MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volf Structured version   Unicode version

Theorem volf 21675
Description: The domain and range of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
volf  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem volf
StepHypRef Expression
1 ovolf 21628 . . . . . 6  |-  vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
2 ffun 5731 . . . . . 6  |-  ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  Fun  vol* )
3 funres 5625 . . . . . 6  |-  ( Fun 
vol*  ->  Fun  ( vol*  |`  dom  vol )
)
41, 2, 3mp2b 10 . . . . 5  |-  Fun  ( vol*  |`  dom  vol )
5 volres 21674 . . . . . 6  |-  vol  =  ( vol*  |`  dom  vol )
65funeqi 5606 . . . . 5  |-  ( Fun 
vol 
<->  Fun  ( vol*  |` 
dom  vol ) )
74, 6mpbir 209 . . . 4  |-  Fun  vol
8 resss 5295 . . . . . 6  |-  ( vol*  |`  dom  vol )  C_ 
vol*
95, 8eqsstri 3534 . . . . 5  |-  vol  C_  vol*
10 fssxp 5741 . . . . . 6  |-  ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  vol*  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )
111, 10ax-mp 5 . . . . 5  |-  vol*  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,] +oo ) )
129, 11sstri 3513 . . . 4  |-  vol  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,] +oo ) )
137, 12pm3.2i 455 . . 3  |-  ( Fun 
vol  /\  vol  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )
14 funssxp 5742 . . 3  |-  ( ( Fun  vol  /\  vol  C_  ( ~P RR  X.  ( 0 [,] +oo ) ) )  <->  ( vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  vol  C_ 
~P RR ) )
1513, 14mpbi 208 . 2  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  /\  dom  vol  C_  ~P RR )
1615simpli 458 1  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010    X. cxp 4997   dom cdm 4999    |` cres 5001   Fun wfun 5580   -->wf 5582  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621   [,]cicc 11528   vol*covol 21609   volcvol 21610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-seq 12072  df-exp 12131  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-ovol 21611  df-vol 21612
This theorem is referenced by:  volsup  21701  volsup2  21749  volivth  21751  itg1climres  21856  itg2const2  21883  itg2gt0  21902  areambl  23016  voliune  27841  volfiniune  27842  volmeas  27843  volsupnfl  29636  areacirc  29689  arearect  30788  areaquad  30789  fourierdlem87  31494
  Copyright terms: Public domain W3C validator