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Theorem voliune 29060
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This formulation on the extended reals, allows for +oo for the measure of any set in the sum. Cf. ovoliun 22456 and voliun 22505 (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
voliune  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )

Proof of Theorem voliune
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2952 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR ) )
2 eqid 2422 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
3 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
42, 3voliun 22505 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
51, 4sylanbr 475 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
65an32s 811 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
7 nfra1 2803 . . . . . . 7  |-  F/ n A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol
8 nfra1 2803 . . . . . . 7  |-  F/ n A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR
97, 8nfan 1988 . . . . . 6  |-  F/ n
( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )
10 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
11 rspa 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  dom  vol )
12 volf 22481 . . . . . . . . . . . 12  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
1312ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
153fvmpt2 5973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  ( vol `  A
) )
1610, 14, 15syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  =  ( vol `  A ) )
1716adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  =  ( vol `  A ) )
1817ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  ( vol `  A
) ) )
199, 18ralrimi 2822 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  ( vol `  A ) )
209, 19esumeq2d 28866 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
21 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )
2221r19.21bi 2791 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
2314adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
24 0xr 9694 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
25 pnfxr 11419 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
26 elicc1 11687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( vol `  A )  /\  ( vol `  A
)  <_ +oo )
) )
2724, 25, 26mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol `  A )  /\  ( vol `  A )  <_ +oo ) )
2827simp2bi 1021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( vol `  A
) )
2923, 28syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( vol `  A ) )
30 ltpnf 11429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol `  A )  e.  RR  ->  ( vol `  A )  < +oo )
3122, 30syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  < +oo )
32 0re 9650 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
33 elico2 11705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( vol `  A
)  /\  ( vol `  A )  < +oo ) ) )
3432, 25, 33mp2an 676 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  A )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( vol `  A )  /\  ( vol `  A )  < +oo ) )
3522, 29, 31, 34syl3anbrc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
369, 35, 3fmptdf 6063 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
37 nfmpt1 4513 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
3837esumfsupre 28900 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  -> Σ* n  e.  NN ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3936, 38syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
4020, 39eqtr3d 2465 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( vol `  A )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
4140adantlr 719 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( vol `  A )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
426, 41eqtr4d 2466 . 2  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
43 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo )
44 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( vol `  A
)  = +oo
45 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n vol
46 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ A
4745, 46nffv 5888 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )
4847nfeq1 2595 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo
49 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  A  =  [_ k  /  n ]_ A )
5049fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  A )  =  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A ) )
5150eqeq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( vol `  A
)  = +oo  <->  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ A )  = +oo ) )
5244, 48, 51cbvrex 3051 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo  <->  E. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo )
5343, 52sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo )
5446nfel1 2596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol
5549eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
5654, 55rspc 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
5756impcom 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
58 iunmbl 22504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
60 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n NN
61 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
k
6260, 61, 46, 49ssiun2sf 28176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  [_ k  /  n ]_ A  C_  U_ n  e.  NN  A
)
6362adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  C_  U_ n  e.  NN  A )
64 volss 22485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
/\  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  [_ k  /  n ]_ A  C_  U_ n  e.  NN  A )  -> 
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
6557, 59, 63, 64syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
6665adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
6766adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
6867ralrimiva 2836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
69 r19.29r 2961 . . . . . . 7  |-  ( ( E. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
7053, 68, 69syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
71 breq1 4426 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  ->  (
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <-> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
7271biimpa 486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )  -> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7372reximi 2890 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  NN  (
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )  ->  E. k  e.  NN +oo 
<_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7470, 73syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. k  e.  NN +oo 
<_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
75 1nn 10627 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
76 ne0i 3767 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
77 r19.9rzv 3893 . . . . . 6  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  E. k  e.  NN +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . 5  |-  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  E. k  e.  NN +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7974, 78sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  -> +oo  <_  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A ) )
80 iccssxr 11724 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8112ffvelrni 6036 . . . . . . . 8  |-  ( U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8280, 81sseldi 3462 . . . . . . 7  |-  ( U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
8358, 82syl 17 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
8483ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e. 
RR* )
85 xgepnf 28333 . . . . 5  |-  ( ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e. 
RR*  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  = +oo ) )
8684, 85syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  = +oo ) )
8779, 86mpbid 213 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = +oo )
88 nfdisj1 4407 . . . . . 6  |-  F/ nDisj  n  e.  NN  A
897, 88nfan 1988 . . . . 5  |-  F/ n
( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)
90 nfre1 2883 . . . . 5  |-  F/ n E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo
9189, 90nfan 1988 . . . 4  |-  F/ n
( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )
92 nnex 10622 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
9392a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  NN  e.  _V )
94143ad2antr3 1172 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  (Disj  n  e.  NN  A  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
95943anassrs 1228 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9691, 93, 95, 43esumpinfval 28902 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  -> Σ* n  e.  NN ( vol `  A )  = +oo )
9787, 96eqtr4d 2466 . 2  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
98 exmid 416 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )
99 rexnal 2870 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR  <->  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )
10099orbi2i 521 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR ) )
10198, 100mpbir 212 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )
102 r19.29 2960 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  -.  ( vol `  A )  e.  RR ) )
103 xrge0nre 28460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  = +oo )
10413, 103sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
-.  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  = +oo )
105104reximi 2890 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  -.  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo )
106102, 105syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo )
107106ex 435 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )
)
108107orim2d 848 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  -> 
( A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo ) ) )
109101, 108mpi 20 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )
)
110109adantr 466 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo ) )
11142, 97, 110mpjaodan 793 1  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   [_csb 3395    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U_ciun 4299  Disj wdisj 4394   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853   ran crn 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7963   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549   +oocpnf 9679   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   NNcn 10616   [,)cico 11644   [,]cicc 11645    seqcseq 12219   volcvol 22413  Σ*cesum 28856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cc 8872  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-ixp 7534  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-fsupp 7893  df-fi 7934  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xneg 11416  df-xadd 11417  df-xmul 11418  df-ioo 11646  df-ioc 11647  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13525  df-clim 13551  df-rlim 13552  df-sum 13752  df-ef 14120  df-sin 14122  df-cos 14123  df-pi 14125  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-hom 15213  df-cco 15214  df-rest 15320  df-topn 15321  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-topgen 15341  df-pt 15342  df-prds 15345  df-ordt 15398  df-xrs 15399  df-qtop 15405  df-imas 15406  df-xps 15409  df-mre 15491  df-mrc 15492  df-acs 15494  df-ps 16445  df-tsr 16446  df-plusf 16486  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-submnd 16582  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-cntz 16970  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-subrg 18005  df-abv 18044  df-lmod 18092  df-scaf 18093  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-psmet 18961  df-xmet 18962  df-met 18963  df-bl 18964  df-mopn 18965  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-cnfld 18970  df-top 19919  df-bases 19920  df-topon 19921  df-topsp 19922  df-cld 20032  df-ntr 20033  df-cls 20034  df-nei 20112  df-lp 20150  df-perf 20151  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-haus 20329  df-tx 20575  df-hmeo 20768  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953  df-tmd 21085  df-tgp 21086  df-tsms 21139  df-trg 21172  df-xms 21333  df-ms 21334  df-tms 21335  df-nm 21595  df-ngp 21596  df-nrg 21598  df-nlm 21599  df-ii 21907  df-cncf 21908  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-limc 22819  df-dv 22820  df-log 23504  df-esum 28857
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