Theorem volf 21675

Description: The domain and range of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volf	|- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem volf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolf 21628	. . . . . 6 |- vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
2		ffun 5731	. . . . . 6 |- ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) -> Fun vol* )
3		funres 5625	. . . . . 6 |- ( Fun vol* -> Fun ( vol* |` dom vol ) )
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 |- Fun ( vol* |` dom vol )
5		volres 21674	. . . . . 6 |- vol = ( vol* |` dom vol )
6	5	funeqi 5606	. . . . 5 |- ( Fun vol <-> Fun ( vol* |` dom vol ) )
7	4, 6	mpbir 209	. . . 4 |- Fun vol
8		resss 5295	. . . . . 6 |- ( vol* |` dom vol ) C_ vol*
9	5, 8	eqsstri 3534	. . . . 5 |- vol C_ vol*
10		fssxp 5741	. . . . . 6 |- ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) -> vol* C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- vol* C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) )
12	9, 11	sstri 3513	. . . 4 |- vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) )
13	7, 12	pm3.2i 455	. . 3 |- ( Fun vol /\ vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) )
14		funssxp 5742	. . 3 |- ( ( Fun vol /\ vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) ) <-> ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom vol C_ ~P RR ) )
15	13, 14	mpbi 208	. 2 |- ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom vol C_ ~P RR )
16	15	simpli 458	1 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )

Syntax hints:   /\ wa 369   C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   X. cxp 4997   dom cdm 4999   |` cres 5001   Fun wfun 5580   -->wf 5582  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621   [,]cicc 11528   vol*covol 21609   volcvol 21610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-ovol 21611  df-vol 21612

This theorem is referenced by:  volsup  21701  volsup2  21749  volivth  21751  itg1climres  21856  itg2const2  21883  itg2gt0  21902  areambl  23016  voliune  27841  volfiniune  27842  volmeas  27843  volsupnfl  29636  areacirc  29689  arearect  30788  areaquad  30789  fourierdlem87  31494