Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volivth Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem volivth 22565
 Description: The Intermediate Value Theorem for the Lebesgue volume function. For any positive , there is a measurable subset of whose volume is . (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
volivth
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem volivth
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 760 . . . 4
2 mnfxr 11414 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 iccssxr 11717 . . . . . . 7
5 simpr 463 . . . . . . 7
64, 5sseldi 3430 . . . . . 6
76adantr 467 . . . . 5
8 iccssxr 11717 . . . . . . . 8
9 volf 22483 . . . . . . . . 9
109ffvelrni 6021 . . . . . . . 8
118, 10sseldi 3430 . . . . . . 7
1211adantr 467 . . . . . 6
1312adantr 467 . . . . 5
14 0xr 9687 . . . . . . . . . 10
15 elicc1 11680 . . . . . . . . . 10
1614, 12, 15sylancr 669 . . . . . . . . 9
175, 16mpbid 214 . . . . . . . 8
1817simp2d 1021 . . . . . . 7
1918adantr 467 . . . . . 6
20 mnflt0 11427 . . . . . . . 8
21 xrltletr 11454 . . . . . . . 8
2220, 21mpani 682 . . . . . . 7
232, 14, 22mp3an12 1354 . . . . . 6
247, 19, 23sylc 62 . . . . 5
25 simpr 463 . . . . 5
26 xrre2 11465 . . . . 5
273, 7, 13, 24, 25, 26syl32anc 1276 . . . 4
28 volsup2 22563 . . . 4
291, 27, 25, 28syl3anc 1268 . . 3
30 nnre 10616 . . . . . . 7
3130ad2antrl 734 . . . . . 6
3231renegcld 10046 . . . . 5
3327adantr 467 . . . . 5
34 0red 9644 . . . . . 6
35 nngt0 10638 . . . . . . . 8
3635ad2antrl 734 . . . . . . 7
3731lt0neg2d 10184 . . . . . . 7
3836, 37mpbid 214 . . . . . 6
3932, 34, 31, 38, 36lttrd 9796 . . . . 5
40 iccssre 11716 . . . . . 6
4132, 31, 40syl2anc 667 . . . . 5
42 ax-resscn 9596 . . . . . . 7
43 ssid 3451 . . . . . . 7
44 cncfss 21931 . . . . . . 7
4542, 43, 44mp2an 678 . . . . . 6
461adantr 467 . . . . . . 7
47 eqid 2451 . . . . . . . 8
4847volcn 22564 . . . . . . 7
4946, 32, 48syl2anc 667 . . . . . 6
5045, 49sseldi 3430 . . . . 5
5141sselda 3432 . . . . . 6
52 cncff 21925 . . . . . . . 8
5349, 52syl 17 . . . . . . 7
5453ffvelrnda 6022 . . . . . 6
5551, 54syldan 473 . . . . 5
56 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12
5756ineq2d 3634 . . . . . . . . . . 11
5857fveq2d 5869 . . . . . . . . . 10
59 fvex 5875 . . . . . . . . . 10
6058, 47, 59fvmpt 5948 . . . . . . . . 9
6132, 60syl 17 . . . . . . . 8
62 inss2 3653 . . . . . . . . . . . 12
6332rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13
64 iccid 11681 . . . . . . . . . . . . 13
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12
6662, 65syl5sseq 3480 . . . . . . . . . . 11
6732snssd 4117 . . . . . . . . . . 11
6866, 67sstrd 3442 . . . . . . . . . 10
69 ovolsn 22448 . . . . . . . . . . . 12
7032, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11
71 ovolssnul 22440 . . . . . . . . . . 11
7266, 67, 70, 71syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10
73 nulmbl 22489 . . . . . . . . . 10
7468, 72, 73syl2anc 667 . . . . . . . . 9
75 mblvol 22484 . . . . . . . . 9
7674, 75syl 17 . . . . . . . 8
7761, 76, 723eqtrd 2489 . . . . . . 7
7819adantr 467 . . . . . . 7
7977, 78eqbrtrd 4423 . . . . . 6
80 simprr 766 . . . . . . . 8
817adantr 467 . . . . . . . . 9
82 iccmbl 22519 . . . . . . . . . . . 12
8332, 31, 82syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11
84 inmbl 22495 . . . . . . . . . . 11
8546, 83, 84syl2anc 667 . . . . . . . . . 10
869ffvelrni 6021 . . . . . . . . . . 11
878, 86sseldi 3430 . . . . . . . . . 10
8885, 87syl 17 . . . . . . . . 9
89 xrltle 11448 . . . . . . . . 9
9081, 88, 89syl2anc 667 . . . . . . . 8
9180, 90mpd 15 . . . . . . 7
92 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11
9392ineq2d 3634 . . . . . . . . . 10
9493fveq2d 5869 . . . . . . . . 9
95 fvex 5875 . . . . . . . . 9
9694, 47, 95fvmpt 5948 . . . . . . . 8
9731, 96syl 17 . . . . . . 7
9891, 97breqtrrd 4429 . . . . . 6
9979, 98jca 535 . . . . 5
10032, 31, 33, 39, 41, 50, 55, 99ivthle 22407 . . . 4
10141sselda 3432 . . . . . . . 8
102 oveq2 6298 . . . . . . . . . . 11
103102ineq2d 3634 . . . . . . . . . 10
104103fveq2d 5869 . . . . . . . . 9
105 fvex 5875 . . . . . . . . 9
106104, 47, 105fvmpt 5948 . . . . . . . 8
107101, 106syl 17 . . . . . . 7
108107eqeq1d 2453 . . . . . 6
10946adantr 467 . . . . . . . . 9
11032adantr 467 . . . . . . . . . 10
111101adantrr 723 . . . . . . . . . 10
112 iccmbl 22519 . . . . . . . . . 10
113110, 111, 112syl2anc 667 . . . . . . . . 9
114 inmbl 22495 . . . . . . . . 9
115109, 113, 114syl2anc 667 . . . . . . . 8
116 inss1 3652 . . . . . . . . 9
117116a1i 11 . . . . . . . 8
118 simprr 766 . . . . . . . 8
119 sseq1 3453 . . . . . . . . . 10
120 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11
121120eqeq1d 2453 . . . . . . . . . 10
122119, 121anbi12d 717 . . . . . . . . 9
123122rspcev 3150 . . . . . . . 8
124115, 117, 118, 123syl12anc 1266 . . . . . . 7
125124expr 620 . . . . . 6
126108, 125sylbid 219 . . . . 5
127126rexlimdva 2879 . . . 4
128100, 127mpd 15 . . 3
12929, 128rexlimddv 2883 . 2
130 simpll 760 . . 3
131 ssid 3451 . . . 4
132131a1i 11 . . 3
133 simpr 463 . . . 4
134133eqcomd 2457 . . 3
135 sseq1 3453 . . . . 5
136 fveq2 5865 . . . . . 6
137136eqeq1d 2453 . . . . 5
138135, 137anbi12d 717 . . . 4
139138rspcev 3150 . . 3
140130, 132, 134, 139syl12anc 1266 . 2
14117simp3d 1022 . . 3
142 xrleloe 11443 . . . 4
1436, 12, 142syl2anc 667 . . 3
144141, 143mpbid 214 . 2
145129, 140, 144mpjaodan 795 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wrex 2738   cin 3403   wss 3404  csn 3968   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cdm 4834  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539   cpnf 9672   cmnf 9673  cxr 9674   clt 9675   cle 9676  cneg 9861  cn 10609  cicc 11638  ccncf 21908  covol 22413  cvol 22415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418 This theorem is referenced by:  itg2const2  22699
 Copyright terms: Public domain W3C validator