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Theorem volfiniun 22500
Description: The volume of a disjoint finite union of measurable sets is the sum of the measures. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
volfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem volfiniun
Dummy variables  m  n  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2987 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) ) )
2 disjeq1 4380 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  (Disj  k  e.  w  B  <-> Disj  k  e.  (/)  B ) )
31, 2anbi12d 717 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <->  ( A. k  e.  (/)  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (/)  B ) ) )
4 iuneq1 4292 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
54fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B ) )
6 sumeq1 13755 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) )
75, 6eqeq12d 2466 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) ) )
83, 7imbi12d 322 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( A. k  e.  w  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  = 
sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  (/)  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (/)  B )  -> 
( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) ) ) )
9 raleq 2987 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
10 disjeq1 4380 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (Disj  k  e.  w  B  <-> Disj  k  e.  y  B ) )
119, 10anbi12d 717 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. k  e.  w  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <->  ( A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B ) ) )
12 iuneq1 4292 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  y  B )
1312fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  y  B )
)
14 sumeq1 13755 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B ) )
1513, 14eqeq12d 2466 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) ) )
1611, 15imbi12d 322 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  -> 
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) ) ) )
17 raleq 2987 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
18 disjeq1 4380 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  (Disj  k  e.  w  B 
<-> Disj  k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
1917, 18anbi12d 717 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <-> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) ) )
20 iuneq1 4292 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
2120fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
22 sumeq1 13755 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) )
2321, 22eqeq12d 2466 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <->  ( vol ` 
U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) ) )
2419, 23imbi12d 322 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  = 
sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B ) ) ) )
25 raleq 2987 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
26 disjeq1 4380 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (Disj  k  e.  w  B  <-> Disj  k  e.  A  B ) )
2725, 26anbi12d 717 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. k  e.  w  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <->  ( A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B ) ) )
28 iuneq1 4292 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2928fveq2d 5869 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  A  B )
)
30 sumeq1 13755 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
3129, 30eqeq12d 2466 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) ) )
3227, 31imbi12d 322 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  -> 
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) ) ) )
33 0mbl 22493 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  dom  vol
34 mblvol 22484 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
36 ovol0 22446 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
3735, 36eqtri 2473 . . . . 5  |-  ( vol `  (/) )  =  0
38 0iun 4335 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
3938fveq2i 5868 . . . . 5  |-  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol `  (/) )
40 sum0 13787 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B
)  =  0
4137, 39, 403eqtr4i 2483 . . . 4  |-  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B
)
4241a1i 11 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  (/)  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (/)  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) )
43 ssun1 3597 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
44 ssralv 3493 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
46 disjss1 4379 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  (Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B  -> Disj  k  e.  y  B ) )
4743, 46ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (Disj  k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  -> Disj  k  e.  y  B )
4845, 47anim12i 570 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B )  ->  ( A. k  e.  y 
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B ) )
4948imim1i 60 . . . 4  |-  ( ( ( A. k  e.  y  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) )  ->  (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) ) )
50 oveq1 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  ->  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
51 iunxun 4363 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
52 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
53 csbeq1 3366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
5452, 53iunxsn 4361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
5554uneq2i 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
5651, 55eqtri 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
5756fveq2i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )
58 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m B
59 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
60 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
6158, 59, 60cbviun 4315 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
62 simpll 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  y  e.  Fin )
63 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
64 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  B  e.  dom  vol )
6564ralimi 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol )
6663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol )
67 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  y  B  e.  dom  vol )
)
6843, 66, 67mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. k  e.  y  B  e.  dom  vol )
69 finiunmbl 22497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. k  e.  y  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )
7062, 68, 69syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )
7161, 70syl5eqelr 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
72 ssun2 3598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
73 ssnid 3997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
{ z }
7472, 73sselii 3429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
75 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7675nfel1 2606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol
77 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol
7877, 75nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)
7978nfel1 2606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR
8076, 79nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR )
81 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8281eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
8381fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  ( vol `  B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
8483eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol ` 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) )
8582, 84anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8680, 85rspc 3144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8774, 63, 86mpsyl 65 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8887simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
89 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  -.  z  e.  y )
90 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
)  <->  ( w  e. 
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B ) )
91 eliun 4283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  <->  E. m  e.  y  w  e.  [_ m  /  k ]_ B )
92 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  -> Disj  k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
93 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ n B
94 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
95 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
9693, 94, 95cbvdisj 4383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (Disj  k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  <-> Disj  n  e.  ( y  u. 
{ z } )
[_ n  /  k ]_ B )
9792, 96sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  -> Disj  n  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ n  /  k ]_ B
)
98 simpr1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  m  e.  y )
99 elun1 3601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
10174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
102 simpr2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  w  e.  [_ m  /  k ]_ B )
103 simpr3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  w  e.  [_ z  /  k ]_ B )
104 csbeq1 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ m  /  k ]_ B )
105 csbeq1 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  z  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
106104, 105disji 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (Disj  n  e.  ( y  u.  { z } )
[_ n  /  k ]_ B  /\  (
m  e.  ( y  u.  { z } )  /\  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  ( w  e. 
[_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B ) )  ->  m  =  z )
10797, 100, 101, 102, 103, 106syl122anc 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  m  =  z )
108107, 98eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  z  e.  y )
1091083exp2 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( m  e.  y  ->  ( w  e.  [_ m  / 
k ]_ B  ->  (
w  e.  [_ z  /  k ]_ B  ->  z  e.  y ) ) ) )
110109rexlimdv 2877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( E. m  e.  y  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  ->  ( w  e.  [_ z  / 
k ]_ B  ->  z  e.  y ) ) )
11191, 110syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( w  e.  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  ->  ( w  e.  [_ z  / 
k ]_ B  ->  z  e.  y ) ) )
112111impd 433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( (
w  e.  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B )  ->  z  e.  y ) )
11390, 112syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( w  e.  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
)  ->  z  e.  y ) )
11489, 113mtod 181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  -.  w  e.  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
) )
115114eq0rdv 3769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B )  =  (/) )
116 mblvol 22484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B ) )
11771, 116syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B ) )
118 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ m
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )
11959nfel1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol
12077, 59nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)
121120nfel1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR
122119, 121nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
12360eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  m  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
12460fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  m  ->  ( vol `  B )  =  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )
125124eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol ` 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) )
126123, 125anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
127118, 122, 126cbvral 3015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <->  A. m  e.  (
y  u.  { z } ) ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
12863, 127sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
129128r19.21bi 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
130129simpld 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
131 mblss 22485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
13399, 132sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  y )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
134133ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
135 iunss 4319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
136134, 135sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
137 mblvol 22484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
138137eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
139138biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
140129, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
14199, 140sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
14262, 141fsumrecl 13800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
143131adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
144143, 139jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  ( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
145144ralimi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
146128, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) (
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
147 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) (
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  A. m  e.  y  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
14843, 146, 147mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  y  ( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
149 ovolfiniun 22454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. m  e.  y  (
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
15062, 148, 149syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
151 ovollecl 22436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
152136, 142, 150, 151syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
153117, 152eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
15487simprd 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
155 volun 22498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
)  =  (/) )  /\  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR  /\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
15671, 88, 115, 153, 154, 155syl32anc 1276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
15757, 156syl5eq 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
158 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
15989, 158sylibr 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
160 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
161 snfi 7650 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  Fin
162 unfi 7838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
16362, 161, 162sylancl 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
164129simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( vol ` 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
165164recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( vol ` 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
166159, 160, 163, 165fsumsplit 13806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  +  sum_ m  e.  { z }  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) ) )
167154recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
16853fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
169168sumsn 13807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
17052, 167, 169sylancr 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
171170oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  +  sum_ m  e.  { z }  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
172166, 171eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
173157, 172eqeq12d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( ( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  <->  ( ( vol `  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B ) ) ) )
17450, 173syl5ibr 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) ) )
17561fveq2i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )
176 nfcv 2592 . . . . . . . . 9  |-  F/_ m
( vol `  B
)
177176, 120, 124cbvsumi 13763 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  y  ( vol `  B )  =  sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )
178175, 177eqeq12i 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
)  <->  ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )
17958, 59, 60cbviun 4315 . . . . . . . . 9  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
180179fveq2i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
181176, 120, 124cbvsumi 13763 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B )  =  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )
182180, 181eqeq12i 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )
183174, 178, 1823imtr4g 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( ( vol `  U_ k  e.  y  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol `  B
)  ->  ( vol ` 
U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) ) )
184183ex 436 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B )  ->  (
( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
)  ->  ( vol ` 
U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) ) ) )
185184a2d 29 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) )  ->  (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B ) ) ) )
18649, 185syl5 33 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( A. k  e.  y  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) )  ->  (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B ) ) ) )
1878, 16, 24, 32, 42, 186findcard2s 7812 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  A  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) ) )
1881873impib 1206 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [_csb 3363    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    <_ cle 9676   sum_csu 13752   vol*covol 22413   volcvol 22415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418
This theorem is referenced by:  uniioovol  22536  uniioombllem4  22544  itg1addlem1  22650  volfiniune  29053
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