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Theorem voliune 28017
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This formulation on the extended reals, allows for +oo for the measure of any set in the sum. Cf. ovoliun 21784 and voliun 21832 (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
voliune  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )

Proof of Theorem voliune
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2994 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR ) )
2 eqid 2467 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
42, 3voliun 21832 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
51, 4sylanbr 473 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
65an32s 802 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
7 nfra1 2848 . . . . . . 7  |-  F/ n A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol
8 nfra1 2848 . . . . . . 7  |-  F/ n A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR
97, 8nfan 1875 . . . . . 6  |-  F/ n
( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )
10 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
11 nfcsb1v 3456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ A
1211nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol
13 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k  A  e.  dom  vol
14 csbeq1a 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  A  =  [_ k  /  n ]_ A )
1514equcoms 1744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  A  =  [_ k  /  n ]_ A )
1615eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  [_ k  /  n ]_ A  =  A )
1716eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  n  ->  ( [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol  <->  A  e.  dom  vol )
)
1812, 13, 17cbvral 3089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e. 
dom  vol  <->  A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
1913, 17rspc 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. k  e.  NN  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
)
2018, 19syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  A  e.  dom  vol )
)
2120impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  dom  vol )
22 volf 21808 . . . . . . . . . . . 12  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
2322ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2421, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
253fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  ( vol `  A
) )
2610, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  =  ( vol `  A ) )
2726adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  =  ( vol `  A ) )
2827ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  ( vol `  A
) ) )
299, 28ralrimi 2867 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  ( vol `  A ) )
309, 29esumeq2d 27866 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
31 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ n NN
32 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( 0 [,) +oo )
33 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )
3433r19.21bi 2836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
3524adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
36 0xr 9652 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
37 pnfxr 11333 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
38 elicc1 11585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( vol `  A )  /\  ( vol `  A
)  <_ +oo )
) )
3936, 37, 38mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol `  A )  /\  ( vol `  A )  <_ +oo ) )
4039simp2bi 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( vol `  A
) )
4135, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( vol `  A ) )
42 ltpnf 11343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol `  A )  e.  RR  ->  ( vol `  A )  < +oo )
4334, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  < +oo )
44 0re 9608 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
45 elico2 11600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( vol `  A
)  /\  ( vol `  A )  < +oo ) ) )
4644, 37, 45mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  A )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( vol `  A )  /\  ( vol `  A )  < +oo ) )
4734, 41, 43, 46syl3anbrc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
489, 31, 32, 47, 3fmptdF 27309 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
49 nfmpt1 4542 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
5049esumfsupre 27893 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  -> Σ* n  e.  NN ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
5148, 50syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
5230, 51eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( vol `  A )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
5352adantlr 714 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( vol `  A )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
546, 53eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
55 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo )
56 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( vol `  A
)  = +oo
57 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n vol
5857, 11nffv 5879 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )
5958nfeq1 2644 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo
6014fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  A )  =  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A ) )
6160eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( vol `  A
)  = +oo  <->  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ A )  = +oo ) )
6256, 59, 61cbvrex 3090 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo  <->  E. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo )
6355, 62sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo )
6414eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
6512, 64rspc 3213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
6665impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
67 iunmbl 21831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
69 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
k
7031, 69, 11, 14ssiun2sf 27241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  [_ k  /  n ]_ A  C_  U_ n  e.  NN  A
)
7170adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  C_  U_ n  e.  NN  A )
72 volss 21812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
/\  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  [_ k  /  n ]_ A  C_  U_ n  e.  NN  A )  -> 
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7366, 68, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7473adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7574adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7675ralrimiva 2881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
77 r19.29r 3003 . . . . . . 7  |-  ( ( E. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
7863, 76, 77syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
79 breq1 4456 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  ->  (
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <-> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
8079biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )  -> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
8180reximi 2935 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  NN  (
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )  ->  E. k  e.  NN +oo 
<_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
8278, 81syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. k  e.  NN +oo 
<_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
83 1nn 10559 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
84 ne0i 3796 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
85 r19.9rzv 3928 . . . . . 6  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  E. k  e.  NN +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
8683, 84, 85mp2b 10 . . . . 5  |-  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  E. k  e.  NN +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
8782, 86sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  -> +oo  <_  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A ) )
88 iccssxr 11619 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8922ffvelrni 6031 . . . . . . . 8  |-  ( U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
9088, 89sseldi 3507 . . . . . . 7  |-  ( U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
9167, 90syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
9291ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e. 
RR* )
93 xgepnf 27384 . . . . 5  |-  ( ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e. 
RR*  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  = +oo ) )
9492, 93syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  = +oo ) )
9587, 94mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = +oo )
96 nfdisj1 4436 . . . . . 6  |-  F/ nDisj  n  e.  NN  A
977, 96nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ n
( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)
98 nfre1 2928 . . . . 5  |-  F/ n E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo
9997, 98nfan 1875 . . . 4  |-  F/ n
( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )
100 nnex 10554 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
101100a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  NN  e.  _V )
102243ad2antr3 1163 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  (Disj  n  e.  NN  A  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1031023anassrs 1218 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10499, 101, 103, 55esumpinfval 27895 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  -> Σ* n  e.  NN ( vol `  A )  = +oo )
10595, 104eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
106 exmid 415 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )
107 rexnal 2915 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR  <->  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )
108107orbi2i 519 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR ) )
109106, 108mpbir 209 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )
110 r19.29 3002 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  -.  ( vol `  A )  e.  RR ) )
111 xrge0nre 27495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  = +oo )
11223, 111sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
-.  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  = +oo )
113112reximi 2935 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  -.  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo )
114110, 113syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo )
115114ex 434 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )
)
116115orim2d 838 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  -> 
( A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo ) ) )
117109, 116mpi 17 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )
)
118117adantr 465 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo ) )
11954, 105, 118mpjaodan 784 1  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   [_csb 3440    C_ wss 3481   (/)c0 3790   U_ciun 4331  Disj wdisj 4423   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   NNcn 10548   [,)cico 11543   [,]cicc 11544    seqcseq 12087   volcvol 21743  Σ*cesum 27856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-shft 12880  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-ef 13682  df-sin 13684  df-cos 13685  df-pi 13687  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-ordt 14773  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-ps 15704  df-tsr 15705  df-plusf 15745  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-abv 17337  df-lmod 17385  df-scaf 17386  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-tmd 20439  df-tgp 20440  df-tsms 20493  df-trg 20530  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-nm 20971  df-ngp 20972  df-nrg 20974  df-nlm 20975  df-ii 21249  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-limc 22138  df-dv 22139  df-log 22810  df-esum 27857
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