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Theorem voliunnfl 30033
Description: voliun 21837 is incompatible with the Feferman-Levy model; in that model, therefore, the Lebesgue measure as we've defined it isn't actually a measure. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunnfl.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliunnfl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )
voliunnfl.3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
voliunnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, x, A
Allowed substitution hints:    S( x, f, n)    G( x, f, n)

Proof of Theorem voliunnfl
Dummy variables  g  m  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4242 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4261 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5860 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol `  U. A )  =  ( vol `  (/) ) )
5 0mbl 21823 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  dom  vol
6 mblvol 21814 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
8 ovol0 21777 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
97, 8eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( vol `  (/) )  =  0
104, 9syl6req 2501 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
1110a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
12 reldom 7524 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 5030 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
14 0sdomg 7648 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1615biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
17 fodomr 7670 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
1816, 17sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
19 unissb 4266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
2019anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
21 r19.26 2970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2220, 21bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
23 ovolctb2 21776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  ~<_  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2524imdistani 690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2625ralimi 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2722, 26sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) )
2827ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
29 foima 5790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( g " NN )  =  A )
3029raleqdv 3046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) ) )
31 fofn 5787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g  Fn  NN )
32 ssid 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  NN
33 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( g `  m )  C_  RR ) )
34 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( g `  m
) ) )
3534eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
( vol* `  x )  =  0  <-> 
( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )
3633, 35anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  ( ( g `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3736ralima 6137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3831, 32, 37sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3930, 38bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
40 difss 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  C_  ( g `  m )
41 ovolssnul 21771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  ( g `  m )  /\  (
g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
4240, 41mp3an1 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) )  =  0 )
43 ssdifss 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g `  m ) 
C_  RR  ->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  C_  RR )
44 nulmbl 21819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol )
45 mblvol 21814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) )
4645eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  <->  ( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) )  =  0 ) )
4746biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0 )  ->  ( vol `  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
48 0re 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  RR
4947, 48syl6eqel 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0 )  ->  ( vol `  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  e.  RR )
5049expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5150ancld 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
5344, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5443, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5542, 54syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5655ralimi 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
57 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
58 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
1..^ m )  =  ( 1..^ n ) )
5958iuneq1d 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
)  =  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )
6057, 59difeq12d 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  =  ( ( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )
61 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )
62 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g `
 n )  e. 
_V
63 difexg 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g `  n )  e.  _V  ->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  _V )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  _V
6560, 61, 64fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  =  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )
6665eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  <->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol ) )
6765fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )
6867eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  e.  RR ) )
6966, 68anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <-> 
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
7069ralbiia 2873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <->  A. n  e.  NN  ( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
71 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
72 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ m ) )
7372iuneq1d 4340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
)  =  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )
7471, 73difeq12d 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  =  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )
7574eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  <->  ( (
g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol ) )
7674fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( vol `  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) )
7776eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR  <->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
7875, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR )  <->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
7978cbvralv 3070 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  e.  RR ) 
<-> 
A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
8070, 79bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <->  A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
8156, 80sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) )
82 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
g `  n )  =  ( g `  l ) )
8382iundisj2 21832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Disj  n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )
84 disjeq2 4411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  =  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  ->  (Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) )
8584, 65mprg 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )
8683, 85mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)
87 nnex 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  e.  _V
8887mptex 6128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  e.  _V
89 fveq1 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )
9089eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( f `  n
)  e.  dom  vol  <->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  e.  dom  vol )
)
9189fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( vol `  ( f `  n ) )  =  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) )
9291eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  e.  RR ) )
9390, 92anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  <-> 
( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) ) )
9493ralbidv 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  <->  A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) ) )
9589adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )
9695disjeq2dv 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `
 n )  <-> Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )
9794, 96anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( f `  n
) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  <->  ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) )
9889iuneq2d 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )
9998fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )
100 voliunnfl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
101 voliunnfl.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )
102 seqeq3 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) )  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) ) )
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  seq 1
(  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )
104100, 103eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) ) )
105104rneqi 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `  n
) ) ) )
106105supeq1i 7909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )
10791mpteq2dv 4524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) )
108107seqeq3d 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) )
109108rneqd 5220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) )
110109supeq1d 7908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
111106, 110syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
11299, 111eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
) )
11397, 112imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( ( A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( f `  n
) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
) ) )
114 voliunnfl.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
11588, 113, 114vtocl 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
11665iuneq2i 4334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  =  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )
117116fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )
11867mpteq2ia 4519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )
119 seqeq3 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )
121120rneqi 5219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )
122121supeq1i 7909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
123115, 117, 1223eqtr3g 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12481, 86, 123sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
125124adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
12682iundisj 21831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  NN  ( g `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )
127 fofun 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  Fun  g )
128 funiunfv 6145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  g  ->  U_ n  e.  NN  ( g `  n )  =  U. ( g " NN ) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( g `  n
)  =  U. (
g " NN ) )
130126, 129syl5eqr 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  =  U. ( g
" NN ) )
13129unieqd 4244 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ( g " NN )  =  U. A )
132130, 131eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  =  U. A )
133132fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
134133adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
13557sseq1d 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
( g `  m
)  C_  RR  <->  ( g `  n )  C_  RR ) )
13657fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  ( vol* `  ( g `  n
) ) )
137136eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
( vol* `  ( g `  m
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( g `  n
) )  =  0 ) )
138135, 137anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  <->  ( ( g `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  n
) )  =  0 ) ) )
139138rspccva 3195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 ) )
140 ssdifss 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  n ) 
C_  RR  ->  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  RR )
141140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR )
142 difss 3616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  ( g `  n )
143 ovolssnul 21771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  n ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
144142, 143mp3an1 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  =  0 )
145141, 144jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 ) )
146 nulmbl 21819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol )
147 mblvol 21814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) )
148145, 146, 1473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) )
149148, 144eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  0 )
150139, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
151150mpteq2dva 4523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  0 ) )
152151seqeq3d 12094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
153152rneqd 5220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
154153supeq1d 7908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) ) , 
RR* ,  <  ) )
155 0cn 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
156 ser1const 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) `  m
)  =  ( m  x.  0 ) )
157155, 156mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m )  =  ( m  x.  0 ) )
158 nncn 10550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
159158mul01d 9782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  x.  0 )  =  0 )
160157, 159eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m )  =  0 )
161160mpteq2ia 4519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
162 fconstmpt 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( n  e.  NN  |->  0 )
163 seqeq3 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( NN  X.  { 0 } )  =  ( n  e.  NN  |->  0 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
164162, 163ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )
165 1z 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ZZ
166 seqfn 12098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
167165, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
168 nnuz 11125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
169168fneq2i 5666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
170 dffn5 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) ) )
171169, 170bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)  <->  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m ) ) )
172167, 171mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) )
173164, 172eqtr3i 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) )
174 fconstmpt 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
175161, 173, 1743eqtr4i 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )
176175rneqi 5219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ran  ( NN  X.  { 0 } )
177 1nn 10553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN
178 ne0i 3776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
179 rnxp 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
180177, 178, 179mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
181176, 180eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  { 0 }
182181supeq1i 7909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
183 xrltso 11356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <  Or  RR*
184 0xr 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
185 supsn 7933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
186183, 184, 185mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
187182, 186eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
188154, 187syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
189188adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
190125, 134, 1893eqtr3rd 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
191190ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( g `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
19239, 191sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
19328, 192syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
194193exlimiv 1709 . . . . . . 7  |-  ( E. g  g : NN -onto-> A  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
19518, 194syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
196195expimpd 603 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
19711, 196pm2.61ine 2756 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) )
198 renepnf 9644 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
19948, 198mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
200 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  =  ( vol `  RR ) )
201 rembl 21824 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  dom  vol
202 mblvol 21814 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  dom  vol  ->  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR ) )
203201, 202ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR )
204 ovolre 21809 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
205203, 204eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( vol `  RR )  = +oo
206200, 205syl6eq 2500 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  = +oo )
207199, 206neeqtrrd 2743 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol `  U. A ) )
208207necon2i 2686 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
209197, 208syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
210209expr 615 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
211 eqimss 3541 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
212211necon3bi 2672 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
213210, 212pm2.61d1 159 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   U.cuni 4234   U_ciun 4315  Disj wdisj 4407   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    Or wor 4789    X. cxp 4987   dom cdm 4989   ran crn 4990   "cima 4992   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   -onto->wfo 5576   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ~<_ cdom 7516    ~< csdm 7517   supcsup 7902   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    < clt 9631   NNcn 10542   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090  ..^cfzo 11803    seqcseq 12086   vol*covol 21747   volcvol 21748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-rest 14697  df-topgen 14718  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-cmp 19760  df-ovol 21749  df-vol 21750
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