Theorem voliunlem1 22129

Description: Lemma for voliun 22133. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliunlem.3	|- ( ph -> F : NN --> dom vol )
voliunlem.5	|- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
voliunlem1.6	|- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) )
voliunlem1.7	|- ( ph -> E C_ RR )
voliunlem1.8	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
voliunlem1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` E ) )

Distinct variable groups:   k, n, E   i, k, n, F   k, H   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( i)   E( i)   H( i, n)

Proof of Theorem voliunlem1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voliunlem1.7	. . . . 5 |- ( ph -> E C_ RR )
2	1	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E C_ RR )
3		voliunlem1.8	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
4	3	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` E ) e. RR )
5		difss 3617	. . . . 5 |- ( E \ U. ran F ) C_ E
6		ovolsscl 22066	. . . . 5 |- ( ( ( E \ U. ran F ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
7	5, 6	mp3an1 1309	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
8	2, 4, 7	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
9		difss 3617	. . . . 5 |- ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E
10		ovolsscl 22066	. . . . 5 |- ( ( ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
11	9, 10	mp3an1 1309	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
12	2, 4, 11	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
13		inss1 3704	. . . . 5 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E
14		ovolsscl 22066	. . . . 5 |- ( ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
15	13, 14	mp3an1 1309	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
16	2, 4, 15	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
17		elfznn 11717	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
18		voliunlem.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : NN --> dom vol )
19		ffn 5713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : NN --> dom vol -> F Fn NN )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F Fn NN )
21		fnfvelrn 6004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
22	20, 21	sylan 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
23		elssuni 4264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` n ) e. ran F -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
25	17, 24	sylan2 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
26	25	ralrimiva 2868	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
27	26	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
28		iunss 4356	. . . . . 6 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F <-> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
29	27, 28	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
30	29	sscond 3627	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E \ U. ran F ) C_ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
31	9, 2	syl5ss 3500	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ RR )
32		ovolss 22065	. . . 4 |- ( ( ( E \ U. ran F ) C_ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) /\ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) <_ ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) <_ ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
34	8, 12, 16, 33	leadd2dd 10163	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
35		oveq2 6278	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... 1 ) )
36	35	iuneq1d 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) )
37	36	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
38	36	ineq2d 3686	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) )
39	38	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) )
40		fveq2 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) )
41	39, 40	eqeq12d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) )
42	37, 41	anbi12d 708	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) ) )
43	42	imbi2d 314	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) ) ) )
44		oveq2 6278	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = k -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... k ) )
45	44	iuneq1d 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
46	45	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
47	45	ineq2d 3686	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = k -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
48	47	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
49		fveq2 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) )
50	48, 49	eqeq12d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) )
51	46, 50	anbi12d 708	. . . . . . . 8 |- ( z = k -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) )
52	51	imbi2d 314	. . . . . . 7 |- ( z = k -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) ) )
53		oveq2 6278	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
54	53	iuneq1d 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
55	54	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
56	54	ineq2d 3686	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) )
57	56	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) )
58		fveq2 5848	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) )
59	57, 58	eqeq12d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) )
60	55, 59	anbi12d 708	. . . . . . . 8 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
61	60	imbi2d 314	. . . . . . 7 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
62		1z 10890	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
63		fzsn 11729	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
64		iuneq1 4329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = U_ n e. { 1 } ( F ` n ) )
65	62, 63, 64	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = U_ n e. { 1 } ( F ` n )
66		1ex 9580	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
67		fveq2 5848	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
68	66, 67	iunxsn 4398	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. { 1 } ( F ` n ) = ( F ` 1 )
69	65, 68	eqtri 2483	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = ( F ` 1 )
70		1nn 10542	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
71		ffvelrn 6005	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : NN --> dom vol /\ 1 e. NN ) -> ( F ` 1 ) e. dom vol )
72	18, 70, 71	sylancl 660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. dom vol )
73	69, 72	syl5eqel 2546	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol )
74	67	ineq2d 3686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( E i^i ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
75	74	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) )
76		voliunlem1.6	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) )
77		fvex 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) e. _V
78	75, 76, 77	fvmpt 5931	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> ( H ` 1 ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) )
79	70, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( H ` 1 ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
80		seq1 12105	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
81	62, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) = ( H ` 1 )
82	69	ineq2i 3683	. . . . . . . . . 10 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` 1 ) )
83	82	fveq2i 5851	. . . . . . . . 9 |- ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
84	79, 81, 83	3eqtr4ri 2494	. . . . . . . 8 |- ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 )
85	73, 84	jctir 536	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) )
86		peano2nn 10543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
87		ffvelrn 6005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> dom vol /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol )
88	18, 86, 87	syl2an 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol )
89		unmbl 22117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol )
90	89	ex 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
91	88, 90	syl5com 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
92		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
93		nnuz 11117	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
94	92, 93	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
95		fzsuc 11731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
96		iuneq1 4329	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) )
97	94, 95, 96	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) )
98		iunxun 4400	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) )
99		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k + 1 ) e. _V
100		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
101	99, 100	iunxsn 4398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) )
102	101	uneq2i 3641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) )
103	98, 102	eqtri 2483	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) )
104	97, 103	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
105	104	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol <-> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
106	91, 105	sylibrd 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
107		oveq1 6277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
108		inss1 3704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ E
109	108, 2	syl5ss 3500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ RR )
110		ovolsscl 22066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
111	108, 110	mp3an1 1309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
112	2, 4, 111	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
113		mblsplit 22112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol /\ ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
114	88, 109, 112, 113	syl3anc 1226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
115		in32 3696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
116		inss2 3705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( F ` ( k + 1 ) )
117	86	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
118	117, 93	syl6eleq 2552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
119		eluzfz2 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
120	100	ssiun2s 4359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
121	118, 119, 120	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
122	116, 121	syl5ss 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
123		df-ss 3475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
124	122, 123	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
125	115, 124	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
126	125	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
127		indif2 3738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E i^i ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) )
128		uncom 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
129	104, 128	syl6req 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
130		voliunlem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
131	130	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
132	117	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
133	17	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
134	133	nnred 10546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. RR )
135		elfzle2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n <_ k )
136	135	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n <_ k )
137	92	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> k e. NN )
138		nnleltp1 10914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. NN /\ k e. NN ) -> ( n <_ k <-> n < ( k + 1 ) ) )
139	133, 137, 138	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( n <_ k <-> n < ( k + 1 ) ) )
140	136, 139	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n < ( k + 1 ) )
141	134, 140	gtned 9709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( k + 1 ) =/= n )
142		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
143		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = n -> ( F ` i ) = ( F ` n ) )
144	142, 143	disji2 4426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (Disj i e. NN ( F ` i ) /\ ( ( k + 1 ) e. NN /\ n e. NN ) /\ ( k + 1 ) =/= n ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
145	131, 132, 133, 141, 144	syl121anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
146	145	iuneq2dv 4337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) (/) )
147		iunin2 4379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
148		iun0 4371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U_ n e. ( 1 ... k ) (/) = (/)
149	146, 147, 148	3eqtr3g 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = (/) )
150		uneqdifeq 3904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = (/) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
151	121, 149, 150	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
152	129, 151	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
153	152	ineq2d 3686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
154	127, 153	syl5eqr 2509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
155	154	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
156	126, 155	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
157		inss1 3704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ E
158		ovolsscl 22066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
159	157, 158	mp3an1 1309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
160	2, 4, 159	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
161	160	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. CC )
162	16	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. CC )
163	161, 162	addcomd 9771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
164	114, 156, 163	3eqtrd 2499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
165		seqp1 12107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) )
166	94, 165	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) )
167	100	ineq2d 3686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( E i^i ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
168	167	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
169		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. _V
170	168, 76, 169	fvmpt 5931	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
171	117, 170	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
172	171	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
173	166, 172	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
174	164, 173	eqeq12d 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
175	107, 174	syl5ibr 221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) )
176	106, 175	anim12d 561	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
177	176	expcom 433	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
178	177	a2d 26	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) -> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
179	43, 52, 61, 52, 85, 178	nnind 10549	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) )
180	179	impcom 428	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) )
181	180	simprd 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) )
182	181	eqcomd 2462	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` k ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
183	182	oveq1d 6285	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) )
184	180	simpld 457	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol )
185		mblsplit 22112	. . 3 |- ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` E ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
186	184, 2, 4, 185	syl3anc 1226	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` E ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
187	34, 183, 186	3brtr4d 4469	1 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   U.cuni 4235   U_ciun 4315  Disj wdisj 4410   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   < clt 9617   <_ cle 9618   NNcn 10531   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   seqcseq 12092   vol*covol 22043   volcvol 22044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-ovol 22045  df-vol 22046

This theorem is referenced by:  voliunlem2  22130  voliunlem3  22131