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Theorem voliunnfl 28438
Description: voliun 21038 is incompatible with the Feferman-Levy model; in that model, therefore, the Lebesgue measure as we've defined it isn't actually a measure. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunnfl.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliunnfl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )
voliunnfl.3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
voliunnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, x, A
Allowed substitution hints:    S( x, f, n)    G( x, f, n)

Proof of Theorem voliunnfl
Dummy variables  g  m  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4102 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4121 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol `  U. A )  =  ( vol `  (/) ) )
5 0mbl 21024 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  dom  vol
6 mblvol 21016 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
8 ovol0 20979 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
97, 8eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( vol `  (/) )  =  0
104, 9syl6req 2492 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
1110a1d 25 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
12 reldom 7319 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 4882 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
14 0sdomg 7443 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1615biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
17 fodomr 7465 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
1816, 17sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
19 unissb 4126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
2019anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
21 r19.26 2852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2220, 21bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
23 ovolctb2 20978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  ~<_  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2524imdistani 690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2625ralimi 2794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2722, 26sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) )
2827ancoms 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
29 foima 5628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( g " NN )  =  A )
3029raleqdv 2926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) ) )
31 fofn 5625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g  Fn  NN )
32 ssid 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  NN
33 sseq1 3380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( g `  m )  C_  RR ) )
34 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( g `  m
) ) )
3534eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
( vol* `  x )  =  0  <-> 
( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )
3633, 35anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  ( ( g `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3736ralima 5960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3831, 32, 37sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3930, 38bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
40 difss 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  C_  ( g `  m )
41 ovolssnul 20973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  ( g `  m )  /\  (
g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
4240, 41mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) )  =  0 )
43 ssdifss 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g `  m ) 
C_  RR  ->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  C_  RR )
44 nulmbl 21020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol )
45 mblvol 21016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) )
4645eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  <->  ( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) )  =  0 ) )
4746biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0 )  ->  ( vol `  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
48 0re 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  RR
4947, 48syl6eqel 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0 )  ->  ( vol `  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  e.  RR )
5049expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5150ancld 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
5344, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5443, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5542, 54syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5655ralimi 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
57 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
58 oveq2 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
1..^ m )  =  ( 1..^ n ) )
5958iuneq1d 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
)  =  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )
6057, 59difeq12d 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  =  ( ( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )
61 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )
62 fvex 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g `
 n )  e. 
_V
63 difexg 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g `  n )  e.  _V  ->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  _V )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  _V
6560, 61, 64fvmpt 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  =  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )
6665eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  <->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol ) )
6765fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )
6867eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  e.  RR ) )
6966, 68anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <-> 
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
7069ralbiia 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <->  A. n  e.  NN  ( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
71 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
72 oveq2 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ m ) )
7372iuneq1d 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
)  =  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )
7471, 73difeq12d 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  =  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )
7574eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  <->  ( (
g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol ) )
7674fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( vol `  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) )
7776eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR  <->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
7875, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR )  <->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
7978cbvralv 2950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  e.  RR ) 
<-> 
A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
8070, 79bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <->  A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
8156, 80sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) )
82 fveq2 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
g `  n )  =  ( g `  l ) )
8382iundisj2 21033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Disj  n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )
84 disjeq2 4269 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  =  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  ->  (Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) )
8584, 65mprg 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )
8683, 85mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)
87 nnex 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  e.  _V
8887mptex 5951 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  e.  _V
89 fveq1 5693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )
9089eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( f `  n
)  e.  dom  vol  <->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  e.  dom  vol )
)
9189fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( vol `  ( f `  n ) )  =  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) )
9291eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  e.  RR ) )
9390, 92anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  <-> 
( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) ) )
9493ralbidv 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  <->  A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) ) )
9589adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )
9695disjeq2dv 4270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `
 n )  <-> Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )
9794, 96anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( f `  n
) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  <->  ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) )
9889iuneq2d 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )
9998fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )
100 voliunnfl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
101 voliunnfl.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )
102 seqeq3 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) )  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) ) )
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  seq 1
(  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )
104100, 103eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) ) )
105104rneqi 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `  n
) ) ) )
106105supeq1i 7700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )
10791mpteq2dv 4382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) )
108107seqeq3d 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) )
109108rneqd 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) )
110109supeq1d 7699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
111106, 110syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
11299, 111eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
) )
11397, 112imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( ( A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( f `  n
) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
) ) )
114 voliunnfl.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
11588, 113, 114vtocl 3027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
11665iuneq2i 4192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  =  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )
117116fveq2i 5697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )
11867mpteq2ia 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )
119 seqeq3 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )
121120rneqi 5069 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )
122121supeq1i 7700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
123115, 117, 1223eqtr3g 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12481, 86, 123sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
125124adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
12682iundisj 21032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  NN  ( g `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )
127 fofun 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  Fun  g )
128 funiunfv 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  g  ->  U_ n  e.  NN  ( g `  n )  =  U. ( g " NN ) )
129127, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( g `  n
)  =  U. (
g " NN ) )
130126, 129syl5eqr 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  =  U. ( g
" NN ) )
13129unieqd 4104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ( g " NN )  =  U. A )
132130, 131eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  =  U. A )
133132fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
134133adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
13557sseq1d 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
( g `  m
)  C_  RR  <->  ( g `  n )  C_  RR ) )
13657fveq2d 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  ( vol* `  ( g `  n
) ) )
137136eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
( vol* `  ( g `  m
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( g `  n
) )  =  0 ) )
138135, 137anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  <->  ( ( g `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  n
) )  =  0 ) ) )
139138rspccva 3075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 ) )
140 ssdifss 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  n ) 
C_  RR  ->  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  RR )
141140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR )
142 difss 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  ( g `  n )
143 ovolssnul 20973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  n ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
144142, 143mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  =  0 )
145141, 144jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 ) )
146 nulmbl 21020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol )
147 mblvol 21016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) )
148145, 146, 1473syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) )
149148, 144eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  0 )
150139, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
151150mpteq2dva 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  0 ) )
152151seqeq3d 11817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
153152rneqd 5070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
154153supeq1d 7699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) ) , 
RR* ,  <  ) )
155 0cn 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
156 ser1const 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) `  m
)  =  ( m  x.  0 ) )
157155, 156mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m )  =  ( m  x.  0 ) )
158 nncn 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
159158mul01d 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  x.  0 )  =  0 )
160157, 159eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m )  =  0 )
161160mpteq2ia 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
162 fconstmpt 4885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( n  e.  NN  |->  0 )
163 seqeq3 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( NN  X.  { 0 } )  =  ( n  e.  NN  |->  0 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
164162, 163ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )
165 1z 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ZZ
166 seqfn 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
167165, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
168 nnuz 10899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
169168fneq2i 5509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
170 dffn5 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) ) )
171169, 170bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)  <->  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m ) ) )
172167, 171mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) )
173164, 172eqtr3i 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) )
174 fconstmpt 4885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
175161, 173, 1743eqtr4i 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )
176175rneqi 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ran  ( NN  X.  { 0 } )
177 1nn 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN
178 ne0i 3646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
179 rnxp 5271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
180177, 178, 179mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
181176, 180eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  { 0 }
182181supeq1i 7700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
183 xrltso 11121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <  Or  RR*
184 0xr 9433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
185 supsn 7722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
186183, 184, 185mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
187182, 186eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
188154, 187syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
189188adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
190125, 134, 1893eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
191190ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( g `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
19239, 191sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
19328, 192syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
194193exlimiv 1688 . . . . . . 7  |-  ( E. g  g : NN -onto-> A  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
19518, 194syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
196195expimpd 603 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
19711, 196pm2.61ine 2690 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) )
198 renepnf 9434 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
19948, 198mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
200 fveq2 5694 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  =  ( vol `  RR ) )
201 rembl 21025 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  dom  vol
202 mblvol 21016 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  dom  vol  ->  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR ) )
203201, 202ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR )
204 ovolre 21011 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
205203, 204eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( vol `  RR )  = +oo
206200, 205syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  = +oo )
207199, 206neeqtrrd 2635 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol `  U. A ) )
208207necon2i 2661 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
209197, 208syl 16 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
210209expr 615 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
211 eqimss 3411 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
212211necon3bi 2655 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
213210, 212pm2.61d1 159 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2609   A.wral 2718   _Vcvv 2975    \ cdif 3328    C_ wss 3331   (/)c0 3640   {csn 3880   U.cuni 4094   U_ciun 4174  Disj wdisj 4265   class class class wbr 4295    e. cmpt 4353    Or wor 4643    X. cxp 4841   dom cdm 4843   ran crn 4844   "cima 4846   Fun wfun 5415    Fn wfn 5416   -onto->wfo 5419   ` cfv 5421  (class class class)co 6094    ~<_ cdom 7311    ~< csdm 7312   supcsup 7693   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290   +oocpnf 9418   RR*cxr 9420    < clt 9421   NNcn 10325   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864  ..^cfzo 11551    seqcseq 11809   vol*covol 20949   volcvol 20950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-disj 4266  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167  df-rest 14364  df-topgen 14385  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-cmp 18993  df-ovol 20951  df-vol 20952
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