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Theorem voliunlem3 21048
Description: Lemma for voliun 21050. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunlem.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
voliunlem.5  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
voliunlem.6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
voliunlem3.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliunlem3.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
voliunlem3.4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
voliunlem3  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    i, n, x, F    x, S    ph, n, x
Allowed substitution hints:    ph( i)    S( i, n)    G( x, i, n)    H( x, i, n)

Proof of Theorem voliunlem3
Dummy variables  k 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 voliunlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
2 voliunlem.5 . . . 4  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
3 voliunlem.6 . . . 4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
41, 2, 3voliunlem2 21047 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
5 mblvol 21028 . . 3  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
91ffvelrnda 5858 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
dom  vol )
10 mblss 21029 . . . . . 6  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( F `  n ) 
C_  RR )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  RR )
12 mblvol 21028 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 n ) )  =  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
139, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
14 voliunlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
15 fveq2 5706 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  i )  =  ( F `  n ) )
1615fveq2d 5710 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  n )
) )
1716eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR ) )
1817rspccva 3087 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  e.  RR )
1914, 18sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR )
2013, 19eqeltrrd 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( F `  n ) )  e.  RR )
217, 8, 11, 20ovoliun 21003 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
22 ffn 5574 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
231, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
24 fniunfv 5979 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
2625fveq2d 5710 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  U. ran  F
) )
27 voliunlem3.1 . . . . . . 7  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
28 voliunlem3.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
2913mpteq2dva 4393 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3028, 29syl5eq 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3130seqeq3d 11829 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) )
3227, 31syl5req 2488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )  =  S )
3332rneqd 5082 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )  =  ran  S
)
3433supeq1d 7711 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
3521, 26, 343brtr3d 4336 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 frn 5580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ran  F  C_  dom  vol )
371, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  dom  vol )
38 mblss 21029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
39 reex 9388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
4039elpw2 4471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P RR  <->  x  C_  RR )
4138, 40sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x  e.  ~P RR )
4241ssriv 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  vol  C_ 
~P RR
4337, 42syl6ss 3383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ~P RR )
44 sspwuni 4271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
F  C_  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
4543, 44sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  F  C_  RR )
46 ovolcl 20976 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR* )
48 ovolge0 20979 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
4945, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
50 mnflt0 11120 . . . . . . . . . 10  |- -oo  <  0
51 mnfxr 11109 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
52 0xr 9445 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
53 xrltletr 11146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F
)  e.  RR* )  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5451, 52, 53mp3an12 1304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5550, 54mpani 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( vol* `  U. ran  F )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5647, 49, 55sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F
) )
57 xrrebnd 11155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5847, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5939elpw2 4471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
6045, 59sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
~P RR )
61 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  ->  x  =  U. ran  F
)
6261sseq1d 3398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( x  C_  RR  <->  U.
ran  F  C_  RR ) )
6361fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
6463eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( vol* `  x )  e.  RR  <->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR ) )
65 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  x  =  U. ran  F )
6665ineq1d 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) ) )
67 fnfvelrn 5855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ran  F
)
6823, 67sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
ran  F )
69 elssuni 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F `  n )  e.  ran  F  -> 
( F `  n
)  C_  U. ran  F
)
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  U.
ran  F )
7170adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  C_  U. ran  F )
72 sseqin2 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F `  n ) 
C_  U. ran  F  <->  ( U. ran  F  i^i  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
7371, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) )  =  ( F `  n
) )
7466, 73eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( F `  n ) )
7574fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
7613adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  ( F `  n ) ) )
7775, 76eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
7877mpteq2dva 4393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `  n
) ) ) )
7978adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) ) )
8079, 3, 283eqtr4g 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  H  =  G )
8180seqeq3d 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  seq 1
(  +  ,  G
) )
8281, 27syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  S )
8382fveq1d 5708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  ( S `
 k ) )
84 difeq1 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  ( U. ran  F  \  U. ran  F ) )
85 difid 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U. ran  F  \  U. ran  F )  =  (/)
8684, 85syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  (/) )
8786fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
88 ovol0 20991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
8987, 88syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9183, 90oveq12d 6124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( ( S `  k
)  +  0 ) )
92 nnuz 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
93 1zzd 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
94 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
9594fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
96 fvex 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  _V
9795, 28, 96fvmpt 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
99 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  k  ->  ( F `  i )  =  ( F `  k ) )
10099fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  k  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
101100eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  k  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR ) )
102101rspccva 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )
10314, 102sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR )
10498, 103eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
10592, 93, 104serfre 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
10627feq1i 5566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( S : NN --> RR  <->  seq 1
(  +  ,  G
) : NN --> RR )
107105, 106sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
108107ffvelrnda 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  RR )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  RR )
110109recnd 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  CC )
111110addid1d 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( ( S `  k )  +  0 )  =  ( S `  k
) )
11291, 111eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( S `  k ) )
113 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
115112, 114breq12d 4320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x )  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
116115expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x )  <-> 
( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
117116pm5.74d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
11864, 117imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
11962, 118imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) )  <->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
120119pm5.74da 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) ) )
12113ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  F : NN --> dom  vol )
12223ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
123 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  x  C_  RR )
124 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
125121, 122, 3, 123, 124voliunlem1 21046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x ) )
1261253exp1 1203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )
127120, 126vtoclg 3045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  ->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
12860, 127mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
12945, 128mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
13058, 129sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
13156, 130mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  < +oo  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
132 nltpnft 11153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
13347, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
134 rexr 9444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR  ->  ( S `  k )  e.  RR* )
135 pnfge 11125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR*  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
136108, 134, 1353syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
137136ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_ +oo )
)
138 breq2 4311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  ( S `  k )  <_ +oo )
)
139138imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_ +oo )
) )
140137, 139syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
141133, 140sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( vol* `  U. ran  F
)  < +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
142131, 141pm2.61d 158 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
143142ralrimiv 2813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
144 ffn 5574 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
145107, 144syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
146 breq1 4310 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( S `  k )  ->  (
z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
147146ralrn 5861 . . . . . 6  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
148145, 147syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
149143, 148mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
150 frn 5580 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
151107, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
152 ressxr 9442 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
153151, 152syl6ss 3383 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
154 supxrleub 11304 . . . . 5  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
155153, 47, 154syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
156149, 155mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
157 supxrcl 11292 . . . . 5  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
158153, 157syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
159 xrletri3 11144 . . . 4  |-  ( ( ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16047, 158, 159syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16135, 156, 160mpbir2and 913 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
1626, 161eqtrd 2475 1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730    \ cdif 3340    i^i cin 3342    C_ wss 3343   (/)c0 3652   ~Pcpw 3875   U.cuni 4106   U_ciun 4186  Disj wdisj 4277   class class class wbr 4307    e. cmpt 4365   dom cdm 4855   ran crn 4856    Fn wfn 5428   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   supcsup 7705   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298    + caddc 9300   +oocpnf 9430   -oocmnf 9431   RR*cxr 9432    < clt 9433    <_ cle 9434   NNcn 10337    seqcseq 11821   vol*covol 20961   volcvol 20962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cc 8619  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xadd 11105  df-ioo 11319  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-xmet 17825  df-met 17826  df-ovol 20963  df-vol 20964
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