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Theorem voliun 21727
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
voliun.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliun.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
Assertion
Ref Expression
voliun  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem voliun
Dummy variables  i  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
21ralimi 2857 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  A )  =  ( n  e.  NN  |->  A )
54fmpt 6042 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  ( n  e.  NN  |->  A ) : NN --> dom  vol )
63, 5sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( n  e.  NN  |->  A ) : NN --> dom  vol )
74fvmpt2 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
87adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
98ralimiaa 2856 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
10 disjeq2 4421 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  A  -> 
(Disj  n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  A
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  -> 
(Disj  n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  A
) )
1211biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  -> Disj  n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )
13 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ i
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )
14 nffvmpt1 5874 . . . . 5  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i )
15 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  i  ->  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
1613, 14, 15cbvdisj 4427 . . . 4  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n )  <-> Disj  i  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
1712, 16sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  -> Disj  i  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
18 eqid 2467 . . 3  |-  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) ) ) )
19 eqid 2467 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) )
20 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ m
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )
21 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ n vol
22 nffvmpt1 5874 . . . . 5  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m )
2321, 22nffv 5873 . . . 4  |-  F/_ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) )
24 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) )
2524fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) ) )
2620, 23, 25cbvmpt 4537 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) ) )
277fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  =  ( vol `  A ) )
2827eleq1d 2536 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR  <->  ( vol `  A )  e.  RR ) )
2928biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR ) )
3029impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR )
3130ralimiaa 2856 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR )
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR )
33 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ i ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR
3421, 14nffv 5873 . . . . . 6  |-  F/_ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )
3534nfel1 2645 . . . . 5  |-  F/ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR
3615fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( n  =  i  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) ) )
3736eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( n  =  i  ->  (
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )  e.  RR ) )
3833, 35, 37cbvral 3084 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  e.  RR  <->  A. i  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR )
3932, 38sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR )
406, 17, 18, 19, 26, 39voliunlem3 21725 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
41 dfiun2g 4357 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A } )
423, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A } )
434rnmpt 5248 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  A )  =  { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A }
4443unieqi 4254 . . . 4  |-  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A )  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A }
4542, 44syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) )
4645fveq2d 5870 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) ) )
47 voliun.1 . . . . 5  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
48 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  NN  =  NN
4927adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  =  ( vol `  A
) )
5049ralimiaa 2856 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  =  ( vol `  A ) )
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  =  ( vol `  A ) )
52 mpteq12 4526 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  =  NN  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  A
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
5348, 51, 52sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
54 voliun.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
5553, 54syl6reqr 2527 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) )
5655seqeq3d 12083 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  seq 1
(  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5747, 56syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  S  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5857rneqd 5230 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5958supeq1d 7906 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
6040, 46, 593eqtr4d 2518 1  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815    i^i cin 3475   U.cuni 4245   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5584   ` cfv 5588   supcsup 7900   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495   RR*cxr 9627    < clt 9628   NNcn 10536    seqcseq 12075   vol*covol 21637   volcvol 21638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xadd 11319  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-xmet 18211  df-met 18212  df-ovol 21639  df-vol 21640
This theorem is referenced by:  volsup  21729  vitalilem4  21783  voliune  27869
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