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Theorem volsup 19403
Description: The volume of the limit of an increasing sequence of measurable sets is the limit of the volumes. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
volsup  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable group:    n, F

Proof of Theorem volsup
Dummy variables  j 
k  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  dom  vol )
21ad2ant2r 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  k
)  e.  dom  vol )
3 fzofi 11268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1..^ k )  e.  Fin
4 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  F : NN --> dom  vol )
5 elfzouz 11099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
75, 6syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( 1..^ k )  ->  m  e.  NN )
8 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m )  e.  dom  vol )
94, 7, 8syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  /\  m  e.  ( 1..^ k ) )  -> 
( F `  m
)  e.  dom  vol )
109ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  A. m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m )  e.  dom  vol )
11 finiunmbl 19391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1..^ k )  e.  Fin  /\  A. m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m )  e. 
dom  vol )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  e.  dom  vol )
123, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  ->  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m )  e.  dom  vol )
13 difmbl 19390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  dom  vol  /\ 
U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m )  e.  dom  vol )  ->  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol )
142, 12, 13syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol )
15 mblvol 19379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  =  ( vol * `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  =  ( vol * `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) )
17 difssd 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) 
C_  ( F `  k ) )
18 mblss 19380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  k )  e.  dom  vol  ->  ( F `  k ) 
C_  RR )
192, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( F `  k
)  C_  RR )
20 mblvol 19379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  k )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 k ) )  =  ( vol * `  ( F `  k
) ) )
212, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( F `  k )
)  =  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )
22 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )
2321, 22eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( F `  k ) )  e.  RR )
24 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) 
C_  ( F `  k )  /\  ( F `  k )  C_  RR  /\  ( vol
* `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  ( vol * `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) )  e.  RR )
2517, 19, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) )  e.  RR )
2616, 25eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR )
2714, 26jca 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR ) )
2827expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) )  e.  RR ) ) )
2928ralimdva 2744 . . . . . 6  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  A. k  e.  NN  (
( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) )  e.  RR ) ) )
3029imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR ) )
31 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
3231iundisj2 19396 . . . . 5  |- Disj  k  e.  NN ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )
33 eqid 2404 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) )
34 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) )
3533, 34voliun 19401 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  NN ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  ->  ( vol `  U_ k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
3630, 32, 35sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
3731iundisj 19395 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  NN  ( F `  k )  =  U_ k  e.  NN  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )
38 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
3938ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  F  Fn  NN )
40 fniunfv 5953 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  ( F `  k )  =  U. ran  F )
4139, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  U_ k  e.  NN  ( F `  k )  =  U. ran  F
)
4237, 41syl5eqr 2450 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  U_ k  e.  NN  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) )  =  U. ran  F
)
4342fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ k  e.  NN  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  ( vol `  U. ran  F ) )
44 1z 10267 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
45 seqfn 11290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
4644, 45ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)
476fneq2i 5499 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  NN  <->  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
4846, 47mpbir 201 . . . . . . . . 9  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  Fn  NN
4948a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) )  Fn  NN )
50 volf 19378 . . . . . . . . . 10  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] 
+oo )
51 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  F : NN --> dom  vol )
52 fco 5559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol : dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  /\  F : NN --> dom  vol )  ->  ( vol  o.  F ) : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
5350, 51, 52sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol  o.  F ) : NN --> ( 0 [,]  +oo ) )
54 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  o.  F ) : NN --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ( vol  o.  F )  Fn  NN )
5553, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol  o.  F )  Fn  NN )
56 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) ` 
1 ) )
57 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
1 ) )
5857fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  ( vol `  ( F `  x ) )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) )
5956, 58eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  x )  =  ( vol `  ( F `
 x ) )  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) ) ) )
6059imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( vol `  ( F `  x )
) )  <->  ( (
( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) ) ) )
61 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  j  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  j ) )
62 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  j  ->  ( F `  x )  =  ( F `  j ) )
6362fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  j  ->  ( vol `  ( F `  x ) )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )
6461, 63eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  j  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  x )  =  ( vol `  ( F `
 x ) )  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  j )  =  ( vol `  ( F `
 j ) ) ) )
6564imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( vol `  ( F `  x )
) )  <->  ( (
( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) ) ) )
66 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
67 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
6867fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( F `  x ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
6966, 68eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  x )  =  ( vol `  ( F `
 x ) )  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `
 ( j  +  1 ) ) ) ) )
7069imbi2d 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( vol `  ( F `  x )
) )  <->  ( (
( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
71 seq1 11291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 1 ) )
7244, 71ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 1 )
73 1nn 9967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
74 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  1  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ 1 ) )
75 fzo0 11114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1..^ 1 )  =  (/)
7674, 75syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  1  ->  (
1..^ k )  =  (/) )
7776iuneq1d 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  1  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  =  U_ m  e.  (/)  ( F `  m ) )
78 0iun 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ m  e.  (/)  ( F `  m )  =  (/)
7977, 78syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  1  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  =  (/) )
8079difeq2d 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( ( F `  k
)  \  (/) ) )
81 dif0 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  k ) 
\  (/) )  =  ( F `  k )
8280, 81syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( F `  k ) )
83 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  1  ->  ( F `  k )  =  ( F ` 
1 ) )
8482, 83eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  1  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( F `  1 ) )
8584fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  1  ->  ( vol `  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) ) )
86 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( vol `  ( F `  1
) )  e.  _V
8785, 34, 86fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) ) )
8873, 87ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( vol `  ( F `
 1 ) )
8972, 88eqtri 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
)
9089a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 1 )  =  ( vol `  ( F `  1 )
) )
91 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) ) `  j )  =  ( vol `  ( F `  j )
)  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `  j
) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) ) )
92 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
9392, 6eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
9493adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) ) )
95 undif2 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  j )  u.  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) ) )  =  ( ( F `  j )  u.  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
96 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
97 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
98 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  n )  =  ( F `  j ) )
99 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
10099fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
10198, 100sseq12d 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  (
( F `  n
)  C_  ( F `  ( n  +  1 ) )  <->  ( F `  j )  C_  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
102101rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( F `  j )  C_  ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )
10396, 97, 102sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  C_  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
104 ssequn1 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  j ) 
C_  ( F `  ( j  +  1 ) )  <->  ( ( F `  j )  u.  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
105103, 104sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 j )  u.  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
10695, 105syl5req 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  =  ( ( F `  j
)  u.  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )
107106fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( vol `  ( ( F `  j )  u.  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) ) ) )
108 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  F : NN --> dom  vol )
109108, 96ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  e.  dom  vol )
110 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
111110adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  +  1 )  e.  NN )
112108, 111ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  dom  vol )
113 difmbl 19390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  (
j  +  1 ) )  e.  dom  vol  /\  ( F `  j
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  e.  dom  vol )
114112, 109, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  e.  dom  vol )
115 disjdif 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  j )  i^i  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) ) )  =  (/)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 j )  i^i  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  =  (/) )
117 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR )
118 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
119118fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  j  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )
120119eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  j  ->  (
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  j
) )  e.  RR ) )
121120rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  ( vol `  ( F `  j ) )  e.  RR ) )
12296, 117, 121sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  j )
)  e.  RR )
123 mblvol 19379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) )  =  ( vol * `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) ) )
124114, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  =  ( vol
* `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )
125 difssd 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  C_  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
126 mblss 19380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  dom  vol  ->  ( F `  ( j  +  1 ) ) 
C_  RR )
127112, 126syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  C_  RR )
128 mblvol 19379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( vol * `  ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )
129112, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( vol
* `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
130 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
131130fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )
132131eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
133132rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR ) )
134111, 117, 133sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
135129, 134eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( F `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR )
136 ovolsscl 19335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
)  C_  ( F `  ( j  +  1 ) )  /\  ( F `  ( j  +  1 ) ) 
C_  RR  /\  ( vol * `  ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  e.  RR )
137125, 127, 135, 136syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol * `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  e.  RR )
138124, 137eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  e.  RR )
139 volun 19392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  j )  e.  dom  vol 
/\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  e.  dom  vol 
/\  ( ( F `
 j )  i^i  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( F `  j
) )  e.  RR  /\  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( F `  j )  u.  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `  j )
)  +  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  ( F `  j )
) ) ) )
140109, 114, 116, 122, 138, 139syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  j
)  u.  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `
 j ) )  +  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) ) ) )
14197adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
142 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( m  e.  ( 1 ... j )  ->  m  e.  NN )
143142adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  m  e.  NN )
144 elfzuz3 11012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( m  e.  ( 1 ... j )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  m )
)
145144adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  m )
)
146 volsuplem 19402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) )  /\  (
m  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  m ) ) )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  j )
)
147141, 143, 145, 146syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( F `  m )  C_  ( F `  j
) )
148147ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  A. m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  C_  ( F `  j ) )
149 iunss 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m ) 
C_  ( F `  j )  <->  A. m  e.  ( 1 ... j
) ( F `  m )  C_  ( F `  j )
)
150148, 149sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  C_  ( F `  j ) )
15196, 6syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
152 eluzfz2 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  j  e.  ( 1 ... j
) )
153151, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ( 1 ... j ) )
154 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  j  ->  ( F `  m )  =  ( F `  j ) )
155154ssiun2s 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 1 ... j )  ->  ( F `  j )  C_ 
U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
) )
156153, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  C_  U_ m  e.  ( 1 ... j
) ( F `  m ) )
157150, 156eqssd 3325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  =  ( F `
 j ) )
15896nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  ZZ )
159 fzval3 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ZZ  ->  (
1 ... j )  =  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) )
160158, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1 ... j )  =  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) )
161160iuneq1d 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  U_ m  e.  ( 1 ... j ) ( F `  m
)  =  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) )
162157, 161eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  j )  =  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) )
163162difeq2d 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  \ 
( F `  j
) )  =  ( ( F `  (
j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) ) )
164163fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) ) ) )
165 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
1..^ k )  =  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) )
166165iuneq1d 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
)  =  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) )
167130, 166difeq12d 3426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) )  =  ( ( F `  (
j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m
) ) )
168167fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( ( F `
 k )  \  U_ m  e.  (
1..^ k ) ( F `  m ) ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m ) ) ) )
169 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) ) )  e.  _V
170168, 34, 169fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `  m ) ) ) )
171111, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  \  U_ m  e.  ( 1..^ ( j  +  1 ) ) ( F `
 m ) ) ) )
172164, 171eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  (
( F `  (
j  +  1 ) )  \  ( F `
 j ) ) )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
173172oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( F `  j
) )  +  ( vol `  ( ( F `  ( j  +  1 ) ) 
\  ( F `  j ) ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `
 j ) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
174107, 140, 1733eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `
 j ) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) `  (
j  +  1 ) ) ) )
17594, 174eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) )  <->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  (
( F `  k
)  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m
) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( vol `  ( F `  j
) )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
17691, 175syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
)  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
177176expcom 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
)  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
178177a2d 24 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )  ->  (
( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
17960, 65, 70, 65, 90, 178nnind 9974 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) ) )
180179impcom 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( vol `  ( F `  j )
) )
181 fvco3 5759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( vol 
o.  F ) `  j )  =  ( vol `  ( F `
 j ) ) )
18251, 181sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( vol 
o.  F ) `  j )  =  ( vol `  ( F `
 j ) ) )
183180, 182eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  /\  j  e.  NN )  ->  (  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) `
 j )  =  ( ( vol  o.  F ) `  j
) )
18449, 55, 183eqfnfvd 5789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  seq  1 (  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k )  \  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `
 m ) ) ) ) )  =  ( vol  o.  F
) )
185184rneqd 5056 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  =  ran  ( vol 
o.  F ) )
186 rnco2 5336 . . . . . 6  |-  ran  ( vol  o.  F )  =  ( vol " ran  F )
187185, 186syl6eq 2452 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) )  =  ( vol " ran  F ) )
188187supeq1d 7409 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( F `  k ) 
\  U_ m  e.  ( 1..^ k ) ( F `  m ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  F ) , 
RR* ,  <  ) )
18936, 43, 1883eqtr3d 2444 . . 3  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
190189ex 424 . 2  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup (
( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) ) )
191 rexnal 2677 . . 3  |-  ( E. k  e.  NN  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR  <->  -.  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR )
192 fniunfv 5953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F )
19338, 192syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
194 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  dom  vol )
195194ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol )
196 iunmbl 19400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol )
197195, 196syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  e.  dom  vol )
198193, 197eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
199198ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
200 mblss 19380 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  U. ran  F  C_  RR )
201199, 200syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  U. ran  F  C_  RR )
202 ovolcl 19327 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( vol * `  U. ran  F )  e.  RR* )
203201, 202syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U. ran  F )  e.  RR* )
204 pnfge 10683 . . . . . . 7  |-  ( ( vol * `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( vol * `  U. ran  F )  <_  +oo )
205203, 204syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U. ran  F )  <_  +oo )
206 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  -.  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR )
2071ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  e.  dom  vol )
208207, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  C_  RR )
209 ovolcl 19327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  k ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( F `  k ) )  e. 
RR* )
210208, 209syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( F `  k
) )  e.  RR* )
211 xrrebnd 10712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( ( vol * `  ( F `  k ) )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( vol * `  ( F `  k ) )  /\  ( vol
* `  ( F `  k ) )  <  +oo ) ) )
212210, 211syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( F `  k ) )  e.  RR  <->  (  -oo  <  ( vol * `  ( F `  k )
)  /\  ( vol * `
 ( F `  k ) )  <  +oo ) ) )
213207, 20syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  =  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )
214213eleq1d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR  <->  ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR ) )
215 ovolge0 19330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  k ) 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  ( F `  k ) ) )
216 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
217 mnflt 10678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  e.  RR  ->  -oo  <  0 )
218216, 217ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -oo  <  0
219 mnfxr 10670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -oo  e.  RR*
220 0xr 9087 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR*
221 xrltletr 10703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 
-oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( vol
* `  ( F `  k ) )  e. 
RR* )  ->  (
(  -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )  ->  -oo  <  ( vol
* `  ( F `  k ) ) ) )
222219, 220, 221mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( (  -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )  ->  -oo  <  ( vol
* `  ( F `  k ) ) ) )
223218, 222mpani 658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( vol * `
 ( F `  k ) )  ->  -oo  <  ( vol * `  ( F `  k
) ) ) )
224209, 215, 223sylc 58 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  k ) 
C_  RR  ->  -oo  <  ( vol * `  ( F `  k )
) )
225208, 224syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  -oo  <  ( vol
* `  ( F `  k ) ) )
226225biantrurd 495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( F `  k ) )  <  +oo 
<->  (  -oo  <  ( vol * `  ( F `
 k ) )  /\  ( vol * `  ( F `  k
) )  <  +oo ) ) )
227212, 214, 2263bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR  <->  ( vol * `  ( F `  k )
)  <  +oo ) )
228206, 227mtbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  -.  ( vol * `
 ( F `  k ) )  <  +oo )
229 nltpnft 10710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol * `  ( F `  k )
)  e.  RR*  ->  ( ( vol * `  ( F `  k ) )  =  +oo  <->  -.  ( vol * `  ( F `
 k ) )  <  +oo ) )
230210, 229syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  ( F `  k ) )  = 
+oo 
<->  -.  ( vol * `  ( F `  k
) )  <  +oo ) )
231228, 230mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( F `  k
) )  =  +oo )
23238ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  F  Fn  NN )
233 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  k  e.  NN )
234 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ran  F
)
235232, 233, 234syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  e.  ran  F )
236 elssuni 4003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  k )  e.  ran  F  -> 
( F `  k
)  C_  U. ran  F
)
237235, 236syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( F `  k )  C_  U. ran  F )
238 ovolss 19334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  C_  U. ran  F  /\  U. ran  F  C_  RR )  ->  ( vol
* `  ( F `  k ) )  <_ 
( vol * `  U. ran  F ) )
239237, 201, 238syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( F `  k
) )  <_  ( vol * `  U. ran  F ) )
240231, 239eqbrtrrd 4194 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  +oo  <_  ( vol
* `  U. ran  F
) )
241 pnfxr 10669 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
242 xrletri3 10701 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol * `  U. ran  F )  e. 
RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  ( ( vol
* `  U. ran  F
)  =  +oo  <->  ( ( vol * `  U. ran  F )  <_  +oo  /\  +oo  <_  ( vol * `  U. ran  F ) ) ) )
243203, 241, 242sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( vol
* `  U. ran  F
)  =  +oo  <->  ( ( vol * `  U. ran  F )  <_  +oo  /\  +oo  <_  ( vol * `  U. ran  F ) ) ) )
244205, 240, 243mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  U. ran  F )  =  +oo )
245 mblvol 19379 . . . . . 6  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol * `  U. ran  F ) )
246199, 245syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol * `  U. ran  F ) )
247 imassrn 5175 . . . . . . 7  |-  ( vol " ran  F )  C_  ran  vol
248 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo ) )
24950, 248ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,]  +oo )
250 iccssxr 10949 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,]  +oo )  C_  RR*
251249, 250sstri 3317 . . . . . . 7  |-  ran  vol  C_ 
RR*
252247, 251sstri 3317 . . . . . 6  |-  ( vol " ran  F )  C_  RR*
253213, 231eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  =  +oo )
254 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  F : NN --> dom  vol )
255 ffun 5552 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,]  +oo )  ->  Fun  vol )
25650, 255ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  Fun  vol
257 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ran  F  C_  dom  vol )
258 funfvima2 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  vol  /\  ran  F  C_ 
dom  vol )  ->  (
( F `  k
)  e.  ran  F  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  ( vol " ran  F ) ) )
259256, 257, 258sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ( ( F `  k )  e.  ran  F  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  ( vol " ran  F ) ) )
260254, 235, 259sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  ( vol " ran  F ) )
261253, 260eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  +oo  e.  ( vol " ran  F ) )
262 supxrpnf 10853 . . . . . 6  |-  ( ( ( vol " ran  F )  C_  RR*  /\  +oo  e.  ( vol " ran  F ) )  ->  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
263252, 261, 262sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  sup ( ( vol " ran  F ) , 
RR* ,  <  )  = 
+oo )
264244, 246, 2633eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  C_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  -.  ( vol `  ( F `
 k ) )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
265264rexlimdvaa 2791 . . 3  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( E. k  e.  NN  -.  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) ) )
266191, 265syl5bir 210 . 2  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( -.  A. k  e.  NN  ( vol `  ( F `  k )
)  e.  RR  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup (
( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) ) )
267190, 266pm2.61d 152 1  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\ 
A. n  e.  NN  ( F `  n ) 
C_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ( vol " ran  F ) ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   U_ciun 4053  Disj wdisj 4142   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840    o. ccom 4841   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073    -oocmnf 9074   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   [,]cicc 10875   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090    seq cseq 11278   vol *covol 19312   volcvol 19313
This theorem is referenced by:  volsup2  19450  itg1climres  19559  itg2gt0  19605
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377