Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  voliun Structured version   Unicode version

Theorem voliun 22449
 Description: The Lebesgue measure function is countably additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
voliun.1
voliun.2
Assertion
Ref Expression
voliun Disj

Proof of Theorem voliun
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . . . 6
21ralimi 2758 . . . . 5
32adantr 466 . . . 4 Disj
4 eqid 2428 . . . . 5
54fmpt 6002 . . . 4
63, 5sylib 199 . . 3 Disj
74fvmpt2 5917 . . . . . . . 8
87adantrr 721 . . . . . . 7
98ralimiaa 2757 . . . . . 6
10 disjeq2 4341 . . . . . 6 Disj Disj
119, 10syl 17 . . . . 5 Disj Disj
1211biimpar 487 . . . 4 Disj Disj
13 nfcv 2569 . . . . 5
14 nffvmpt1 5833 . . . . 5
15 fveq2 5825 . . . . 5
1613, 14, 15cbvdisj 4347 . . . 4 Disj Disj
1712, 16sylib 199 . . 3 Disj Disj
18 eqid 2428 . . 3
19 eqid 2428 . . 3
20 nfcv 2569 . . . 4
21 nfcv 2569 . . . . 5
22 nffvmpt1 5833 . . . . 5
2321, 22nffv 5832 . . . 4
24 fveq2 5825 . . . . 5
2524fveq2d 5829 . . . 4
2620, 23, 25cbvmpt 4458 . . 3
277fveq2d 5829 . . . . . . . . 9
2827eleq1d 2490 . . . . . . . 8
2928biimprd 226 . . . . . . 7
3029impr 623 . . . . . 6
3130ralimiaa 2757 . . . . 5
3231adantr 466 . . . 4 Disj
33 nfv 1755 . . . . 5
3421, 14nffv 5832 . . . . . 6
3534nfel1 2583 . . . . 5
3615fveq2d 5829 . . . . . 6
3736eleq1d 2490 . . . . 5
3833, 35, 37cbvral 2992 . . . 4
3932, 38sylib 199 . . 3 Disj
406, 17, 18, 19, 26, 39voliunlem3 22447 . 2 Disj
41 dfiun2g 4274 . . . . 5
423, 41syl 17 . . . 4 Disj
434rnmpt 5042 . . . . 5
4443unieqi 4171 . . . 4
4542, 44syl6eqr 2480 . . 3 Disj
4645fveq2d 5829 . 2 Disj
47 voliun.1 . . . . 5
48 eqid 2428 . . . . . . . 8
4927adantrr 721 . . . . . . . . . 10
5049ralimiaa 2757 . . . . . . . . 9
5150adantr 466 . . . . . . . 8 Disj
52 mpteq12 4446 . . . . . . . 8
5348, 51, 52sylancr 667 . . . . . . 7 Disj
54 voliun.2 . . . . . . 7
5553, 54syl6reqr 2481 . . . . . 6 Disj
5655seqeq3d 12171 . . . . 5 Disj
5747, 56syl5eq 2474 . . . 4 Disj
5857rneqd 5024 . . 3 Disj
5958supeq1d 7913 . 2 Disj
6040, 46, 593eqtr4d 2472 1 Disj
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cab 2414  wral 2714  wrex 2715   cin 3378  cuni 4162  ciun 4242  Disj wdisj 4337   cmpt 4425   cdm 4796   crn 4797  wf 5540  cfv 5544  csup 7907  cr 9489  c1 9491   caddc 9493  cxr 9625   clt 9626  cn 10560   cseq 12163  covol 22355  cvol 22357 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-xmet 18906  df-met 18907  df-ovol 22358  df-vol 22360 This theorem is referenced by:  volsup  22451  vitalilem4  22511  voliune  29004
 Copyright terms: Public domain W3C validator