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Theorem voliunnfl 31996
 Description: voliun 22519 is incompatible with the Feferman-Levy model; in that model, therefore, the Lebesgue measure as we've defined it isn't actually a measure. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunnfl.1
voliunnfl.2
voliunnfl.3 Disj
Assertion
Ref Expression
voliunnfl
Distinct variable group:   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)

Proof of Theorem voliunnfl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4209 . . . . . . . . 9
2 uni0 4228 . . . . . . . . 9
31, 2syl6eq 2503 . . . . . . . 8
43fveq2d 5874 . . . . . . 7
5 0mbl 22505 . . . . . . . . 9
6 mblvol 22496 . . . . . . . . 9
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8
8 ovol0 22458 . . . . . . . 8
97, 8eqtri 2475 . . . . . . 7
104, 9syl6req 2504 . . . . . 6
1110a1d 26 . . . . 5
12 reldom 7580 . . . . . . . . . . 11
1312brrelexi 4878 . . . . . . . . . 10
14 0sdomg 7706 . . . . . . . . . 10
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9
1615biimparc 490 . . . . . . . 8
17 fodomr 7728 . . . . . . . 8
1816, 17sylancom 674 . . . . . . 7
19 unissb 4232 . . . . . . . . . . . . 13
2019anbi1i 702 . . . . . . . . . . . 12
21 r19.26 2919 . . . . . . . . . . . 12
2220, 21bitr4i 256 . . . . . . . . . . 11
23 ovolctb2 22457 . . . . . . . . . . . . . 14
2423ex 436 . . . . . . . . . . . . 13
2524imdistani 697 . . . . . . . . . . . 12
2625ralimi 2783 . . . . . . . . . . 11
2722, 26sylbi 199 . . . . . . . . . 10
2827ancoms 455 . . . . . . . . 9
29 foima 5803 . . . . . . . . . . . 12
3029raleqdv 2995 . . . . . . . . . . 11
31 fofn 5800 . . . . . . . . . . . 12
32 ssid 3453 . . . . . . . . . . . 12
33 sseq1 3455 . . . . . . . . . . . . . 14
34 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14
3633, 35anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . 13
3736ralima 6150 . . . . . . . . . . . 12
3831, 32, 37sylancl 669 . . . . . . . . . . 11
3930, 38bitr3d 259 . . . . . . . . . 10
40 difss 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
41 ovolssnul 22452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
4240, 41mp3an1 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
43 ssdifss 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
44 nulmbl 22501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^ ..^
45 mblvol 22496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^ ..^ ..^
4645eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ ..^ ..^
4746biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ ..^ ..^
48 0re 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4947, 48syl6eqel 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^ ..^
5049expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^ ..^
5150ancld 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^ ..^ ..^
5251adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^ ..^ ..^ ..^
5344, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^ ..^ ..^
5443, 53sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^ ..^
5542, 54syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
5655ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
57 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
58 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
5958iuneq1d 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
6057, 59difeq12d 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
61 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
62 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63 difexg 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
6560, 61, 64fvmpt 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
6665eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
6765fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
6867eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
6966, 68anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^ ..^ ..^
7069ralbiia 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^ ..^ ..^
71 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
72 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
7372iuneq1d 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
7471, 73difeq12d 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
7574eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
7674fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
7776eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
7875, 77anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^ ..^ ..^
7978cbvralv 3021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^ ..^ ..^
8070, 79bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^ ..^ ..^
8156, 80sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
82 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8382iundisj2 22514 . . . . . . . . . . . . . . 15 Disj ..^
84 disjeq2 4380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^ Disj ..^ Disj ..^
8584, 65mprg 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 Disj ..^ Disj ..^
8683, 85mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14 Disj ..^
87 nnex 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8887mptex 6141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
89 fveq1 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
9089eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
9189fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
9291eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
9390, 92anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^ ..^
9493ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^ ..^
9589adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
9695disjeq2dv 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ Disj Disj ..^
9794, 96anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ Disj ..^ ..^ Disj ..^
9889iuneq2d 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
9998fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
100 voliunnfl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
101 voliunnfl.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
102 seqeq3 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104100, 103eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105104rneqi 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106105supeq1i 7966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10791mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^ ..^
108107seqeq3d 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
109108rneqd 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
110109supeq1d 7965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
111106, 110syl5eq 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
11299, 111eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^ ..^
11397, 112imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ Disj ..^ ..^ Disj ..^ ..^ ..^
114 voliunnfl.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Disj
11588, 113, 114vtocl 3102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^ Disj ..^ ..^ ..^
11665iuneq2i 4300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
117116fveq2i 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
11867mpteq2ia 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
119 seqeq3 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^ ..^ ..^
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
121120rneqi 5064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
122121supeq1i 7966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
123115, 117, 1223eqtr3g 2510 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ Disj ..^ ..^ ..^
12481, 86, 123sylancl 669 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
125124adantl 468 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
12682iundisj 22513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
127 fofun 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128 funiunfv 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130126, 129syl5eqr 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
13129unieqd 4211 . . . . . . . . . . . . . . 15
132130, 131eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
133132fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
134133adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 ..^
13557sseq1d 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
13657fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137136eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138135, 137anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139138rspccva 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
140 ssdifss 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
141140adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
142 difss 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
143 ovolssnul 22452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^ ..^
144142, 143mp3an1 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
145141, 144jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
146 nulmbl 22501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^ ..^
147 mblvol 22496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^ ..^
148145, 146, 1473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
149148, 144eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
150139, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
151150mpteq2dva 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
152151seqeq3d 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
153152rneqd 5065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
154153supeq1d 7965 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
155 0cn 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
156 ser1const 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
157155, 156mpan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
158 nncn 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
159158mul01d 9837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
160157, 159eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161160mpteq2ia 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
162 fconstmpt 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
163 seqeq3 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
164162, 163ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
165 1z 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
166 seqfn 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
167165, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
168 nnuz 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
169168fneq2i 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
170 dffn5 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
171169, 170bitr3i 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
172167, 171mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
173164, 172eqtr3i 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
174 fconstmpt 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
175161, 173, 1743eqtr4i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176175rneqi 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
177 1nn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178 ne0i 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
179 rnxp 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
180177, 178, 179mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
181176, 180eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182181supeq1i 7966 . . . . . . . . . . . . . . 15
183 xrltso 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16
184 0xr 9692 . . . . . . . . . . . . . . . 16
185 supsn 7993 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186183, 184, 185mp2an 679 . . . . . . . . . . . . . . 15
187182, 186eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . . 14
188154, 187syl6eq 2503 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
189188adantl 468 . . . . . . . . . . . 12 ..^
190125, 134, 1893eqtr3rd 2496 . . . . . . . . . . 11
191190ex 436 . . . . . . . . . 10
19239, 191sylbid 219 . . . . . . . . 9
19328, 192syl5 33 . . . . . . . 8
194193exlimiv 1778 . . . . . . 7
19518, 194syl 17 . . . . . 6
196195expimpd 608 . . . . 5
19711, 196pm2.61ine 2709 . . . 4
198 renepnf 9693 . . . . . . 7
19948, 198mp1i 13 . . . . . 6
200 fveq2 5870 . . . . . . 7
201 rembl 22506 . . . . . . . . 9
202 mblvol 22496 . . . . . . . . 9
203201, 202ax-mp 5 . . . . . . . 8
204 ovolre 22491 . . . . . . . 8
205203, 204eqtri 2475 . . . . . . 7
206200, 205syl6eq 2503 . . . . . 6
207199, 206neeqtrrd 2700 . . . . 5
208207necon2i 2660 . . . 4
209197, 208syl 17 . . 3
210209expr 620 . 2
211 eqimss 3486 . . 3
212211necon3bi 2652 . 2
213210, 212pm2.61d1 163 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446  wex 1665   wcel 1889   wne 2624  wral 2739  cvv 3047   cdif 3403   wss 3406  c0 3733  csn 3970  cuni 4201  ciun 4281  Disj wdisj 4376   class class class wbr 4405   cmpt 4464   wor 4757   cxp 4835   cdm 4837   crn 4838  cima 4840   wfun 5579   wfn 5580  wfo 5583  cfv 5585  (class class class)co 6295   cdom 7572   csdm 7573  csup 7959  cc 9542  cr 9543  cc0 9544  c1 9545   caddc 9547   cmul 9549   cpnf 9677  cxr 9679   clt 9680  cn 10616  cz 10944  cuz 11166  ..^cfzo 11922   cseq 12220  covol 22425  cvol 22427 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430 This theorem is referenced by: (None)
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