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Theorem voliunlem3 22088
Description: Lemma for voliun 22090. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunlem.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
voliunlem.5  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
voliunlem.6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
voliunlem3.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliunlem3.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
voliunlem3.4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
voliunlem3  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    i, n, x, F    x, S    ph, n, x
Allowed substitution hints:    ph( i)    S( i, n)    G( x, i, n)    H( x, i, n)

Proof of Theorem voliunlem3
Dummy variables  k 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 voliunlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
2 voliunlem.5 . . . 4  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
3 voliunlem.6 . . . 4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
41, 2, 3voliunlem2 22087 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
5 mblvol 22067 . . 3  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
7 eqid 2457 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )
8 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
91ffvelrnda 6032 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
dom  vol )
10 mblss 22068 . . . . . 6  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( F `  n ) 
C_  RR )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  RR )
12 mblvol 22067 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 n ) )  =  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
139, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
14 voliunlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
15 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  i )  =  ( F `  n ) )
1615fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  n )
) )
1716eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR ) )
1817rspccva 3209 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  e.  RR )
1914, 18sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR )
2013, 19eqeltrrd 2546 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( F `  n ) )  e.  RR )
217, 8, 11, 20ovoliun 22042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
22 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
231, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
24 fniunfv 6160 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
2625fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  U. ran  F
) )
27 voliunlem3.1 . . . . . . 7  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
28 voliunlem3.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
2913mpteq2dva 4543 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3028, 29syl5eq 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3130seqeq3d 12118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) )
3227, 31syl5req 2511 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )  =  S )
3332rneqd 5240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )  =  ran  S
)
3433supeq1d 7923 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
3521, 26, 343brtr3d 4485 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 frn 5743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ran  F  C_  dom  vol )
371, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  dom  vol )
38 mblss 22068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
39 reex 9600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
4039elpw2 4620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P RR  <->  x  C_  RR )
4138, 40sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x  e.  ~P RR )
4241ssriv 3503 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  vol  C_ 
~P RR
4337, 42syl6ss 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ~P RR )
44 sspwuni 4421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
F  C_  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
4543, 44sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  F  C_  RR )
46 ovolcl 22015 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR* )
48 ovolge0 22018 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
4945, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
50 mnflt0 11359 . . . . . . . . . 10  |- -oo  <  0
51 mnfxr 11348 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
52 0xr 9657 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
53 xrltletr 11385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F
)  e.  RR* )  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5451, 52, 53mp3an12 1314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5550, 54mpani 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( vol* `  U. ran  F )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5647, 49, 55sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F
) )
57 xrrebnd 11394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5847, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5939elpw2 4620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
6045, 59sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
~P RR )
61 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  ->  x  =  U. ran  F
)
6261sseq1d 3526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( x  C_  RR  <->  U.
ran  F  C_  RR ) )
6361fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
6463eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( vol* `  x )  e.  RR  <->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR ) )
65 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  x  =  U. ran  F )
6665ineq1d 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) ) )
67 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ran  F
)
6823, 67sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
ran  F )
69 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F `  n )  e.  ran  F  -> 
( F `  n
)  C_  U. ran  F
)
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  U.
ran  F )
7170adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  C_  U. ran  F )
72 sseqin2 3713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F `  n ) 
C_  U. ran  F  <->  ( U. ran  F  i^i  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
7371, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) )  =  ( F `  n
) )
7466, 73eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( F `  n ) )
7574fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
7613adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  ( F `  n ) ) )
7775, 76eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
7877mpteq2dva 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `  n
) ) ) )
7978adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) ) )
8079, 3, 283eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  H  =  G )
8180seqeq3d 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  seq 1
(  +  ,  G
) )
8281, 27syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  S )
8382fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  ( S `
 k ) )
84 difeq1 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  ( U. ran  F  \  U. ran  F ) )
85 difid 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U. ran  F  \  U. ran  F )  =  (/)
8684, 85syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  (/) )
8786fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
88 ovol0 22030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
8987, 88syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9183, 90oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( ( S `  k
)  +  0 ) )
92 nnuz 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
93 1zzd 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
94 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
9594fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
96 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  _V
9795, 28, 96fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
99 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  k  ->  ( F `  i )  =  ( F `  k ) )
10099fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  k  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
101100eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  k  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR ) )
102101rspccva 3209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )
10314, 102sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR )
10498, 103eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
10592, 93, 104serfre 12139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
10627feq1i 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( S : NN --> RR  <->  seq 1
(  +  ,  G
) : NN --> RR )
107105, 106sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
108107ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  RR )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  RR )
110109recnd 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  CC )
111110addid1d 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( ( S `  k )  +  0 )  =  ( S `  k
) )
11291, 111eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( S `  k ) )
113 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
115112, 114breq12d 4469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x )  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
116115expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x )  <-> 
( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
117116pm5.74d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
11864, 117imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
11962, 118imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) )  <->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
120119pm5.74da 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) ) )
12113ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  F : NN --> dom  vol )
12223ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
123 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  x  C_  RR )
124 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
125121, 122, 3, 123, 124voliunlem1 22086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x ) )
1261253exp1 1212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )
127120, 126vtoclg 3167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  ->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
12860, 127mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
12945, 128mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
13058, 129sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
13156, 130mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  < +oo  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
132 nltpnft 11392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
13347, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
134 rexr 9656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR  ->  ( S `  k )  e.  RR* )
135 pnfge 11364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR*  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
136108, 134, 1353syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
137136ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_ +oo )
)
138 breq2 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  ( S `  k )  <_ +oo )
)
139138imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_ +oo )
) )
140137, 139syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
141133, 140sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( vol* `  U. ran  F
)  < +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
142131, 141pm2.61d 158 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
143142ralrimiv 2869 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
144 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
145107, 144syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
146 breq1 4459 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( S `  k )  ->  (
z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
147146ralrn 6035 . . . . . 6  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
148145, 147syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
149143, 148mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
150 frn 5743 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
151107, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
152 ressxr 9654 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
153151, 152syl6ss 3511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
154 supxrleub 11543 . . . . 5  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
155153, 47, 154syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
156149, 155mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
157 supxrcl 11531 . . . . 5  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
158153, 157syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
159 xrletri3 11383 . . . 4  |-  ( ( ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16047, 158, 159syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16135, 156, 160mpbir2and 922 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
1626, 161eqtrd 2498 1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   U_ciun 4332  Disj wdisj 4427   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   +oocpnf 9642   -oocmnf 9643   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556    seqcseq 12110   vol*covol 22000   volcvol 22001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-xmet 18539  df-met 18540  df-ovol 22002  df-vol 22003
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