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Theorem voliunlem3 22447
Description: Lemma for voliun 22449. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunlem.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
voliunlem.5  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
voliunlem.6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
voliunlem3.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliunlem3.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
voliunlem3.4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
voliunlem3  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    i, n, x, F    x, S    ph, n, x
Allowed substitution hints:    ph( i)    S( i, n)    G( x, i, n)    H( x, i, n)

Proof of Theorem voliunlem3
Dummy variables  k 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 voliunlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
2 voliunlem.5 . . . 4  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
3 voliunlem.6 . . . 4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
41, 2, 3voliunlem2 22446 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
5 mblvol 22426 . . 3  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
7 eqid 2428 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )
8 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
91ffvelrnda 5981 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
dom  vol )
10 mblss 22427 . . . . . 6  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( F `  n ) 
C_  RR )
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  RR )
12 mblvol 22426 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 n ) )  =  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
139, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
14 voliunlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
15 fveq2 5825 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  i )  =  ( F `  n ) )
1615fveq2d 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  n )
) )
1716eleq1d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR ) )
1817rspccva 3124 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  e.  RR )
1914, 18sylan 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR )
2013, 19eqeltrrd 2507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( F `  n ) )  e.  RR )
217, 8, 11, 20ovoliun 22400 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
22 ffn 5689 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
231, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
24 fniunfv 6111 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F )
2523, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
2625fveq2d 5829 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  U. ran  F
) )
27 voliunlem3.1 . . . . . . 7  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
28 voliunlem3.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
2913mpteq2dva 4453 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3028, 29syl5eq 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3130seqeq3d 12171 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) )
3227, 31syl5req 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )  =  S )
3332rneqd 5024 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )  =  ran  S
)
3433supeq1d 7913 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
3521, 26, 343brtr3d 4396 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 frn 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ran  F  C_  dom  vol )
371, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  dom  vol )
38 mblss 22427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
39 reex 9581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
4039elpw2 4531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P RR  <->  x  C_  RR )
4138, 40sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x  e.  ~P RR )
4241ssriv 3411 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  vol  C_ 
~P RR
4337, 42syl6ss 3419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ~P RR )
44 sspwuni 4331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
F  C_  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
4543, 44sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  F  C_  RR )
46 ovolcl 22373 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )
4745, 46syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR* )
48 ovolge0 22376 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
4945, 48syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
50 mnflt0 11378 . . . . . . . . . 10  |- -oo  <  0
51 mnfxr 11365 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
52 0xr 9638 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
53 xrltletr 11405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F
)  e.  RR* )  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5451, 52, 53mp3an12 1350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5550, 54mpani 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( vol* `  U. ran  F )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5647, 49, 55sylc 62 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F
) )
57 xrrebnd 11414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5847, 57syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5939elpw2 4531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
6045, 59sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
~P RR )
61 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  ->  x  =  U. ran  F
)
6261sseq1d 3434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( x  C_  RR  <->  U.
ran  F  C_  RR ) )
6361fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
6463eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( vol* `  x )  e.  RR  <->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR ) )
65 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  x  =  U. ran  F )
6665ineq1d 3606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) ) )
67 fnfvelrn 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ran  F
)
6823, 67sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
ran  F )
69 elssuni 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F `  n )  e.  ran  F  -> 
( F `  n
)  C_  U. ran  F
)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  U.
ran  F )
7170adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  C_  U. ran  F )
72 sseqin2 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F `  n ) 
C_  U. ran  F  <->  ( U. ran  F  i^i  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
7371, 72sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) )  =  ( F `  n
) )
7466, 73eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( F `  n ) )
7574fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
7613adantll 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  ( F `  n ) ) )
7775, 76eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
7877mpteq2dva 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `  n
) ) ) )
7978adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) ) )
8079, 3, 283eqtr4g 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  H  =  G )
8180seqeq3d 12171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  seq 1
(  +  ,  G
) )
8281, 27syl6eqr 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  S )
8382fveq1d 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  ( S `
 k ) )
84 difeq1 3519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  ( U. ran  F  \  U. ran  F ) )
85 difid 3808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U. ran  F  \  U. ran  F )  =  (/)
8684, 85syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  (/) )
8786fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
88 ovol0 22388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
8987, 88syl6eq 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9089adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9183, 90oveq12d 6267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( ( S `  k
)  +  0 ) )
92 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
93 1zzd 10919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
94 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
9594fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
96 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  _V
9795, 28, 96fvmpt 5908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
9897adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
99 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  k  ->  ( F `  i )  =  ( F `  k ) )
10099fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  k  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
101100eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  k  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR ) )
102101rspccva 3124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )
10314, 102sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR )
10498, 103eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
10592, 93, 104serfre 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
10627feq1i 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( S : NN --> RR  <->  seq 1
(  +  ,  G
) : NN --> RR )
107105, 106sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
108107ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  RR )
109108adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  RR )
110109recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  CC )
111110addid1d 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( ( S `  k )  +  0 )  =  ( S `  k
) )
11291, 111eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( S `  k ) )
113 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
114113adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
115112, 114breq12d 4379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x )  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
116115expr 618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x )  <-> 
( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
117116pm5.74d 250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
11864, 117imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
11962, 118imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) )  <->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
120119pm5.74da 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) ) )
12113ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  F : NN --> dom  vol )
12223ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
123 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  x  C_  RR )
124 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
125121, 122, 3, 123, 124voliunlem1 22445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x ) )
1261253exp1 1221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )
127120, 126vtoclg 3082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  ->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
12860, 127mpcom 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
12945, 128mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
13058, 129sylbird 238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
13156, 130mpand 679 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  < +oo  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
132 nltpnft 11412 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
13347, 132syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
134 rexr 9637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR  ->  ( S `  k )  e.  RR* )
135 pnfge 11383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR*  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
136108, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
137136ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_ +oo )
)
138 breq2 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  ( S `  k )  <_ +oo )
)
139138imbi2d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_ +oo )
) )
140137, 139syl5ibrcom 225 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
141133, 140sylbird 238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( vol* `  U. ran  F
)  < +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
142131, 141pm2.61d 161 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
143142ralrimiv 2777 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
144 ffn 5689 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
145107, 144syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
146 breq1 4369 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( S `  k )  ->  (
z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
147146ralrn 5984 . . . . . 6  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
148145, 147syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
149143, 148mpbird 235 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
150 frn 5695 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
151107, 150syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
152 ressxr 9635 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
153151, 152syl6ss 3419 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
154 supxrleub 11563 . . . . 5  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
155153, 47, 154syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
156149, 155mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
157 supxrcl 11551 . . . . 5  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
158153, 157syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
159 xrletri3 11402 . . . 4  |-  ( ( ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16047, 158, 159syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16135, 156, 160mpbir2and 930 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
1626, 161eqtrd 2462 1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714    \ cdif 3376    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   U.cuni 4162   U_ciun 4242  Disj wdisj 4337   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   ran crn 4797    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   supcsup 7907   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493   +oocpnf 9623   -oocmnf 9624   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   NNcn 10560    seqcseq 12163   vol*covol 22355   volcvol 22357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-xmet 18906  df-met 18907  df-ovol 22358  df-vol 22360
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