Theorem volf 22230

Description: The domain and range of the Lebesgue measure function. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
volf	|- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )

Proof of Theorem volf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolf 22183	. . . . . 6 |- vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo )
2		ffun 5715	. . . . . 6 |- ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) -> Fun vol* )
3		funres 5607	. . . . . 6 |- ( Fun vol* -> Fun ( vol* |` dom vol ) )
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5 |- Fun ( vol* |` dom vol )
5		volres 22229	. . . . . 6 |- vol = ( vol* |` dom vol )
6	5	funeqi 5588	. . . . 5 |- ( Fun vol <-> Fun ( vol* |` dom vol ) )
7	4, 6	mpbir 209	. . . 4 |- Fun vol
8		resss 5116	. . . . . 6 |- ( vol* |` dom vol ) C_ vol*
9	5, 8	eqsstri 3471	. . . . 5 |- vol C_ vol*
10		fssxp 5725	. . . . . 6 |- ( vol* : ~P RR --> ( 0 [,] +oo ) -> vol* C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) )
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- vol* C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) )
12	9, 11	sstri 3450	. . . 4 |- vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) )
13	7, 12	pm3.2i 453	. . 3 |- ( Fun vol /\ vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) )
14		funssxp 5726	. . 3 |- ( ( Fun vol /\ vol C_ ( ~P RR X. ( 0 [,] +oo ) ) ) <-> ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom vol C_ ~P RR ) )
15	13, 14	mpbi 208	. 2 |- ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) /\ dom vol C_ ~P RR )
16	15	simpli 456	1 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )

Syntax hints:   /\ wa 367   C_ wss 3413   ~Pcpw 3954   X. cxp 4820   dom cdm 4822   |` cres 4824   Fun wfun 5562   -->wf 5564  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   +oocpnf 9654   [,]cicc 11584   vol*covol 22164   volcvol 22165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-seq 12150  df-exp 12209  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-ovol 22166  df-vol 22167

This theorem is referenced by:  volsup  22256  volsup2  22304  volivth  22306  itg1climres  22411  itg2const2  22438  itg2gt0  22457  areambl  23612  voliune  28664  volfiniune  28665  volmeas  28666  volsupnfl  31411  areacirc  31463  arearect  35527  areaquad  35528  fourierdlem87  37325