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Theorem voliunlem1 21723
Description: Lemma for voliun 21727. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
voliunlem.3  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
voliunlem.5  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
voliunlem1.6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  n ) ) ) )
voliunlem1.7  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
voliunlem1.8  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
voliunlem1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  E ) )
Distinct variable groups:    k, n, E    i, k, n, F   
k, H    ph, k, n
Allowed substitution hints:    ph( i)    E( i)    H( i, n)

Proof of Theorem voliunlem1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 voliunlem1.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  C_  RR )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E  C_  RR )
3 voliunlem1.8 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
43adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  E )  e.  RR )
5 difss 3631 . . . . 5  |-  ( E 
\  U. ran  F ) 
C_  E
6 ovolsscl 21660 . . . . 5  |-  ( ( ( E  \  U. ran  F )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F ) )  e.  RR )
75, 6mp3an1 1311 . . . 4  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  \  U. ran  F ) )  e.  RR )
82, 4, 7syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  \ 
U. ran  F )
)  e.  RR )
9 difss 3631 . . . . 5  |-  ( E 
\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )  C_  E
10 ovolsscl 21660 . . . . 5  |-  ( ( ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
119, 10mp3an1 1311 . . . 4  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
122, 4, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  \ 
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  e.  RR )
13 inss1 3718 . . . . 5  |-  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )  C_  E
14 ovolsscl 21660 . . . . 5  |-  ( ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
1513, 14mp3an1 1311 . . . 4  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
162, 4, 15syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  e.  RR )
17 elfznn 11714 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
18 voliunlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> dom  vol )
19 ffn 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : NN --> dom  vol  ->  F  Fn  NN )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
21 fnfvelrn 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ran  F
)
2220, 21sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. 
ran  F )
23 elssuni 4275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  n )  e.  ran  F  -> 
( F `  n
)  C_  U. ran  F
)
2422, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  C_  U.
ran  F )
2517, 24sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  n )  C_ 
U. ran  F )
2625ralrimiva 2878 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  C_  U. ran  F
)
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  C_  U. ran  F )
28 iunss 4366 . . . . . 6  |-  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) 
C_  U. ran  F  <->  A. n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  C_  U. ran  F )
2927, 28sylibr 212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  C_  U. ran  F )
3029sscond 3641 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E 
\  U. ran  F ) 
C_  ( E  \  U_ n  e.  (
1 ... k ) ( F `  n ) ) )
319, 2syl5ss 3515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E 
\  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )  C_  RR )
32 ovolss 21659 . . . 4  |-  ( ( ( E  \  U. ran  F )  C_  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  /\  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( E  \ 
U. ran  F )
)  <_  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  (
1 ... k ) ( F `  n ) ) ) )
3330, 31, 32syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  \ 
U. ran  F )
)  <_  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  (
1 ... k ) ( F `  n ) ) ) )
348, 12, 16, 33leadd2dd 10167 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F ) ) )  <_ 
( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) ) ) )
35 oveq2 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  (
1 ... z )  =  ( 1 ... 1
) )
3635iuneq1d 4350 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n ) )
3736eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  <->  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  e.  dom  vol ) )
3836ineq2d 3700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  1  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n ) ) )
3938fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n ) ) ) )
40 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  1  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  1
) )
4139, 40eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  (
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )  <->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 1 ) ) )
4237, 41anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) ` 
1 ) ) ) )
4342imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  (
( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 z ) ) )  <->  ( ph  ->  (
U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  1 )
) ) ) )
44 oveq2 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  k  ->  (
1 ... z )  =  ( 1 ... k
) )
4544iuneq1d 4350 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  k  ->  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) )
4645eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  k  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  <->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  e.  dom  vol ) )
4745ineq2d 3700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  k  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
4847fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  k  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) ) )
49 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  k  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
) )
5048, 49eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  k  ->  (
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )  <->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) ) )
5146, 50anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  k  ->  (
( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k ) ) ) )
5251imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( z  =  k  ->  (
( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 z ) ) )  <->  ( ph  ->  (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )
) ) ) )
53 oveq2 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... z )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
5453iuneq1d 4350 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )
5554eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  ( U_ n  e.  (
1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  <->  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol ) )
5654ineq2d 3700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )
5756fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) ) )
58 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  z
)  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  (
k  +  1 ) ) )
5957, 58eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )  <->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 ( k  +  1 ) ) ) )
6055, 59anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (
( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  z )
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6160imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( z  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... z ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 z ) ) )  <->  ( ph  ->  (
U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
62 1z 10894 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
63 fzsn 11725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
64 iuneq1 4339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
)  =  U_ n  e.  { 1 }  ( F `  n )
)
6562, 63, 64mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  =  U_ n  e.  { 1 }  ( F `  n )
66 1ex 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  _V
67 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
6866, 67iunxsn 4405 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  { 1 }  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 )
6965, 68eqtri 2496 . . . . . . . . 9  |-  U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  =  ( F `  1 )
70 1nn 10547 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
71 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  1  e.  NN )  ->  ( F ` 
1 )  e.  dom  vol )
7218, 70, 71sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  dom  vol )
7369, 72syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
)  e.  dom  vol )
7467ineq2d 3700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  ( E  i^i  ( F `  n ) )  =  ( E  i^i  ( F `  1 )
) )
7574fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1 )
) ) )
76 voliunlem1.6 . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  n ) ) ) )
77 fvex 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1
) ) )  e. 
_V
7875, 76, 77fvmpt 5950 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( H `  1 )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1 )
) ) )
7970, 78ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( H `
 1 )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1 )
) )
80 seq1 12088 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  1
)  =  ( H `
 1 ) )
8162, 80ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  1
)  =  ( H `
 1 )
8269ineq2i 3697 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  ( F `
 1 ) )
8382fveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  1 )
) )
8479, 81, 833eqtr4ri 2507 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 1 )
8573, 84jctir 538 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... 1
) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... 1 ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) ` 
1 ) ) )
86 peano2nn 10548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
87 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> dom  vol  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  vol )
8818, 86, 87syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  vol )
89 unmbl 21711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  vol )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  dom  vol )
9089ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  vol  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  dom  vol ) )
9188, 90syl5com 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  u.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  e.  dom  vol )
)
92 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
93 nnuz 11117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9492, 93syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
95 fzsuc 11727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) )
96 iuneq1 4339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( k  +  1 ) )  =  ( ( 1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  =  U_ n  e.  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ( F `  n ) )
9794, 95, 963syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  U_ n  e.  ( (
1 ... k )  u. 
{ ( k  +  1 ) } ) ( F `  n
) )
98 iunxun 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ n  e.  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ( F `  n )  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  U_ n  e.  { (
k  +  1 ) }  ( F `  n ) )
99 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
100 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10199, 100iunxsn 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ n  e.  { ( k  +  1 ) }  ( F `  n )  =  ( F `  ( k  +  1 ) )
102101uneq2i 3655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  U_ n  e. 
{ ( k  +  1 ) }  ( F `  n )
)  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10398, 102eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ n  e.  ( ( 1 ... k )  u.  {
( k  +  1 ) } ) ( F `  n )  =  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
10497, 103syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  =  (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  u.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
105104eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
dom  vol ) )
10691, 105sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol )
)
107 oveq1 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k )  -> 
( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
108 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  C_  E
109108, 2syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  C_  RR )
110 ovolsscl 21660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
111108, 110mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  e.  RR )
1122, 4, 111syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  e.  RR )
113 mblsplit 21706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  vol  /\  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  ( ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
11488, 109, 112, 113syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  ( ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
115 in32 3710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) )
116 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  C_  ( F `  ( k  +  1 ) )
11786adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
118117, 93syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
119 eluzfz2 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
120100ssiun2s 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) ) 
C_  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )
121118, 119, 1203syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  C_  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )
122116, 121syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  C_  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )
123 df-ss 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) 
C_  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  <->  ( ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  i^i  U_ n  e.  (
1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  =  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
124122, 123sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( E  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  =  ( E  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
125115, 124syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( E  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )
126125fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
127 indif2 3741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E  i^i  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  \  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )
128 uncom 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  u.  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  u.  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) )
129104, 128syl6req 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  u.  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )
130 voliunlem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i )
)
131130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  -> Disj  i  e.  NN  ( F `  i ) )
132117adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
13317adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
134133nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  RR )
135 elfzle2 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  <_  k )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  <_  k )
13792adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  k  e.  NN )
138 nnleltp1 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( n  <_  k  <->  n  <  ( k  +  1 ) ) )
139133, 137, 138syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
n  <_  k  <->  n  <  ( k  +  1 ) ) )
140136, 139mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  <  ( k  +  1 ) )
141134, 140gtned 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
k  +  1 )  =/=  n )
142 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
143 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  n  ->  ( F `  i )  =  ( F `  n ) )
144142, 143disji2 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (Disj  i  e.  NN  ( F `  i )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  NN )  /\  ( k  +  1 )  =/=  n
)  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  i^i  ( F `  n ) )  =  (/) )
145131, 132, 133, 141, 144syl121anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  i^i  ( F `
 n ) )  =  (/) )
146145iuneq2dv 4347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  i^i  ( F `  n
) )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k ) (/) )
147 iunin2 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  i^i  ( F `  n
) )  =  ( ( F `  (
k  +  1 ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )
148 iun0 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  U_ n  e.  ( 1 ... k
) (/)  =  (/)
149146, 147, 1483eqtr3g 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )  =  (/) )
150 uneqdifeq 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  C_  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  /\  (
( F `  (
k  +  1 ) )  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  =  (/) )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  u.  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
151121, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  u.  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
)  <->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
152129, 151mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) 
\  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) )
153152ineq2d 3700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E  i^i  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
154127, 153syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  \ 
( F `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )
155154fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) ) )
156126, 155oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  (
( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) )  i^i  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) )  \  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) ) ) )
157 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  C_  E
158 ovolsscl 21660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  C_  E  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
159157, 158mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
1602, 4, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
161160recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
16216recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  e.  CC )
163161, 162addcomd 9781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) ) )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
164114, 156, 1633eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
165 seqp1 12090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( H `  ( k  +  1 ) ) ) )
16694, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( H `  ( k  +  1 ) ) ) )
167100ineq2d 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( E  i^i  ( F `  n ) )  =  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
168167fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  n ) ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
169 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  e. 
_V
170168, 76, 169fvmpt 5950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( H `  ( k  +  1 ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
171117, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `
 ( k  +  1 ) )  =  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
172171oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( H `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
173166, 172eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
174164, 173eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )  +  ( vol* `  ( E  i^i  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) ) )
175107, 174syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k )  -> 
( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
176106, 175anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  H
) `  k )
)  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
177176expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
178177a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) ) )  ->  ( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
17943, 52, 61, 52, 85, 178nnind 10554 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  e.  dom  vol 
/\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k ) ) ) )
180179impcom 430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n )  e.  dom  vol  /\  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) ) )
181180simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  H ) `
 k ) )
182181eqcomd 2475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k
)  =  ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) ) )
183182oveq1d 6299 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F
) ) )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F
) ) ) )
184180simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n )  e.  dom  vol )
185 mblsplit 21706 . . 3  |-  ( (
U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
)  e.  dom  vol  /\  E  C_  RR  /\  ( vol* `  E )  e.  RR )  -> 
( vol* `  E )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n ) ) ) ) )
186184, 2, 4, 185syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol* `  E )  =  ( ( vol* `  ( E  i^i  U_ n  e.  ( 1 ... k ) ( F `  n
) ) )  +  ( vol* `  ( E  \  U_ n  e.  ( 1 ... k
) ( F `  n ) ) ) ) )
18734, 183, 1863brtr4d 4477 1  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq 1 (  +  ,  H ) `  k )  +  ( vol* `  ( E  \  U. ran  F
) ) )  <_ 
( vol* `  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   U.cuni 4245   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629   NNcn 10536   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672    seqcseq 12075   vol*covol 21637   volcvol 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-ovol 21639  df-vol 21640
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