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Theorem volinun 22495
Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
volinun  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  u.  B )
) ) )

Proof of Theorem volinun
StepHypRef Expression
1 inundif 3875 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
21fveq2i 5883 . . . 4  |-  ( vol `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( vol `  A )
3 inmbl 22491 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  B )  e.  dom  vol )
43adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  dom  vol )
5 difmbl 22492 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  \  B )  e.  dom  vol )
65adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  \  B
)  e.  dom  vol )
7 indifcom 3720 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  ( A  i^i  (
( A  i^i  B
)  \  B )
)
8 difin0 3870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  B )  =  (/)
98ineq2i 3663 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( A  i^i  B )  \  B ) )  =  ( A  i^i  (/) )
10 in0 3790 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
119, 10eqtri 2452 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( ( A  i^i  B )  \  B ) )  =  (/)
127, 11eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  i^i  ( A 
\  B ) )  =  (/) )
14 mblvol 22480 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  B ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  B
) ) )
154, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  B ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  B
) ) )
16 inss1 3684 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  A )
18 mblss 22481 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1918ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
20 mblvol 22480 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
2120ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  A
)  =  ( vol* `  A )
)
22 simprl 763 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  RR )
2321, 22eqeltrrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  A )  e.  RR )
24 ovolsscl 22435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR )
2517, 19, 23, 24syl3anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR )
2615, 25eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR )
27 mblvol 22480 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A 
\  B ) )  =  ( vol* `  ( A  \  B
) ) )
286, 27syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  \  B ) )  =  ( vol* `  ( A  \  B
) ) )
29 difssd 3595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  \  B
)  C_  A )
30 ovolsscl 22435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  B
)  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  e.  RR )  -> 
( vol* `  ( A  \  B ) )  e.  RR )
3129, 19, 23, 30syl3anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol* `  ( A  \  B ) )  e.  RR )
3228, 31eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  \  B ) )  e.  RR )
33 volun 22494 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  e.  dom  vol  /\  ( A  \  B
)  e.  dom  vol  /\  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A 
\  B ) )  =  (/) )  /\  (
( vol `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR  /\  ( vol `  ( A  \  B ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  \  B ) ) ) )
344, 6, 13, 26, 32, 33syl32anc 1273 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  \  B ) ) ) )
352, 34syl5eqr 2478 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  A
)  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  \  B ) ) ) )
3635oveq1d 6319 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( ( vol `  ( A  i^i  B
) )  +  ( vol `  ( A 
\  B ) ) )  +  ( vol `  B ) ) )
3726recnd 9675 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  B ) )  e.  CC )
3832recnd 9675 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  \  B ) )  e.  CC )
39 simprr 765 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  B
)  e.  RR )
4039recnd 9675 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  B
)  e.  CC )
4137, 38, 40addassd 9671 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( vol `  ( A  i^i  B
) )  +  ( vol `  ( A 
\  B ) ) )  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( ( vol `  ( A  \  B
) )  +  ( vol `  B ) ) ) )
42 undif1 3872 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
4342fveq2i 5883 . . . 4  |-  ( vol `  ( ( A  \  B )  u.  B
) )  =  ( vol `  ( A  u.  B ) )
44 simplr 761 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
45 incom 3657 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( A  \  B ) )
46 disjdif 3869 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
4745, 46eqtri 2452 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  i^i  B )  =  (/)
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( A  \  B )  i^i  B
)  =  (/) )
49 volun 22494 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  \  B )  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( ( A 
\  B )  i^i 
B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( A  \  B
) )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( A  \  B )  u.  B
) )  =  ( ( vol `  ( A  \  B ) )  +  ( vol `  B
) ) )
506, 44, 48, 32, 39, 49syl32anc 1273 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( A  \  B
)  u.  B ) )  =  ( ( vol `  ( A 
\  B ) )  +  ( vol `  B
) ) )
5143, 50syl5reqr 2479 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  ( A  \  B ) )  +  ( vol `  B
) )  =  ( vol `  ( A  u.  B ) ) )
5251oveq2d 6320 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( ( vol `  ( A  \  B
) )  +  ( vol `  B ) ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  u.  B )
) ) )
5336, 41, 523eqtrd 2468 1  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  u.  B )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    \ cdif 3435    u. cun 3436    i^i cin 3437    C_ wss 3438   (/)c0 3763   dom cdm 4852   ` cfv 5600  (class class class)co 6304   RRcr 9544    + caddc 9548   vol*covol 22409   volcvol 22411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-iun 4300  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-er 7373  df-map 7484  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-sup 7964  df-inf 7965  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-n0 10876  df-z 10944  df-uz 11166  df-q 11271  df-rp 11309  df-ioo 11645  df-ico 11647  df-icc 11648  df-fz 11791  df-fl 12033  df-seq 12219  df-exp 12278  df-cj 13160  df-re 13161  df-im 13162  df-sqrt 13296  df-abs 13297  df-ovol 22412  df-vol 22414
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