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Theorem voliunnfl 31996
Description: voliun 22519 is incompatible with the Feferman-Levy model; in that model, therefore, the Lebesgue measure as we've defined it isn't actually a measure. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunnfl.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliunnfl.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )
voliunnfl.3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
voliunnfl  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Distinct variable group:    f, n, x, A
Allowed substitution hints:    S( x, f, n)    G( x, f, n)

Proof of Theorem voliunnfl
Dummy variables  g  m  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4209 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  U. (/) )
2 uni0 4228 . . . . . . . . 9  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2503 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  U. A  =  (/) )
43fveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol `  U. A )  =  ( vol `  (/) ) )
5 0mbl 22505 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  dom  vol
6 mblvol 22496 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
8 ovol0 22458 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
97, 8eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  ( vol `  (/) )  =  0
104, 9syl6req 2504 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
1110a1d 26 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
12 reldom 7580 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ~<_
1312brrelexi 4878 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
14 0sdomg 7706 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1615biimparc 490 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  (/)  ~<  A )
17 fodomr 7728 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
1816, 17sylancom 674 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> A
)
19 unissb 4232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. A  C_  RR  <->  A. x  e.  A  x  C_  RR )
2019anbi1i 702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
21 r19.26 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  <->  ( A. x  e.  A  x  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN ) )
2220, 21bitr4i 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN ) )
23 ovolctb2 22457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( vol* `  x )  =  0 )
2423ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  RR  ->  ( x  ~<_  NN  ->  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2524imdistani 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  ( x 
C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2625ralimi 2783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  C_  RR  /\  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
2722, 26sylbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. A  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) )
2827ancoms 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 ) )
29 foima 5803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( g " NN )  =  A )
3029raleqdv 2995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x
)  =  0 ) ) )
31 fofn 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
g  Fn  NN )
32 ssid 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  NN
33 sseq1 3455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
x  C_  RR  <->  ( g `  m )  C_  RR ) )
34 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  ( g `  m
) ) )
3534eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
( vol* `  x )  =  0  <-> 
( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )
3633, 35anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( g `  m )  ->  (
( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  ( ( g `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3736ralima 6150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g  Fn  NN  /\  NN  C_  NN )  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3831, 32, 37sylancl 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  ( g " NN ) ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
3930, 38bitr3d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  <->  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) ) )
40 difss 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  C_  ( g `  m )
41 ovolssnul 22452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  ( g `  m )  /\  (
g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
4240, 41mp3an1 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) )  =  0 )
43 ssdifss 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g `  m ) 
C_  RR  ->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  C_  RR )
44 nulmbl 22501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol )
45 mblvol 22496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) )
4645eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  <->  ( vol* `  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) )  =  0 ) )
4746biimpar 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0 )  ->  ( vol `  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
48 0re 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  RR
4947, 48syl6eqel 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0 )  ->  ( vol `  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  e.  RR )
5049expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5150ancld 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( vol* `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  =  0  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
5251adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
5344, 52mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5443, 53sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5542, 54syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
5655ralimi 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
57 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
g `  m )  =  ( g `  n ) )
58 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  (
1..^ m )  =  ( 1..^ n ) )
5958iuneq1d 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
)  =  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )
6057, 59difeq12d 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  =  ( ( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )
61 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )
62 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g `
 n )  e. 
_V
63 difexg 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( g `  n )  e.  _V  ->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  _V )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  _V
6560, 61, 64fvmpt 5953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  =  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )
6665eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  <->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol ) )
6765fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )
6867eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  e.  RR ) )
6966, 68anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <-> 
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
7069ralbiia 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <->  A. n  e.  NN  ( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
71 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
72 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ m ) )
7372iuneq1d 4306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  m  ->  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
)  =  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )
7471, 73difeq12d 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  =  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )
7574eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  <->  ( (
g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol ) )
7674fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  ( vol `  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) )
7776eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR  <->  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
7875, 77anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  e.  RR )  <->  ( (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) ) )
7978cbvralv 3021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  e.  RR ) 
<-> 
A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
8070, 79bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  <->  A. m  e.  NN  ( ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) )  e.  RR ) )
8156, 80sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) )
82 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  l  ->  (
g `  n )  =  ( g `  l ) )
8382iundisj2 22514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- Disj  n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )
84 disjeq2 4380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  =  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  ->  (Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) )
8584, 65mprg 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )
8683, 85mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)
87 nnex 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  e.  _V
8887mptex 6141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  e.  _V
89 fveq1 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )
9089eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( f `  n
)  e.  dom  vol  <->  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n )  e.  dom  vol )
)
9189fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( vol `  ( f `  n ) )  =  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) )
9291eleq1d 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  e.  RR ) )
9390, 92anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  <-> 
( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) ) )
9493ralbidv 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  <->  A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR ) ) )
9589adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
f `  n )  =  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )
9695disjeq2dv 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (Disj  n  e.  NN  ( f `
 n )  <-> Disj  n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )
9794, 96anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( f `  n
) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  <->  ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) )
9889iuneq2d 4308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  U_ n  e.  NN  ( f `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )
9998fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )
100 voliunnfl.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
101 voliunnfl.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )
102 seqeq3 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) )  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) ) )
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  seq 1
(  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )
104100, 103eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) ) )
105104rneqi 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `  n
) ) ) )
106105supeq1i 7966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
f `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )
10791mpteq2dv 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) )
108107seqeq3d 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) )
109108rneqd 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `
 n ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) )
110109supeq1d 7965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( f `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
111106, 110syl5eq 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
11299, 111eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( vol `  U_ n  e.  NN  ( f `  n ) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
) )
11397, 112imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) )  ->  (
( ( A. n  e.  NN  ( ( f `
 n )  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  ( f `  n
) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
) ) )
114 voliunnfl.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( f `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  (
f `  n )
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
f `  n )
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( f `  n
) )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
11588, 113, 114vtocl 3102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
11665iuneq2i 4300 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  =  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )
117116fveq2i 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) )  =  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )
11867mpteq2ia 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `
 m )  \  U_ l  e.  (
1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )
119 seqeq3 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) ) )
120118, 119ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) )  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )
121120rneqi 5064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l
) ) ) `  n ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )
122121supeq1i 7966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
123115, 117, 1223eqtr3g 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( ( ( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `  l ) ) ) `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  (
( m  e.  NN  |->  ( ( g `  m )  \  U_ l  e.  ( 1..^ m ) ( g `
 l ) ) ) `  n ) )  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
12481, 86, 123sylancl 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
125124adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
12682iundisj 22513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ n  e.  NN  ( g `  n )  =  U_ n  e.  NN  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )
127 fofun 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  Fun  g )
128 funiunfv 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  g  ->  U_ n  e.  NN  ( g `  n )  =  U. ( g " NN ) )
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( g `  n
)  =  U. (
g " NN ) )
130126, 129syl5eqr 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  =  U. ( g
" NN ) )
13129unieqd 4211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U. ( g " NN )  =  U. A )
132130, 131eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  NN  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) )  =  U. A )
133132fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
134133adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  ( vol `  U. A
) )
13557sseq1d 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
( g `  m
)  C_  RR  <->  ( g `  n )  C_  RR ) )
13657fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  n  ->  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  ( vol* `  ( g `  n
) ) )
137136eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  n  ->  (
( vol* `  ( g `  m
) )  =  0  <-> 
( vol* `  ( g `  n
) )  =  0 ) )
138135, 137anbi12d 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  <->  ( ( g `
 n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  n
) )  =  0 ) ) )
139138rspccva 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 ) )
140 ssdifss 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  n ) 
C_  RR  ->  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  RR )
141140adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR )
142 difss 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  ( g `  n )
143 ovolssnul 22452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  n ) )  =  0 )  ->  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
144142, 143mp3an1 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) )  =  0 )
145141, 144jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 ) )
146 nulmbl 22501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) 
C_  RR  /\  ( vol* `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )  ->  ( (
g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) )  e.  dom  vol )
147 mblvol 22496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) )
148145, 146, 1473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  ( vol* `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) )
149148, 144eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g `  n
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 n ) )  =  0 )  -> 
( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) )  =  0 )
150139, 149syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( g `
 n )  \  U_ l  e.  (
1..^ n ) ( g `  l ) ) )  =  0 )
151150mpteq2dva 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  0 ) )
152151seqeq3d 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
153152rneqd 5065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( g `  n
)  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l
) ) ) ) )  =  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
154153supeq1d 7965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) ) , 
RR* ,  <  ) )
155 0cn 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  CC
156 ser1const 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN 
X.  { 0 } ) ) `  m
)  =  ( m  x.  0 ) )
157155, 156mpan 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m )  =  ( m  x.  0 ) )
158 nncn 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
159158mul01d 9837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  x.  0 )  =  0 )
160157, 159eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN  ->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m )  =  0 )
161160mpteq2ia 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m ) )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
162 fconstmpt 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( n  e.  NN  |->  0 )
163 seqeq3 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( NN  X.  { 0 } )  =  ( n  e.  NN  |->  0 )  ->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) )
164162, 163ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )
165 1z 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ZZ
166 seqfn 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
) )
167165, 166ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
168 nnuz 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
169168fneq2i 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
170 dffn5 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  NN  <->  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) ) )
171169, 170bitr3i 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) )  Fn  ( ZZ>= `  1
)  <->  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  , 
( NN  X.  {
0 } ) ) `
 m ) ) )
172167, 171mpbi 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  seq 1
(  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) )
173164, 172eqtr3i 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq 1 (  +  ,  ( NN  X.  { 0 } ) ) `  m ) )
174 fconstmpt 4881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( m  e.  NN  |->  0 )
175161, 173, 1743eqtr4i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ( NN  X.  { 0 } )
176175rneqi 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  ran  ( NN  X.  { 0 } )
177 1nn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  NN
178 ne0i 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
179 rnxp 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ran  ( NN 
X.  { 0 } )  =  { 0 } )
180177, 178, 179mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  ( NN  X.  { 0 } )  =  { 0 }
181176, 180eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  0 ) )  =  { 0 }
182181supeq1i 7966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )
183 xrltso 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <  Or  RR*
184 0xr 9692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR*
185 supsn 7993 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0 )
186183, 184, 185mp2an 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sup ( { 0 } ,  RR* ,  <  )  =  0
187182, 186eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  0 ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0
188154, 187syl6eq 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. m  e.  NN  (
( g `  m
)  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `
 m ) )  =  0 )  ->  sup ( ran  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n ) 
\  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `  l ) ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  0 )
189188adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( g `  n )  \  U_ l  e.  ( 1..^ n ) ( g `
 l ) ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  0 )
190125, 134, 1893eqtr3rd 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : NN -onto-> A  /\  A. m  e.  NN  ( ( g `  m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 ) )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) )
191190ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( g `
 m )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( g `  m
) )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
19239, 191sylbid 219 . . . . . . . . 9  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  ( x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  =  0 )  ->  0  =  ( vol `  U. A
) ) )
19328, 192syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( g : NN -onto-> A  -> 
( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
194193exlimiv 1778 . . . . . . 7  |-  ( E. g  g : NN -onto-> A  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
19518, 194syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  ~<_  NN )  ->  ( ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR )  ->  0  =  ( vol `  U. A ) ) )
196195expimpd 608 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) ) )
19711, 196pm2.61ine 2709 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  -> 
0  =  ( vol `  U. A ) )
198 renepnf 9693 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  0  =/= +oo )
19948, 198mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/= +oo )
200 fveq2 5870 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  =  ( vol `  RR ) )
201 rembl 22506 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  dom  vol
202 mblvol 22496 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  dom  vol  ->  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR ) )
203201, 202ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  RR )  =  ( vol* `  RR )
204 ovolre 22491 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  RR )  = +oo
205203, 204eqtri 2475 . . . . . . 7  |-  ( vol `  RR )  = +oo
206200, 205syl6eq 2503 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  RR  ->  ( vol `  U. A
)  = +oo )
207199, 206neeqtrrd 2700 . . . . 5  |-  ( U. A  =  RR  ->  0  =/=  ( vol `  U. A ) )
208207necon2i 2660 . . . 4  |-  ( 0  =  ( vol `  U. A )  ->  U. A  =/=  RR )
209197, 208syl 17 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  ( A. x  e.  A  x  ~<_  NN  /\  U. A  C_  RR ) )  ->  U. A  =/=  RR )
210209expr 620 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  ( U. A  C_  RR  ->  U. A  =/= 
RR ) )
211 eqimss 3486 . . 3  |-  ( U. A  =  RR  ->  U. A  C_  RR )
212211necon3bi 2652 . 2  |-  ( -. 
U. A  C_  RR  ->  U. A  =/=  RR )
213210, 212pm2.61d1 163 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. x  e.  A  x  ~<_  NN )  ->  U. A  =/=  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047    \ cdif 3403    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   U.cuni 4201   U_ciun 4281  Disj wdisj 4376   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464    Or wor 4757    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840   Fun wfun 5579    Fn wfn 5580   -onto->wfo 5583   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ~<_ cdom 7572    ~< csdm 7573   supcsup 7959   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545    + caddc 9547    x. cmul 9549   +oocpnf 9677   RR*cxr 9679    < clt 9680   NNcn 10616   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166  ..^cfzo 11922    seqcseq 12220   vol*covol 22425   volcvol 22427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-fal 1452  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-disj 4377  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fi 7930  df-sup 7961  df-inf 7962  df-oi 8030  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12035  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-clim 13564  df-sum 13765  df-rest 15333  df-topgen 15354  df-psmet 18974  df-xmet 18975  df-met 18976  df-bl 18977  df-mopn 18978  df-top 19933  df-bases 19934  df-topon 19935  df-cmp 20414  df-ovol 22428  df-vol 22430
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