MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volss Structured version   Unicode version

Theorem volss 22372
Description: The Lebesgue measure is monotone with respect to set inclusion. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volss  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol `  B ) )

Proof of Theorem volss
StepHypRef Expression
1 simp3 1007 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  A  C_  B )
2 mblss 22370 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  B 
C_  RR )
323ad2ant2 1027 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  B  C_  RR )
4 ovolss 22323 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR )  -> 
( vol* `  A )  <_  ( vol* `  B ) )
51, 3, 4syl2anc 665 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  B ) )
6 mblvol 22369 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
763ad2ant1 1026 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol* `  A )
)
8 mblvol 22369 . . 3  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  B )  =  ( vol* `  B ) )
983ad2ant2 1027 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol `  B
)  =  ( vol* `  B )
)
105, 7, 93brtr4d 4456 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol  /\  A  C_  B )  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ` cfv 5601   RRcr 9537    <_ cle 9675   vol*covol 22298   volcvol 22300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-ovol 22301  df-vol 22303
This theorem is referenced by:  voliune  28899  volfiniune  28900  fourierdlem87  37640
  Copyright terms: Public domain W3C validator