Theorem voliunlem3 21048

Description: Lemma for voliun 21050. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliunlem.3	|- ( ph -> F : NN --> dom vol )
voliunlem.5	|- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
voliunlem.6	|- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) )
voliunlem3.1	|- S = seq 1 ( + , G )
voliunlem3.2	|- G = ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) )
voliunlem3.4	|- ( ph -> A. i e. NN ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
voliunlem3	|- ( ph -> ( vol ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   i, n, x, F   x, S   ph, n, x

Allowed substitution hints:   ph( i)   S( i, n)   G( x, i, n)   H( x, i, n)

Proof of Theorem voliunlem3

Dummy variables k z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voliunlem.3	. . . 4 |- ( ph -> F : NN --> dom vol )
2		voliunlem.5	. . . 4 |- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
3		voliunlem.6	. . . 4 |- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) )
4	1, 2, 3	voliunlem2 21047	. . 3 |- ( ph -> U. ran F e. dom vol )
5		mblvol 21028	. . 3 |- ( U. ran F e. dom vol -> ( vol ` U. ran F ) = ( vol* ` U. ran F ) )
6	4, 5	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( vol ` U. ran F ) = ( vol* ` U. ran F ) )
7		eqid 2443	. . . . 5 |- seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) )
8		eqid 2443	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) )
9	1	ffvelrnda 5858	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. dom vol )
10		mblss 21029	. . . . . 6 |- ( ( F ` n ) e. dom vol -> ( F ` n ) C_ RR )
11	9, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ RR )
12		mblvol 21028	. . . . . . 7 |- ( ( F ` n ) e. dom vol -> ( vol ` ( F ` n ) ) = ( vol* ` ( F ` n ) ) )
13	9, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( F ` n ) ) = ( vol* ` ( F ` n ) ) )
14		voliunlem3.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. i e. NN ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR )
15		fveq2 5706	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> ( F ` i ) = ( F ` n ) )
16	15	fveq2d 5710	. . . . . . . . 9 |- ( i = n -> ( vol ` ( F ` i ) ) = ( vol ` ( F ` n ) ) )
17	16	eleq1d 2509	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> ( ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR <-> ( vol ` ( F ` n ) ) e. RR ) )
18	17	rspccva 3087	. . . . . . 7 |- ( ( A. i e. NN ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( F ` n ) ) e. RR )
19	14, 18	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( F ` n ) ) e. RR )
20	13, 19	eqeltrrd 2518	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( F ` n ) ) e. RR )
21	7, 8, 11, 20	ovoliun 21003	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` U_ n e. NN ( F ` n ) ) <_ sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
22		ffn 5574	. . . . . . 7 |- ( F : NN --> dom vol -> F Fn NN )
23	1, 22	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn NN )
24		fniunfv 5979	. . . . . 6 |- ( F Fn NN -> U_ n e. NN ( F ` n ) = U. ran F )
25	23, 24	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> U_ n e. NN ( F ` n ) = U. ran F )
26	25	fveq2d 5710	. . . 4 |- ( ph -> ( vol* ` U_ n e. NN ( F ` n ) ) = ( vol* ` U. ran F ) )
27		voliunlem3.1	. . . . . . 7 |- S = seq 1 ( + , G )
28		voliunlem3.2	. . . . . . . . 9 |- G = ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) )
29	13	mpteq2dva 4393	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) )
30	28, 29	syl5eq 2487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) )
31	30	seqeq3d 11829	. . . . . . 7 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) )
32	27, 31	syl5req 2488	. . . . . 6 |- ( ph -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) = S )
33	32	rneqd 5082	. . . . 5 |- ( ph -> ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) = ran S )
34	33	supeq1d 7711	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran seq 1 ( + , ( n e. NN |-> ( vol* ` ( F ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
35	21, 26, 34	3brtr3d 4336	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran F ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) )
36		frn 5580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : NN --> dom vol -> ran F C_ dom vol )
37	1, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ran F C_ dom vol )
38		mblss 21029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. dom vol -> x C_ RR )
39		reex 9388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
40	39	elpw2 4471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ~P RR <-> x C_ RR )
41	38, 40	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. dom vol -> x e. ~P RR )
42	41	ssriv 3375	. . . . . . . . . . . 12 |- dom vol C_ ~P RR
43	37, 42	syl6ss 3383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran F C_ ~P RR )
44		sspwuni 4271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran F C_ ~P RR <-> U. ran F C_ RR )
45	43, 44	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. ran F C_ RR )
46		ovolcl 20976	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran F C_ RR -> ( vol* ` U. ran F ) e. RR* )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran F ) e. RR* )
48		ovolge0 20979	. . . . . . . . . 10 |- ( U. ran F C_ RR -> 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) )
49	45, 48	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) )
50		mnflt0 11120	. . . . . . . . . 10 |- -oo < 0
51		mnfxr 11109	. . . . . . . . . . 11 |- -oo e. RR*
52		0xr 9445	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
53		xrltletr 11146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* /\ ( vol* ` U. ran F ) e. RR* ) -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) ) -> -oo < ( vol* ` U. ran F ) ) )
54	51, 52, 53	mp3an12 1304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* -> ( ( -oo < 0 /\ 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) ) -> -oo < ( vol* ` U. ran F ) ) )
55	50, 54	mpani 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* -> ( 0 <_ ( vol* ` U. ran F ) -> -oo < ( vol* ` U. ran F ) ) )
56	47, 49, 55	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -oo < ( vol* ` U. ran F ) )
57		xrrebnd 11155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR <-> ( -oo < ( vol* ` U. ran F ) /\ ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) ) )
58	47, 57	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR <-> ( -oo < ( vol* ` U. ran F ) /\ ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) ) )
59	39	elpw2 4471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. ran F e. ~P RR <-> U. ran F C_ RR )
60	45, 59	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U. ran F e. ~P RR )
61		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> x = U. ran F )
62	61	sseq1d 3398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( x C_ RR <-> U. ran F C_ RR ) )
63	61	fveq2d 5710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( vol* ` x ) = ( vol* ` U. ran F ) )
64	63	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( ( vol* ` x ) e. RR <-> ( vol* ` U. ran F ) e. RR ) )
65		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> x = U. ran F )
66	65	ineq1d 3566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( x i^i ( F ` n ) ) = ( U. ran F i^i ( F ` n ) ) )
67		fnfvelrn 5855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( F Fn NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
68	23, 67	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
69		elssuni 4136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( F ` n ) e. ran F -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
71	70	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
72		sseqin2 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( F ` n ) C_ U. ran F <-> ( U. ran F i^i ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
73	71, 72	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( U. ran F i^i ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
74	66, 73	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( x i^i ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
75	74	fveq2d 5710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( F ` n ) ) )
76	13	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( F ` n ) ) = ( vol* ` ( F ` n ) ) )
77	75, 76	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x = U. ran F /\ ph ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol ` ( F ` n ) ) )
78	77	mpteq2dva 4393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( n e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) ) )
79	78	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol* ` ( x i^i ( F ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( F ` n ) ) ) )
80	79, 3, 28	3eqtr4g 2500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> H = G )
81	80	seqeq3d 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> seq 1 ( + , H ) = seq 1 ( + , G ) )
82	81, 27	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> seq 1 ( + , H ) = S )
83	82	fveq1d 5708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` k ) = ( S ` k ) )
84		difeq1 3482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = U. ran F -> ( x \ U. ran F ) = ( U. ran F \ U. ran F ) )
85		difid 3762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( U. ran F \ U. ran F ) = (/)
86	84, 85	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = U. ran F -> ( x \ U. ran F ) = (/) )
87	86	fveq2d 5710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = U. ran F -> ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) = ( vol* ` (/) ) )
88		ovol0 20991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( vol* ` (/) ) = 0
89	87, 88	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = U. ran F -> ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) = 0 )
90	89	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) = 0 )
91	83, 90	oveq12d 6124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) = ( ( S ` k ) + 0 ) )
92		nnuz 10911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
93		1zzd 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
94		fveq2 5706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
95	94	fveq2d 5710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( n = k -> ( vol ` ( F ` n ) ) = ( vol ` ( F ` k ) ) )
96		fvex 5716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( vol ` ( F ` k ) ) e. _V
97	95, 28, 96	fvmpt 5789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. NN -> ( G ` k ) = ( vol ` ( F ` k ) ) )
98	97	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) = ( vol ` ( F ` k ) ) )
99		fveq2 5706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
100	99	fveq2d 5710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( i = k -> ( vol ` ( F ` i ) ) = ( vol ` ( F ` k ) ) )
101	100	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = k -> ( ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR <-> ( vol ` ( F ` k ) ) e. RR ) )
102	101	rspccva 3087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A. i e. NN ( vol ` ( F ` i ) ) e. RR /\ k e. NN ) -> ( vol ` ( F ` k ) ) e. RR )
103	14, 102	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol ` ( F ` k ) ) e. RR )
104	98, 103	eqeltrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. RR )
105	92, 93, 104	serfre 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> seq 1 ( + , G ) : NN --> RR )
106	27	feq1i 5566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( S : NN --> RR <-> seq 1 ( + , G ) : NN --> RR )
107	105, 106	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> S : NN --> RR )
108	107	ffvelrnda 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) e. RR )
109	108	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( S ` k ) e. RR )
110	109	recnd 9427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( S ` k ) e. CC )
111	110	addid1d 9584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( ( S ` k ) + 0 ) = ( S ` k ) )
112	91, 111	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) = ( S ` k ) )
113		fveq2 5706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = U. ran F -> ( vol* ` x ) = ( vol* ` U. ran F ) )
114	113	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( vol* ` x ) = ( vol* ` U. ran F ) )
115	112, 114	breq12d 4320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = U. ran F /\ ( ph /\ k e. NN ) ) -> ( ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) <-> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
116	115	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( k e. NN -> ( ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) <-> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
117	116	pm5.74d 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) <-> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
118	64, 117	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( ( ( vol* ` x ) e. RR -> ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) ) <-> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) )
119	62, 118	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = U. ran F /\ ph ) -> ( ( x C_ RR -> ( ( vol* ` x ) e. RR -> ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) ) ) <-> ( U. ran F C_ RR -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) ) )
120	119	pm5.74da 687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = U. ran F -> ( ( ph -> ( x C_ RR -> ( ( vol* ` x ) e. RR -> ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( U. ran F C_ RR -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) ) ) )
121	1	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) -> F : NN --> dom vol )
122	2	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
123		simp2 989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) -> x C_ RR )
124		simp3 990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) -> ( vol* ` x ) e. RR )
125	121, 122, 3, 123, 124	voliunlem1 21046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x C_ RR /\ ( vol* ` x ) e. RR ) /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) )
126	125	3exp1 1203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x C_ RR -> ( ( vol* ` x ) e. RR -> ( k e. NN -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( x \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` x ) ) ) ) )
127	120, 126	vtoclg 3045	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. ran F e. ~P RR -> ( ph -> ( U. ran F C_ RR -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) ) )
128	60, 127	mpcom 36	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U. ran F C_ RR -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) ) )
129	45, 128	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
130	58, 129	sylbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( -oo < ( vol* ` U. ran F ) /\ ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
131	56, 130	mpand 675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) < +oo -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
132		nltpnft 11153	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* -> ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo <-> -. ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) )
133	47, 132	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo <-> -. ( vol* ` U. ran F ) < +oo ) )
134		rexr 9444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S ` k ) e. RR -> ( S ` k ) e. RR* )
135		pnfge 11125	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S ` k ) e. RR* -> ( S ` k ) <_ +oo )
136	108, 134, 135	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( S ` k ) <_ +oo )
137	136	ex 434	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ +oo ) )
138		breq2 4311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo -> ( ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> ( S ` k ) <_ +oo ) )
139	138	imbi2d 316	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo -> ( ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) <-> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ +oo ) ) )
140	137, 139	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) = +oo -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
141	133, 140	sylbird 235	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -. ( vol* ` U. ran F ) < +oo -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
142	131, 141	pm2.61d 158	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. NN -> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
143	142	ralrimiv 2813	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) )
144		ffn 5574	. . . . . . 7 |- ( S : NN --> RR -> S Fn NN )
145	107, 144	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> S Fn NN )
146		breq1 4310	. . . . . . 7 |- ( z = ( S ` k ) -> ( z <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
147	146	ralrn 5861	. . . . . 6 |- ( S Fn NN -> ( A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
148	145, 147	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> A. k e. NN ( S ` k ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
149	143, 148	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) )
150		frn 5580	. . . . . . 7 |- ( S : NN --> RR -> ran S C_ RR )
151	107, 150	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ran S C_ RR )
152		ressxr 9442	. . . . . 6 |- RR C_ RR*
153	151, 152	syl6ss 3383	. . . . 5 |- ( ph -> ran S C_ RR* )
154		supxrleub 11304	. . . . 5 |- ( ( ran S C_ RR* /\ ( vol* ` U. ran F ) e. RR* ) -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
155	153, 47, 154	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) <-> A. z e. ran S z <_ ( vol* ` U. ran F ) ) )
156	149, 155	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) )
157		supxrcl 11292	. . . . 5 |- ( ran S C_ RR* -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
158	153, 157	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* )
159		xrletri3 11144	. . . 4 |- ( ( ( vol* ` U. ran F ) e. RR* /\ sup ( ran S , RR* , < ) e. RR* ) -> ( ( vol* ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran F ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
160	47, 158, 159	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol* ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) <-> ( ( vol* ` U. ran F ) <_ sup ( ran S , RR* , < ) /\ sup ( ran S , RR* , < ) <_ ( vol* ` U. ran F ) ) ) )
161	35, 156, 160	mpbir2and 913	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )
162	6, 161	eqtrd 2475	1 |- ( ph -> ( vol ` U. ran F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2730   \ cdif 3340   i^i cin 3342   C_ wss 3343   (/)c0 3652   ~Pcpw 3875   U.cuni 4106   U_ciun 4186  Disj wdisj 4277   class class class wbr 4307   e. cmpt 4365   dom cdm 4855   ran crn 4856   Fn wfn 5428   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   supcsup 7705   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298   + caddc 9300   +oocpnf 9430   -oocmnf 9431   RR*cxr 9432   < clt 9433   <_ cle 9434   NNcn 10337   seqcseq 11821   vol*covol 20961   volcvol 20962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cc 8619  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xadd 11105  df-ioo 11319  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-xmet 17825  df-met 17826  df-ovol 20963  df-vol 20964

This theorem is referenced by:  voliun  21050