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Theorem volfiniune 29062
Description: The Lebesgue measure function is countably additive. This theorem is to volfiniun 22499 what voliune 29061 is to voliun 22506. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
volfiniune  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  -> 
( vol `  U_ n  e.  A  B )  = Σ* n  e.  A ( vol `  B ) )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem volfiniune
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A  e.  Fin )
2 simpl2 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )
3 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )
4 r19.26 2952 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR ) )
52, 3, 4sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
6 simpl3 1010 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  -> Disj  n  e.  A  B
)
7 volfiniun 22499 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  n  e.  A  B
)  ->  ( vol ` 
U_ n  e.  A  B )  =  sum_ n  e.  A  ( vol `  B ) )
81, 5, 6, 7syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  =  sum_ n  e.  A  ( vol `  B ) )
9 nfcv 2580 . . . 4  |-  F/_ n A
109nfel1 2596 . . . . . 6  |-  F/ n  A  e.  Fin
11 nfra1 2803 . . . . . 6  |-  F/ n A. n  e.  A  B  e.  dom  vol
12 nfdisj1 4407 . . . . . 6  |-  F/ nDisj  n  e.  A  B
1310, 11, 12nf3an 1990 . . . . 5  |-  F/ n
( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )
14 nfra1 2803 . . . . 5  |-  F/ n A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR
1513, 14nfan 1988 . . . 4  |-  F/ n
( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )
163r19.21bi 2791 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  RR )
17 rspa 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  n  e.  A )  ->  B  e.  dom  vol )
18 volf 22482 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
1918ffvelrni 6037 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2017, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
212, 20sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
22 0xr 9695 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
23 pnfxr 11420 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
24 elicc1 11688 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  B )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( vol `  B )  /\  ( vol `  B
)  <_ +oo )
) )
2522, 23, 24mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( vol `  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( vol `  B )  /\  ( vol `  B )  <_ +oo ) )
2625simp2bi 1021 . . . . . 6  |-  ( ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( vol `  B
) )
2721, 26syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  0  <_  ( vol `  B
) )
28 ltpnf 11430 . . . . . 6  |-  ( ( vol `  B )  e.  RR  ->  ( vol `  B )  < +oo )
2916, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  < +oo )
30 0re 9651 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
31 elico2 11706 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( vol `  B
)  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  B )  e.  RR  /\  0  <_ 
( vol `  B
)  /\  ( vol `  B )  < +oo ) ) )
3230, 23, 31mp2an 676 . . . . 5  |-  ( ( vol `  B )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( vol `  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( vol `  B )  /\  ( vol `  B )  < +oo ) )
3316, 27, 29, 32syl3anbrc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
349, 15, 1, 33esumpfinvalf 28906 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  -> Σ* n  e.  A ( vol `  B )  =  sum_ n  e.  A  ( vol `  B ) )
358, 34eqtr4d 2466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  = Σ* n  e.  A ( vol `  B ) )
36 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )
37 nfv 1755 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( vol `  B
)  = +oo
38 nfcv 2580 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n vol
39 nfcsb1v 3411 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n [_ k  /  n ]_ B
4038, 39nffv 5889 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ B )
4140nfeq1 2595 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo
42 csbeq1a 3404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  B  =  [_ k  /  n ]_ B )
4342fveq2d 5886 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( vol `  B )  =  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B ) )
4443eqeq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( vol `  B
)  = +oo  <->  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ B )  = +oo ) )
4537, 41, 44cbvrex 3051 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo  <->  E. k  e.  A  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ B )  = +oo )
4636, 45sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  E. k  e.  A  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo )
4739nfel1 2596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol
4842eleq1d 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol ) )
4947, 48rspc 3176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
)
5049impcom 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  k  e.  A )  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
5150adantll 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  A
)  ->  [_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol )
52 finiunmbl 22496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
5352adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  A
)  ->  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol )
54 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
k
559, 54, 39, 42ssiun2sf 28177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  ->  [_ k  /  n ]_ B  C_  U_ n  e.  A  B
)
5655adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  A
)  ->  [_ k  /  n ]_ B  C_  U_ n  e.  A  B )
57 volss 22486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
[_ k  /  n ]_ B  e.  dom  vol 
/\  U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  [_ k  /  n ]_ B  C_  U_ n  e.  A  B )  -> 
( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
5851, 53, 56, 57syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  /\  k  e.  A
)  ->  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
59583adantl3 1163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  k  e.  A
)  ->  ( vol ` 
[_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
6059adantlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )  /\  k  e.  A )  ->  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
6160ralrimiva 2836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  A. k  e.  A  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
62 r19.29r 2961 . . . . . . 7  |-  ( ( E. k  e.  A  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  A. k  e.  A  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
)  ->  E. k  e.  A  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) ) )
6346, 61, 62syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  E. k  e.  A  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
) )
64 breq1 4426 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  ->  (
( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  <-> +oo 
<_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
) )
6564biimpa 486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
)  -> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
6665reximi 2890 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A  ( ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  = +oo  /\  ( vol `  [_ k  /  n ]_ B )  <_ 
( vol `  U_ n  e.  A  B )
)  ->  E. k  e.  A +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
6763, 66syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  E. k  e.  A +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
68 rexex 2879 . . . . . 6  |-  ( E. k  e.  A +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  ->  E. k +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )
)
69 19.9v 1805 . . . . . 6  |-  ( E. k +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  <-> +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B ) )
7068, 69sylib 199 . . . . 5  |-  ( E. k  e.  A +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  -> +oo  <_  ( vol ` 
U_ n  e.  A  B ) )
7167, 70syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  -> +oo  <_  ( vol ` 
U_ n  e.  A  B ) )
72 iccssxr 11725 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
7318ffvelrni 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7472, 73sseldi 3462 . . . . . . . 8  |-  ( U_ n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR* )
7552, 74syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol )  -> 
( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR* )
76753adant3 1025 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  -> 
( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR* )
7776adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR* )
78 xgepnf 28334 . . . . 5  |-  ( ( vol `  U_ n  e.  A  B )  e.  RR*  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  <->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  = +oo ) )
7977, 78syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  ( +oo  <_  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  <->  ( vol ` 
U_ n  e.  A  B )  = +oo ) )
8071, 79mpbid 213 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  = +oo )
81 nfre1 2883 . . . . 5  |-  F/ n E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo
8213, 81nfan 1988 . . . 4  |-  F/ n
( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )
83 simpl1 1008 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  A  e.  Fin )
84203ad2antl2 1168 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  n  e.  A
)  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8584adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )  /\  n  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8682, 83, 85, 36esumpinfval 28903 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  -> Σ* n  e.  A ( vol `  B )  = +oo )
8780, 86eqtr4d 2466 . 2  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  /\  E. n  e.  A  ( vol `  B
)  = +oo )  ->  ( vol `  U_ n  e.  A  B )  = Σ* n  e.  A ( vol `  B ) )
88 exmid 416 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )
89 rexnal 2870 . . . . . 6  |-  ( E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR  <->  -.  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR )
9089orbi2i 521 . . . . 5  |-  ( ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  -.  A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR ) )
9188, 90mpbir 212 . . . 4  |-  ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )
92 r19.29 2960 . . . . . . 7  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )  ->  E. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  -.  ( vol `  B )  e.  RR ) )
93 xrge0nre 28461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol `  B
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  -.  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  B
)  = +oo )
9419, 93sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\ 
-.  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( vol `  B
)  = +oo )
9594reximi 2890 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\ 
-.  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )
9692, 95syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )  ->  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo )
9796ex 435 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR  ->  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo ) )
9897orim2d 848 . . . 4  |-  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  E. n  e.  A  -.  ( vol `  B )  e.  RR )  -> 
( A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR  \/  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo ) ) )
9991, 98mpi 20 . . 3  |-  ( A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  ->  ( A. n  e.  A  ( vol `  B )  e.  RR  \/  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo ) )
100993ad2ant2 1027 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  -> 
( A. n  e.  A  ( vol `  B
)  e.  RR  \/  E. n  e.  A  ( vol `  B )  = +oo ) )
10135, 87, 100mpjaodan 793 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. n  e.  A  B  e.  dom  vol  /\ Disj  n  e.  A  B )  -> 
( vol `  U_ n  e.  A  B )  = Σ* n  e.  A ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   [_csb 3395    C_ wss 3436   U_ciun 4299  Disj wdisj 4394   class class class wbr 4423   dom cdm 4853   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   Fincfn 7581   RRcr 9546   0cc0 9547   +oocpnf 9680   RR*cxr 9682    < clt 9683    <_ cle 9684   [,)cico 11645   [,]cicc 11646   sum_csu 13752   volcvol 22414  Σ*cesum 28857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625  ax-addf 9626  ax-mulf 9627
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-supp 6927  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-ixp 7535  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fsupp 7894  df-fi 7935  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-q 11273  df-rp 11311  df-xneg 11417  df-xadd 11418  df-xmul 11419  df-ioo 11647  df-ioc 11648  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-fac 12467  df-bc 12495  df-hash 12523  df-shft 13131  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-ordt 15399  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-ps 16446  df-tsr 16447  df-plusf 16487  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-submnd 16583  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-sbg 16675  df-mulg 16676  df-subg 16814  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-abl 17433  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-subrg 18006  df-abv 18045  df-lmod 18093  df-scaf 18094  df-sra 18395  df-rgmod 18396  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-topsp 19923  df-cld 20033  df-ntr 20034  df-cls 20035  df-nei 20113  df-lp 20151  df-perf 20152  df-cn 20242  df-cnp 20243  df-haus 20330  df-tx 20576  df-hmeo 20769  df-fil 20860  df-fm 20952  df-flim 20953  df-flf 20954  df-tmd 21086  df-tgp 21087  df-tsms 21140  df-trg 21173  df-xms 21334  df-ms 21335  df-tms 21336  df-nm 21596  df-ngp 21597  df-nrg 21599  df-nlm 21600  df-ii 21908  df-cncf 21909  df-ovol 22415  df-vol 22417  df-limc 22820  df-dv 22821  df-log 23505  df-esum 28858
This theorem is referenced by:  volmeas  29063
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