Theorem voliunlem1 22582

Description: Lemma for voliun 22586. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
voliunlem.3	|- ( ph -> F : NN --> dom vol )
voliunlem.5	|- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
voliunlem1.6	|- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) )
voliunlem1.7	|- ( ph -> E C_ RR )
voliunlem1.8	|- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
voliunlem1	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` E ) )

Distinct variable groups:   k, n, E   i, k, n, F   k, H   ph, k, n

Allowed substitution hints:   ph( i)   E( i)   H( i, n)

Proof of Theorem voliunlem1

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		voliunlem1.7	. . . . 5 |- ( ph -> E C_ RR )
2	1	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> E C_ RR )
3		voliunlem1.8	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol* ` E ) e. RR )
4	3	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` E ) e. RR )
5		difss 3549	. . . . 5 |- ( E \ U. ran F ) C_ E
6		ovolsscl 22517	. . . . 5 |- ( ( ( E \ U. ran F ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
7	5, 6	mp3an1 1377	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
8	2, 4, 7	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) e. RR )
9		difss 3549	. . . . 5 |- ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E
10		ovolsscl 22517	. . . . 5 |- ( ( ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
11	9, 10	mp3an1 1377	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
12	2, 4, 11	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
13		inss1 3643	. . . . 5 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E
14		ovolsscl 22517	. . . . 5 |- ( ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
15	13, 14	mp3an1 1377	. . . 4 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
16	2, 4, 15	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
17		elfznn 11854	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n e. NN )
18		voliunlem.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : NN --> dom vol )
19		ffn 5739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : NN --> dom vol -> F Fn NN )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F Fn NN )
21		fnfvelrn 6034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F Fn NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
22	20, 21	sylan 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ran F )
23		elssuni 4219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` n ) e. ran F -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
25	17, 24	sylan2 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( F ` n ) C_ U. ran F )
26	25	ralrimiva 2809	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
27	26	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
28		iunss 4310	. . . . . 6 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F <-> A. n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
29	27, 28	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) C_ U. ran F )
30	29	sscond 3559	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E \ U. ran F ) C_ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
31	9, 2	syl5ss 3429	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ RR )
32		ovolss 22516	. . . 4 |- ( ( ( E \ U. ran F ) C_ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) /\ ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) <_ ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
33	30, 31, 32	syl2anc 673	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) <_ ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
34	8, 12, 16, 33	leadd2dd 10249	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
35		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... 1 ) )
36	35	iuneq1d 4294	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) )
37	36	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
38	36	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = 1 -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) )
39	38	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) )
40		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( z = 1 -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) )
41	39, 40	eqeq12d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( z = 1 -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) )
42	37, 41	anbi12d 725	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) ) )
43	42	imbi2d 323	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) ) ) )
44		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = k -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... k ) )
45	44	iuneq1d 4294	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
46	45	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
47	45	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = k -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
48	47	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
49		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( z = k -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) )
50	48, 49	eqeq12d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( z = k -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) )
51	46, 50	anbi12d 725	. . . . . . . 8 |- ( z = k -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) )
52	51	imbi2d 323	. . . . . . 7 |- ( z = k -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) ) )
53		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( 1 ... z ) = ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
54	53	iuneq1d 4294	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
55	54	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol <-> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
56	54	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) )
57	56	fveq2d 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) )
58		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` z ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) )
59	57, 58	eqeq12d 2486	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) <-> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) )
60	55, 59	anbi12d 725	. . . . . . . 8 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
61	60	imbi2d 323	. . . . . . 7 |- ( z = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... z ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` z ) ) ) <-> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
62		1z 10991	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. ZZ
63		fzsn 11866	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. ZZ -> ( 1 ... 1 ) = { 1 } )
64		iuneq1 4283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... 1 ) = { 1 } -> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = U_ n e. { 1 } ( F ` n ) )
65	62, 63, 64	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = U_ n e. { 1 } ( F ` n )
66		1ex 9656	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. _V
67		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
68	66, 67	iunxsn 4352	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. { 1 } ( F ` n ) = ( F ` 1 )
69	65, 68	eqtri 2493	. . . . . . . . 9 |- U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) = ( F ` 1 )
70		1nn 10642	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
71		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : NN --> dom vol /\ 1 e. NN ) -> ( F ` 1 ) e. dom vol )
72	18, 70, 71	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` 1 ) e. dom vol )
73	69, 72	syl5eqel 2553	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol )
74	67	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( E i^i ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
75	74	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) )
76		voliunlem1.6	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( n e. NN |-> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) )
77		fvex 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) e. _V
78	75, 76, 77	fvmpt 5963	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> ( H ` 1 ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) ) )
79	70, 78	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( H ` 1 ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
80		seq1 12264	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) = ( H ` 1 ) )
81	62, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) = ( H ` 1 )
82	69	ineq2i 3622	. . . . . . . . . 10 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` 1 ) )
83	82	fveq2i 5882	. . . . . . . . 9 |- ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` 1 ) ) )
84	79, 81, 83	3eqtr4ri 2504	. . . . . . . 8 |- ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 )
85	73, 84	jctir 547	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... 1 ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` 1 ) ) )
86		peano2nn 10643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
87		ffvelrn 6035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> dom vol /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol )
88	18, 86, 87	syl2an 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol )
89		unmbl 22569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol )
90	89	ex 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
91	88, 90	syl5com 30	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
92		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
93		nnuz 11218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
94	92, 93	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
95		fzsuc 11869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) )
96		iuneq1 4283	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 ... ( k + 1 ) ) = ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) )
97	94, 95, 96	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) )
98		iunxun 4354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) )
99		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k + 1 ) e. _V
100		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
101	99, 100	iunxsn 4352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) = ( F ` ( k + 1 ) )
102	101	uneq2i 3576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. U_ n e. { ( k + 1 ) } ( F ` n ) ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) )
103	98, 102	eqtri 2493	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ n e. ( ( 1 ... k ) u. { ( k + 1 ) } ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) )
104	97, 103	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) = ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
105	104	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol <-> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) e. dom vol ) )
106	91, 105	sylibrd 242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol -> U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol ) )
107		oveq1 6315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
108		inss1 3643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ E
109	108, 2	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ RR )
110		ovolsscl 22517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
111	108, 110	mp3an1 1377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
112	2, 4, 111	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR )
113		mblsplit 22564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. dom vol /\ ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
114	88, 109, 112, 113	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
115		in32 3635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
116		inss2 3644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ ( F ` ( k + 1 ) )
117	86	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
118	117, 93	syl6eleq 2559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
119		eluzfz2 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) )
120	100	ssiun2s 4313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
121	118, 119, 120	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
122	116, 121	syl5ss 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
123		df-ss 3404	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
124	122, 123	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
125	115, 124	syl5eq 2517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
126	125	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
127		indif2 3677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E i^i ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) )
128		uncom 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) u. ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
129	104, 128	syl6req 2522	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) )
130		voliunlem.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
131	130	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> Disj i e. NN ( F ` i ) )
132	117	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
133	17	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. NN )
134	133	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n e. RR )
135		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. ( 1 ... k ) -> n <_ k )
136	135	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n <_ k )
137	92	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> k e. NN )
138		nnleltp1 11015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. NN /\ k e. NN ) -> ( n <_ k <-> n < ( k + 1 ) ) )
139	133, 137, 138	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( n <_ k <-> n < ( k + 1 ) ) )
140	136, 139	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> n < ( k + 1 ) )
141	134, 140	gtned 9787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( k + 1 ) =/= n )
142		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( F ` i ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
143		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i = n -> ( F ` i ) = ( F ` n ) )
144	142, 143	disji2 4382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( (Disj i e. NN ( F ` i ) /\ ( ( k + 1 ) e. NN /\ n e. NN ) /\ ( k + 1 ) =/= n ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
145	131, 132, 133, 141, 144	syl121anc 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ n e. ( 1 ... k ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = (/) )
146	145	iuneq2dv 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) (/) )
147		iunin2 4333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U_ n e. ( 1 ... k ) ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i ( F ` n ) ) = ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
148		iun0 4325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- U_ n e. ( 1 ... k ) (/) = (/)
149	146, 147, 148	3eqtr3g 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = (/) )
150		uneqdifeq 3847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) C_ U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) /\ ( ( F ` ( k + 1 ) ) i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = (/) ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
151	121, 149, 150	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) u. U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) = U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) <-> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
152	129, 151	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) )
153	152	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( E i^i ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
154	127, 153	syl5eqr 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) )
155	154	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
156	126, 155	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) \ ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
157		inss1 3643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ E
158		ovolsscl 22517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) C_ E /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
159	157, 158	mp3an1 1377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
160	2, 4, 159	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
161	160	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. CC )
162	16	recnd 9687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) e. CC )
163	161, 162	addcomd 9853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
164	114, 156, 163	3eqtrd 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
165		seqp1 12266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) )
166	94, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) )
167	100	ineq2d 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( E i^i ( F ` n ) ) = ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
168	167	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( vol* ` ( E i^i ( F ` n ) ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
169		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) e. _V
170	168, 76, 169	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
171	117, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( H ` ( k + 1 ) ) = ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
172	171	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( H ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
173	166, 172	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
174	164, 173	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) <-> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) = ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E i^i ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) ) ) )
175	107, 174	syl5ibr 229	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) )
176	106, 175	anim12d 572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) )
177	176	expcom 442	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
178	177	a2d 28	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) -> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... ( k + 1 ) ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
179	43, 52, 61, 52, 85, 178	nnind 10649	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) ) )
180	179	impcom 437	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) ) )
181	180	simprd 470	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) = ( seq 1 ( + , H ) ` k ) )
182	181	eqcomd 2477	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( + , H ) ` k ) = ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) )
183	182	oveq1d 6323	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) )
184	180	simpld 466	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol )
185		mblsplit 22564	. . 3 |- ( ( U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) e. dom vol /\ E C_ RR /\ ( vol* ` E ) e. RR ) -> ( vol* ` E ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
186	184, 2, 4, 185	syl3anc 1292	. 2 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol* ` E ) = ( ( vol* ` ( E i^i U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) + ( vol* ` ( E \ U_ n e. ( 1 ... k ) ( F ` n ) ) ) ) )
187	34, 183, 186	3brtr4d 4426	1 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( + , H ) ` k ) + ( vol* ` ( E \ U. ran F ) ) ) <_ ( vol* ` E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   \ cdif 3387   u. cun 3388   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   seqcseq 12251   vol*covol 22491   volcvol 22493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-ovol 22494  df-vol 22496

This theorem is referenced by:  voliunlem2  22583  voliunlem3  22584