Theorem voliunlem1 22503

Description: Lemma for voliun 22507. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliunlem.3	|- ( ph -> F : NN --> dom vol )
voliunlem.5	|- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
voliunlem1.6	|- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) )
voliunlem1.7	|- ( ph -> E C_ RR )
voliunlem1.8	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
voliunlem1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` E ) )

Distinct variable groups:   k, n, E   i, k, n, F   k, H   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( i)   E( i)   H( i, n)

Proof of Theorem voliunlem1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voliunlem1.7	. . . . 5 |- ( ph -> E C_ RR )
2	1	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E C_ RR )
3		voliunlem1.8	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
4	3	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` E ) e. RR )
5		difss 3560	. . . . 5 |- ( E \ U. ran F ) C_ E
6		ovolsscl 22439	. . . . 5 |- ( ( ( E \ U. ran F ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
7	5, 6	mp3an1 1351	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
8	2, 4, 7	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
9		difss 3560	. . . . 5 |- ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E
10		ovolsscl 22439	. . . . 5 |- ( ( ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
11	9, 10	mp3an1 1351	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
12	2, 4, 11	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
13		inss1 3652	. . . . 5 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E
14		ovolsscl 22439	. . . . 5 |- ( ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
15	13, 14	mp3an1 1351	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
16	2, 4, 15	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
17		elfznn 11828	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
18		voliunlem.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : NN --> dom vol )
19		ffn 5728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : NN --> dom vol -> F Fn NN )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F Fn NN )
21		fnfvelrn 6019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
22	20, 21	sylan 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
23		elssuni 4227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` n ) e. ran F -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
25	17, 24	sylan2 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
26	25	ralrimiva 2802	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
27	26	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
28		iunss 4319	. . . . . 6 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F <-> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
29	27, 28	sylibr 216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
30	29	sscond 3570	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E \ U. ran F ) C_ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
31	9, 2	syl5ss 3443	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ RR )
32		ovolss 22438	. . . 4 |- ( ( ( E \ U. ran F ) C_ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) /\ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) <_ ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 667	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) <_ ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
34	8, 12, 16, 33	leadd2dd 10228	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
35		oveq2 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... 1 ) )
36	35	iuneq1d 4303	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) )
37	36	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
38	36	ineq2d 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) )
39	38	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) )
40		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) )
41	39, 40	eqeq12d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) )
42	37, 41	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) ) )
43	42	imbi2d 318	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) ) ) )
44		oveq2 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = k -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... k ) )
45	44	iuneq1d 4303	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
46	45	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
47	45	ineq2d 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = k -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
48	47	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
49		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) )
50	48, 49	eqeq12d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) )
51	46, 50	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( z = k -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) )
52	51	imbi2d 318	. . . . . . 7 |- ( z = k -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) ) )
53		oveq2 6298	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
54	53	iuneq1d 4303	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
55	54	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
56	54	ineq2d 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) )
57	56	fveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) )
58		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) )
59	57, 58	eqeq12d 2466	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) )
60	55, 59	anbi12d 717	. . . . . . . 8 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
61	60	imbi2d 318	. . . . . . 7 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
62		1z 10967	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
63		fzsn 11840	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
64		iuneq1 4292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = U_ n e. { 1 } ( F ` n ) )
65	62, 63, 64	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = U_ n e. { 1 } ( F ` n )
66		1ex 9638	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
67		fveq2 5865	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
68	66, 67	iunxsn 4361	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. { 1 } ( F ` n ) = ( F ` 1 )
69	65, 68	eqtri 2473	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = ( F ` 1 )
70		1nn 10620	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
71		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : NN --> dom vol /\ 1 e. NN ) -> ( F ` 1 ) e. dom vol )
72	18, 70, 71	sylancl 668	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. dom vol )
73	69, 72	syl5eqel 2533	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol )
74	67	ineq2d 3634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( E i^i ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
75	74	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) )
76		voliunlem1.6	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) )
77		fvex 5875	. . . . . . . . . . 11 |- ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) e. _V
78	75, 76, 77	fvmpt 5948	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> ( H ` 1 ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) )
79	70, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( H ` 1 ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
80		seq1 12226	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
81	62, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) = ( H ` 1 )
82	69	ineq2i 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` 1 ) )
83	82	fveq2i 5868	. . . . . . . . 9 |- ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
84	79, 81, 83	3eqtr4ri 2484	. . . . . . . 8 |- ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 )
85	73, 84	jctir 541	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) )
86		peano2nn 10621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
87		ffvelrn 6020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> dom vol /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol )
88	18, 86, 87	syl2an 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol )
89		unmbl 22491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol )
90	89	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
91	88, 90	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
92		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
93		nnuz 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
94	92, 93	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
95		fzsuc 11843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
96		iuneq1 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) )
97	94, 95, 96	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) )
98		iunxun 4363	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) )
99		ovex 6318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k + 1 ) e. _V
100		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
101	99, 100	iunxsn 4361	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) )
102	101	uneq2i 3585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) )
103	98, 102	eqtri 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) )
104	97, 103	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
105	104	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol <-> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
106	91, 105	sylibrd 238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
107		oveq1 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
108		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ E
109	108, 2	syl5ss 3443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ RR )
110		ovolsscl 22439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
111	108, 110	mp3an1 1351	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
112	2, 4, 111	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
113		mblsplit 22486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol /\ ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
114	88, 109, 112, 113	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
115		in32 3644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
116		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( F ` ( k + 1 ) )
117	86	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
118	117, 93	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
119		eluzfz2 11807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
120	100	ssiun2s 4322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
121	118, 119, 120	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
122	116, 121	syl5ss 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
123		df-ss 3418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
124	122, 123	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
125	115, 124	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
126	125	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
127		indif2 3686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E i^i ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) )
128		uncom 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
129	104, 128	syl6req 2502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
130		voliunlem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
131	130	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
132	117	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
133	17	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
134	133	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. RR )
135		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n <_ k )
136	135	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n <_ k )
137	92	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> k e. NN )
138		nnleltp1 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. NN /\ k e. NN ) -> ( n <_ k <-> n < ( k + 1 ) ) )
139	133, 137, 138	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( n <_ k <-> n < ( k + 1 ) ) )
140	136, 139	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n < ( k + 1 ) )
141	134, 140	gtned 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( k + 1 ) =/= n )
142		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
143		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = n -> ( F ` i ) = ( F ` n ) )
144	142, 143	disji2 4389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (Disj i e. NN ( F ` i ) /\ ( ( k + 1 ) e. NN /\ n e. NN ) /\ ( k + 1 ) =/= n ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
145	131, 132, 133, 141, 144	syl121anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
146	145	iuneq2dv 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) (/) )
147		iunin2 4342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
148		iun0 4334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U_ n e. ( 1 ... k ) (/) = (/)
149	146, 147, 148	3eqtr3g 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = (/) )
150		uneqdifeq 3856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = (/) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
151	121, 149, 150	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
152	129, 151	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
153	152	ineq2d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
154	127, 153	syl5eqr 2499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
155	154	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
156	126, 155	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
157		inss1 3652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ E
158		ovolsscl 22439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
159	157, 158	mp3an1 1351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
160	2, 4, 159	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
161	160	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. CC )
162	16	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. CC )
163	161, 162	addcomd 9835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
164	114, 156, 163	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
165		seqp1 12228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) )
166	94, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) )
167	100	ineq2d 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( E i^i ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
168	167	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
169		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. _V
170	168, 76, 169	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
171	117, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
172	171	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
173	166, 172	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
174	164, 173	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
175	107, 174	syl5ibr 225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) )
176	106, 175	anim12d 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
177	176	expcom 437	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
178	177	a2d 29	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) -> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
179	43, 52, 61, 52, 85, 178	nnind 10627	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) )
180	179	impcom 432	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) )
181	180	simprd 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) )
182	181	eqcomd 2457	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` k ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
183	182	oveq1d 6305	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) )
184	180	simpld 461	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol )
185		mblsplit 22486	. . 3 |- ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` E ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
186	184, 2, 4, 185	syl3anc 1268	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` E ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
187	34, 183, 186	3brtr4d 4433	1 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U.cuni 4198   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   seqcseq 12213   vol*covol 22413   volcvol 22415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-ovol 22416  df-vol 22418

This theorem is referenced by:  voliunlem2  22504  voliunlem3  22505