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Theorem voliunlem3 20992
Description: Lemma for voliun 20994. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunlem.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
voliunlem.5  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
voliunlem.6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
voliunlem3.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliunlem3.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
voliunlem3.4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
voliunlem3  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    i, n, x, F    x, S    ph, n, x
Allowed substitution hints:    ph( i)    S( i, n)    G( x, i, n)    H( x, i, n)

Proof of Theorem voliunlem3
Dummy variables  k 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 voliunlem.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
2 voliunlem.5 . . . 4  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
3 voliunlem.6 . . . 4  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )
41, 2, 3voliunlem2 20991 . . 3  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
dom  vol )
5 mblvol 20972 . . 3  |-  ( U. ran  F  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
7 eqid 2441 . . . . 5  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )
8 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
91ffvelrnda 5840 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
dom  vol )
10 mblss 20973 . . . . . 6  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( F `  n ) 
C_  RR )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  RR )
12 mblvol 20972 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( F `
 n ) )  =  ( vol* `  ( F `  n
) ) )
139, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
14 voliunlem3.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR )
15 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  i )  =  ( F `  n ) )
1615fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  n  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  n )
) )
1716eleq1d 2507 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR ) )
1817rspccva 3069 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  e.  RR )
1914, 18sylan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n
) )  e.  RR )
2013, 19eqeltrrd 2516 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( F `  n ) )  e.  RR )
217, 8, 11, 20ovoliun 20947 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  <_  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
22 ffn 5556 . . . . . . 7  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
231, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
24 fniunfv 5961 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F )
2523, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( F `  n )  =  U. ran  F
)
2625fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U_ n  e.  NN  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  U. ran  F
) )
27 voliunlem3.1 . . . . . . 7  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
28 voliunlem3.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
2913mpteq2dva 4375 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3028, 29syl5eq 2485 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )
3130seqeq3d 11810 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) ) )
3227, 31syl5req 2486 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n
) ) ) )  =  S )
3332rneqd 5063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n ) ) ) )  =  ran  S
)
3433supeq1d 7692 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( F `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
3521, 26, 343brtr3d 4318 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
36 frn 5562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  ran  F  C_  dom  vol )
371, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  dom  vol )
38 mblss 20973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x 
C_  RR )
39 reex 9369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
4039elpw2 4453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~P RR  <->  x  C_  RR )
4138, 40sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  vol  ->  x  e.  ~P RR )
4241ssriv 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  vol  C_ 
~P RR
4337, 42syl6ss 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ~P RR )
44 sspwuni 4253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran 
F  C_  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
4543, 44sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U. ran  F  C_  RR )
46 ovolcl 20920 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR* )
48 ovolge0 20923 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. ran  F  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
4945, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
50 mnflt0 11101 . . . . . . . . . 10  |- -oo  <  0
51 mnfxr 11090 . . . . . . . . . . 11  |- -oo  e.  RR*
52 0xr 9426 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
53 xrltletr 11127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -oo  e.  RR*  /\  0  e.  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F
)  e.  RR* )  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5451, 52, 53mp3an12 1299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( -oo  <  0  /\  0  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5550, 54mpani 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( 0  <_  ( vol* `  U. ran  F )  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
5647, 49, 55sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> -oo  <  ( vol* `  U. ran  F
) )
57 xrrebnd 11136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5847, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  <->  ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo ) ) )
5939elpw2 4453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  <->  U.
ran  F  C_  RR )
6045, 59sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U. ran  F  e. 
~P RR )
61 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  ->  x  =  U. ran  F
)
6261sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( x  C_  RR  <->  U.
ran  F  C_  RR ) )
6361fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
6463eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( vol* `  x )  e.  RR  <->  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR ) )
65 simpll 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  x  =  U. ran  F )
6665ineq1d 3548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) ) )
67 fnfvelrn 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ran  F
)
6823, 67sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
ran  F )
69 elssuni 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F `  n )  e.  ran  F  -> 
( F `  n
)  C_  U. ran  F
)
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  U.
ran  F )
7170adantll 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  C_  U. ran  F )
72 sseqin2 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( F `  n ) 
C_  U. ran  F  <->  ( U. ran  F  i^i  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
7371, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( U. ran  F  i^i  ( F `  n ) )  =  ( F `  n
) )
7466, 73eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  i^i  ( F `  n
) )  =  ( F `  n ) )
7574fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol* `  ( F `  n )
) )
7613adantll 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  n )
)  =  ( vol* `  ( F `  n ) ) )
7775, 76eqtr4d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) )  =  ( vol `  ( F `
 n ) ) )
7877mpteq2dva 4375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( n  e.  NN  |->  ( vol* `  (
x  i^i  ( F `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `  n
) ) ) )
7978adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( F `  n )
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( F `
 n ) ) ) )
8079, 3, 283eqtr4g 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  H  =  G )
8180seqeq3d 11810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  seq 1
(  +  ,  G
) )
8281, 27syl6eqr 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  seq 1
(  +  ,  H
)  =  S )
8382fveq1d 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  ( S `
 k ) )
84 difeq1 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  ( U. ran  F  \  U. ran  F ) )
85 difid 3744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U. ran  F  \  U. ran  F )  =  (/)
8684, 85syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( x  \  U. ran  F )  =  (/) )
8786fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
88 ovol0 20935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
8987, 88syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9089adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) )  =  0 )
9183, 90oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( ( S `  k
)  +  0 ) )
92 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
93 1zzd 10673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
94 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
9594fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  ( F `  n ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
96 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  _V
9795, 28, 96fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
9897adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
99 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( i  =  k  ->  ( F `  i )  =  ( F `  k ) )
10099fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( i  =  k  ->  ( vol `  ( F `  i ) )  =  ( vol `  ( F `  k )
) )
101100eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  k  ->  (
( vol `  ( F `  i )
)  e.  RR  <->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR ) )
102101rspccva 3069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. i  e.  NN  ( vol `  ( F `
 i ) )  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k ) )  e.  RR )
10314, 102sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( F `  k
) )  e.  RR )
10498, 103eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  RR )
10592, 93, 104serfre 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  seq 1 (  +  ,  G ) : NN --> RR )
10627feq1i 5548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( S : NN --> RR  <->  seq 1
(  +  ,  G
) : NN --> RR )
107105, 106sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
108107ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  e.  RR )
109108adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  RR )
110109recnd 9408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( S `  k )  e.  CC )
111110addid1d 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( ( S `  k )  +  0 )  =  ( S `  k
) )
11291, 111eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  =  ( S `  k ) )
113 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
114113adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( vol* `  x )  =  ( vol* `  U. ran  F ) )
115112, 114breq12d 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ( ph  /\  k  e.  NN )
)  ->  ( (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x )  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
116115expr 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( k  e.  NN  ->  ( ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x )  <-> 
( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
117116pm5.74d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
11864, 117imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
11962, 118imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  U. ran  F  /\  ph )  -> 
( ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  +  ( vol* `  ( x  \ 
U. ran  F )
) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) )  <->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
120119pm5.74da 682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  U. ran  F  ->  ( ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) ) )
12113ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  F : NN --> dom  vol )
12223ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
123 simp2 984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  x  C_  RR )
124 simp3 985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  ->  ( vol* `  x )  e.  RR )
125121, 122, 3, 123, 124voliunlem1 20990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  C_  RR  /\  ( vol* `  x )  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
(  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  (
x  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  x ) )
1261253exp1 1198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  C_  RR  ->  ( ( vol* `  x )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( x  \  U. ran  F ) ) )  <_  ( vol* `  x ) ) ) ) )
127120, 126vtoclg 3027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ran  F  e.  ~P RR  ->  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) ) )
12860, 127mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U. ran  F  C_  RR  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) ) )
12945, 128mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
13058, 129sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -oo  <  ( vol* `  U. ran  F )  /\  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) ) )
13156, 130mpand 670 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  < +oo  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
132 nltpnft 11134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR*  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
13347, 132syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  <->  -.  ( vol* `  U. ran  F )  < +oo )
)
134 rexr 9425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR  ->  ( S `  k )  e.  RR* )
135 pnfge 11106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S `  k )  e.  RR*  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
136108, 134, 1353syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ +oo )
137136ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_ +oo )
)
138 breq2 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  ( S `  k )  <_ +oo )
)
139138imbi2d 316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  ( ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )  <->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_ +oo )
) )
140137, 139syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  = +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
141133, 140sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( vol* `  U. ran  F
)  < +oo  ->  (
k  e.  NN  ->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
142131, 141pm2.61d 158 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k
)  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
143142ralrimiv 2796 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
144 ffn 5556 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
145107, 144syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
146 breq1 4292 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( S `  k )  ->  (
z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
147146ralrn 5843 . . . . . 6  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
)  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
148145, 147syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) )
149143, 148mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) )
150 frn 5562 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
151107, 150syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
152 ressxr 9423 . . . . . 6  |-  RR  C_  RR*
153151, 152syl6ss 3365 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
154 supxrleub 11285 . . . . 5  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  ( vol* `  U. ran  F )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
155153, 47, 154syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F )  <->  A. z  e.  ran  S  z  <_  ( vol* `  U. ran  F
) ) )
156149, 155mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) )
157 supxrcl 11273 . . . . 5  |-  ( ran 
S  C_  RR*  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
158153, 157syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
159 xrletri3 11125 . . . 4  |-  ( ( ( vol* `  U. ran  F )  e. 
RR*  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_ 
( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16047, 158, 159syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( vol* `  U. ran  F )  <_  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  /\  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( vol* `  U. ran  F ) ) ) )
16135, 156, 160mpbir2and 908 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )
)
1626, 161eqtrd 2473 1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  F )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713    \ cdif 3322    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   U_ciun 4168  Disj wdisj 4259   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281   +oocpnf 9411   -oocmnf 9412   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318    seqcseq 11802   vol*covol 20905   volcvol 20906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xadd 11086  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-xmet 17769  df-met 17770  df-ovol 20907  df-vol 20908
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