MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volsuplem Structured version   Unicode version

Theorem volsuplem 22255
Description: Lemma for volsup 22256. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
volsuplem  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
) )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  B
) )
Distinct variable group:    n, F
Allowed substitution hints:    A( n)    B( n)

Proof of Theorem volsuplem
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
21sseq2d 3469 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  A
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  A )  C_  ( F `  A )
) )
32imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  x )
)  <->  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  (
n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  A
) ) ) )
4 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
54sseq2d 3469 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  A
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  A )  C_  ( F `  k )
) )
65imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  x )
)  <->  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  (
n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  k
) ) ) )
7 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
87sseq2d 3469 . . . . 5  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  A
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  A )  C_  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
98imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  x )
)  <->  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  (
n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
10 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
1110sseq2d 3469 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  A
)  C_  ( F `  x )  <->  ( F `  A )  C_  ( F `  B )
) )
1211imbi2d 314 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  x )
)  <->  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  (
n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  B
) ) ) )
13 ssid 3460 . . . . 5  |-  ( F `
 A )  C_  ( F `  A )
1413a1ii 12 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  A )
) )
15 eluznn 11196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  A ) )  -> 
k  e.  NN )
16 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
17 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
1817fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
1916, 18sseq12d 3470 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
)  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  <->  ( F `  k )  C_  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
2019rspccva 3158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  C_  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
2115, 20sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  ( A  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  A )
) )  ->  ( F `  k )  C_  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
2221anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  A ) )  ->  ( F `  k )  C_  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
23 sstr2 3448 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A ) 
C_  ( F `  k )  ->  (
( F `  k
)  C_  ( F `  ( k  +  1 ) )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
2422, 23syl5com 28 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  A ) )  ->  ( ( F `
 A )  C_  ( F `  k )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
2524expcom 433 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  A  e.  NN )  ->  (
( F `  A
)  C_  ( F `  k )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
2625a2d 26 . . . 4  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( (
( A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  k )
)  ->  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
273, 6, 9, 12, 14, 26uzind4 11184 . . 3  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  B
) ) )
2827com12 29 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( B  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  B
) ) )
2928impr 617 1  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
) )  ->  ( F `  A )  C_  ( F `  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    C_ wss 3413   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   1c1 9522    + caddc 9524   NNcn 10575   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127
This theorem is referenced by:  volsup  22256
  Copyright terms: Public domain W3C validator