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Theorem voliun 22449
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
voliun.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliun.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
Assertion
Ref Expression
voliun  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem voliun
Dummy variables  i  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
21ralimi 2758 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
32adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
4 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  A )  =  ( n  e.  NN  |->  A )
54fmpt 6002 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  ( n  e.  NN  |->  A ) : NN --> dom  vol )
63, 5sylib 199 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( n  e.  NN  |->  A ) : NN --> dom  vol )
74fvmpt2 5917 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
87adantrr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
98ralimiaa 2757 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
10 disjeq2 4341 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  A  -> 
(Disj  n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  A
) )
119, 10syl 17 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  -> 
(Disj  n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  A
) )
1211biimpar 487 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  -> Disj  n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )
13 nfcv 2569 . . . . 5  |-  F/_ i
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )
14 nffvmpt1 5833 . . . . 5  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i )
15 fveq2 5825 . . . . 5  |-  ( n  =  i  ->  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
1613, 14, 15cbvdisj 4347 . . . 4  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n )  <-> Disj  i  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
1712, 16sylib 199 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  -> Disj  i  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
18 eqid 2428 . . 3  |-  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) ) ) )
19 eqid 2428 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) )
20 nfcv 2569 . . . 4  |-  F/_ m
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )
21 nfcv 2569 . . . . 5  |-  F/_ n vol
22 nffvmpt1 5833 . . . . 5  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m )
2321, 22nffv 5832 . . . 4  |-  F/_ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) )
24 fveq2 5825 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) )
2524fveq2d 5829 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) ) )
2620, 23, 25cbvmpt 4458 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) ) )
277fveq2d 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  =  ( vol `  A ) )
2827eleq1d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR  <->  ( vol `  A )  e.  RR ) )
2928biimprd 226 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR ) )
3029impr 623 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR )
3130ralimiaa 2757 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR )
3231adantr 466 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR )
33 nfv 1755 . . . . 5  |-  F/ i ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR
3421, 14nffv 5832 . . . . . 6  |-  F/_ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )
3534nfel1 2583 . . . . 5  |-  F/ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR
3615fveq2d 5829 . . . . . 6  |-  ( n  =  i  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) ) )
3736eleq1d 2490 . . . . 5  |-  ( n  =  i  ->  (
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )  e.  RR ) )
3833, 35, 37cbvral 2992 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  e.  RR  <->  A. i  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR )
3932, 38sylib 199 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR )
406, 17, 18, 19, 26, 39voliunlem3 22447 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
41 dfiun2g 4274 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A } )
423, 41syl 17 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A } )
434rnmpt 5042 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  A )  =  { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A }
4443unieqi 4171 . . . 4  |-  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A )  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A }
4542, 44syl6eqr 2480 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) )
4645fveq2d 5829 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) ) )
47 voliun.1 . . . . 5  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
48 eqid 2428 . . . . . . . 8  |-  NN  =  NN
4927adantrr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  =  ( vol `  A
) )
5049ralimiaa 2757 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  =  ( vol `  A ) )
5150adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  =  ( vol `  A ) )
52 mpteq12 4446 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  =  NN  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  A
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
5348, 51, 52sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
54 voliun.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
5553, 54syl6reqr 2481 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) )
5655seqeq3d 12171 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  seq 1
(  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5747, 56syl5eq 2474 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  S  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5857rneqd 5024 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5958supeq1d 7913 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
6040, 46, 593eqtr4d 2472 1  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   {cab 2414   A.wral 2714   E.wrex 2715    i^i cin 3378   U.cuni 4162   U_ciun 4242  Disj wdisj 4337    |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   ran crn 4797   -->wf 5540   ` cfv 5544   supcsup 7907   RRcr 9489   1c1 9491    + caddc 9493   RR*cxr 9625    < clt 9626   NNcn 10560    seqcseq 12163   vol*covol 22355   volcvol 22357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xadd 11361  df-ioo 11590  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-xmet 18906  df-met 18907  df-ovol 22358  df-vol 22360
This theorem is referenced by:  volsup  22451  vitalilem4  22511  voliune  29004
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