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Theorem volcn 21084
Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
volcn  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  F  e.  ( RR -cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem volcn
Dummy variables  u  e  v  y  z 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
2 iccmbl 21045 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B [,] x
)  e.  dom  vol )
32adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B [,] x )  e.  dom  vol )
4 inmbl 21021 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B [,] x
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  e.  dom  vol )
51, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  e.  dom  vol )
6 mblvol 21011 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] x ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
8 inss2 3569 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  C_  ( B [,] x )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  C_  ( B [,] x ) )
10 mblss 21012 . . . . . 6  |-  ( ( B [,] x )  e.  dom  vol  ->  ( B [,] x ) 
C_  RR )
113, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B [,] x )  C_  RR )
12 mblvol 21011 . . . . . . 7  |-  ( ( B [,] x )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  =  ( vol* `  ( B [,] x
) ) )
133, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  =  ( vol* `  ( B [,] x
) ) )
14 iccvolcl 21046 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  e.  RR )
1514adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  e.  RR )
1613, 15eqeltrrd 2516 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( B [,] x
) )  e.  RR )
17 ovolsscl 20967 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  ( B [,] x ) ) 
C_  ( B [,] x )  /\  ( B [,] x )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( B [,] x
) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  e.  RR )
189, 11, 16, 17syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  e.  RR )
197, 18eqeltrd 2515 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  e.  RR )
20 volcn.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
2119, 20fmptd 5865 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  F : RR --> RR )
22 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR+ )
23 oveq12 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  z  /\  u  =  y )  ->  ( v  -  u
)  =  ( z  -  y ) )
2423ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( v  -  u
)  =  ( z  -  y ) )
2524fveq2d 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( abs `  (
v  -  u ) )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
2625breq1d 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( abs `  (
v  -  u ) )  <  e  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e
) )
27 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  ( F `  v )  =  ( F `  z ) )
28 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
2927, 28oveqan12rd 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( F `  v )  -  ( F `  u )
)  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) ) )
3029fveq2d 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) ) )
3130breq1d 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) )  <  e
) )
3226, 31imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( v  -  u
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
33 oveq12 6098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  y  /\  u  =  z )  ->  ( v  -  u
)  =  ( y  -  z ) )
3433ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( v  -  u
)  =  ( y  -  z ) )
3534fveq2d 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( abs `  (
v  -  u ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
3635breq1d 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( abs `  (
v  -  u ) )  <  e  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  e
) )
37 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  ( F `  v )  =  ( F `  y ) )
38 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  ( F `  u )  =  ( F `  z ) )
3937, 38oveqan12rd 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( F `  v )  -  ( F `  u )
)  =  ( ( F `  y )  -  ( F `  z ) ) )
4039fveq2d 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) ) )
4140breq1d 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) )  <  e
) )
4236, 41imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( v  -  u
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 z ) ) )  <  e ) ) )
43 ssid 3373 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  RR  C_  RR )
45 recn 9370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
46 recn 9370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
47 abssub 12812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
z  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
4845, 46, 47syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( abs `  (
z  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( abs `  ( z  -  y
) )  =  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
5049breq1d 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
e  <->  ( abs `  (
y  -  z ) )  <  e ) )
5121adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  F : RR --> RR )
52 ffvelrn 5839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
53 ffvelrn 5839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
5452, 53anim12dan 833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  e.  RR ) )
5551, 54sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  e.  RR ) )
56 recn 9370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( F `  z )  e.  CC )
57 recn 9370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  CC )
58 abssub 12812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( F `  y )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) ) )
5956, 57, 58syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) ) )
6055, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z ) ) ) )
6160breq1d 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  y ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z ) ) )  <  e ) )
6250, 61imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 z ) ) )  <  e ) ) )
63 simpr2 995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
z  e.  RR )
64 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( B [,] x )  =  ( B [,] z
) )
6564ineq2d 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  =  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )
6665fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
67 fvex 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  e.  _V
6866, 20, 67fvmpt 5772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR  ->  ( F `  z )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
6963, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
70 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  A  e.  dom  vol )
71 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  B  e.  RR )
73 iccmbl 21045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( B [,] z
)  e.  dom  vol )
7472, 63, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] z
)  e.  dom  vol )
75 inmbl 21021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B [,] z
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol )
7670, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol )
77 mblvol 21011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
7969, 78eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z
) ) ) )
80 simpr1 994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
y  e.  RR )
81 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( B [,] x )  =  ( B [,] y
) )
8281ineq2d 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  =  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )
8382fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
84 fvex 5699 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  e.  _V
8583, 20, 84fvmpt 5772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
8680, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
87 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  y  e.  RR )
88 iccmbl 21045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( B [,] y
)  e.  dom  vol )
8971, 87, 88syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] y
)  e.  dom  vol )
90 inmbl 21021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B [,] y
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( B [,] y ) )  e.  dom  vol )
9170, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] y ) )  e.  dom  vol )
92 mblvol 21011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
9486, 93eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) ) )
9579, 94oveq12d 6107 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  =  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  -  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) ) )
9651adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  F : RR --> RR )
9796, 63ffvelrnd 5842 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  z
)  e.  RR )
9879, 97eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  e.  RR )
9972leidd 9904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  B  <_  B )
100 simpr3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
y  <_  z )
101 iccss 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  ( B  <_  B  /\  y  <_  z
) )  ->  ( B [,] y )  C_  ( B [,] z ) )
10272, 63, 99, 100, 101syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] y
)  C_  ( B [,] z ) )
103 sslin 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B [,] y ) 
C_  ( B [,] z )  ->  ( A  i^i  ( B [,] y ) )  C_  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] y ) ) 
C_  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )
105 mblss 21012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol  ->  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  RR )
10676, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  RR )
107104, 106sstrd 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] y ) ) 
C_  RR )
108 iccssre 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y [,] z
)  C_  RR )
10980, 63, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( y [,] z
)  C_  RR )
110107, 109unssd 3530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) 
C_  RR )
11196, 80ffvelrnd 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
11294, 111eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  e.  RR )
11363, 80resubcld 9774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( z  -  y
)  e.  RR )
114112, 113readdcld 9411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) )  e.  RR )
115 ovolicc 21004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( vol* `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( y [,] z
) )  =  ( z  -  y ) )
117116, 113eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( y [,] z
) )  e.  RR )
118 ovolun 20980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( y [,] z )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( y [,] z
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  +  ( vol* `  ( y [,] z
) ) ) )
119107, 112, 109, 117, 118syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( vol* `  ( y [,] z
) ) ) )
120116oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( vol* `  ( y [,] z ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  +  ( z  -  y
) ) )
121119, 120breqtrd 4314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) ) )
122 ovollecl 20964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) 
C_  RR  /\  (
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  +  ( z  -  y
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  e.  RR )
123110, 114, 121, 122syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  e.  RR )
12472adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  B  e.  RR )
12563adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  z  e.  RR )
12680adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
127 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  B  <_  y )
128100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  y  <_  z )
129 simp2 989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  z  e.  RR )
130 elicc2 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( B [,] z )  <-> 
( y  e.  RR  /\  B  <_  y  /\  y  <_  z ) ) )
13171, 129, 130syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( y  e.  ( B [,] z )  <-> 
( y  e.  RR  /\  B  <_  y  /\  y  <_  z ) ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  ( y  e.  ( B [,] z
)  <->  ( y  e.  RR  /\  B  <_ 
y  /\  y  <_  z ) ) )
133126, 127, 128, 132mpbir3and 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  y  e.  ( B [,] z ) )
134 iccsplit 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  e.  ( B [,] z
) )  ->  ( B [,] z )  =  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) )
135124, 125, 133, 134syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  ( B [,] z )  =  ( ( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) )
136 eqimss 3406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B [,] z )  =  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) )  ->  ( B [,] z )  C_  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  ( B [,] z )  C_  (
( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) )
13880adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  y  e.  RR )
13963adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  z  e.  RR )
140 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  y  <_  B )
141139leidd 9904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  z  <_  z )
142 iccss 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  ( y  <_  B  /\  z  <_  z
) )  ->  ( B [,] z )  C_  ( y [,] z
) )
143138, 139, 140, 141, 142syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  ( B [,] z )  C_  (
y [,] z ) )
144 ssun4 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B [,] z ) 
C_  ( y [,] z )  ->  ( B [,] z )  C_  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  ( B [,] z )  C_  (
( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) )
14672, 80, 137, 145lecasei 9478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] z
)  C_  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) ) )
147 sslin 3574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B [,] z ) 
C_  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) )  ->  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  C_  ( A  i^i  (
( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  ( A  i^i  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) ) )
149 indi 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) ) )  =  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( A  i^i  ( y [,] z ) ) )
150 inss2 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  ( y [,] z ) )  C_  ( y [,] z
)
151 unss2 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  i^i  ( y [,] z ) ) 
C_  ( y [,] z )  ->  (
( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( A  i^i  ( y [,] z
) ) )  C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( A  i^i  ( y [,] z
) ) )  C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) )
153149, 152eqsstri 3384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  i^i  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) ) )  C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) )
154148, 153syl6ss 3366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z
) ) )
155 ovolss 20966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z
) )  /\  (
( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z
) ) )  <_ 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) ) )
156154, 110, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  <_  ( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z
) ) ) )
15798, 123, 114, 156, 121letrd 9526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) ) )
15898, 112, 113lesubadd2d 9936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z
) ) )  -  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )  <_  ( z  -  y )  <->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  <_  (
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) ) ) )
159157, 158mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  -  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) ) )  <_  ( z  -  y ) )
16095, 159eqbrtrd 4310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  <_  ( z  -  y ) )
16197, 111resubcld 9774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  e.  RR )
162 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
e  e.  RR+ )
163162rpred 11025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
e  e.  RR )
164 lelttr 9463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  e.  RR  /\  ( z  -  y
)  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) )  <_ 
( z  -  y
)  /\  ( z  -  y )  < 
e )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) )  <  e ) )
165161, 113, 163, 164syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) )  <_ 
( z  -  y
)  /\  ( z  -  y )  < 
e )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) )  <  e ) )
166160, 165mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( z  -  y )  <  e  ->  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  <  e )
)
167 abssubge0 12813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( z  -  y
) )
168167adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( abs `  (
z  -  y ) )  =  ( z  -  y ) )
169168breq1d 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  <->  ( z  -  y )  < 
e ) )
170 ovolss 20966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  i^i  ( B [,] y ) ) 
C_  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  /\  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  <_ 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
171104, 106, 170syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  <_  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
172171, 94, 793brtr4d 4320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  z ) )
173111, 97, 172abssubge0d 12916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) ) )
174173breq1d 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e  <->  ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) )  < 
e ) )
175166, 169, 1743imtr4d 268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
17632, 42, 44, 62, 175wlogle 9871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
e  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) )  <  e
) )
177176anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
178177ralrimiva 2797 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR )  ->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
179178anasss 647 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( e  e.  RR+  /\  y  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
180179ancom2s 800 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
181 breq2 4294 . . . . . . 7  |-  ( d  =  e  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e
) )
182181imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
183182ralbidv 2733 . . . . 5  |-  ( d  =  e  ->  ( A. z  e.  RR  ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e )  <->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
184183rspcev 3071 . . . 4  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  A. z  e.  RR  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
18522, 180, 184syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
186185ralrimivva 2806 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  A. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
187 ax-resscn 9337 . . 3  |-  RR  C_  CC
188 elcncf2 20464 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( RR -cn-> RR )  <->  ( F : RR
--> RR  /\  A. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) ) )
189187, 187, 188mp2an 672 . 2  |-  ( F  e.  ( RR -cn-> RR )  <->  ( F : RR
--> RR  /\  A. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
19021, 186, 189sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  F  e.  ( RR -cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714    u. cun 3324    i^i cin 3325    C_ wss 3326   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   dom cdm 4838   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279    + caddc 9283    < clt 9416    <_ cle 9417    - cmin 9593   RR+crp 10989   [,]cicc 11301   abscabs 12721   -cn->ccncf 20450   vol*covol 20944   volcvol 20945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-rlim 12965  df-sum 13162  df-rest 14359  df-topgen 14380  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-cmp 18988  df-cncf 20452  df-ovol 20946  df-vol 20947
This theorem is referenced by:  volivth  21085
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