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Theorem voliune 28357
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This formulation on the extended reals, allows for +oo for the measure of any set in the sum. Cf. ovoliun 22001 and voliun 22049 (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
voliune  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )

Proof of Theorem voliune
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.26 2909 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR ) )
2 eqid 2382 . . . . . 6  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
3 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
42, 3voliun 22049 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
51, 4sylanbr 471 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
65an32s 802 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
7 nfra1 2763 . . . . . . 7  |-  F/ n A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol
8 nfra1 2763 . . . . . . 7  |-  F/ n A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR
97, 8nfan 1936 . . . . . 6  |-  F/ n
( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )
10 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
11 rspa 2749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  A  e.  dom  vol )
12 volf 22025 . . . . . . . . . . . 12  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
1312ffvelrni 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
153fvmpt2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  ( vol `  A
) )
1610, 14, 15syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  =  ( vol `  A ) )
1716adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  =  ( vol `  A ) )
1817ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  ( vol `  A
) ) )
199, 18ralrimi 2782 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  ( vol `  A ) )
209, 19esumeq2d 28185 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
21 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )
2221r19.21bi 2751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
2314adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
24 0xr 9551 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
25 pnfxr 11242 . . . . . . . . . . 11  |- +oo  e.  RR*
26 elicc1 11494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( vol `  A )  /\  ( vol `  A
)  <_ +oo )
) )
2724, 25, 26mp2an 670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol `  A )  /\  ( vol `  A )  <_ +oo ) )
2827simp2bi 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( vol `  A
) )
2923, 28syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  ( vol `  A ) )
30 ltpnf 11252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol `  A )  e.  RR  ->  ( vol `  A )  < +oo )
3122, 30syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  < +oo )
32 0re 9507 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
33 elico2 11509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( vol `  A
)  /\  ( vol `  A )  < +oo ) ) )
3432, 25, 33mp2an 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  A )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  0  <_  ( vol `  A )  /\  ( vol `  A )  < +oo ) )
3522, 29, 31, 34syl3anbrc 1178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
369, 35, 3fmptdf 5958 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo ) )
37 nfmpt1 4456 . . . . . . 7  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
3837esumfsupre 28219 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) : NN --> ( 0 [,) +oo )  -> Σ* n  e.  NN ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) `  n )  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3936, 38syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) `  n
)  =  sup ( ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
4020, 39eqtr3d 2425 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( vol `  A )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
4140adantlr 712 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )  -> Σ* n  e.  NN ( vol `  A )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
426, 41eqtr4d 2426 . 2  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
43 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo )
44 nfv 1715 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( vol `  A
)  = +oo
45 nfcv 2544 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n vol
46 nfcsb1v 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ A
4745, 46nffv 5781 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )
4847nfeq1 2559 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo
49 csbeq1a 3357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  A  =  [_ k  /  n ]_ A )
5049fveq2d 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  A )  =  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A ) )
5150eqeq1d 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( vol `  A
)  = +oo  <->  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ A )  = +oo ) )
5244, 48, 51cbvrex 3006 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo  <->  E. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo )
5343, 52sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo )
5446nfel1 2560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol
5549eleq1d 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( A  e.  dom  vol  <->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol ) )
5654, 55rspc 3129 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
)
5756impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol )
58 iunmbl 22048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
5958adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
60 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n NN
61 nfcv 2544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
k
6260, 61, 46, 49ssiun2sf 27555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  [_ k  /  n ]_ A  C_  U_ n  e.  NN  A
)
6362adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  [_ k  /  n ]_ A  C_  U_ n  e.  NN  A )
64 volss 22029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[_ k  /  n ]_ A  e.  dom  vol 
/\  U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  [_ k  /  n ]_ A  C_  U_ n  e.  NN  A )  -> 
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
6557, 59, 63, 64syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
6665adantlr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
6766adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
6867ralrimiva 2796 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
69 r19.29r 2918 . . . . . . 7  |-  ( ( E. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  A. k  e.  NN  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
7053, 68, 69syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. k  e.  NN  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
71 breq1 4370 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  ->  (
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <-> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
7271biimpa 482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )  -> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7372reximi 2850 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  NN  (
( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ A )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )  ->  E. k  e.  NN +oo 
<_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7470, 73syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  E. k  e.  NN +oo 
<_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
75 1nn 10463 . . . . . 6  |-  1  e.  NN
76 ne0i 3717 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
77 r19.9rzv 3839 . . . . . 6  |-  ( NN  =/=  (/)  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  E. k  e.  NN +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) ) )
7875, 76, 77mp2b 10 . . . . 5  |-  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  E. k  e.  NN +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A ) )
7974, 78sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  -> +oo  <_  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A ) )
80 iccssxr 11528 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
8112ffvelrni 5932 . . . . . . . 8  |-  ( U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8280, 81sseldi 3415 . . . . . . 7  |-  ( U_ n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
8358, 82syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
8483ad2antrr 723 . . . . 5  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e. 
RR* )
85 xgepnf 27720 . . . . 5  |-  ( ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  e. 
RR*  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  = +oo ) )
8684, 85syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  <->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  = +oo ) )
8779, 86mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = +oo )
88 nfdisj1 4351 . . . . . 6  |-  F/ nDisj  n  e.  NN  A
897, 88nfan 1936 . . . . 5  |-  F/ n
( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)
90 nfre1 2843 . . . . 5  |-  F/ n E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo
9189, 90nfan 1936 . . . 4  |-  F/ n
( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )
92 nnex 10458 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
9392a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  NN  e.  _V )
94143ad2antr3 1161 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  (Disj  n  e.  NN  A  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
95943anassrs 1216 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9691, 93, 95, 43esumpinfval 28221 . . 3  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  -> Σ* n  e.  NN ( vol `  A )  = +oo )
9787, 96eqtr4d 2426 . 2  |-  ( ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol 
/\ Disj  n  e.  NN  A
)  /\  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
98 exmid 413 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR )
99 rexnal 2830 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR  <->  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR )
10099orbi2i 517 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR ) )
10198, 100mpbir 209 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )
102 r19.29 2917 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  -.  ( vol `  A )  e.  RR ) )
103 xrge0nre 27833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  = +oo )
10413, 103sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\ 
-.  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  = +oo )
105104reximi 2850 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  -.  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo )
106102, 105syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo )
107106ex 432 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )
)
108107orim2d 838 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  -.  ( vol `  A )  e.  RR )  -> 
( A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo ) ) )
109101, 108mpi 17 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A )  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  ( vol `  A
)  = +oo )
)
110109adantr 463 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( A. n  e.  NN  ( vol `  A
)  e.  RR  \/  E. n  e.  NN  ( vol `  A )  = +oo ) )
11142, 97, 110mpjaodan 784 1  |-  ( ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  NN  A )  ->  ( vol `  U_ n  e.  NN  A )  = Σ* n  e.  NN ( vol `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   [_csb 3348    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U_ciun 4243  Disj wdisj 4338   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   ran crn 4914   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   supcsup 7815   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406   +oocpnf 9536   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540   NNcn 10452   [,)cico 11452   [,]cicc 11453    seqcseq 12010   volcvol 21960  Σ*cesum 28175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-ordt 14908  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-ps 15947  df-tsr 15948  df-plusf 15988  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-cring 17314  df-subrg 17540  df-abv 17579  df-lmod 17627  df-scaf 17628  df-sra 17931  df-rgmod 17932  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-tmd 20656  df-tgp 20657  df-tsms 20710  df-trg 20747  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-nm 21188  df-ngp 21189  df-nrg 21191  df-nlm 21192  df-ii 21466  df-cncf 21467  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-limc 22355  df-dv 22356  df-log 23029  df-esum 28176
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