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Theorem volfiniun 21043
Description: The volume of a disjoint finite union of measurable sets is the sum of the measures. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
volfiniun  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem volfiniun
Dummy variables  m  n  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2932 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  (/)  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) ) )
2 disjeq1 4284 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  (Disj  k  e.  w  B  <-> Disj  k  e.  (/)  B ) )
31, 2anbi12d 710 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <->  ( A. k  e.  (/)  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (/)  B ) ) )
4 iuneq1 4199 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  (/)  B )
54fveq2d 5710 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B ) )
6 sumeq1 13181 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) )
75, 6eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) ) )
83, 7imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( ( A. k  e.  w  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  = 
sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  (/)  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (/)  B )  -> 
( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) ) ) )
9 raleq 2932 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  y 
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
10 disjeq1 4284 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (Disj  k  e.  w  B  <-> Disj  k  e.  y  B ) )
119, 10anbi12d 710 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. k  e.  w  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <->  ( A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B ) ) )
12 iuneq1 4199 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  y  B )
1312fveq2d 5710 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  y  B )
)
14 sumeq1 13181 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B ) )
1513, 14eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) ) )
1611, 15imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  -> 
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) ) ) )
17 raleq 2932 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  <->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
18 disjeq1 4284 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  (Disj  k  e.  w  B 
<-> Disj  k  e.  ( y  u.  { z } ) B ) )
1917, 18anbi12d 710 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <-> 
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) ) )
20 iuneq1 4199 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
2120fveq2d 5710 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B ) )
22 sumeq1 13181 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) )
2321, 22eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <->  ( vol ` 
U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) ) )
2419, 23imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  = 
sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B ) ) ) )
25 raleq 2932 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <->  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
26 disjeq1 4284 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  (Disj  k  e.  w  B  <-> Disj  k  e.  A  B ) )
2725, 26anbi12d 710 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. k  e.  w  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  <->  ( A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B ) ) )
28 iuneq1 4199 . . . . . 6  |-  ( w  =  A  ->  U_ k  e.  w  B  =  U_ k  e.  A  B
)
2928fveq2d 5710 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  ( vol `  U_ k  e.  A  B )
)
30 sumeq1 13181 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
3129, 30eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) ) )
3227, 31imbi12d 320 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( ( A. k  e.  w  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  w  B )  -> 
( vol `  U_ k  e.  w  B )  =  sum_ k  e.  w  ( vol `  B ) )  <->  ( ( A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) ) ) )
33 0mbl 21036 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  dom  vol
34 mblvol 21028 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  dom  vol  ->  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( vol `  (/) )  =  ( vol* `  (/) )
36 ovol0 20991 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
3735, 36eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( vol `  (/) )  =  0
38 0iun 4242 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  (/)  B  =  (/)
3938fveq2i 5709 . . . . 5  |-  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  =  ( vol `  (/) )
40 sum0 13213 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B
)  =  0
4137, 39, 403eqtr4i 2473 . . . 4  |-  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B
)
4241a1i 11 . . 3  |-  ( ( A. k  e.  (/)  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (/)  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  (/)  B )  = 
sum_ k  e.  (/)  ( vol `  B ) )
43 ssun1 3534 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
44 ssralv 3431 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  y  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
46 disjss1 4283 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  (Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B  -> Disj  k  e.  y  B ) )
4743, 46ax-mp 5 . . . . . 6  |-  (Disj  k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  -> Disj  k  e.  y  B )
4845, 47anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B )  ->  ( A. k  e.  y 
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B ) )
4948imim1i 58 . . . 4  |-  ( ( ( A. k  e.  y  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) )  ->  (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) ) )
50 oveq1 6113 . . . . . . . 8  |-  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  ->  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
51 iunxun 4267 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B )
52 vex 2990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
53 csbeq1 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
5452, 53iunxsn 4265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ m  e.  { z } [_ m  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B
5554uneq2i 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  U_ m  e.  {
z } [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B )
5651, 55eqtri 2463 . . . . . . . . . . 11  |-  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B  =  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
)
5756fveq2i 5709 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( vol `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )
58 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ m B
59 nfcsb1v 3319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ B
60 csbeq1a 3312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  B  =  [_ m  /  k ]_ B )
6158, 59, 60cbviun 4222 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ k  e.  y  B  =  U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B
62 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  y  e.  Fin )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
64 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  B  e.  dom  vol )
6564ralimi 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  A. k  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
dom  vol )
6663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol )
67 ssralv 3431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  dom  vol  ->  A. k  e.  y  B  e.  dom  vol )
)
6843, 66, 67mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. k  e.  y  B  e.  dom  vol )
69 finiunmbl 21040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. k  e.  y  B  e.  dom  vol )  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )
7062, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  U_ k  e.  y  B  e.  dom  vol )
7161, 70syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
72 ssun2 3535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
73 ssnid 3921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
{ z }
7472, 73sselii 3368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
75 nfcsb1v 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ B
7675nfel1 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol
77 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k vol
7877, 75nffv 5713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)
7978nfel1 2604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR
8076, 79nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ k ( [_ z  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR )
81 csbeq1a 3312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  B  =  [_ z  /  k ]_ B )
8281eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
8381fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  ( vol `  B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
8483eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol ` 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) )
8582, 84anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  z  ->  (
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
8680, 85rspc 3082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) ) )
8774, 63, 86mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ z  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
8887simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  [_ z  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
89 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  -.  z  e.  y )
90 elin 3554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
)  <->  ( w  e. 
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B ) )
91 eliun 4190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  <->  E. m  e.  y  w  e.  [_ m  /  k ]_ B )
92 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  -> Disj  k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
93 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ n B
94 nfcsb1v 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
95 csbeq1a 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
9693, 94, 95cbvdisj 4287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (Disj  k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  <-> Disj  n  e.  ( y  u. 
{ z } )
[_ n  /  k ]_ B )
9792, 96sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  -> Disj  n  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ n  /  k ]_ B
)
98 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  m  e.  y )
99 elun1 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  y  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  m  e.  ( y  u.  {
z } ) )
10174a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )
102 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  w  e.  [_ m  /  k ]_ B )
103 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  w  e.  [_ z  /  k ]_ B )
104 csbeq1 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ m  /  k ]_ B )
105 csbeq1 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  z  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ z  /  k ]_ B )
106104, 105disji 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (Disj  n  e.  ( y  u.  { z } )
[_ n  /  k ]_ B  /\  (
m  e.  ( y  u.  { z } )  /\  z  e.  ( y  u.  {
z } ) )  /\  ( w  e. 
[_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B ) )  ->  m  =  z )
10797, 100, 101, 102, 103, 106syl122anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  m  =  z )
108107, 98eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  ( m  e.  y  /\  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B
) )  ->  z  e.  y )
1091083exp2 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( m  e.  y  ->  ( w  e.  [_ m  / 
k ]_ B  ->  (
w  e.  [_ z  /  k ]_ B  ->  z  e.  y ) ) ) )
110109rexlimdv 2855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( E. m  e.  y  w  e.  [_ m  /  k ]_ B  ->  ( w  e.  [_ z  / 
k ]_ B  ->  z  e.  y ) ) )
11191, 110syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( w  e.  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  ->  ( w  e.  [_ z  / 
k ]_ B  ->  z  e.  y ) ) )
112111impd 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( (
w  e.  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  /\  w  e.  [_ z  /  k ]_ B )  ->  z  e.  y ) )
11390, 112syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( w  e.  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
)  ->  z  e.  y ) )
11489, 113mtod 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  -.  w  e.  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
) )
115114eq0rdv 3687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B )  =  (/) )
116 mblvol 21028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B ) )
11771, 116syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B ) )
118 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ m
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )
11959nfel1 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol
12077, 59nffv 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/_ k
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)
121120nfel1 2604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR
122119, 121nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k ( [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )
12360eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  m  ->  ( B  e.  dom  vol  <->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol ) )
12460fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  m  ->  ( vol `  B )  =  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )
125124eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  m  ->  (
( vol `  B
)  e.  RR  <->  ( vol ` 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) )
126123, 125anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  m  ->  (
( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <-> 
( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) ) )
127118, 122, 126cbvral 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  <->  A. m  e.  (
y  u.  { z } ) ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
12863, 127sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
129128r19.21bi 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
130129simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol )
131 mblss 21029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
132130, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
13399, 132sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  y )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
134133ralrimiva 2814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
135 iunss 4226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ m  e.  y  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  <->  A. m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
136134, 135sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR )
137 mblvol 21028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
138137eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol  ->  ( ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  <->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
139138biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
140129, 139syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
14199, 140sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  y )  ->  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
14262, 141fsumrecl 13226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
143131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  [_ m  /  k ]_ B  C_  RR )
144143, 139jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
[_ m  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  ( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
145144ralimi 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  A. m  e.  ( y  u.  { z } ) ( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
146128, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) (
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )
147 ssralv 3431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. m  e.  ( y  u.  {
z } ) (
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR )  ->  A. m  e.  y  ( [_ m  / 
k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B )  e.  RR ) ) )
14843, 146, 147mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  A. m  e.  y  ( [_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR ) )
149 ovolfiniun 20999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  A. m  e.  y  (
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
15062, 148, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )
151 ovollecl 20981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B  C_  RR  /\  sum_
m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
)  e.  RR  /\  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  <_  sum_ m  e.  y  ( vol* `  [_ m  /  k ]_ B
) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
152136, 142, 150, 151syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol* `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR )
153117, 152eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
15487simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  RR )
155 volun 21041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  [_ z  /  k ]_ B  e.  dom  vol 
/\  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  i^i  [_ z  /  k ]_ B
)  =  (/) )  /\  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  e.  RR  /\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B )  e.  RR ) )  ->  ( vol `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
15671, 88, 115, 153, 154, 155syl32anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol `  ( U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B  u.  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
15757, 156syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
158 disjsn 3951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
15989, 158sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( y  i^i  { z } )  =  (/) )
160 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( y  u.  { z } )  =  ( y  u. 
{ z } ) )
161 snfi 7405 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  Fin
162 unfi 7594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
16362, 161, 162sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( y  u.  { z } )  e.  Fin )
164129simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( vol ` 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  RR )
165164recnd 9427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B ) )  /\  m  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  ( vol ` 
[_ m  /  k ]_ B )  e.  CC )
166159, 160, 163, 165fsumsplit 13231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  +  sum_ m  e.  { z }  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) ) )
167154recnd 9427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( vol ` 
[_ z  /  k ]_ B )  e.  CC )
16853fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  z  ->  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
169168sumsn 13232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
)  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  {
z }  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
17052, 167, 169sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e. 
{ z }  ( vol `  [_ m  / 
k ]_ B )  =  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )
171170oveq2d 6122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  +  sum_ m  e.  { z }  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B ) ) )
172166, 171eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  =  ( sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) ) )
173157, 172eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( ( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  <->  ( ( vol `  U_ m  e.  y 
[_ m  /  k ]_ B )  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B
) )  =  (
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  +  ( vol `  [_ z  /  k ]_ B ) ) ) )
17450, 173syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
)  ->  ( vol ` 
U_ m  e.  ( y  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) ) )
17561fveq2i 5709 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )
176 nfcv 2589 . . . . . . . . 9  |-  F/_ m
( vol `  B
)
177176, 120, 124cbvsumi 13189 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  y  ( vol `  B )  =  sum_ m  e.  y  ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )
178175, 177eqeq12i 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
)  <->  ( vol `  U_ m  e.  y  [_ m  / 
k ]_ B )  = 
sum_ m  e.  y 
( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )
17958, 59, 60cbviun 4222 . . . . . . . . 9  |-  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
180179fveq2i 5709 . . . . . . . 8  |-  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  ( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)
181176, 120, 124cbvsumi 13189 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B )  =  sum_ m  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B )
182180, 181eqeq12i 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B )  <-> 
( vol `  U_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ B
)  =  sum_ m  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  [_ m  /  k ]_ B
) )
183174, 178, 1823imtr4g 270 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( A. k  e.  ( y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B ) )  ->  ( ( vol `  U_ k  e.  y  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol `  B
)  ->  ( vol ` 
U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) ) )
184183ex 434 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( A. k  e.  (
y  u.  { z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  ( y  u. 
{ z } ) B )  ->  (
( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
)  ->  ( vol ` 
U_ k  e.  ( y  u.  { z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) ( vol `  B ) ) ) )
185184a2d 26 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  =  sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) )  ->  (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B ) ) ) )
18649, 185syl5 32 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( A. k  e.  y  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  y  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  y  B )  = 
sum_ k  e.  y  ( vol `  B
) )  ->  (
( A. k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  (
y  u.  { z } ) B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) B )  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) ( vol `  B ) ) ) )
1878, 16, 24, 32, 42, 186findcard2s 7568 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( A. k  e.  A  ( B  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) ) )
1881873impib 1185 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   E.wrex 2731   _Vcvv 2987   [_csb 3303    u. cun 3341    i^i cin 3342    C_ wss 3343   (/)c0 3652   {csn 3892   U_ciun 4186  Disj wdisj 4277   class class class wbr 4307   dom cdm 4855   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Fincfn 7325   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297    + caddc 9300    <_ cle 9434   sum_csu 13178   vol*covol 20961   volcvol 20962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xadd 11105  df-ioo 11319  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-sum 13179  df-xmet 17825  df-met 17826  df-ovol 20963  df-vol 20964
This theorem is referenced by:  uniioovol  21074  uniioombllem4  21081  itg1addlem1  21185  volfiniune  26661
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