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Theorem voliunlem3 22553

Description: Lemma for voliun 22555. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
voliunlem.3
voliunlem.5	Disj
voliunlem.6
voliunlem3.1
voliunlem3.2
voliunlem3.4

**Assertion**
Ref	Expression
voliunlem3

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem voliunlem3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voliunlem.3	. . . 4
2		voliunlem.5	. . . 4 Disj
3		voliunlem.6	. . . 4
4	1, 2, 3	voliunlem2 22552	. . 3
5		mblvol 22532	. . 3
6	4, 5	syl 17	. 2
7		eqid 2461	. . . . 5
8		eqid 2461	. . . . 5
9	1	ffvelrnda 6044	. . . . . 6 $/\$
10		mblss 22533	. . . . . 6
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 $/\$
12		mblvol 22532	. . . . . . 7
13	9, 12	syl 17	. . . . . 6 $/\$
14		voliunlem3.4	. . . . . . 7
15		fveq2 5887	. . . . . . . . . 10
16	15	fveq2d 5891	. . . . . . . . 9
17	16	eleq1d 2523	. . . . . . . 8
18	17	rspccva 3160	. . . . . . 7 $/\$
19	14, 18	sylan 478	. . . . . 6 $/\$
20	13, 19	eqeltrrd 2540	. . . . 5 $/\$
21	7, 8, 11, 20	ovoliun 22506	. . . 4
22		ffn 5750	. . . . . . 7
23	1, 22	syl 17	. . . . . 6
24		fniunfv 6176	. . . . . 6
25	23, 24	syl 17	. . . . 5
26	25	fveq2d 5891	. . . 4
27		voliunlem3.1	. . . . . . 7
28		voliunlem3.2	. . . . . . . . 9
29	13	mpteq2dva 4502	. . . . . . . . 9
30	28, 29	syl5eq 2507	. . . . . . . 8
31	30	seqeq3d 12252	. . . . . . 7
32	27, 31	syl5req 2508	. . . . . 6
33	32	rneqd 5080	. . . . 5
34	33	supeq1d 7985	. . . 4
35	21, 26, 34	3brtr3d 4445	. . 3
36		frn 5757	. . . . . . . . . . . . 13
37	1, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
38		mblss 22533	. . . . . . . . . . . . . 14
39		reex 9655	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	39	elpw2 4580	. . . . . . . . . . . . . 14
41	38, 40	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . 13
42	41	ssriv 3447	. . . . . . . . . . . 12
43	37, 42	syl6ss 3455	. . . . . . . . . . 11
44		sspwuni 4380	. . . . . . . . . . 11
45	43, 44	sylib 201	. . . . . . . . . 10
46		ovolcl 22479	. . . . . . . . . 10
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . 9
48		ovolge0 22482	. . . . . . . . . 10
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . 9
50		mnflt0 11455	. . . . . . . . . 10
51		mnfxr 11442	. . . . . . . . . . 11
52		0xr 9712	. . . . . . . . . . 11
53		xrltletr 11482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
54	51, 52, 53	mp3an12 1363	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	50, 54	mpani 687	. . . . . . . . 9
56	47, 49, 55	sylc 62	. . . . . . . 8
57		xrrebnd 11491	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	47, 57	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
59	39	elpw2 4580	. . . . . . . . . . . 12
60	45, 59	sylibr 217	. . . . . . . . . . 11
61		simpl 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
62	61	sseq1d 3470	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
63	61	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	63	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
65		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
66	65	ineq1d 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
67		fnfvelrn 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
68	23, 67	sylan 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
69		elssuni 4240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
71	70	adantll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
72		sseqin2 3662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
73	71, 72	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
74	66, 73	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
75	74	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
76	13	adantll 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
77	75, 76	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
78	77	mpteq2dva 4502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
79	78	adantrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
80	79, 3, 28	3eqtr4g 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
81	80	seqeq3d 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
82	81, 27	syl6eqr 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
83	82	fveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
84		difeq1 3555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$ $\$
85		difid 3846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$
86	84, 85	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $\$
87	86	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $\$
88		ovol0 22494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
89	87, 88	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\$
90	89	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $\$
91	83, 90	oveq12d 6332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $\$
92		nnuz 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
93		1zzd 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
94		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
95	94	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
96		fvex 5897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
97	95, 28, 96	fvmpt 5970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
98	97	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
99		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
100	99	fveq2d 5891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
101	100	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
102	101	rspccva 3160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
103	14, 102	sylan 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
104	98, 103	eqeltrd 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
105	92, 93, 104	serfre 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
106	27	feq1i 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107	105, 106	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
108	107	ffvelrnda 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
109	108	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
110	109	recnd 9694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
111	110	addid1d 9858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
112	91, 111	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $\$
113		fveq2 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114	113	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
115	112, 114	breq12d 4428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $\$
116	115	expr 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $\$
117	116	pm5.74d 255	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\$
118	64, 117	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
119	62, 118	imbi12d 326	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
120	119	pm5.74da 698	. . . . . . . . . . . 12 $\$
121	1	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
122	2	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ Disj
123		simp2 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
124		simp3 1016	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
125	121, 122, 3, 123, 124	voliunlem1 22551	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $\$
126	125	3exp1 1233	. . . . . . . . . . . 12 $\$
127	120, 126	vtoclg 3118	. . . . . . . . . . 11
128	60, 127	mpcom 37	. . . . . . . . . 10
129	45, 128	mpd 15	. . . . . . . . 9
130	58, 129	sylbird 243	. . . . . . . 8 $/\$
131	56, 130	mpand 686	. . . . . . 7
132		nltpnft 11489	. . . . . . . . 9
133	47, 132	syl 17	. . . . . . . 8
134		rexr 9711	. . . . . . . . . . 11
135		pnfge 11460	. . . . . . . . . . 11
136	108, 134, 135	3syl 18	. . . . . . . . . 10 $/\$
137	136	ex 440	. . . . . . . . 9
138		breq2 4419	. . . . . . . . . 10
139	138	imbi2d 322	. . . . . . . . 9
140	137, 139	syl5ibrcom 230	. . . . . . . 8
141	133, 140	sylbird 243	. . . . . . 7
142	131, 141	pm2.61d 163	. . . . . 6
143	142	ralrimiv 2811	. . . . 5
144		ffn 5750	. . . . . . 7
145	107, 144	syl 17	. . . . . 6
146		breq1 4418	. . . . . . 7
147	146	ralrn 6047	. . . . . 6
148	145, 147	syl 17	. . . . 5
149	143, 148	mpbird 240	. . . 4
150		frn 5757	. . . . . . 7
151	107, 150	syl 17	. . . . . 6
152		ressxr 9709	. . . . . 6
153	151, 152	syl6ss 3455	. . . . 5
154		supxrleub 11640	. . . . 5 $/\$
155	153, 47, 154	syl2anc 671	. . . 4
156	149, 155	mpbird 240	. . 3
157		supxrcl 11628	. . . . 5
158	153, 157	syl 17	. . . 4
159		xrletri3 11479	. . . 4 $/\$ $/\$
160	47, 158, 159	syl2anc 671	. . 3 $/\$
161	35, 156, 160	mpbir2and 938	. 2
162	6, 161	eqtrd 2495	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 189 $/\$ wa 375 $/\$ w3a 991

wceq 1454

wcel 1897

wral 2748 $\$ cdif 3412

cin 3414

wss 3415

c0 3742

cpw 3962

cuni 4211

ciun 4291 Disj wdisj 4386 class class class wbr 4415

cmpt 4474

cdm 4852

crn 4853

wfn 5595

wf 5596

cfv 5600 (class class class)co 6314

csup 7979

cr 9563

cc0 9564

c1 9565

caddc 9567

cpnf 9697

cmnf 9698

cxr 9699

clt 9700

cle 9701

cn 10636

cseq 12244

covol 22461

cvol 22463

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1679 ax-4 1692 ax-5 1768 ax-6 1815 ax-7 1861 ax-8 1899 ax-9 1906 ax-10 1925 ax-11 1930 ax-12 1943 ax-13 2101 ax-ext 2441 ax-rep 4528 ax-sep 4538 ax-nul 4547 ax-pow 4594 ax-pr 4652 ax-un 6609 ax-inf2 8171 ax-cc 8890 ax-cnex 9620 ax-resscn 9621 ax-1cn 9622 ax-icn 9623 ax-addcl 9624 ax-addrcl 9625 ax-mulcl 9626 ax-mulrcl 9627 ax-mulcom 9628 ax-addass 9629 ax-mulass 9630 ax-distr 9631 ax-i2m1 9632 ax-1ne0 9633 ax-1rid 9634 ax-rnegex 9635 ax-rrecex 9636 ax-cnre 9637 ax-pre-lttri 9638 ax-pre-lttrn 9639 ax-pre-ltadd 9640 ax-pre-mulgt0 9641 ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 992 df-3an 993 df-tru 1457 df-fal 1460 df-ex 1674 df-nf 1678 df-sb 1808 df-eu 2313 df-mo 2314 df-clab 2448 df-cleq 2454 df-clel 2457 df-nfc 2591 df-ne 2634 df-nel 2635 df-ral 2753 df-rex 2754 df-reu 2755 df-rmo 2756 df-rab 2757 df-v 3058 df-sbc 3279 df-csb 3375 df-dif 3418 df-un 3420 df-in 3422 df-ss 3429 df-pss 3431 df-nul 3743 df-if 3893 df-pw 3964 df-sn 3980 df-pr 3982 df-tp 3984 df-op 3986 df-uni 4212 df-int 4248 df-iun 4293 df-disj 4387 df-br 4416 df-opab 4475 df-mpt 4476 df-tr 4511 df-eprel 4763 df-id 4767 df-po 4773 df-so 4774 df-fr 4811 df-se 4812 df-we 4813 df-xp 4858 df-rel 4859 df-cnv 4860 df-co 4861 df-dm 4862 df-rn 4863 df-res 4864 df-ima 4865 df-pred 5398 df-ord 5444 df-on 5445 df-lim 5446 df-suc 5447 df-iota 5564 df-fun 5602 df-fn 5603 df-f 5604 df-f1 5605 df-fo 5606 df-f1o 5607 df-fv 5608 df-isom 5609 df-riota 6276 df-ov 6317 df-oprab 6318 df-mpt2 6319 df-of 6557 df-om 6719 df-1st 6819 df-2nd 6820 df-wrecs 7053 df-recs 7115 df-rdg 7153 df-1o 7207 df-2o 7208 df-oadd 7211 df-er 7388 df-map 7499 df-pm 7500 df-en 7595 df-dom 7596 df-sdom 7597 df-fin 7598 df-sup 7981 df-inf 7982 df-oi 8050 df-card 8398 df-cda 8623 df-pnf 9702 df-mnf 9703 df-xr 9704 df-ltxr 9705 df-le 9706 df-sub 9887 df-neg 9888 df-div 10297 df-nn 10637 df-2 10695 df-3 10696 df-n0 10898 df-z 10966 df-uz 11188 df-q 11293 df-rp 11331 df-xadd 11438 df-ioo 11667 df-ico 11669 df-icc 11670 df-fz 11813 df-fzo 11946 df-fl 12059 df-seq 12245 df-exp 12304 df-hash 12547 df-cj 13210 df-re 13211 df-im 13212 df-sqrt 13346 df-abs 13347 df-clim 13600 df-rlim 13601 df-sum 13801 df-xmet 19011 df-met 19012 df-ovol 22464 df-vol 22466

This theorem is referenced by: voliun 22555

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