MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  voliunlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem voliunlem3 22553
Description: Lemma for voliun 22555. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunlem.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
voliunlem.5  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
voliunlem.6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
voliunlem3.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliunlem3.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
voliunlem3.4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
voliunlem3  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    i, n, x, F    x, S    ph, n, x
Allowed substitution hints:    ph( i)    S( i, n)    G( x, i, n)    H( x, i, n)

Proof of Theorem voliunlem3
Dummy variables  k 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 voliunlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
2 voliunlem.5 . . . 4  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
3 voliunlem.6 . . . 4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
41, 2, 3voliunlem2 22552 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
5 mblvol 22532 . . 3  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
7 eqid 2461 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )
8 eqid 2461 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
91ffvelrnda 6044 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
dom  vol )
10 mblss 22533 . . . . . 6  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( F `  n ) 
C_  RR )
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  RR )
12 mblvol 22532 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 n ) )  =  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
139, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
14 voliunlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
15 fveq2 5887 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  i )  =  ( F `  n ) )
1615fveq2d 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  n )
) )
1716eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR ) )
1817rspccva 3160 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  e.  RR )
1914, 18sylan 478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR )
2013, 19eqeltrrd 2540 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( F `  n ) )  e.  RR )
217, 8, 11, 20ovoliun 22506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
22 ffn 5750 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
231, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
24 fniunfv 6176 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F )
2523, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
2625fveq2d 5891 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  U. ran  F
) )
27 voliunlem3.1 . . . . . . 7  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
28 voliunlem3.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
2913mpteq2dva 4502 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3028, 29syl5eq 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3130seqeq3d 12252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) )
3227, 31syl5req 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )  =  S )
3332rneqd 5080 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )  =  ran  S
)
3433supeq1d 7985 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
3521, 26, 343brtr3d 4445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 frn 5757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ran  F  C_  dom  vol )
371, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  dom  vol )
38 mblss 22533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
39 reex 9655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
4039elpw2 4580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P RR  <->  x  C_  RR )
4138, 40sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x  e.  ~P RR )
4241ssriv 3447 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  vol  C_ 
~P RR
4337, 42syl6ss 3455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ~P RR )
44 sspwuni 4380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
F  C_  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
4543, 44sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  F  C_  RR )
46 ovolcl 22479 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR* )
48 ovolge0 22482 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
4945, 48syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
50 mnflt0 11455 . . . . . . . . . 10  |- -oo  <  0
51 mnfxr 11442 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
52 0xr 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
53 xrltletr 11482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F
)  e.  RR* )  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5451, 52, 53mp3an12 1363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5550, 54mpani 687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( vol* `  U. ran  F )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5647, 49, 55sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F
) )
57 xrrebnd 11491 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5847, 57syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5939elpw2 4580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
6045, 59sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
~P RR )
61 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  ->  x  =  U. ran  F
)
6261sseq1d 3470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( x  C_  RR  <->  U.
ran  F  C_  RR ) )
6361fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
6463eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( vol* `  x )  e.  RR  <->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR ) )
65 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  x  =  U. ran  F )
6665ineq1d 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) ) )
67 fnfvelrn 6041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ran  F
)
6823, 67sylan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
ran  F )
69 elssuni 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F `  n )  e.  ran  F  -> 
( F `  n
)  C_  U. ran  F
)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  U.
ran  F )
7170adantll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  C_  U. ran  F )
72 sseqin2 3662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F `  n ) 
C_  U. ran  F  <->  ( U. ran  F  i^i  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
7371, 72sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) )  =  ( F `  n
) )
7466, 73eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( F `  n ) )
7574fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
7613adantll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  ( F `  n ) ) )
7775, 76eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
7877mpteq2dva 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `  n
) ) ) )
7978adantrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) ) )
8079, 3, 283eqtr4g 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  H  =  G )
8180seqeq3d 12252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  seq 1
(  +  ,  G
) )
8281, 27syl6eqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  S )
8382fveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  ( S `
 k ) )
84 difeq1 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  ( U. ran  F  \  U. ran  F ) )
85 difid 3846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U. ran  F  \  U. ran  F )  =  (/)
8684, 85syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  (/) )
8786fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
88 ovol0 22494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
8987, 88syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9089adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9183, 90oveq12d 6332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( ( S `  k
)  +  0 ) )
92 nnuz 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
93 1zzd 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
94 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
9594fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
96 fvex 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  _V
9795, 28, 96fvmpt 5970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
9897adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
99 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  k  ->  ( F `  i )  =  ( F `  k ) )
10099fveq2d 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  k  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
101100eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  k  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR ) )
102101rspccva 3160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )
10314, 102sylan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR )
10498, 103eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
10592, 93, 104serfre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
10627feq1i 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( S : NN --> RR  <->  seq 1
(  +  ,  G
) : NN --> RR )
107105, 106sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
108107ffvelrnda 6044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  RR )
109108adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  RR )
110109recnd 9694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  CC )
111110addid1d 9858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( ( S `  k )  +  0 )  =  ( S `  k
) )
11291, 111eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( S `  k ) )
113 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
114113adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
115112, 114breq12d 4428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x )  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
116115expr 624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x )  <-> 
( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
117116pm5.74d 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
11864, 117imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
11962, 118imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) )  <->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
120119pm5.74da 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) ) )
12113ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  F : NN --> dom  vol )
12223ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
123 simp2 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  x  C_  RR )
124 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
125121, 122, 3, 123, 124voliunlem1 22551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x ) )
1261253exp1 1233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )
127120, 126vtoclg 3118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  ->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
12860, 127mpcom 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
12945, 128mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
13058, 129sylbird 243 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
13156, 130mpand 686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  < +oo  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
132 nltpnft 11489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
13347, 132syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
134 rexr 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR  ->  ( S `  k )  e.  RR* )
135 pnfge 11460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR*  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
136108, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
137136ex 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_ +oo )
)
138 breq2 4419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  ( S `  k )  <_ +oo )
)
139138imbi2d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_ +oo )
) )
140137, 139syl5ibrcom 230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
141133, 140sylbird 243 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( vol* `  U. ran  F
)  < +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
142131, 141pm2.61d 163 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
143142ralrimiv 2811 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
144 ffn 5750 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
145107, 144syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
146 breq1 4418 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( S `  k )  ->  (
z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
147146ralrn 6047 . . . . . 6  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
148145, 147syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
149143, 148mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
150 frn 5757 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
151107, 150syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
152 ressxr 9709 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
153151, 152syl6ss 3455 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
154 supxrleub 11640 . . . . 5  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
155153, 47, 154syl2anc 671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
156149, 155mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
157 supxrcl 11628 . . . . 5  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
158153, 157syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
159 xrletri3 11479 . . . 4  |-  ( ( ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16047, 158, 159syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16135, 156, 160mpbir2and 938 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
1626, 161eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748    \ cdif 3412    i^i cin 3414    C_ wss 3415   (/)c0 3742   ~Pcpw 3962   U.cuni 4211   U_ciun 4291  Disj wdisj 4386   class class class wbr 4415    |-> cmpt 4474   dom cdm 4852   ran crn 4853    Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   supcsup 7979   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567   +oocpnf 9697   -oocmnf 9698   RR*cxr 9699    < clt 9700    <_ cle 9701   NNcn 10636    seqcseq 12244   vol*covol 22461   volcvol 22463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cc 8890  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-disj 4387  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xadd 11438  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-xmet 19011  df-met 19012  df-ovol 22464  df-vol 22466
This theorem is referenced by:  voliun  22555
  Copyright terms: Public domain W3C validator