MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volss Structured version   Unicode version

Theorem volss 21707
Description: The Lebesgue measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volss  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol `  B ) )

Proof of Theorem volss
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B )
2 mblss 21705 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
323ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  B  C_  RR )
4 ovolss 21659 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR )  -> 
( vol* `  A )  <_  ( vol* `  B ) )
51, 3, 4syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  B ) )
6 mblvol 21704 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
763ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol* `  A )
)
8 mblvol 21704 . . 3  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  B )  =  ( vol* `  B ) )
983ad2ant2 1018 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol `  B
)  =  ( vol* `  B )
)
105, 7, 93brtr4d 4477 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   ` cfv 5588   RRcr 9491    <_ cle 9629   vol*covol 21637   volcvol 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-ovol 21639  df-vol 21640
This theorem is referenced by:  voliune  27869  volfiniune  27870  fourierdlem87  31522
  Copyright terms: Public domain W3C validator