Theorem voliunlem3 21697

Description: Lemma for voliun 21699. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliunlem.3	|- ( ph -> F : NN --> dom vol )
voliunlem.5	|- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
voliunlem.6	|- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) )
voliunlem3.1	|- S = seq 1 ( + , G )
voliunlem3.2	|- G = ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) )
voliunlem3.4	|- ( ph -> A. i e. NN ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
voliunlem3	|- ( ph -> ( vol ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   i, n, x, F   x, S   ph, n, x

Allowed substitution hints:   ph( i)   S( i, n)   G( x, i, n)   H( x, i, n)

Proof of Theorem voliunlem3

Dummy variables k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voliunlem.3	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> dom vol )
2		voliunlem.5	. . . 4 |- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
3		voliunlem.6	. . . 4 |- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) )
4	1, 2, 3	voliunlem2 21696	. . 3 |- ( ph -> U. ran F e. dom vol )
5		mblvol 21676	. . 3 |- ( U. ran F e. dom vol -> ( vol ` U. ran F ) = ( vol* ` U. ran F ) )
6	4, 5	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( vol ` U. ran F ) = ( vol* ` U. ran F ) )
7		eqid 2467	. . . . 5 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) )
8		eqid 2467	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) )
9	1	ffvelrnda 6019	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. dom vol )
10		mblss 21677	. . . . . 6 |- ( ( F ` n ) e. dom vol -> ( F ` n ) C_ RR )
11	9, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ RR )
12		mblvol 21676	. . . . . . 7 |- ( ( F ` n ) e. dom vol -> ( vol ` ( F ` n ) ) = ( vol* ` ( F ` n ) ) )
13	9, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( F ` n ) ) = ( vol* ` ( F ` n ) ) )
14		voliunlem3.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. i e. NN ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR )
15		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> ( F ` i ) = ( F ` n ) )
16	15	fveq2d 5868	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> ( vol ` ( F ` i ) ) = ( vol ` ( F ` n ) ) )
17	16	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> ( ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR <-> ( vol ` ( F ` n ) ) e. RR ) )
18	17	rspccva 3213	. . . . . . 7 |- ( ( A. i e. NN ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( F ` n ) ) e. RR )
19	14, 18	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( F ` n ) ) e. RR )
20	13, 19	eqeltrrd 2556	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( F ` n ) ) e. RR )
21	7, 8, 11, 20	ovoliun 21651	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` U_ n e. NN ( F ` n ) ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
22		ffn 5729	. . . . . . 7 |- ( F : NN --> dom vol -> F Fn NN )
23	1, 22	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn NN )
24		fniunfv 6145	. . . . . 6 |- ( F Fn NN -> U_ n e. NN ( F ` n ) = U. ran F )
25	23, 24	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> U_ n e. NN ( F ` n ) = U. ran F )
26	25	fveq2d 5868	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` U_ n e. NN ( F ` n ) ) = ( vol* ` U. ran F ) )
27		voliunlem3.1	. . . . . . 7 |- S = seq 1 ( + , G )
28		voliunlem3.2	. . . . . . . . 9 |- G = ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) )
29	13	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) )
30	28, 29	syl5eq 2520	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) )
31	30	seqeq3d 12079	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) )
32	27, 31	syl5req 2521	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) = S )
33	32	rneqd 5228	. . . . 5 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) = ran S )
34	33	supeq1d 7902	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
35	21, 26, 34	3brtr3d 4476	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran F ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
36		frn 5735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : NN --> dom vol -> ran F C_ dom vol )
37	1, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran F C_ dom vol )
38		mblss 21677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom vol -> x C_ RR )
39		reex 9579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
40	39	elpw2 4611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P RR <-> x C_ RR )
41	38, 40	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. dom vol -> x e. ~P RR )
42	41	ssriv 3508	. . . . . . . . . . . 12 |- dom vol C_ ~P RR
43	37, 42	syl6ss 3516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran F C_ ~P RR )
44		sspwuni 4411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran F C_ ~P RR <-> U. ran F C_ RR )
45	43, 44	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ran F C_ RR )
46		ovolcl 21624	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran F C_ RR -> ( vol* ` U. ran F ) e. RR* )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran F ) e. RR* )
48		ovolge0 21627	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran F C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) )
49	45, 48	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) )
50		mnflt0 11330	. . . . . . . . . 10 |- -oo < 0
51		mnfxr 11319	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e. RR*
52		0xr 9636	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
53		xrltletr 11356	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* /\ ( vol* ` U. ran F ) e. RR* ) -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) ) -> -oo < ( vol* ` U. ran F ) ) )
54	51, 52, 53	mp3an12 1314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) ) -> -oo < ( vol* ` U. ran F ) ) )
55	50, 54	mpani 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* -> ( 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) -> -oo < ( vol* ` U. ran F ) ) )
56	47, 49, 55	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -oo < ( vol* ` U. ran F ) )
57		xrrebnd 11365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR <-> ( -oo < ( vol* ` U. ran F ) /\ ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) ) )
58	47, 57	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR <-> ( -oo < ( vol* ` U. ran F ) /\ ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) ) )
59	39	elpw2 4611	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. ran F e. ~P RR <-> U. ran F C_ RR )
60	45, 59	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U. ran F e. ~P RR )
61		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> x = U. ran F )
62	61	sseq1d 3531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( x C_ RR <-> U. ran F C_ RR ) )
63	61	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( vol* ` x ) = ( vol* ` U. ran F ) )
64	63	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( ( vol* ` x ) e. RR <-> ( vol* ` U. ran F ) e. RR ) )
65		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> x = U. ran F )
66	65	ineq1d 3699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( x i^i ( F ` n ) ) = ( U. ran F i^i ( F ` n ) ) )
67		fnfvelrn 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( F Fn NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
68	23, 67	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
69		elssuni 4275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( F ` n ) e. ran F -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
71	70	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
72		sseqin2 3717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( F ` n ) C_ U. ran F <-> ( U. ran F i^i ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
73	71, 72	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( U. ran F i^i ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
74	66, 73	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( x i^i ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
75	74	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( F ` n ) ) )
76	13	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( F ` n ) ) = ( vol* ` ( F ` n ) ) )
77	75, 76	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol ` ( F ` n ) ) )
78	77	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( n e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) ) )
79	78	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) ) )
80	79, 3, 28	3eqtr4g 2533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> H = G )
81	80	seqeq3d 12079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> seq 1 ( + , H ) = seq 1 ( + , G ) )
82	81, 27	syl6eqr 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> seq 1 ( + , H ) = S )
83	82	fveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` k ) = ( S ` k ) )
84		difeq1 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = U. ran F -> ( x \ U. ran F ) = ( U. ran F \ U. ran F ) )
85		difid 3895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( U. ran F \ U. ran F ) = (/)
86	84, 85	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = U. ran F -> ( x \ U. ran F ) = (/) )
87	86	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = U. ran F -> ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) = ( vol* ` (/) ) )
88		ovol0 21639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( vol* ` (/) ) = 0
89	87, 88	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = U. ran F -> ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) = 0 )
90	89	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) = 0 )
91	83, 90	oveq12d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) = ( ( S ` k ) + 0 ) )
92		nnuz 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
93		1zzd 10891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
94		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
95	94	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = k -> ( vol ` ( F ` n ) ) = ( vol ` ( F ` k ) ) )
96		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( vol ` ( F ` k ) ) e. _V
97	95, 28, 96	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = ( vol ` ( F ` k ) ) )
98	97	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( vol ` ( F ` k ) ) )
99		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
100	99	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i = k -> ( vol ` ( F ` i ) ) = ( vol ` ( F ` k ) ) )
101	100	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = k -> ( ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR <-> ( vol ` ( F ` k ) ) e. RR ) )
102	101	rspccva 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A. i e. NN ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR /\ k e. NN ) -> ( vol ` ( F ` k ) ) e. RR )
103	14, 102	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol ` ( F ` k ) ) e. RR )
104	98, 103	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
105	92, 93, 104	serfre 12100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) : NN --> RR )
106	27	feq1i 5721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( S : NN --> RR <-> seq 1 ( + , G ) : NN --> RR )
107	105, 106	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> S : NN --> RR )
108	107	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. RR )
109	108	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( S ` k ) e. RR )
110	109	recnd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( S ` k ) e. CC )
111	110	addid1d 9775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( ( S ` k ) + 0 ) = ( S ` k ) )
112	91, 111	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) = ( S ` k ) )
113		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = U. ran F -> ( vol* ` x ) = ( vol* ` U. ran F ) )
114	113	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( vol* ` x ) = ( vol* ` U. ran F ) )
115	112, 114	breq12d 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) <-> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
116	115	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( k e. NN -> ( ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) <-> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
117	116	pm5.74d 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) <-> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
118	64, 117	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( ( ( vol* ` x ) e. RR -> ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) ) <-> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) )
119	62, 118	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( ( x C_ RR -> ( ( vol* ` x ) e. RR -> ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) ) ) <-> ( U. ran F C_ RR -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) ) )
120	119	pm5.74da 687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = U. ran F -> ( ( ph -> ( x C_ RR -> ( ( vol* ` x ) e. RR -> ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( U. ran F C_ RR -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) ) ) )
121	1	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) -> F : NN --> dom vol )
122	2	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
123		simp2 997	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) -> x C_ RR )
124		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) -> ( vol* ` x ) e. RR )
125	121, 122, 3, 123, 124	voliunlem1 21695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) )
126	125	3exp1 1212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x C_ RR -> ( ( vol* ` x ) e. RR -> ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) ) ) )
127	120, 126	vtoclg 3171	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ran F e. ~P RR -> ( ph -> ( U. ran F C_ RR -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) ) )
128	60, 127	mpcom 36	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U. ran F C_ RR -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) )
129	45, 128	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
130	58, 129	sylbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( -oo < ( vol* ` U. ran F ) /\ ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
131	56, 130	mpand 675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) < +oo -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
132		nltpnft 11363	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* -> ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo <-> -. ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) )
133	47, 132	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo <-> -. ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) )
134		rexr 9635	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S ` k ) e. RR -> ( S ` k ) e. RR* )
135		pnfge 11335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S ` k ) e. RR* -> ( S ` k ) <_ +oo )
136	108, 134, 135	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ +oo )
137	136	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ +oo ) )
138		breq2 4451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo -> ( ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> ( S ` k ) <_ +oo ) )
139	138	imbi2d 316	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo -> ( ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) <-> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ +oo ) ) )
140	137, 139	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
141	133, 140	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( vol* ` U. ran F ) < +oo -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
142	131, 141	pm2.61d 158	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
143	142	ralrimiv 2876	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) )
144		ffn 5729	. . . . . . 7 |- ( S : NN --> RR -> S Fn NN )
145	107, 144	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> S Fn NN )
146		breq1 4450	. . . . . . 7 |- ( z = ( S ` k ) -> ( z <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
147	146	ralrn 6022	. . . . . 6 |- ( S Fn NN -> ( A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
148	145, 147	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
149	143, 148	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) )
150		frn 5735	. . . . . . 7 |- ( S : NN --> RR -> ran S C_ RR )
151	107, 150	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ran S C_ RR )
152		ressxr 9633	. . . . . 6 |- RR C_ RR*
153	151, 152	syl6ss 3516	. . . . 5 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
154		supxrleub 11514	. . . . 5 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( vol* ` U. ran F ) e. RR* ) -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
155	153, 47, 154	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
156	149, 155	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) )
157		supxrcl 11502	. . . . 5 |- ( ran S C_ RR* -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
158	153, 157	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
159		xrletri3 11354	. . . 4 |- ( ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* /\ sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* ) -> ( ( vol* ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran F ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
160	47, 158, 159	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran F ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
161	35, 156, 160	mpbir2and 920	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
162	6, 161	eqtrd 2508	1 |- ( ph -> ( vol ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   +oocpnf 9621   -oocmnf 9622   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   NNcn 10532   seqcseq 12071   vol*covol 21609   volcvol 21610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611  df-vol 21612

This theorem is referenced by:  voliun  21699