Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem volmeas 29102
Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables  f  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 22531 . 2  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
2 fvssunirn 5910 . . . . . 6  |-  (sigAlgebra `  RR )  C_  U. ran sigAlgebra
3 dmvlsiga 28999 . . . . . 6  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
42, 3sselii 3440 . . . . 5  |-  dom  vol  e.  U. ran sigAlgebra
5 0elsiga 28984 . . . . 5  |-  ( dom 
vol  e.  U. ran sigAlgebra  ->  (/)  e.  dom  vol )
64, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  (/)  e.  dom  vol
7 mblvol 22532 . . . 4  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
86, 7ax-mp 5 . . 3  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
9 ovol0 22494 . . 3  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
108, 9eqtri 2483 . 2  |-  ( vol `  (/) )  =  0
11 simpr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  x  e.  Fin )
12 nfv 1771 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  ~P dom  vol
13 nfv 1771 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  x  ~<_  om
14 nfdisj1 4399 . . . . . . . . . 10  |-  F/ yDisj  y  e.  x  y
1513, 14nfan 2021 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )
1612, 15nfan 2021 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
17 nfv 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  Fin
1816, 17nfan 2021 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )
19 elpwi 3971 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  x  C_  dom  vol )
2019ad3antrrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  x  C_  dom  vol )
21 simpr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
2220, 21sseldd 3444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  dom  vol )
2322ex 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  dom  vol ) )
2418, 23ralrimi 2799 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
25 simplrr 776 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  -> Disj  y  e.  x  y
)
26 uniiun 4344 . . . . . . . 8  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
2726fveq2i 5890 . . . . . . 7  |-  ( vol `  U. x )  =  ( vol `  U_ y  e.  x  y )
28 volfiniune 29101 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U_ y  e.  x  y )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
2927, 28syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
3011, 24, 25, 29syl3anc 1276 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
31 bren 7603 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  x  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> x )
32 nfv 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )
33 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( vol `  y
)
34 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( vol `  (
f `  n )
)
35 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n x
36 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n NN
37 nfcv 2602 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
f
38 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( vol `  y )  =  ( vol `  (
f `  n )
) )
39 simpl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  e.  ~P dom  vol )
40 simpr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  f : NN
-1-1-onto-> x )
41 eqidd 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  =  ( f `  n ) )
421a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
4339, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  C_  dom  vol )
4443sselda 3443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  vol )
4542, 44ffvelrnd 6045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  ( vol `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4632, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 45esumf1o 28919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4746adantlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4819ad3antrrr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  x  C_  dom  vol )
49 f1of 5836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN --> x )
5049adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN --> x )
5150ffvelrnda 6044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e.  x )
5248, 51sseldd 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e. 
dom  vol )
5352ralrimiva 2813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  dom  vol )
54 simpr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
55 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  y  e.  x  y )
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
57 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\  y  =  ( f `  n ) )  -> 
y  =  ( f `
 n ) )
5856, 57disjrdx 28249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `  n )  <-> Disj  y  e.  x  y ) )
5958biimpar 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Disj  n  e.  NN  ( f `
 n ) )
6054, 55, 59syl2anc 671 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  n  e.  NN  ( f `  n ) )
61 voliune 29100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  ( f `
 n ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
6253, 60, 61syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
63 f1ofo 5843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -onto-> x )
6463, 57iunrdx 28227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ y  e.  x  y
)
6564, 26syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. x )
6665fveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  ( vol `  U. x
) )
6766adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  ( vol `  U. x ) )
6847, 62, 673eqtr2rd 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
6968ex 440 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (
f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
7069exlimdv 1789 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( E. f  f : NN
-1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) )
7170imp 435 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  E. f  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
7231, 71sylan2b 482 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  NN  ~~  x )  -> 
( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
73 brdom2 7624 . . . . . . . 8  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om ) )
7473biimpi 199 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  ->  ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om ) )
75 isfinite2 7854 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~<  om  ->  x  e.  Fin )
76 ensymb 7642 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
~~  om  <->  om  ~~  x )
77 nnenom 12224 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
78 entr 7646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  ~~  om  /\  om 
~~  x )  ->  NN  ~~  x )
7977, 78mpan 681 . . . . . . . . 9  |-  ( om 
~~  x  ->  NN  ~~  x )
8076, 79sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~~  om  ->  NN  ~~  x )
8175, 80orim12i 523 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
8274, 81syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  om  ->  ( x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
8382ad2antrl 739 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
8430, 72, 83mpjaodan 800 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
8584ex 440 . . 3  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
8685rgen 2758 . 2  |-  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
87 ismeas 29069 . . 3  |-  ( dom 
vol  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( vol  e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) ) )
884, 87ax-mp 5 . 2  |-  ( vol 
e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) )
891, 10, 86, 88mpbir3an 1196 1  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454   E.wex 1673    e. wcel 1897   A.wral 2748    C_ wss 3415   (/)c0 3742   ~Pcpw 3962   U.cuni 4211   U_ciun 4291  Disj wdisj 4386   class class class wbr 4415   dom cdm 4852   ran crn 4853   -->wf 5596   -1-1-onto->wf1o 5599   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   omcom 6718    ~~ cen 7591    ~<_ cdom 7592    ~< csdm 7593   Fincfn 7594   RRcr 9563   0cc0 9564   +oocpnf 9697   NNcn 10636   [,]cicc 11666   vol*covol 22461   volcvol 22463  Σ*cesum 28896  sigAlgebracsiga 28977  measurescmeas 29065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cc 8890  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-disj 4387  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-mod 12128  df-seq 12245  df-exp 12304  df-fac 12491  df-bc 12519  df-hash 12547  df-shft 13178  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-limsup 13574  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-ef 14169  df-sin 14171  df-cos 14172  df-pi 14174  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-ordt 15447  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-ps 16494  df-tsr 16495  df-plusf 16535  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-submnd 16631  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-mulg 16724  df-subg 16862  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-cring 17831  df-subrg 18054  df-abv 18093  df-lmod 18141  df-scaf 18142  df-sra 18443  df-rgmod 18444  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-lp 20200  df-perf 20201  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-fm 21001  df-flim 21002  df-flf 21003  df-tmd 21135  df-tgp 21136  df-tsms 21189  df-trg 21222  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-nm 21645  df-ngp 21646  df-nrg 21648  df-nlm 21649  df-ii 21957  df-cncf 21958  df-ovol 22464  df-vol 22466  df-limc 22869  df-dv 22870  df-log 23554  df-esum 28897  df-siga 28978  df-meas 29066
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator