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Theorem volfiniune 28892
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This theorem is to volfiniun 22377 what voliune 28891 is to voliun 22384. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volfiniune  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  -> 
( vol `  U_ n  e.  A  B )  = Σ* n  e.  A ( vol `  B ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem volfiniune
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A  e.  Fin )
2 simpl2 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )
3 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )
4 r19.26 2962 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR ) )
52, 3, 4sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
6 simpl3 1010 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  -> Disj  n  e.  A  B
)
7 volfiniun 22377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  A  B
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  A  B )  =  sum_ n  e.  A  ( vol `  B ) )
81, 5, 6, 7syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  =  sum_ n  e.  A  ( vol `  B ) )
9 nfcv 2591 . . . 4  |-  F/_ n A
109nfel1 2607 . . . . . 6  |-  F/ n  A  e.  Fin
11 nfra1 2813 . . . . . 6  |-  F/ n A. n  e.  A  B  e.  dom  vol
12 nfdisj1 4410 . . . . . 6  |-  F/ nDisj  n  e.  A  B
1310, 11, 12nf3an 1988 . . . . 5  |-  F/ n
( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )
14 nfra1 2813 . . . . 5  |-  F/ n A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR
1513, 14nfan 1986 . . . 4  |-  F/ n
( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )
163r19.21bi 2801 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  RR )
17 rspa 2799 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  n  e.  A )  ->  B  e.  dom  vol )
18 volf 22360 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
1918ffvelrni 6036 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2017, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
212, 20sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
22 0xr 9686 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
23 pnfxr 11412 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
24 elicc1 11680 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  B )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( vol `  B )  /\  ( vol `  B
)  <_ +oo )
) )
2522, 23, 24mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol `  B )  /\  ( vol `  B )  <_ +oo ) )
2625simp2bi 1021 . . . . . 6  |-  ( ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( vol `  B
) )
2721, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  0  <_  ( vol `  B
) )
28 ltpnf 11422 . . . . . 6  |-  ( ( vol `  B )  e.  RR  ->  ( vol `  B )  < +oo )
2916, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  < +oo )
30 0re 9642 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
31 elico2 11698 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  B
)  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( vol `  B
)  /\  ( vol `  B )  < +oo ) ) )
3230, 23, 31mp2an 676 . . . . 5  |-  ( ( vol `  B )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( vol `  B )  /\  ( vol `  B )  < +oo ) )
3316, 27, 29, 32syl3anbrc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
349, 15, 1, 33esumpfinvalf 28736 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  -> Σ* n  e.  A ( vol `  B )  =  sum_ n  e.  A  ( vol `  B ) )
358, 34eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  = Σ* n  e.  A ( vol `  B ) )
36 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )
37 nfv 1754 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( vol `  B
)  = +oo
38 nfcv 2591 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n vol
39 nfcsb1v 3417 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ B
4038, 39nffv 5888 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ B )
4140nfeq1 2606 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo
42 csbeq1a 3410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  B  =  [_ k  /  n ]_ B )
4342fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  B )  =  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B ) )
4443eqeq1d 2431 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( vol `  B
)  = +oo  <->  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ B )  = +oo ) )
4537, 41, 44cbvrex 3059 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo  <->  E. k  e.  A  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ B )  = +oo )
4636, 45sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  E. k  e.  A  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo )
4739nfel1 2607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol
4842eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol ) )
4947, 48rspc 3182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
)
5049impcom 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  k  e.  A )  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5150adantll 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  A
)  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
52 finiunmbl 22374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
5352adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  A
)  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
54 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
k
559, 54, 39, 42ssiun2sf 28013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  ->  [_ k  /  n ]_ B  C_  U_ n  e.  A  B
)
5655adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  A
)  ->  [_ k  /  n ]_ B  C_  U_ n  e.  A  B )
57 volss 22364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol 
/\  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  [_ k  /  n ]_ B  C_  U_ n  e.  A  B )  -> 
( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
5851, 53, 56, 57syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  A
)  ->  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
59583adantl3 1163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  k  e.  A
)  ->  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
6059adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )  /\  k  e.  A )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
6160ralrimiva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  A. k  e.  A  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
62 r19.29r 2971 . . . . . . 7  |-  ( ( E. k  e.  A  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  A. k  e.  A  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
)  ->  E. k  e.  A  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) ) )
6346, 61, 62syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  E. k  e.  A  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
) )
64 breq1 4429 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  ->  (
( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  <-> +oo 
<_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
) )
6564biimpa 486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
)  -> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
6665reximi 2900 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
)  ->  E. k  e.  A +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
6763, 66syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  E. k  e.  A +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
68 rexex 2889 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  ->  E. k +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
69 19.9v 1804 . . . . . 6  |-  ( E. k +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  <-> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
7068, 69sylib 199 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  A +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  -> +oo  <_  ( vol ` 
U_ n  e.  A  B ) )
7167, 70syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  -> +oo  <_  ( vol ` 
U_ n  e.  A  B ) )
72 iccssxr 11717 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
7318ffvelrni 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7472, 73sseldi 3468 . . . . . . . 8  |-  ( U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR* )
7552, 74syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  -> 
( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR* )
76753adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  -> 
( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR* )
7776adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR* )
78 xgepnf 28170 . . . . 5  |-  ( ( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  <->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  = +oo ) )
7977, 78syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  <->  ( vol ` 
U_ n  e.  A  B )  = +oo ) )
8071, 79mpbid 213 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  = +oo )
81 nfre1 2893 . . . . 5  |-  F/ n E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo
8213, 81nfan 1986 . . . 4  |-  F/ n
( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )
83 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  A  e.  Fin )
84203ad2antl2 1168 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  n  e.  A
)  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8584adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8682, 83, 85, 36esumpinfval 28733 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  -> Σ* n  e.  A ( vol `  B )  = +oo )
8780, 86eqtr4d 2473 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  = Σ* n  e.  A ( vol `  B ) )
88 exmid 416 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )
89 rexnal 2880 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR  <->  -.  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )
9089orbi2i 521 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR ) )
9188, 90mpbir 212 . . . 4  |-  ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )
92 r19.29 2970 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )  ->  E. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  -.  ( vol `  B )  e.  RR ) )
93 xrge0nre 28291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  B
)  = +oo )
9419, 93sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\ 
-.  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  B
)  = +oo )
9594reximi 2900 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\ 
-.  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )
9692, 95syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )  ->  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )
9796ex 435 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR  ->  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo ) )
9897orim2d 848 . . . 4  |-  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )  -> 
( A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR  \/  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo ) ) )
9991, 98mpi 21 . . 3  |-  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo ) )
100993ad2ant2 1027 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  -> 
( A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR  \/  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo ) )
10135, 87, 100mpjaodan 793 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  -> 
( vol `  U_ n  e.  A  B )  = Σ* n  e.  A ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   [_csb 3401    C_ wss 3442   U_ciun 4302  Disj wdisj 4397   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   RRcr 9537   0cc0 9538   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   sum_csu 13730   volcvol 22295  Σ*cesum 28687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-shft 13109  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-ef 14099  df-sin 14101  df-cos 14102  df-pi 14104  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-ordt 15358  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-ps 16397  df-tsr 16398  df-plusf 16438  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-mhm 16533  df-submnd 16534  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-sbg 16626  df-mulg 16627  df-subg 16765  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-abl 17368  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-cring 17718  df-subrg 17941  df-abv 17980  df-lmod 18028  df-scaf 18029  df-sra 18330  df-rgmod 18331  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-tmd 21018  df-tgp 21019  df-tsms 21072  df-trg 21105  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-nm 21528  df-ngp 21529  df-nrg 21531  df-nlm 21532  df-ii 21805  df-cncf 21806  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-limc 22698  df-dv 22699  df-log 23371  df-esum 28688
This theorem is referenced by:  volmeas  28893
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