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Theorem voliunnfl 32048
Description: voliun 22586 is incompatible with the Feferman-Levy model; in that model, therefore, the Lebesgue measure as we've defined it isn't actually a measure. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunnfl.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliunnfl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )
voliunnfl.3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
voliunnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, x, A
Allowed substitution hints:    S( x, f, n)    G( x, f, n)

Proof of Theorem voliunnfl
Dummy variables  g  m  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4217 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol `  U. A )  =  ( vol `  (/) ) )
5 0mbl 22571 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  dom  vol
6 mblvol 22562 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
8 ovol0 22524 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
97, 8eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  ( vol `  (/) )  =  0
104, 9syl6req 2522 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
1110a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
12 reldom 7593 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 4880 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
14 0sdomg 7719 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1615biimparc 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
17 fodomr 7741 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
1816, 17sylancom 680 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
19 unissb 4221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
2019anbi1i 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
21 r19.26 2904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2220, 21bitr4i 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
23 ovolctb2 22523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
2423ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  ~<_  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2524imdistani 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2625ralimi 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2722, 26sylbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) )
2827ancoms 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
29 foima 5811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( g " NN )  =  A )
3029raleqdv 2979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) ) )
31 fofn 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g  Fn  NN )
32 ssid 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  NN
33 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( g `  m )  C_  RR ) )
34 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( g `  m
) ) )
3534eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
( vol* `  x )  =  0  <-> 
( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )
3633, 35anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  ( ( g `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3736ralima 6163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3831, 32, 37sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3930, 38bitr3d 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
40 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  C_  ( g `  m )
41 ovolssnul 22518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  ( g `  m )  /\  (
g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
4240, 41mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) )  =  0 )
43 ssdifss 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g `  m ) 
C_  RR  ->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  C_  RR )
44 nulmbl 22567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol )
45 mblvol 22562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) )
4645eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  <->  ( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) )  =  0 ) )
4746biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0 )  ->  ( vol `  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
48 0re 9661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  RR
4947, 48syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0 )  ->  ( vol `  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  e.  RR )
5049expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5150ancld 562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
5344, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5443, 53sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5542, 54syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5655ralimi 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
57 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
58 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
1..^ m )  =  ( 1..^ n ) )
5958iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
)  =  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )
6057, 59difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  =  ( ( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )
61 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )
62 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g `
 n )  e. 
_V
63 difexg 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g `  n )  e.  _V  ->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  _V )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  _V
6560, 61, 64fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  =  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )
6665eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  <->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol ) )
6765fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )
6867eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  e.  RR ) )
6966, 68anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <-> 
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
7069ralbiia 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <->  A. n  e.  NN  ( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
71 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
72 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ m ) )
7372iuneq1d 4294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
)  =  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )
7471, 73difeq12d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  =  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )
7574eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  <->  ( (
g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol ) )
7674fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( vol `  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) )
7776eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR  <->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
7875, 77anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR )  <->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
7978cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  e.  RR ) 
<-> 
A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
8070, 79bitri 257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <->  A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
8156, 80sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) )
82 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
g `  n )  =  ( g `  l ) )
8382iundisj2 22581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Disj  n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )
84 disjeq2 4370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  =  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  ->  (Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) )
8584, 65mprg 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )
8683, 85mpbir 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)
87 nnex 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  e.  _V
8887mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  e.  _V
89 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )
9089eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( f `  n
)  e.  dom  vol  <->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  e.  dom  vol )
)
9189fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( vol `  ( f `  n ) )  =  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) )
9291eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  e.  RR ) )
9390, 92anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  <-> 
( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) ) )
9493ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  <->  A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) ) )
9589adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )
9695disjeq2dv 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `
 n )  <-> Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )
9794, 96anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( f `  n
) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  <->  ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) )
9889iuneq2d 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )
9998fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )
100 voliunnfl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
101 voliunnfl.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )
102 seqeq3 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) )  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) ) )
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  seq 1
(  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )
104100, 103eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) ) )
105104rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `  n
) ) ) )
106105supeq1i 7979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )
10791mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) )
108107seqeq3d 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) )
109108rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) )
110109supeq1d 7978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
111106, 110syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
11299, 111eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
) )
11397, 112imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( ( A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( f `  n
) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
) ) )
114 voliunnfl.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
11588, 113, 114vtocl 3086 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
11665iuneq2i 4288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  =  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )
117116fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )
11867mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )
119 seqeq3 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )
121120rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )
122121supeq1i 7979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
123115, 117, 1223eqtr3g 2528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12481, 86, 123sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
125124adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
12682iundisj 22580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  NN  ( g `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )
127 fofun 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  Fun  g )
128 funiunfv 6171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  g  ->  U_ n  e.  NN  ( g `  n )  =  U. ( g " NN ) )
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( g `  n
)  =  U. (
g " NN ) )
130126, 129syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  =  U. ( g
" NN ) )
13129unieqd 4200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ( g " NN )  =  U. A )
132130, 131eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  =  U. A )
133132fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
134133adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
13557sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
( g `  m
)  C_  RR  <->  ( g `  n )  C_  RR ) )
13657fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  ( vol* `  ( g `  n
) ) )
137136eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
( vol* `  ( g `  m
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( g `  n
) )  =  0 ) )
138135, 137anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  <->  ( ( g `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  n
) )  =  0 ) ) )
139138rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 ) )
140 ssdifss 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  n ) 
C_  RR  ->  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  RR )
141140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR )
142 difss 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  ( g `  n )
143 ovolssnul 22518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  n ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
144142, 143mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  =  0 )
145141, 144jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 ) )
146 nulmbl 22567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol )
147 mblvol 22562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) )
148145, 146, 1473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) )
149148, 144eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  0 )
150139, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
151150mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  0 ) )
152151seqeq3d 12259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
153152rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
154153supeq1d 7978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) ) , 
RR* ,  <  ) )
155 0cn 9653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
156 ser1const 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) `  m
)  =  ( m  x.  0 ) )
157155, 156mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m )  =  ( m  x.  0 ) )
158 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
159158mul01d 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  x.  0 )  =  0 )
160157, 159eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m )  =  0 )
161160mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
162 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( n  e.  NN  |->  0 )
163 seqeq3 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( NN  X.  { 0 } )  =  ( n  e.  NN  |->  0 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
164162, 163ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )
165 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ZZ
166 seqfn 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
167165, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
168 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
169168fneq2i 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
170 dffn5 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) ) )
171169, 170bitr3i 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)  <->  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m ) ) )
172167, 171mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) )
173164, 172eqtr3i 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) )
174 fconstmpt 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
175161, 173, 1743eqtr4i 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )
176175rneqi 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ran  ( NN  X.  { 0 } )
177 1nn 10642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN
178 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
179 rnxp 5273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
180177, 178, 179mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
181176, 180eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  { 0 }
182181supeq1i 7979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
183 xrltso 11463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <  Or  RR*
184 0xr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
185 supsn 8006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
186183, 184, 185mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
187182, 186eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
188154, 187syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
189188adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
190125, 134, 1893eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
191190ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( g `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
19239, 191sylbid 223 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
19328, 192syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
194193exlimiv 1784 . . . . . . 7  |-  ( E. g  g : NN -onto-> A  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
19518, 194syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
196195expimpd 614 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
19711, 196pm2.61ine 2726 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) )
198 renepnf 9706 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
19948, 198mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
200 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  =  ( vol `  RR ) )
201 rembl 22572 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  dom  vol
202 mblvol 22562 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  dom  vol  ->  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR ) )
203201, 202ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR )
204 ovolre 22557 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
205203, 204eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  ( vol `  RR )  = +oo
206200, 205syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  = +oo )
207199, 206neeqtrrd 2717 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol `  U. A ) )
208207necon2i 2677 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
209197, 208syl 17 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
210209expr 626 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
211 eqimss 3470 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
212211necon3bi 2669 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
213210, 212pm2.61d1 164 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    Or wor 4759    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -onto->wfo 5587   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182  ..^cfzo 11942    seqcseq 12251   vol*covol 22491   volcvol 22493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496
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