Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Unicode version

Theorem volmeas 27831
Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables  f  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 21670 . 2  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
2 0mbl 21680 . . . 4  |-  (/)  e.  dom  vol
3 mblvol 21671 . . . 4  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
5 ovol0 21634 . . 3  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5eqtri 2491 . 2  |-  ( vol `  (/) )  =  0
7 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  x  e.  Fin )
8 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  ~P dom  vol
9 nfv 1678 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  x  ~<_  om
10 nfdisj1 4425 . . . . . . . . . 10  |-  F/ yDisj  y  e.  x  y
119, 10nfan 1870 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )
128, 11nfan 1870 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
13 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  Fin
1412, 13nfan 1870 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )
15 elpwi 4014 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  x  C_  dom  vol )
1615ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  x  C_  dom  vol )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
1816, 17sseldd 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  dom  vol )
1918ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  dom  vol ) )
2014, 19ralrimi 2859 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
21 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  -> Disj  y  e.  x  y
)
22 uniiun 4373 . . . . . . . 8  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
2322fveq2i 5862 . . . . . . 7  |-  ( vol `  U. x )  =  ( vol `  U_ y  e.  x  y )
24 volfiniune 27830 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U_ y  e.  x  y )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
2523, 24syl5eq 2515 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
267, 20, 21, 25syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
27 bren 7517 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  x  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> x )
28 nfv 1678 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )
29 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n x
30 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n NN
31 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
f
32 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( vol `  y )  =  ( vol `  (
f `  n )
) )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  e.  ~P dom  vol )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  f : NN
-1-1-onto-> x )
35 eqidd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  =  ( f `  n ) )
361a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
3715adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  C_  dom  vol )
3837sselda 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  vol )
3936, 38ffvelrnd 6015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  ( vol `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4028, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 39esumf1o 27689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4140adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4215ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  x  C_  dom  vol )
43 f1of 5809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN --> x )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN --> x )
4544ffvelrnda 6014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e.  x )
4642, 45sseldd 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e. 
dom  vol )
4746ralrimiva 2873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  dom  vol )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
49 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  y  e.  x  y )
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\  y  =  ( f `  n ) )  -> 
y  =  ( f `
 n ) )
5250, 51disjrdx 27111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `  n )  <-> Disj  y  e.  x  y ) )
5352biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Disj  n  e.  NN  ( f `
 n ) )
5448, 49, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  n  e.  NN  ( f `  n ) )
55 voliune 27829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  ( f `
 n ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
5647, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
57 f1ofo 5816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -onto-> x )
5857, 51iunrdx 27092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ y  e.  x  y
)
5958, 22syl6eqr 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. x )
6059fveq2d 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  ( vol `  U. x
) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  ( vol `  U. x ) )
6241, 56, 613eqtr2rd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
6362ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (
f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
6463exlimdv 1695 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( E. f  f : NN
-1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) )
6564imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  E. f  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
6627, 65sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  NN  ~~  x )  -> 
( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
67 brdom2 7537 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om ) )
68 isfinite2 7769 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~<  om  ->  x  e.  Fin )
69 ensymb 7555 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
~~  om  <->  om  ~~  x )
70 nnenom 12048 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
71 entr 7559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  ~~  om  /\  om 
~~  x )  ->  NN  ~~  x )
7270, 71mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( om 
~~  x  ->  NN  ~~  x )
7369, 72sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~~  om  ->  NN  ~~  x )
7468, 73orim12i 516 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7567, 74sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  om  ->  ( x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7675ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7726, 66, 76mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
7877ex 434 . . 3  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
7978rgen 2819 . 2  |-  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
80 fvssunirn 5882 . . . 4  |-  (sigAlgebra `  RR )  C_  U. ran sigAlgebra
81 dmvlsiga 27757 . . . 4  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
8280, 81sselii 3496 . . 3  |-  dom  vol  e.  U. ran sigAlgebra
83 ismeas 27798 . . 3  |-  ( dom 
vol  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( vol  e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) ) )
8482, 83ax-mp 5 . 2  |-  ( vol 
e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) )
851, 6, 79, 84mpbir3an 1173 1  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762   A.wral 2809    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   U.cuni 4240   U_ciun 4320  Disj wdisj 4412   class class class wbr 4442   dom cdm 4994   ran crn 4995   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   omcom 6673    ~~ cen 7505    ~<_ cdom 7506    ~< csdm 7507   Fincfn 7508   RRcr 9482   0cc0 9483   +oocpnf 9616   NNcn 10527   [,]cicc 11523   vol*covol 21604   volcvol 21605  Σ*cesum 27668  sigAlgebracsiga 27735  measurescmeas 27794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-sin 13658  df-cos 13659  df-pi 13661  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-ordt 14747  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-ps 15678  df-tsr 15679  df-mnd 15723  df-plusf 15724  df-mhm 15772  df-submnd 15773  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-mulg 15856  df-subg 15988  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-subrg 17205  df-abv 17244  df-lmod 17292  df-scaf 17293  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-tmd 20301  df-tgp 20302  df-tsms 20355  df-trg 20392  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-nm 20833  df-ngp 20834  df-nrg 20836  df-nlm 20837  df-ii 21111  df-cncf 21112  df-ovol 21606  df-vol 21607  df-limc 22000  df-dv 22001  df-log 22667  df-esum 27669  df-siga 27736  df-meas 27795
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator