Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Unicode version

Theorem volmeas 26646
Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables  f  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 21011 . 2  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
2 0mbl 21020 . . . 4  |-  (/)  e.  dom  vol
3 mblvol 21012 . . . 4  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
5 ovol0 20975 . . 3  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5eqtri 2462 . 2  |-  ( vol `  (/) )  =  0
7 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  x  e.  Fin )
8 nfv 1673 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  ~P dom  vol
9 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  x  ~<_  om
10 nfdisj1 4274 . . . . . . . . . 10  |-  F/ yDisj  y  e.  x  y
119, 10nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )
128, 11nfan 1861 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
13 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  Fin
1412, 13nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )
15 elpwi 3868 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  x  C_  dom  vol )
1615ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  x  C_  dom  vol )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
1816, 17sseldd 3356 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  dom  vol )
1918ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  dom  vol ) )
2014, 19ralrimi 2796 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
21 simplrr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  -> Disj  y  e.  x  y
)
22 uniiun 4222 . . . . . . . 8  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
2322fveq2i 5693 . . . . . . 7  |-  ( vol `  U. x )  =  ( vol `  U_ y  e.  x  y )
24 volfiniune 26645 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U_ y  e.  x  y )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
2523, 24syl5eq 2486 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
267, 20, 21, 25syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
27 bren 7318 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  x  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> x )
28 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )
29 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n x
30 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n NN
31 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
f
32 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( vol `  y )  =  ( vol `  (
f `  n )
) )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  e.  ~P dom  vol )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  f : NN
-1-1-onto-> x )
35 eqidd 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  =  ( f `  n ) )
361a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
3715adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  C_  dom  vol )
3837sselda 3355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  vol )
3936, 38ffvelrnd 5843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  ( vol `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4028, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 39esumf1o 26503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4140adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4215ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  x  C_  dom  vol )
43 f1of 5640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN --> x )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN --> x )
4544ffvelrnda 5842 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e.  x )
4642, 45sseldd 3356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e. 
dom  vol )
4746ralrimiva 2798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  dom  vol )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
49 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  y  e.  x  y )
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\  y  =  ( f `  n ) )  -> 
y  =  ( f `
 n ) )
5250, 51disjrdx 25932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `  n )  <-> Disj  y  e.  x  y ) )
5352biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Disj  n  e.  NN  ( f `
 n ) )
5448, 49, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  n  e.  NN  ( f `  n ) )
55 voliune 26644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  ( f `
 n ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
5647, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
57 f1ofo 5647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -onto-> x )
5857, 51iunrdx 25913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ y  e.  x  y
)
5958, 22syl6eqr 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. x )
6059fveq2d 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  ( vol `  U. x
) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  ( vol `  U. x ) )
6241, 56, 613eqtr2rd 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
6362ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (
f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
6463exlimdv 1690 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( E. f  f : NN
-1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) )
6564imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  E. f  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
6627, 65sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  NN  ~~  x )  -> 
( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
67 brdom2 7338 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om ) )
68 isfinite2 7569 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~<  om  ->  x  e.  Fin )
69 ensymb 7356 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
~~  om  <->  om  ~~  x )
70 nnenom 11801 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
71 entr 7360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  ~~  om  /\  om 
~~  x )  ->  NN  ~~  x )
7270, 71mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( om 
~~  x  ->  NN  ~~  x )
7369, 72sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~~  om  ->  NN  ~~  x )
7468, 73orim12i 516 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7567, 74sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  om  ->  ( x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7675ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7726, 66, 76mpjaodan 784 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
7877ex 434 . . 3  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
7978rgen 2780 . 2  |-  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
80 fvssunirn 5712 . . . 4  |-  (sigAlgebra `  RR )  C_  U. ran sigAlgebra
81 dmvlsiga 26571 . . . 4  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
8280, 81sselii 3352 . . 3  |-  dom  vol  e.  U. ran sigAlgebra
83 ismeas 26612 . . 3  |-  ( dom 
vol  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( vol  e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) ) )
8482, 83ax-mp 5 . 2  |-  ( vol 
e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) )
851, 6, 79, 84mpbir3an 1170 1  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2714    C_ wss 3327   (/)c0 3636   ~Pcpw 3859   U.cuni 4090   U_ciun 4170  Disj wdisj 4261   class class class wbr 4291   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   omcom 6475    ~~ cen 7306    ~<_ cdom 7307    ~< csdm 7308   Fincfn 7309   RRcr 9280   0cc0 9281   +oocpnf 9414   NNcn 10321   [,]cicc 11302   vol*covol 20945   volcvol 20946  Σ*cesum 26482  sigAlgebracsiga 26549  measurescmeas 26608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cc 8603  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-disj 4262  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-fi 7660  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-cda 8336  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-q 10953  df-rp 10991  df-xneg 11088  df-xadd 11089  df-xmul 11090  df-ioo 11303  df-ioc 11304  df-ico 11305  df-icc 11306  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-mod 11708  df-seq 11806  df-exp 11865  df-fac 12051  df-bc 12078  df-hash 12103  df-shft 12555  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-limsup 12948  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163  df-ef 13352  df-sin 13354  df-cos 13355  df-pi 13357  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-rest 14360  df-topn 14361  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-topgen 14381  df-pt 14382  df-prds 14385  df-ordt 14438  df-xrs 14439  df-qtop 14444  df-imas 14445  df-xps 14447  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-ps 15369  df-tsr 15370  df-mnd 15414  df-plusf 15415  df-mhm 15463  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-mulg 15547  df-subg 15677  df-cntz 15834  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-subrg 16862  df-abv 16901  df-lmod 16949  df-scaf 16950  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-psmet 17808  df-xmet 17809  df-met 17810  df-bl 17811  df-mopn 17812  df-fbas 17813  df-fg 17814  df-cnfld 17818  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-topsp 18506  df-cld 18622  df-ntr 18623  df-cls 18624  df-nei 18701  df-lp 18739  df-perf 18740  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-haus 18918  df-tx 19134  df-hmeo 19327  df-fil 19418  df-fm 19510  df-flim 19511  df-flf 19512  df-tmd 19642  df-tgp 19643  df-tsms 19696  df-trg 19733  df-xms 19894  df-ms 19895  df-tms 19896  df-nm 20174  df-ngp 20175  df-nrg 20177  df-nlm 20178  df-ii 20452  df-cncf 20453  df-ovol 20947  df-vol 20948  df-limc 21340  df-dv 21341  df-log 22007  df-esum 26483  df-siga 26550  df-meas 26609
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator