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Theorem voliun 21040
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
voliun.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliun.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
Assertion
Ref Expression
voliun  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem voliun
Dummy variables  i  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
21ralimi 2796 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  A )  =  ( n  e.  NN  |->  A )
54fmpt 5869 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  ( n  e.  NN  |->  A ) : NN --> dom  vol )
63, 5sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( n  e.  NN  |->  A ) : NN --> dom  vol )
74fvmpt2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
87adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
98ralimiaa 2795 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
10 disjeq2 4271 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  A  -> 
(Disj  n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  A
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  -> 
(Disj  n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  A
) )
1211biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  -> Disj  n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )
13 nfcv 2584 . . . . 5  |-  F/_ i
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )
14 nffvmpt1 5704 . . . . 5  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i )
15 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( n  =  i  ->  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
1613, 14, 15cbvdisj 4277 . . . 4  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n )  <-> Disj  i  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
1712, 16sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  -> Disj  i  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
18 eqid 2443 . . 3  |-  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) ) ) )
19 eqid 2443 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) )
20 nfcv 2584 . . . 4  |-  F/_ m
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )
21 nfcv 2584 . . . . 5  |-  F/_ n vol
22 nffvmpt1 5704 . . . . 5  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m )
2321, 22nffv 5703 . . . 4  |-  F/_ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) )
24 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) )
2524fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) ) )
2620, 23, 25cbvmpt 4387 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) ) )
277fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  =  ( vol `  A ) )
2827eleq1d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR  <->  ( vol `  A )  e.  RR ) )
2928biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR ) )
3029impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR )
3130ralimiaa 2795 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR )
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR )
33 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ i ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR
3421, 14nffv 5703 . . . . . 6  |-  F/_ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )
3534nfel1 2594 . . . . 5  |-  F/ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR
3615fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( n  =  i  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) ) )
3736eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( n  =  i  ->  (
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )  e.  RR ) )
3833, 35, 37cbvral 2948 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  e.  RR  <->  A. i  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR )
3932, 38sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR )
406, 17, 18, 19, 26, 39voliunlem3 21038 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
41 dfiun2g 4207 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A } )
423, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A } )
434rnmpt 5090 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  A )  =  { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A }
4443unieqi 4105 . . . 4  |-  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A )  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A }
4542, 44syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) )
4645fveq2d 5700 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) ) )
47 voliun.1 . . . . 5  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
48 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  NN  =  NN
4927adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  =  ( vol `  A
) )
5049ralimiaa 2795 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  =  ( vol `  A ) )
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  =  ( vol `  A ) )
52 mpteq12 4376 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  =  NN  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  A
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
5348, 51, 52sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
54 voliun.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
5553, 54syl6reqr 2494 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) )
5655seqeq3d 11819 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  seq 1
(  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5747, 56syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  S  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5857rneqd 5072 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5958supeq1d 7701 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
6040, 46, 593eqtr4d 2485 1  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   E.wrex 2721    i^i cin 3332   U.cuni 4096   U_ciun 4176  Disj wdisj 4267    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ran crn 4846   -->wf 5419   ` cfv 5423   supcsup 7695   RRcr 9286   1c1 9288    + caddc 9290   RR*cxr 9422    < clt 9423   NNcn 10327    seqcseq 11811   vol*covol 20951   volcvol 20952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xadd 11095  df-ioo 11309  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-xmet 17815  df-met 17816  df-ovol 20953  df-vol 20954
This theorem is referenced by:  volsup  21042  vitalilem4  21096  voliune  26650
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