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Theorem volinun 19393
Description: Addition of non-disjoint sets. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
volinun  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  u.  B )
) ) )

Proof of Theorem volinun
StepHypRef Expression
1 inundif 3666 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A  \  B ) )  =  A
21fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( vol `  ( ( A  i^i  B )  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( vol `  A )
3 inmbl 19389 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  B )  e.  dom  vol )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  dom  vol )
5 difmbl 19390 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  dom  vol )  ->  ( A  \  B )  e.  dom  vol )
65adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  \  B
)  e.  dom  vol )
7 indifcom 3546 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  ( A  i^i  (
( A  i^i  B
)  \  B )
)
8 difin0 3661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  i^i  B ) 
\  B )  =  (/)
98ineq2i 3499 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  ( ( A  i^i  B )  \  B ) )  =  ( A  i^i  (/) )
10 in0 3613 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  (/) )  =  (/)
119, 10eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( ( A  i^i  B )  \  B ) )  =  (/)
127, 11eqtri 2424 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
1312a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  i^i  ( A 
\  B ) )  =  (/) )
14 mblvol 19379 . . . . . . 7  |-  ( ( A  i^i  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  B ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  B
) ) )
154, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  B ) )  =  ( vol * `  ( A  i^i  B
) ) )
16 inss1 3521 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  i^i  B
)  C_  A )
18 mblss 19380 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1918ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  A  C_  RR )
20 mblvol 19379 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol * `  A ) )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  A
)  =  ( vol
* `  A )
)
22 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  RR )
2321, 22eqeltrrd 2479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR )
24 ovolsscl 19335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR )
2517, 19, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR )
2615, 25eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR )
27 mblvol 19379 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A 
\  B ) )  =  ( vol * `  ( A  \  B
) ) )
286, 27syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  \  B ) )  =  ( vol * `  ( A  \  B
) ) )
29 difssd 3435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( A  \  B
)  C_  A )
30 ovolsscl 19335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  \  B
)  C_  A  /\  A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  -> 
( vol * `  ( A  \  B ) )  e.  RR )
3129, 19, 23, 30syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol * `  ( A  \  B ) )  e.  RR )
3228, 31eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  \  B ) )  e.  RR )
33 volun 19392 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  e.  dom  vol  /\  ( A  \  B
)  e.  dom  vol  /\  ( ( A  i^i  B )  i^i  ( A 
\  B ) )  =  (/) )  /\  (
( vol `  ( A  i^i  B ) )  e.  RR  /\  ( vol `  ( A  \  B ) )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  \  B ) ) ) )
344, 6, 13, 26, 32, 33syl32anc 1192 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( A  i^i  B
)  u.  ( A 
\  B ) ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  \  B ) ) ) )
352, 34syl5eqr 2450 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  A
)  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  \  B ) ) ) )
3635oveq1d 6055 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( ( vol `  ( A  i^i  B
) )  +  ( vol `  ( A 
\  B ) ) )  +  ( vol `  B ) ) )
3726recnd 9070 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  B ) )  e.  CC )
3832recnd 9070 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  ( A  \  B ) )  e.  CC )
39 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  B
)  e.  RR )
4039recnd 9070 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  B
)  e.  CC )
4137, 38, 40addassd 9066 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( vol `  ( A  i^i  B
) )  +  ( vol `  ( A 
\  B ) ) )  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( ( vol `  ( A  \  B
) )  +  ( vol `  B ) ) ) )
42 undif1 3663 . . . . 5  |-  ( ( A  \  B )  u.  B )  =  ( A  u.  B
)
4342fveq2i 5690 . . . 4  |-  ( vol `  ( ( A  \  B )  u.  B
) )  =  ( vol `  ( A  u.  B ) )
44 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  ->  B  e.  dom  vol )
45 incom 3493 . . . . . . 7  |-  ( ( A  \  B )  i^i  B )  =  ( B  i^i  ( A  \  B ) )
46 disjdif 3660 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  ( A  \  B ) )  =  (/)
4745, 46eqtri 2424 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  B )  i^i  B )  =  (/)
4847a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( A  \  B )  i^i  B
)  =  (/) )
49 volun 19392 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  \  B )  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol 
/\  ( ( A 
\  B )  i^i 
B )  =  (/) )  /\  ( ( vol `  ( A  \  B
) )  e.  RR  /\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( ( A  \  B )  u.  B
) )  =  ( ( vol `  ( A  \  B ) )  +  ( vol `  B
) ) )
506, 44, 48, 32, 39, 49syl32anc 1192 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( vol `  (
( A  \  B
)  u.  B ) )  =  ( ( vol `  ( A 
\  B ) )  +  ( vol `  B
) ) )
5143, 50syl5reqr 2451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  ( A  \  B ) )  +  ( vol `  B
) )  =  ( vol `  ( A  u.  B ) ) )
5251oveq2d 6056 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( ( vol `  ( A  \  B
) )  +  ( vol `  B ) ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  u.  B )
) ) )
5336, 41, 523eqtrd 2440 1  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  dom  vol )  /\  ( ( vol `  A )  e.  RR  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )  -> 
( ( vol `  A
)  +  ( vol `  B ) )  =  ( ( vol `  ( A  i^i  B ) )  +  ( vol `  ( A  u.  B )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945    + caddc 8949   vol *covol 19312   volcvol 19313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-ovol 19314  df-vol 19315
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