom  vol )
207 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  vol  Fn  dom  vol )
208134, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  vol  Fn  dom  vol
209120, 56fnmpti 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) )  Fn  NN
210 fnco 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  Fn  NN  /\  ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  C_  dom  vol )  ->  ( vol  o.  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
211208, 209, 210mp3an12 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) )  C_  dom  vol  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m
) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
21257, 206, 2113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN )
213 1nn 10620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  NN
214213ne0ii 3774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =/=  (/)
215 fconst5 6137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( vol  o.  (
m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  Fn  NN  /\  NN  =/=  (/) )  -> 
( ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )  <->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } ) )
216212, 214, 215sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( ( vol  o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  ( NN  X.  {
0 } )  <->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } ) )
217205, 216mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ran  ( vol 
o.  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } )
218132, 217syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  ( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l
) ) )  =  { 0 } )
219218supeq1d 7966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  ) )
220 xrltso 11440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR*
221 supsn 7994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
222220, 197, 221mp2an 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
223219, 222syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  sup (
( vol " ran  ( m  e.  NN  |->  U_ l  e.  ( 1 ... m ) ( g `  l ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
22494, 131, 2233eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. x  e.  A  ( x  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  x
)  =  0 ) )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) )
225224ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  x )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
22634, 225syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
227226exlimiv 1769 . . . . . . 7  |-  ( E. g  g : NN -onto-> A  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
22818, 227syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
229228expimpd 606 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
23011, 229pm2.61ine 2744 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) )
231 renepnf 9687 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
232144, 231mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
233 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  =  ( vol `  RR ) )
234 rembl 22371 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  dom  vol
235 mblvol 22361 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  dom  vol  ->  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR ) )
236234, 235ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR )
237 ovolre 22356 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
238236, 237eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( vol `  RR )  = +oo
239233, 238syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  = +oo )
240232, 239neeqtrrd 2731 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol `  U. A ) )
241240necon2i 2674 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
242230, 241syl 17 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
243242expr 618 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
244 eqimss 3522 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
245244necon3bi 2660 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
246243, 245pm2.61d1 162 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   {cab 2414    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {csn 4002   U.cuni 4222   U_ciun 4302   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    Or wor 4774    X. cxp 4852   dom cdm 4854   ran crn 4855   "cima 4857    o. ccom 4858    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ~<_ cdom 7575    ~< csdm 7576   Fincfn 7577   supcsup 7960   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   NNcn 10609   ZZ>=cuz 11159   [,]cicc 11638   ...cfz 11782   sum_csu 13730   vol*covol 22294   volcvol 22295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cmp 20333  df-ovol 22296  df-vol 22297
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