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Theorem voliun 22090
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
voliun.1  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
voliun.2  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
Assertion
Ref Expression
voliun  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )

Proof of Theorem voliun
Dummy variables  i  m  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
21ralimi 2850 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol )
4 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  A )  =  ( n  e.  NN  |->  A )
54fmpt 6053 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  <->  ( n  e.  NN  |->  A ) : NN --> dom  vol )
63, 5sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( n  e.  NN  |->  A ) : NN --> dom  vol )
74fvmpt2 5964 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
87adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
98ralimiaa 2849 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )  =  A )
10 disjeq2 4431 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  A  -> 
(Disj  n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  A
) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  -> 
(Disj  n  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  <-> Disj  n  e.  NN  A
) )
1211biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  -> Disj  n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )
13 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ i
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n )
14 nffvmpt1 5880 . . . . 5  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i )
15 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( n  =  i  ->  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
1613, 14, 15cbvdisj 4437 . . . 4  |-  (Disj  n  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n )  <-> Disj  i  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
1712, 16sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  -> Disj  i  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )
18 eqid 2457 . . 3  |-  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol* `  ( x  i^i  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) ) ) )
19 eqid 2457 . . 3  |-  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) )  =  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) )
20 nfcv 2619 . . . 4  |-  F/_ m
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )
21 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ n vol
22 nffvmpt1 5880 . . . . 5  |-  F/_ n
( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m )
2321, 22nffv 5879 . . . 4  |-  F/_ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) )
24 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  m ) )
2524fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) ) )
2620, 23, 25cbvmpt 4547 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  m
) ) )
277fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  =  ( vol `  A ) )
2827eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR  <->  ( vol `  A )  e.  RR ) )
2928biimprd 223 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR ) )
3029impr 619 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR )
3130ralimiaa 2849 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  e.  RR )
3231adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR )
33 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ i ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR
3421, 14nffv 5879 . . . . . 6  |-  F/_ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )
3534nfel1 2635 . . . . 5  |-  F/ n
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR
3615fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( n  =  i  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) ) )
3736eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( n  =  i  ->  (
( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  e.  RR  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  i ) )  e.  RR ) )
3833, 35, 37cbvral 3080 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  e.  RR  <->  A. i  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR )
3932, 38sylib 196 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. i  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  i
) )  e.  RR )
406, 17, 18, 19, 26, 39voliunlem3 22088 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
41 dfiun2g 4364 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  NN  A  e.  dom  vol  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A } )
423, 41syl 16 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A } )
434rnmpt 5258 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  A )  =  { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A }
4443unieqi 4260 . . . 4  |-  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A )  =  U. { x  |  E. n  e.  NN  x  =  A }
4542, 44syl6eqr 2516 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  U_ n  e.  NN  A  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) )
4645fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  A ) ) )
47 voliun.1 . . . . 5  |-  S  =  seq 1 (  +  ,  G )
48 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  NN  =  NN
4927adantrr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  =  ( vol `  A
) )
5049ralimiaa 2849 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) )  =  ( vol `  A ) )
5150adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) )  =  ( vol `  A ) )
52 mpteq12 4536 . . . . . . . 8  |-  ( ( NN  =  NN  /\  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `
 n ) )  =  ( vol `  A
) )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
5348, 51, 52sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) ) )
54 voliun.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  A ) )
5553, 54syl6reqr 2517 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) )
5655seqeq3d 12118 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  seq 1
(  +  ,  G
)  =  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5747, 56syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  S  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5857rneqd 5240 . . 3  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ran  S  =  ran  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  A ) `  n ) ) ) ) )
5958supeq1d 7923 . 2  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran 
seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  A ) `  n
) ) ) ) ,  RR* ,  <  )
)
6040, 46, 593eqtr4d 2508 1  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  NN  A
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  NN  A )  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808    i^i cin 3470   U.cuni 4251   U_ciun 4332  Disj wdisj 4427    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594   supcsup 7918   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512   RR*cxr 9644    < clt 9645   NNcn 10556    seqcseq 12110   vol*covol 22000   volcvol 22001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xadd 11344  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-xmet 18539  df-met 18540  df-ovol 22002  df-vol 22003
This theorem is referenced by:  volsup  22092  vitalilem4  22146  voliune  28374
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