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Theorem voliunlem1 22582
Description: Lemma for voliun 22586. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunlem.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
voliunlem.5  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
voliunlem1.6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  n ) ) ) )
voliunlem1.7  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
voliunlem1.8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
voliunlem1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  E ) )
Distinct variable groups:    k, n, E    i, k, n, F   
k, H    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( i)    E( i)    H( i, n)

Proof of Theorem voliunlem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 voliunlem1.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
21adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E  C_  RR )
3 voliunlem1.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
43adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
5 difss 3549 . . . . 5  |-  ( E 
\  U. ran  F ) 
C_  E
6 ovolsscl 22517 . . . . 5  |-  ( ( ( E  \  U. ran  F )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F ) )  e.  RR )
75, 6mp3an1 1377 . . . 4  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  \  U. ran  F ) )  e.  RR )
82, 4, 7syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  \ 
U. ran  F )
)  e.  RR )
9 difss 3549 . . . . 5  |-  ( E 
\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )  C_  E
10 ovolsscl 22517 . . . . 5  |-  ( ( ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
119, 10mp3an1 1377 . . . 4  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
122, 4, 11syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  \ 
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  e.  RR )
13 inss1 3643 . . . . 5  |-  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )  C_  E
14 ovolsscl 22517 . . . . 5  |-  ( ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
1513, 14mp3an1 1377 . . . 4  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
162, 4, 15syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  e.  RR )
17 elfznn 11854 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
18 voliunlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
19 ffn 5739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
21 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ran  F
)
2220, 21sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
ran  F )
23 elssuni 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  n )  e.  ran  F  -> 
( F `  n
)  C_  U. ran  F
)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  U.
ran  F )
2517, 24sylan2 482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  n )  C_ 
U. ran  F )
2625ralrimiva 2809 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  C_  U. ran  F
)
2726adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  C_  U. ran  F )
28 iunss 4310 . . . . . 6  |-  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) 
C_  U. ran  F  <->  A. n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  C_  U. ran  F )
2927, 28sylibr 217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  C_  U. ran  F )
3029sscond 3559 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E 
\  U. ran  F ) 
C_  ( E  \  U_ n  e.  (
1 ... k ) ( F `  n ) ) )
319, 2syl5ss 3429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E 
\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )  C_  RR )
32 ovolss 22516 . . . 4  |-  ( ( ( E  \  U. ran  F )  C_  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  /\  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( E  \ 
U. ran  F )
)  <_  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  (
1 ... k ) ( F `  n ) ) ) )
3330, 31, 32syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  \ 
U. ran  F )
)  <_  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  (
1 ... k ) ( F `  n ) ) ) )
348, 12, 16, 33leadd2dd 10249 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F ) ) )  <_ 
( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) ) ) )
35 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
1 ... z )  =  ( 1 ... 1
) )
3635iuneq1d 4294 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n ) )
3736eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  <->  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  e.  dom  vol ) )
3836ineq2d 3625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n ) ) )
3938fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n ) ) ) )
40 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  1
) )
4139, 40eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )  <->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 1 ) ) )
4237, 41anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) ` 
1 ) ) ) )
4342imbi2d 323 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 z ) ) )  <->  ( ph  ->  (
U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  1 )
) ) ) )
44 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  k  ->  (
1 ... z )  =  ( 1 ... k
) )
4544iuneq1d 4294 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  k  ->  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) )
4645eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  k  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  <->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  e.  dom  vol ) )
4745ineq2d 3625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  k  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
4847fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  k  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) ) )
49 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  k  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
) )
5048, 49eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  k  ->  (
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )  <->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) ) )
5146, 50anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  k  ->  (
( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k ) ) ) )
5251imbi2d 323 . . . . . . 7  |-  ( z  =  k  ->  (
( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 z ) ) )  <->  ( ph  ->  (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )
) ) ) )
53 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... z )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
5453iuneq1d 4294 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )
5554eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  <->  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol ) )
5654ineq2d 3625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )
5756fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) ) )
58 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  (
k  +  1 ) ) )
5957, 58eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )  <->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
6055, 59anbi12d 725 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (
( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6160imbi2d 323 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 z ) ) )  <->  ( ph  ->  (
U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
62 1z 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
63 fzsn 11866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
64 iuneq1 4283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
)  =  U_ n  e.  { 1 }  ( F `  n )
)
6562, 63, 64mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  { 1 }  ( F `  n )
66 1ex 9656 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  _V
67 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
6866, 67iunxsn 4352 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  { 1 }  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 )
6965, 68eqtri 2493 . . . . . . . . 9  |-  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  =  ( F `  1 )
70 1nn 10642 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
71 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  1  e.  NN )  ->  ( F ` 
1 )  e.  dom  vol )
7218, 70, 71sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  dom  vol )
7369, 72syl5eqel 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
)  e.  dom  vol )
7467ineq2d 3625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( E  i^i  ( F `  n ) )  =  ( E  i^i  ( F `  1 )
) )
7574fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1 )
) ) )
76 voliunlem1.6 . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  n ) ) ) )
77 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1
) ) )  e. 
_V
7875, 76, 77fvmpt 5963 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( H `  1 )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1 )
) ) )
7970, 78ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 1 )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1 )
) )
80 seq1 12264 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  1
)  =  ( H `
 1 ) )
8162, 80ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  1
)  =  ( H `
 1 )
8269ineq2i 3622 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  ( F `
 1 ) )
8382fveq2i 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1 )
) )
8479, 81, 833eqtr4ri 2504 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 1 )
8573, 84jctir 547 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) ` 
1 ) ) )
86 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
87 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  vol )
8818, 86, 87syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  vol )
89 unmbl 22569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  vol )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  dom  vol )
9089ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  vol  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  dom  vol ) )
9188, 90syl5com 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  u.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  e.  dom  vol )
)
92 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
93 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9492, 93syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
95 fzsuc 11869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
96 iuneq1 4283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  =  U_ n  e.  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ( F `  n ) )
9794, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( (
1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } ) ( F `  n
) )
98 iunxun 4354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ n  e.  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ( F `  n )  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  U_ n  e.  { (
k  +  1 ) }  ( F `  n ) )
99 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
100 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10199, 100iunxsn 4352 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ n  e.  { ( k  +  1 ) }  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) )
102101uneq2i 3576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  U_ n  e. 
{ ( k  +  1 ) }  ( F `  n )
)  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10398, 102eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ n  e.  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ( F `  n )  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10497, 103syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  u.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
105104eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
dom  vol ) )
10691, 105sylibrd 242 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol )
)
107 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k )  -> 
( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
108 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  C_  E
109108, 2syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  C_  RR )
110 ovolsscl 22517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
111108, 110mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
1122, 4, 111syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  e.  RR )
113 mblsplit 22564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  vol  /\  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  ( ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
11488, 109, 112, 113syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  ( ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
115 in32 3635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) )
116 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  C_  ( F `  ( k  +  1 ) )
11786adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
118117, 93syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
119 eluzfz2 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
120100ssiun2s 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) ) 
C_  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )
121118, 119, 1203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  C_  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )
122116, 121syl5ss 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  C_  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )
123 df-ss 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) 
C_  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  <->  ( ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  i^i  U_ n  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  =  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
124122, 123sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( E  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
125115, 124syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( E  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
126125fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
127 indif2 3677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  i^i  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  \  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )
128 uncom 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  u.  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) )
129104, 128syl6req 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  u.  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )
130 voliunlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
131130ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i ) )
132117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
13317adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
134133nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  RR )
135 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  <_  k )
136135adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  <_  k )
13792adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  k  e.  NN )
138 nnleltp1 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( n  <_  k  <->  n  <  ( k  +  1 ) ) )
139133, 137, 138syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
n  <_  k  <->  n  <  ( k  +  1 ) ) )
140136, 139mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  <  ( k  +  1 ) )
141134, 140gtned 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
k  +  1 )  =/=  n )
142 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
143 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  i )  =  ( F `  n ) )
144142, 143disji2 4382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (Disj  i  e.  NN  ( F `  i )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =/=  n
)  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  i^i  ( F `  n ) )  =  (/) )
145131, 132, 133, 141, 144syl121anc 1297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  i^i  ( F `
 n ) )  =  (/) )
146145iuneq2dv 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  i^i  ( F `  n
) )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k ) (/) )
147 iunin2 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  i^i  ( F `  n
) )  =  ( ( F `  (
k  +  1 ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )
148 iun0 4325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) (/)  =  (/)
149146, 147, 1483eqtr3g 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )  =  (/) )
150 uneqdifeq 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  C_  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  /\  (
( F `  (
k  +  1 ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  u.  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
151121, 149, 150syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  u.  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
152129, 151mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) 
\  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )
153152ineq2d 3625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E  i^i  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
154127, 153syl5eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  \ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
155154fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) ) )
156126, 155oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  (
( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) ) ) )
157 inss1 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  C_  E
158 ovolsscl 22517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
159157, 158mp3an1 1377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
1602, 4, 159syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
161160recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
16216recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  e.  CC )
163161, 162addcomd 9853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
164114, 156, 1633eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
165 seqp1 12266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( H `  ( k  +  1 ) ) ) )
16694, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( H `  ( k  +  1 ) ) ) )
167100ineq2d 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( E  i^i  ( F `  n ) )  =  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
168167fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
169 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
170168, 76, 169fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( H `  ( k  +  1 ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
171117, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 ( k  +  1 ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
172171oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( H `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
173166, 172eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
174164, 173eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
175107, 174syl5ibr 229 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
176106, 175anim12d 572 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )
)  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
177176expcom 442 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
178177a2d 28 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) ) )  ->  ( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
17943, 52, 61, 52, 85, 178nnind 10649 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k ) ) ) )
180179impcom 437 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) ) )
181180simprd 470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) )
182181eqcomd 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) ) )
183182oveq1d 6323 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F
) ) )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F
) ) ) )
184180simpld 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  e.  dom  vol )
185 mblsplit 22564 . . 3  |-  ( (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  E )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) ) ) )
186184, 2, 4, 185syl3anc 1292 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  E )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) ) ) )
18734, 183, 1863brtr4d 4426 1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810    seqcseq 12251   vol*covol 22491   volcvol 22493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-ovol 22494  df-vol 22496
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