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Theorem volfiniun 20987
Description: The volume of a disjoint finite union of measurable sets is the sum of the measures. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
volfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem volfiniun
Dummy variables  m  n  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2915 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) ) )
2 disjeq1 4266 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  (Disj  k  e.  w  B  <-> Disj  k  e.  (/)  B ) )
31, 2anbi12d 705 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <->  ( A. k  e.  (/)  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (/)  B ) ) )
4 iuneq1 4181 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
54fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B ) )
6 sumeq1 13162 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) )
75, 6eqeq12d 2455 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) ) )
83, 7imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( A. k  e.  w  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  = 
sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  (/)  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (/)  B )  -> 
( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) ) ) )
9 raleq 2915 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
10 disjeq1 4266 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (Disj  k  e.  w  B  <-> Disj  k  e.  y  B ) )
119, 10anbi12d 705 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. k  e.  w  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <->  ( A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B ) ) )
12 iuneq1 4181 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  y  B )
1312fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  y  B )
)
14 sumeq1 13162 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B ) )
1513, 14eqeq12d 2455 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) ) )
1611, 15imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  -> 
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) ) ) )
17 raleq 2915 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
18 disjeq1 4266 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  (Disj  k  e.  w  B 
<-> Disj  k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
1917, 18anbi12d 705 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <-> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) ) )
20 iuneq1 4181 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
2120fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
22 sumeq1 13162 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) )
2321, 22eqeq12d 2455 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <->  ( vol ` 
U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) ) )
2419, 23imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  = 
sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B ) ) ) )
25 raleq 2915 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
26 disjeq1 4266 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (Disj  k  e.  w  B  <-> Disj  k  e.  A  B ) )
2725, 26anbi12d 705 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. k  e.  w  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <->  ( A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B ) ) )
28 iuneq1 4181 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2928fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  A  B )
)
30 sumeq1 13162 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
3129, 30eqeq12d 2455 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) ) )
3227, 31imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  -> 
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) ) ) )
33 0mbl 20980 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  dom  vol
34 mblvol 20972 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
36 ovol0 20935 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
3735, 36eqtri 2461 . . . . 5  |-  ( vol `  (/) )  =  0
38 0iun 4224 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
3938fveq2i 5691 . . . . 5  |-  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol `  (/) )
40 sum0 13194 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B
)  =  0
4137, 39, 403eqtr4i 2471 . . . 4  |-  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B
)
4241a1i 11 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  (/)  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (/)  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) )
43 ssun1 3516 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
44 ssralv 3413 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
46 disjss1 4265 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  (Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B  -> Disj  k  e.  y  B ) )
4743, 46ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (Disj  k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  -> Disj  k  e.  y  B )
4845, 47anim12i 563 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B )  ->  ( A. k  e.  y 
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B ) )
4948imim1i 58 . . . 4  |-  ( ( ( A. k  e.  y  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) )  ->  (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) ) )
50 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  ->  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
51 iunxun 4249 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
52 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
53 csbeq1 3288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
5452, 53iunxsn 4247 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
5554uneq2i 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
5651, 55eqtri 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
5756fveq2i 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )
58 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m B
59 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
60 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
6158, 59, 60cbviun 4204 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
62 simpll 748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  y  e.  Fin )
63 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
64 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  B  e.  dom  vol )
6564ralimi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol )
6663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol )
67 ssralv 3413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  y  B  e.  dom  vol )
)
6843, 66, 67mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. k  e.  y  B  e.  dom  vol )
69 finiunmbl 20984 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. k  e.  y  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )
7062, 68, 69syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )
7161, 70syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
72 ssun2 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
73 ssnid 3903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
{ z }
7472, 73sselii 3350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
75 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7675nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol
77 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol
7877, 75nffv 5695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)
7978nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR
8076, 79nfan 1865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR )
81 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8281eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
8381fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  ( vol `  B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
8483eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol ` 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) )
8582, 84anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8680, 85rspc 3064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8774, 63, 86mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8887simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
89 simplr 749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  -.  z  e.  y )
90 elin 3536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
)  <->  ( w  e. 
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B ) )
91 eliun 4172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  <->  E. m  e.  y  w  e.  [_ m  /  k ]_ B )
92 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  -> Disj  k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
93 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ n B
94 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
95 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
9693, 94, 95cbvdisj 4269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (Disj  k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  <-> Disj  n  e.  ( y  u. 
{ z } )
[_ n  /  k ]_ B )
9792, 96sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  -> Disj  n  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ n  /  k ]_ B
)
98 simpr1 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  m  e.  y )
99 elun1 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
10174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
102 simpr2 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  w  e.  [_ m  /  k ]_ B )
103 simpr3 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  w  e.  [_ z  /  k ]_ B )
104 csbeq1 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ m  /  k ]_ B )
105 csbeq1 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  z  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
106104, 105disji 4277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (Disj  n  e.  ( y  u.  { z } )
[_ n  /  k ]_ B  /\  (
m  e.  ( y  u.  { z } )  /\  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  ( w  e. 
[_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B ) )  ->  m  =  z )
10797, 100, 101, 102, 103, 106syl122anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  m  =  z )
108107, 98eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  z  e.  y )
1091083exp2 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( m  e.  y  ->  ( w  e.  [_ m  / 
k ]_ B  ->  (
w  e.  [_ z  /  k ]_ B  ->  z  e.  y ) ) ) )
110109rexlimdv 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( E. m  e.  y  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  ->  ( w  e.  [_ z  / 
k ]_ B  ->  z  e.  y ) ) )
11191, 110syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( w  e.  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  ->  ( w  e.  [_ z  / 
k ]_ B  ->  z  e.  y ) ) )
112111imp3a 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( (
w  e.  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B )  ->  z  e.  y ) )
11390, 112syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( w  e.  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
)  ->  z  e.  y ) )
11489, 113mtod 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  -.  w  e.  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
) )
115114eq0rdv 3669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B )  =  (/) )
116 mblvol 20972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B ) )
11771, 116syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B ) )
118 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ m
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )
11959nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol
12077, 59nffv 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)
121120nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR
122119, 121nfan 1865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
12360eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  m  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
12460fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  m  ->  ( vol `  B )  =  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )
125124eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol ` 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) )
126123, 125anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
127118, 122, 126cbvral 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <->  A. m  e.  (
y  u.  { z } ) ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
12863, 127sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
129128r19.21bi 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
130129simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
131 mblss 20973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
13399, 132sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  y )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
134133ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
135 iunss 4208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
136134, 135sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
137 mblvol 20972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
138137eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
139138biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
140129, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
14199, 140sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
14262, 141fsumrecl 13207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
143131adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
144143, 139jca 529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  ( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
145144ralimi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
146128, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) (
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
147 ssralv 3413 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) (
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  A. m  e.  y  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
14843, 146, 147mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  y  ( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
149 ovolfiniun 20943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. m  e.  y  (
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
15062, 148, 149syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
151 ovollecl 20925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
152136, 142, 150, 151syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
153117, 152eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
15487simprd 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
155 volun 20985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
)  =  (/) )  /\  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR  /\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
15671, 88, 115, 153, 154, 155syl32anc 1221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
15757, 156syl5eq 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
158 disjsn 3933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
15989, 158sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
160 eqidd 2442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
161 snfi 7386 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  Fin
162 unfi 7575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
16362, 161, 162sylancl 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
164129simprd 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( vol ` 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
165164recnd 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( vol ` 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
166159, 160, 163, 165fsumsplit 13212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  +  sum_ m  e.  { z }  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) ) )
167154recnd 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
16853fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
169168sumsn 13213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
17052, 167, 169sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
171170oveq2d 6106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  +  sum_ m  e.  { z }  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
172166, 171eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
173157, 172eqeq12d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( ( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  <->  ( ( vol `  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B ) ) ) )
17450, 173syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) ) )
17561fveq2i 5691 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )
176 nfcv 2577 . . . . . . . . 9  |-  F/_ m
( vol `  B
)
177176, 120, 124cbvsumi 13170 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  y  ( vol `  B )  =  sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )
178175, 177eqeq12i 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
)  <->  ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )
17958, 59, 60cbviun 4204 . . . . . . . . 9  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
180179fveq2i 5691 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
181176, 120, 124cbvsumi 13170 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B )  =  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )
182180, 181eqeq12i 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )
183174, 178, 1823imtr4g 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( ( vol `  U_ k  e.  y  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol `  B
)  ->  ( vol ` 
U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) ) )
184183ex 434 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B )  ->  (
( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
)  ->  ( vol ` 
U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) ) ) )
185184a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) )  ->  (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B ) ) ) )
18649, 185syl5 32 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( A. k  e.  y  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) )  ->  (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B ) ) ) )
1878, 16, 24, 32, 42, 186findcard2s 7549 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  A  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) ) )
1881873impib 1180 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   [_csb 3285    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U_ciun 4168  Disj wdisj 4259   class class class wbr 4289   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281    <_ cle 9415   sum_csu 13159   vol*covol 20905   volcvol 20906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xadd 11086  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-xmet 17769  df-met 17770  df-ovol 20907  df-vol 20908
This theorem is referenced by:  uniioovol  21018  uniioombllem4  21025  itg1addlem1  21129  volfiniune  26582
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