Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  volmeas Structured version   Unicode version

Theorem volmeas 28181
Description: The Lebesgue measure is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volmeas  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )

Proof of Theorem volmeas
Dummy variables  f  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 volf 21918 . 2  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
2 0mbl 21928 . . . 4  |-  (/)  e.  dom  vol
3 mblvol 21919 . . . 4  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
5 ovol0 21882 . . 3  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
64, 5eqtri 2472 . 2  |-  ( vol `  (/) )  =  0
7 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  x  e.  Fin )
8 nfv 1694 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  ~P dom  vol
9 nfv 1694 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  x  ~<_  om
10 nfdisj1 4420 . . . . . . . . . 10  |-  F/ yDisj  y  e.  x  y
119, 10nfan 1914 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )
128, 11nfan 1914 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )
13 nfv 1694 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  Fin
1412, 13nfan 1914 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )
15 elpwi 4006 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  x  C_  dom  vol )
1615ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  x  C_  dom  vol )
17 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  x )
1816, 17sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  /\  y  e.  x
)  ->  y  e.  dom  vol )
1918ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  dom  vol ) )
2014, 19ralrimi 2843 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol )
21 simplrr 762 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  -> Disj  y  e.  x  y
)
22 uniiun 4368 . . . . . . . 8  |-  U. x  =  U_ y  e.  x  y
2322fveq2i 5859 . . . . . . 7  |-  ( vol `  U. x )  =  ( vol `  U_ y  e.  x  y )
24 volfiniune 28180 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U_ y  e.  x  y )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
2523, 24syl5eq 2496 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. y  e.  x  y  e.  dom  vol  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
267, 20, 21, 25syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  x  e.  Fin )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
27 bren 7527 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  x  <->  E. f 
f : NN -1-1-onto-> x )
28 nfv 1694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )
29 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n x
30 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n NN
31 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
f
32 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( f `  n )  ->  ( vol `  y )  =  ( vol `  (
f `  n )
) )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  e.  ~P dom  vol )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  f : NN
-1-1-onto-> x )
35 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  =  ( f `  n ) )
361a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo ) )
3715adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  x  C_  dom  vol )
3837sselda 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  vol )
3936, 38ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  /\  y  e.  x )  ->  ( vol `  y )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4028, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 39esumf1o 28039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  f : NN -1-1-onto-> x
)  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4140adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Σ* y  e.  x
( vol `  y
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `
 n ) ) )
4215ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  x  C_  dom  vol )
43 f1of 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN --> x )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN --> x )
4544ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e.  x )
4642, 45sseldd 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e. 
~P dom  vol  /\  (
x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( f `
 n )  e. 
dom  vol )
4746ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  A. n  e.  NN  ( f `  n )  e.  dom  vol )
48 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
49 simplrr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  y  e.  x  y )
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -1-1-onto-> x )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\  y  =  ( f `  n ) )  -> 
y  =  ( f `
 n ) )
5250, 51disjrdx 27428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `  n )  <-> Disj  y  e.  x  y ) )
5352biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN -1-1-onto-> x  /\ Disj  y  e.  x  y )  -> Disj  n  e.  NN  ( f `
 n ) )
5448, 49, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  -> Disj  n  e.  NN  ( f `  n ) )
55 voliune 28179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( f `  n
)  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  ( f `
 n ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
5647, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  ( f `  n
) ) )
57 f1ofo 5813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  f : NN -onto-> x )
5857, 51iunrdx 27409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ y  e.  x  y
)
5958, 22syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U. x )
6059fveq2d 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  ( vol `  U. x
) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  ( vol `  U. x ) )
6241, 56, 613eqtr2rd 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  f : NN -1-1-onto-> x )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
6362ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (
f : NN -1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
6463exlimdv 1711 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( E. f  f : NN
-1-1-onto-> x  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) )
6564imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  E. f  f : NN -1-1-onto-> x
)  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
6627, 65sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ~P dom  vol  /\  ( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y ) )  /\  NN  ~~  x )  -> 
( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
67 brdom2 7547 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om ) )
68 isfinite2 7780 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~<  om  ->  x  e.  Fin )
69 ensymb 7565 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
~~  om  <->  om  ~~  x )
70 nnenom 12072 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
71 entr 7569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( NN  ~~  om  /\  om 
~~  x )  ->  NN  ~~  x )
7270, 71mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( om 
~~  x  ->  NN  ~~  x )
7369, 72sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( x 
~~  om  ->  NN  ~~  x )
7468, 73orim12i 516 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<  om  \/  x  ~~  om )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7567, 74sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( x  ~<_  om  ->  ( x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7675ad2antrl 727 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  (
x  e.  Fin  \/  NN  ~~  x ) )
7726, 66, 76mpjaodan 786 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ~P dom  vol 
/\  ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y ) )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) )
7877ex 434 . . 3  |-  ( x  e.  ~P dom  vol  ->  ( ( x  ~<_  om 
/\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol ` 
U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y ) ) )
7978rgen 2803 . 2  |-  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) )
80 fvssunirn 5879 . . . 4  |-  (sigAlgebra `  RR )  C_  U. ran sigAlgebra
81 dmvlsiga 28107 . . . 4  |-  dom  vol  e.  (sigAlgebra `  RR )
8280, 81sselii 3486 . . 3  |-  dom  vol  e.  U. ran sigAlgebra
83 ismeas 28148 . . 3  |-  ( dom 
vol  e.  U. ran sigAlgebra  ->  ( vol  e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e. 
~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) ) )
8482, 83ax-mp 5 . 2  |-  ( vol 
e.  (measures `  dom  vol )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( vol `  (/) )  =  0  /\  A. x  e.  ~P  dom  vol (
( x  ~<_  om  /\ Disj  y  e.  x  y )  ->  ( vol `  U. x )  = Σ* y  e.  x ( vol `  y
) ) ) )
851, 6, 79, 84mpbir3an 1179 1  |-  vol  e.  (measures `  dom  vol )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   A.wral 2793    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   U.cuni 4234   U_ciun 4315  Disj wdisj 4407   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   omcom 6685    ~~ cen 7515    ~<_ cdom 7516    ~< csdm 7517   Fincfn 7518   RRcr 9494   0cc0 9495   +oocpnf 9628   NNcn 10543   [,]cicc 11543   vol*covol 21852   volcvol 21853  Σ*cesum 28018  sigAlgebracsiga 28085  measurescmeas 28144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-pi 13790  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-ordt 14880  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-ps 15809  df-tsr 15810  df-plusf 15850  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-mulg 16039  df-subg 16177  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-abv 17445  df-lmod 17493  df-scaf 17494  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-tmd 20549  df-tgp 20550  df-tsms 20603  df-trg 20640  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-nm 21081  df-ngp 21082  df-nrg 21084  df-nlm 21085  df-ii 21359  df-cncf 21360  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-limc 22248  df-dv 22249  df-log 22922  df-esum 28019  df-siga 28086  df-meas 28145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator