Theorem volf 22483

Description: The domain and range of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volf	|- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem volf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolf 22435	. . . . . 6 |- vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
2		ffun 5731	. . . . . 6 |- ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) -> Fun vol* )
3		funres 5621	. . . . . 6 |- ( Fun vol* -> Fun ( vol* |` dom vol ) )
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 |- Fun ( vol* |` dom vol )
5		volres 22482	. . . . . 6 |- vol = ( vol* |` dom vol )
6	5	funeqi 5602	. . . . 5 |- ( Fun vol <-> Fun ( vol* |` dom vol ) )
7	4, 6	mpbir 213	. . . 4 |- Fun vol
8		resss 5128	. . . . . 6 |- ( vol* |` dom vol ) C_ vol*
9	5, 8	eqsstri 3462	. . . . 5 |- vol C_ vol*
10		fssxp 5741	. . . . . 6 |- ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) -> vol* C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- vol* C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) )
12	9, 11	sstri 3441	. . . 4 |- vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) )
13	7, 12	pm3.2i 457	. . 3 |- ( Fun vol /\ vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) )
14		funssxp 5742	. . 3 |- ( ( Fun vol /\ vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) ) <-> ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom vol C_ ~P RR ) )
15	13, 14	mpbi 212	. 2 |- ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom vol C_ ~P RR )
16	15	simpli 460	1 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )

Syntax hints:   /\ wa 371   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   X. cxp 4832   dom cdm 4834   |` cres 4836   Fun wfun 5576   -->wf 5578  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   +oocpnf 9672   [,]cicc 11638   vol*covol 22413   volcvol 22415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-ovol 22416  df-vol 22418

This theorem is referenced by:  volsup  22509  volsup2  22563  volivth  22565  itg1climres  22672  itg2const2  22699  itg2gt0  22718  areambl  23884  voliune  29052  volfiniune  29053  volmeas  29054  volsupnfl  31985  areacirc  32037  arearect  36100  areaquad  36101  fourierdlem87  38057  hoidmv1lelem1  38413  hoidmv1lelem2  38414  hoidmv1lelem3  38415