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Theorem volsup 21169
Description: The volume of the limit of an increasing sequence of measurable sets is the limit of the volumes. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
volsup  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable group:    n, F

Proof of Theorem volsup
Dummy variables  j 
k  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 5949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  dom  vol )
21ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  k
)  e.  dom  vol )
3 fzofi 11912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1..^ k )  e.  Fin
4 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  F : NN --> dom  vol )
5 elfzouz 11673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6 nnuz 11006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
75, 6syl6eleqr 2553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  NN )
8 ffvelrn 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  e.  dom  vol )
94, 7, 8syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  /\  m  e.  ( 1..^ k ) )  -> 
( F `  m
)  e.  dom  vol )
109ralrimiva 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  A. m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m )  e.  dom  vol )
11 finiunmbl 21157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1..^ k )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m )  e. 
dom  vol )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  e.  dom  vol )
123, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m )  e.  dom  vol )
13 difmbl 21156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  dom  vol  /\ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m )  e.  dom  vol )  ->  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol )
142, 12, 13syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol )
15 mblvol 21144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  =  ( vol* `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  =  ( vol* `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) )
17 difssd 3591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) 
C_  ( F `  k ) )
18 mblss 21145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  k )  e.  dom  vol  ->  ( F `  k ) 
C_  RR )
192, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  k
)  C_  RR )
20 mblvol 21144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  k )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 k ) )  =  ( vol* `  ( F `  k
) ) )
212, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( F `  k )
)  =  ( vol* `  ( F `  k ) ) )
22 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )
2321, 22eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  ( F `  k ) )  e.  RR )
24 ovolsscl 21100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) 
C_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) )  e.  RR )
2517, 19, 23, 24syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) )  e.  RR )
2616, 25eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR )
2714, 26jca 532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR ) )
2827expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) )  e.  RR ) ) )
2928ralimdva 2831 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  A. k  e.  NN  (
( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) )  e.  RR ) ) )
3029imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR ) )
31 fveq2 5798 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
3231iundisj2 21162 . . . . 5  |- Disj  k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )
33 eqid 2454 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) )
34 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) )
3533, 34voliun 21167 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  ->  ( vol `  U_ k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
3630, 32, 35sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
3731iundisj 21161 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  NN  ( F `  k )  =  U_ k  e.  NN  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )
38 ffn 5666 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
3938ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  F  Fn  NN )
40 fniunfv 6072 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  ( F `  k )  =  U. ran  F )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  U_ k  e.  NN  ( F `  k )  =  U. ran  F
)
4237, 41syl5eqr 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  =  U. ran  F
)
4342fveq2d 5802 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  ( vol `  U. ran  F ) )
44 1z 10786 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
45 seqfn 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)
476fneq2i 5613 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
4846, 47mpbir 209 . . . . . . . . 9  |-  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  NN
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) )  Fn  NN )
50 volf 21143 . . . . . . . . . 10  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
51 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  F : NN --> dom  vol )
52 fco 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : NN --> dom  vol )  ->  ( vol  o.  F ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
5350, 51, 52sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol  o.  F ) : NN --> ( 0 [,] +oo ) )
54 ffn 5666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  o.  F ) : NN --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( vol  o.  F
)  Fn  NN )
5553, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol  o.  F )  Fn  NN )
56 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) ` 
1 ) )
57 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5857fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  ( vol `  ( F `  x ) )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) )
5956, 58eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) ) `  x )  =  ( vol `  ( F `  x )
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) ) )
6059imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( vol `  ( F `  x )
) )  <->  ( (
( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) ) ) )
61 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  j  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  j ) )
62 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  j  ->  ( F `  x )  =  ( F `  j ) )
6362fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  j  ->  ( vol `  ( F `  x ) )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )
6461, 63eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) ) `  x )  =  ( vol `  ( F `  x )
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) ) )
6564imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( vol `  ( F `  x )
) )  <->  ( (
( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) ) ) )
66 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
67 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
6867fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( F `  x ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
6966, 68eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) ) `  x )  =  ( vol `  ( F `  x )
)  <->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7069imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( vol `  ( F `  x )
) )  <->  ( (
( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
71 seq1 11935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 1 ) )
7244, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 1 )
73 1nn 10443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
74 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  1  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ 1 ) )
75 fzo0 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
7674, 75syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  1  ->  (
1..^ k )  =  (/) )
7776iuneq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  1  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  =  U_ m  e.  (/)  ( F `  m ) )
78 0iun 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ m  e.  (/)  ( F `  m )  =  (/)
7977, 78syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  1  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  =  (/) )
8079difeq2d 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( ( F `  k
)  \  (/) ) )
81 dif0 3856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  k ) 
\  (/) )  =  ( F `  k )
8280, 81syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( F `  k ) )
83 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
8482, 83eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( F `  1 ) )
8584fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  1  ->  ( vol `  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) ) )
86 fvex 5808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( vol `  ( F `  1
) )  e.  _V
8785, 34, 86fvmpt 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) ) )
8873, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) )
8972, 88eqtri 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
)
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) )
91 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) ) `  j )  =  ( vol `  ( F `  j )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `  j
) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) ) )
92 seqp1 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
9392, 6eleq2s 2562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
95 undif2 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  j )  u.  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) ) )  =  ( ( F `  j )  u.  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
96 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
97 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
98 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  n )  =  ( F `  j ) )
99 oveq1 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
10099fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
10198, 100sseq12d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  (
( F `  n
)  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  <->  ( F `  j )  C_  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
102101rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( F `  j )  C_  ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )
10396, 97, 102sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  C_  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
104 ssequn1 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  j ) 
C_  ( F `  ( j  +  1 ) )  <->  ( ( F `  j )  u.  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
105103, 104sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 j )  u.  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
10695, 105syl5req 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( F `  j
)  u.  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )
107106fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( vol `  ( ( F `  j )  u.  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) ) ) )
108 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  F : NN --> dom  vol )
109108, 96ffvelrnd 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  dom  vol )
110 peano2nn 10444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
111110adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
112108, 111ffvelrnd 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  dom  vol )
113 difmbl 21156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  (
j  +  1 ) )  e.  dom  vol  /\  ( F `  j
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  e.  dom  vol )
114112, 109, 113syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  e.  dom  vol )
115 disjdif 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  j )  i^i  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) ) )  =  (/)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 j )  i^i  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  =  (/) )
117 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR )
118 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
119118fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  j  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )
120119eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  j
) )  e.  RR ) )
121120rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  ( vol `  ( F `  j ) )  e.  RR ) )
12296, 117, 121sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  j )
)  e.  RR )
123 mblvol 21144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) )  =  ( vol* `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) ) )
124114, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  =  ( vol* `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )
125 difssd 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  C_  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
126 mblss 21145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  dom  vol  ->  ( F `  ( j  +  1 ) ) 
C_  RR )
127112, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  C_  RR )
128 mblvol 21144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( vol* `  ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )
129112, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( vol* `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
130 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
131130fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
132131eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
133132rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
134111, 117, 133sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
135129, 134eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
136 ovolsscl 21100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
)  C_  ( F `  ( j  +  1 ) )  /\  ( F `  ( j  +  1 ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  e.  RR )
137125, 127, 135, 136syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  e.  RR )
138124, 137eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
139 volun 21158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  j )  e.  dom  vol 
/\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( F `
 j )  i^i  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( F `  j
) )  e.  RR  /\  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( F `  j )  u.  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `  j )
)  +  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) ) ) )
140109, 114, 116, 122, 138, 139syl32anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  j
)  u.  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `
 j ) )  +  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) ) ) )
14197adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
142 elfznn 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( m  e.  ( 1 ... j )  ->  m  e.  NN )
143142adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  m  e.  NN )
144 elfzuz3 11566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( m  e.  ( 1 ... j )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  m )
)
145144adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  m )
)
146 volsuplem 21168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  (
m  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  j )
)
147141, 143, 145, 146syl12anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  j
) )
148147ralrimiva 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  C_  ( F `  j ) )
149 iunss 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m ) 
C_  ( F `  j )  <->  A. m  e.  ( 1 ... j
) ( F `  m )  C_  ( F `  j )
)
150148, 149sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  C_  ( F `  j ) )
15196, 6syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
152 eluzfz2 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  ( 1 ... j
) )
153151, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( 1 ... j ) )
154 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  j  ->  ( F `  m )  =  ( F `  j ) )
155154ssiun2s 4321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 1 ... j )  ->  ( F `  j )  C_ 
U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
) )
156153, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  C_  U_ m  e.  ( 1 ... j
) ( F `  m ) )
157150, 156eqssd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  =  ( F `
 j ) )
15896nnzd 10856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
159 fzval3 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
1 ... j )  =  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) )
160158, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... j )  =  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) )
161160iuneq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  =  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) )
162157, 161eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) )
163162difeq2d 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  =  ( ( F `  (
j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) ) )
164163fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) ) ) )
165 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) )
166165iuneq1d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  =  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) )
167130, 166difeq12d 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( ( F `  (
j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) ) )
168167fveq2d 5802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m ) ) ) )
169 fvex 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) ) )  e.  _V
170168, 34, 169fvmpt 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m ) ) ) )
171111, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) ) ) )
172164, 171eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
173172oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( F `  j
) )  +  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `
 j ) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
174107, 140, 1733eqtrd 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `
 j ) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
17594, 174eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `  j
) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
17691, 175syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
)  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
177176expcom 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
)  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
178177a2d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )  ->  (
( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
17960, 65, 70, 65, 90, 178nnind 10450 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) ) )
180179impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )
181 fvco3 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( vol 
o.  F ) `  j )  =  ( vol `  ( F `
 j ) ) )
18251, 181sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( vol 
o.  F ) `  j )  =  ( vol `  ( F `
 j ) ) )
183180, 182eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( ( vol  o.  F ) `  j
) )
18449, 55, 183eqfnfvd 5908 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  seq 1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) )  =  ( vol 
o.  F ) )
185184rneqd 5174 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ran  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  =  ran  ( vol 
o.  F ) )
186 rnco2 5452 . . . . . 6  |-  ran  ( vol  o.  F )  =  ( vol " ran  F )
187185, 186syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ran  seq 1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  =  ( vol " ran  F ) )
188187supeq1d 7806 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  F ) , 
RR* ,  <  ) )
18936, 43, 1883eqtr3d 2503 . . 3  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
190189ex 434 . 2  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup (
( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191 rexnal 2853 . . 3  |-  ( E. k  e.  NN  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR  <->  -.  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )
192 fniunfv 6072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F )
19338, 192syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
194 ffvelrn 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  dom  vol )
195194ralrimiva 2829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol )
196 iunmbl 21166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol )
197195, 196syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol )
198193, 197eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
199198ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
200 mblss 21145 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  U. ran  F  C_  RR )
201199, 200syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  U. ran  F  C_  RR )
202 ovolcl 21092 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )
203201, 202syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )
204 pnfge 11220 . . . . . . 7  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( vol* `  U. ran  F )  <_ +oo )
205203, 204syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U. ran  F )  <_ +oo )
206 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  -.  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR )
2071ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  e.  dom  vol )
208207, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  C_  RR )
209 ovolcl 21092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  k ) 
C_  RR  ->  ( vol* `  ( F `  k ) )  e. 
RR* )
210208, 209syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( F `  k
) )  e.  RR* )
211 xrrebnd 11250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( vol* `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  ( F `  k ) )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  ( F `  k ) )  /\  ( vol* `  ( F `  k ) )  < +oo ) ) )
212210, 211syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( F `  k ) )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  ( F `  k )
)  /\  ( vol* `  ( F `  k ) )  < +oo ) ) )
213207, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  =  ( vol* `  ( F `  k ) ) )
214213eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR  <->  ( vol* `  ( F `  k )
)  e.  RR ) )
215 ovolge0 21095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  k ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol* `  ( F `  k ) ) )
216 mnflt0 11215 . . . . . . . . . . . . . 14  |- -oo  <  0
217 mnfxr 11204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- -oo  e.  RR*
218 0xr 9540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
219 xrltletr 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( vol* `  ( F `  k ) )  e. 
RR* )  ->  (
( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  ( F `  k ) ) )  -> -oo  <  ( vol* `  ( F `  k ) ) ) )
220217, 218, 219mp3an12 1305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( vol* `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  ( F `  k ) ) )  -> -oo  <  ( vol* `  ( F `  k ) ) ) )
221216, 220mpani 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( vol* `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( vol* `  ( F `  k ) )  -> -oo  <  ( vol* `  ( F `  k
) ) ) )
222209, 215, 221sylc 60 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  k ) 
C_  RR  -> -oo  <  ( vol* `  ( F `  k )
) )
223208, 222syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  -> -oo  <  ( vol* `  ( F `  k ) ) )
224223biantrurd 508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( F `  k ) )  < +oo 
<->  ( -oo  <  ( vol* `  ( F `
 k ) )  /\  ( vol* `  ( F `  k
) )  < +oo ) ) )
225212, 214, 2243bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR  <->  ( vol* `  ( F `  k )
)  < +oo )
)
226206, 225mtbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  -.  ( vol* `  ( F `  k ) )  < +oo )
227 nltpnft 11248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  ( F `  k ) )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  ( F `
 k ) )  < +oo ) )
228210, 227syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  ( F `  k ) )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  ( F `  k ) )  < +oo ) )
229226, 228mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( F `  k
) )  = +oo )
23038ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  F  Fn  NN )
231 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  k  e.  NN )
232 fnfvelrn 5948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ran  F
)
233230, 231, 232syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  e.  ran  F )
234 elssuni 4228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  k )  e.  ran  F  -> 
( F `  k
)  C_  U. ran  F
)
235233, 234syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  C_  U. ran  F )
236 ovolss 21099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  C_  U. ran  F  /\  U. ran  F  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( F `  k ) )  <_ 
( vol* `  U. ran  F ) )
237235, 201, 236syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( F `  k
) )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
238229, 237eqbrtrrd 4421 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  -> +oo  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
239 pnfxr 11202 . . . . . . 7  |- +oo  e.  RR*
240 xrletri3 11239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  U. ran  F
)  = +oo  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  <_ +oo  /\ +oo  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
241203, 239, 240sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol* `  U. ran  F
)  = +oo  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  <_ +oo  /\ +oo  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
242205, 238, 241mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U. ran  F )  = +oo )
243 mblvol 21144 . . . . . 6  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
244199, 243syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
245 imassrn 5287 . . . . . . 7  |-  ( vol " ran  F )  C_  ran  vol
246 frn 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo ) )
24750, 246ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo )
248 iccssxr 11488 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
249247, 248sstri 3472 . . . . . . 7  |-  ran  vol  C_ 
RR*
250245, 249sstri 3472 . . . . . 6  |-  ( vol " ran  F )  C_  RR*
251213, 229eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  = +oo )
252 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  F : NN --> dom  vol )
253 ffun 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  Fun  vol )
25450, 253ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  Fun  vol
255 frn 5672 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ran  F  C_  dom  vol )
256 funfvima2 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  vol  /\  ran  F  C_ 
dom  vol )  ->  (
( F `  k
)  e.  ran  F  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  ( vol " ran  F ) ) )
257254, 255, 256sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ( ( F `  k )  e.  ran  F  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  ( vol " ran  F ) ) )
258252, 233, 257sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  ( vol " ran  F ) )
259251, 258eqeltrrd 2543 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  -> +oo  e.  ( vol " ran  F ) )
260 supxrpnf 11391 . . . . . 6  |-  ( ( ( vol " ran  F )  C_  RR*  /\ +oo  e.  ( vol " ran  F ) )  ->  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  )  = +oo )
261250, 259, 260sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  sup ( ( vol " ran  F ) , 
RR* ,  <  )  = +oo )
262242, 244, 2613eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
263262rexlimdvaa 2946 . . 3  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( E. k  e.  NN  -.  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) ) )
264191, 263syl5bir 218 . 2  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( -.  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup (
( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) ) )
265190, 264pm2.61d 158 1  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799    \ cdif 3432    u. cun 3433    i^i cin 3434    C_ wss 3435   (/)c0 3744   U.cuni 4198   U_ciun 4278  Disj wdisj 4369   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   dom cdm 4947   ran crn 4948   "cima 4950    o. ccom 4951   Fun wfun 5519    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Fincfn 7419   supcsup 7800   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393    + caddc 9395   +oocpnf 9525   -oocmnf 9526   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529   NNcn 10432   ZZcz 10756   ZZ>=cuz 10971   [,]cicc 11413   ...cfz 11553  ..^cfzo 11664    seqcseq 11922   vol*covol 21077   volcvol 21078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cc 8714  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-disj 4370  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er&n