MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  volcn Structured version   Unicode version

Theorem volcn 21743
Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
volcn  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  F  e.  ( RR -cn-> RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem volcn
Dummy variables  u  e  v  y  z 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
2 iccmbl 21704 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( B [,] x
)  e.  dom  vol )
32adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B [,] x )  e.  dom  vol )
4 inmbl 21680 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B [,] x
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  e.  dom  vol )
51, 3, 4syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  e.  dom  vol )
6 mblvol 21669 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] x ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
8 inss2 3712 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  C_  ( B [,] x )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  C_  ( B [,] x ) )
10 mblss 21670 . . . . . 6  |-  ( ( B [,] x )  e.  dom  vol  ->  ( B [,] x ) 
C_  RR )
113, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( B [,] x )  C_  RR )
12 mblvol 21669 . . . . . . 7  |-  ( ( B [,] x )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  =  ( vol* `  ( B [,] x
) ) )
133, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  =  ( vol* `  ( B [,] x
) ) )
14 iccvolcl 21705 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  e.  RR )
1514adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( B [,] x ) )  e.  RR )
1613, 15eqeltrrd 2549 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( B [,] x
) )  e.  RR )
17 ovolsscl 21625 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  ( B [,] x ) ) 
C_  ( B [,] x )  /\  ( B [,] x )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( B [,] x
) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  e.  RR )
189, 11, 16, 17syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  e.  RR )
197, 18eqeltrd 2548 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  e.  RR )
20 volcn.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) ) )
2119, 20fmptd 6036 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  F : RR --> RR )
22 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  e  e.  RR+ )
23 oveq12 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  z  /\  u  =  y )  ->  ( v  -  u
)  =  ( z  -  y ) )
2423ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( v  -  u
)  =  ( z  -  y ) )
2524fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( abs `  (
v  -  u ) )  =  ( abs `  ( z  -  y
) ) )
2625breq1d 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( abs `  (
v  -  u ) )  <  e  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e
) )
27 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  ( F `  v )  =  ( F `  z ) )
28 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
2927, 28oveqan12rd 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( F `  v )  -  ( F `  u )
)  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) ) )
3029fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) ) )
3130breq1d 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) )  <  e
) )
3226, 31imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  y  /\  v  =  z )  ->  ( ( ( abs `  ( v  -  u
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
33 oveq12 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  =  y  /\  u  =  z )  ->  ( v  -  u
)  =  ( y  -  z ) )
3433ancoms 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( v  -  u
)  =  ( y  -  z ) )
3534fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( abs `  (
v  -  u ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
3635breq1d 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( abs `  (
v  -  u ) )  <  e  <->  ( abs `  ( y  -  z
) )  <  e
) )
37 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  y  ->  ( F `  v )  =  ( F `  y ) )
38 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  z  ->  ( F `  u )  =  ( F `  z ) )
3937, 38oveqan12rd 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( F `  v )  -  ( F `  u )
)  =  ( ( F `  y )  -  ( F `  z ) ) )
4039fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) ) )
4140breq1d 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) )  <  e
) )
4236, 41imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  =  z  /\  v  =  y )  ->  ( ( ( abs `  ( v  -  u
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  v
)  -  ( F `
 u ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 z ) ) )  <  e ) ) )
43 ssid 3516 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  RR  C_  RR )
45 recn 9571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR  ->  z  e.  CC )
46 recn 9571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  ->  y  e.  CC )
47 abssub 13108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( abs `  (
z  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
4845, 46, 47syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( abs `  (
z  -  y ) )  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( abs `  ( z  -  y
) )  =  ( abs `  ( y  -  z ) ) )
5049breq1d 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
e  <->  ( abs `  (
y  -  z ) )  <  e ) )
5121adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  F : RR --> RR )
52 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
53 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( F `  z
)  e.  RR )
5452, 53anim12dan 834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR ) )  ->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  e.  RR ) )
5551, 54sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  ( F `
 z )  e.  RR ) )
56 recn 9571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  z )  e.  RR  ->  ( F `  z )  e.  CC )
57 recn 9571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  y )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  CC )
58 abssub 13108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  CC  /\  ( F `  y )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) ) )
5956, 57, 58syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z )
) ) )
6055, 59syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z ) ) ) )
6160breq1d 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 z )  -  ( F `  y ) ) )  <  e  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  z ) ) )  <  e ) )
6250, 61imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  z ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 z ) ) )  <  e ) ) )
63 simpr2 998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
z  e.  RR )
64 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  ( B [,] x )  =  ( B [,] z
) )
6564ineq2d 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  =  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )
6665fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
67 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  e.  _V
6866, 20, 67fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  RR  ->  ( F `  z )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
6963, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
70 simplll 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  A  e.  dom  vol )
71 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  B  e.  RR )
73 iccmbl 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( B [,] z
)  e.  dom  vol )
7472, 63, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] z
)  e.  dom  vol )
75 inmbl 21680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B [,] z
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol )
7670, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol )
77 mblvol 21669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
7969, 78eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z
) ) ) )
80 simpr1 997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
y  e.  RR )
81 oveq2 6283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( B [,] x )  =  ( B [,] y
) )
8281ineq2d 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( A  i^i  ( B [,] x ) )  =  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )
8382fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] x ) ) )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
84 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  e.  _V
8583, 20, 84fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  RR  ->  ( F `  y )  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
8680, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
87 simp1 991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  y  e.  RR )
88 iccmbl 21704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( B [,] y
)  e.  dom  vol )
8971, 87, 88syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] y
)  e.  dom  vol )
90 inmbl 21680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( B [,] y
)  e.  dom  vol )  ->  ( A  i^i  ( B [,] y ) )  e.  dom  vol )
9170, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] y ) )  e.  dom  vol )
92 mblvol 21669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )
9486, 93eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) ) )
9579, 94oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  =  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  -  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) ) )
9651adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  F : RR --> RR )
9796, 63ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  z
)  e.  RR )
9879, 97eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  e.  RR )
9972leidd 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  ->  B  <_  B )
100 simpr3 999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
y  <_  z )
101 iccss 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  ( B  <_  B  /\  y  <_  z
) )  ->  ( B [,] y )  C_  ( B [,] z ) )
10272, 63, 99, 100, 101syl22anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] y
)  C_  ( B [,] z ) )
103 sslin 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B [,] y ) 
C_  ( B [,] z )  ->  ( A  i^i  ( B [,] y ) )  C_  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] y ) ) 
C_  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )
105 mblss 21670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] z ) )  e.  dom  vol  ->  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  RR )
10676, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  RR )
107104, 106sstrd 3507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] y ) ) 
C_  RR )
108 iccssre 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y [,] z
)  C_  RR )
10980, 63, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( y [,] z
)  C_  RR )
110107, 109unssd 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) 
C_  RR )
11196, 80ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
11294, 111eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  e.  RR )
11363, 80resubcld 9976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( z  -  y
)  e.  RR )
114112, 113readdcld 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) )  e.  RR )
115 ovolicc 21662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( vol* `  ( y [,] z ) )  =  ( z  -  y ) )
116115adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( y [,] z
) )  =  ( z  -  y ) )
117116, 113eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( y [,] z
) )  e.  RR )
118 ovolun 21638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( y [,] z )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( y [,] z
) )  e.  RR ) )  ->  ( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  +  ( vol* `  ( y [,] z
) ) ) )
119107, 112, 109, 117, 118syl22anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( vol* `  ( y [,] z
) ) ) )
120116oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( vol* `  ( y [,] z ) ) )  =  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  +  ( z  -  y
) ) )
121119, 120breqtrd 4464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) ) )
122 ovollecl 21622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) 
C_  RR  /\  (
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) )  e.  RR  /\  ( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  +  ( z  -  y
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  e.  RR )
123110, 114, 121, 122syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )  e.  RR )
12472adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  B  e.  RR )
12563adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  z  e.  RR )
12680adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  y  e.  RR )
127 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  B  <_  y )
128100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  y  <_  z )
129 simp2 992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  z  e.  RR )
130 elicc2 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( B [,] z )  <-> 
( y  e.  RR  /\  B  <_  y  /\  y  <_  z ) ) )
13171, 129, 130syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( y  e.  ( B [,] z )  <-> 
( y  e.  RR  /\  B  <_  y  /\  y  <_  z ) ) )
132131adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  ( y  e.  ( B [,] z
)  <->  ( y  e.  RR  /\  B  <_ 
y  /\  y  <_  z ) ) )
133126, 127, 128, 132mpbir3and 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  y  e.  ( B [,] z ) )
134 iccsplit 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  e.  ( B [,] z
) )  ->  ( B [,] z )  =  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) )
135124, 125, 133, 134syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  ( B [,] z )  =  ( ( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) )
136 eqimss 3549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B [,] z )  =  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) )  ->  ( B [,] z )  C_  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  B  <_  y
)  ->  ( B [,] z )  C_  (
( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) )
13880adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  y  e.  RR )
13963adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  z  e.  RR )
140 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  y  <_  B )
141139leidd 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  z  <_  z )
142 iccss 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  /\  ( y  <_  B  /\  z  <_  z
) )  ->  ( B [,] z )  C_  ( y [,] z
) )
143138, 139, 140, 141, 142syl22anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  ( B [,] z )  C_  (
y [,] z ) )
144 ssun4 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B [,] z ) 
C_  ( y [,] z )  ->  ( B [,] z )  C_  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  /\  y  <_  B
)  ->  ( B [,] z )  C_  (
( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) )
14672, 80, 137, 145lecasei 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( B [,] z
)  C_  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) ) )
147 sslin 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B [,] z ) 
C_  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) )  ->  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  C_  ( A  i^i  (
( B [,] y
)  u.  ( y [,] z ) ) ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  ( A  i^i  ( ( B [,] y )  u.  (
y [,] z ) ) ) )
149 indi 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  i^i  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) ) )  =  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( A  i^i  ( y [,] z ) ) )
150 inss2 3712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  ( y [,] z ) )  C_  ( y [,] z
)
151 unss2 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  i^i  ( y [,] z ) ) 
C_  ( y [,] z )  ->  (
( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( A  i^i  ( y [,] z
) ) )  C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) )
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( A  i^i  ( y [,] z
) ) )  C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) )
153149, 152eqsstri 3527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  i^i  ( ( B [,] y )  u.  ( y [,] z
) ) )  C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) )
154148, 153syl6ss 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z
) ) )
155 ovolss 21624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  i^i  ( B [,] z ) ) 
C_  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z
) )  /\  (
( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z
) ) )  <_ 
( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z ) ) ) )
156154, 110, 155syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  <_  ( vol* `  ( ( A  i^i  ( B [,] y ) )  u.  ( y [,] z
) ) ) )
15798, 123, 114, 156, 121letrd 9727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  <_  ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) ) )
15898, 112, 113lesubadd2d 10140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z
) ) )  -  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) ) )  <_  ( z  -  y )  <->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  <_  (
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  +  ( z  -  y ) ) ) )
159157, 158mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) )  -  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) ) )  <_  ( z  -  y ) )
16095, 159eqbrtrd 4460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  <_  ( z  -  y ) )
16197, 111resubcld 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  e.  RR )
162 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
e  e.  RR+ )
163162rpred 11245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
e  e.  RR )
164 lelttr 9664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  e.  RR  /\  ( z  -  y
)  e.  RR  /\  e  e.  RR )  ->  ( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) )  <_ 
( z  -  y
)  /\  ( z  -  y )  < 
e )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) )  <  e ) )
165161, 113, 163, 164syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) )  <_ 
( z  -  y
)  /\  ( z  -  y )  < 
e )  ->  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) )  <  e ) )
166160, 165mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( z  -  y )  <  e  ->  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
)  <  e )
)
167 abssubge0 13109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( z  -  y
) )
168167adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( abs `  (
z  -  y ) )  =  ( z  -  y ) )
169168breq1d 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  <->  ( z  -  y )  < 
e ) )
170 ovolss 21624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  i^i  ( B [,] y ) ) 
C_  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  /\  ( A  i^i  ( B [,] z ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y
) ) )  <_ 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
171104, 106, 170syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] y ) ) )  <_  ( vol* `  ( A  i^i  ( B [,] z ) ) ) )
172171, 94, 793brtr4d 4470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( F `  y
)  <_  ( F `  z ) )
173111, 97, 172abssubge0d 13212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) ) )
174173breq1d 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e  <->  ( ( F `  z )  -  ( F `  y ) )  < 
e ) )
175166, 169, 1743imtr4d 268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR  /\  y  <_  z ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
17632, 42, 44, 62, 175wlogle 10075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  (
y  e.  RR  /\  z  e.  RR )
)  ->  ( ( abs `  ( z  -  y ) )  < 
e  ->  ( abs `  ( ( F `  z )  -  ( F `  y )
) )  <  e
) )
177176anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR )  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
178177ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR )  /\  e  e.  RR+ )  /\  y  e.  RR )  ->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
179178anasss 647 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( e  e.  RR+  /\  y  e.  RR ) )  ->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
180179ancom2s 800 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
181 breq2 4444 . . . . . . 7  |-  ( d  =  e  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  <->  ( abs `  ( z  -  y
) )  <  e
) )
182181imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( d  =  e  ->  (
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
183182ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( d  =  e  ->  ( A. z  e.  RR  ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e )  <->  A. z  e.  RR  ( ( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
184183rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( e  e.  RR+  /\  A. z  e.  RR  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  e  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
18522, 180, 184syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR )  /\  ( y  e.  RR  /\  e  e.  RR+ ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
186185ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  A. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  ( ( abs `  ( z  -  y
) )  <  d  ->  ( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) )
187 ax-resscn 9538 . . 3  |-  RR  C_  CC
188 elcncf2 21122 . . 3  |-  ( ( RR  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( RR -cn-> RR )  <->  ( F : RR
--> RR  /\  A. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) ) )
189187, 187, 188mp2an 672 . 2  |-  ( F  e.  ( RR -cn-> RR )  <->  ( F : RR
--> RR  /\  A. y  e.  RR  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. z  e.  RR  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <  d  -> 
( abs `  (
( F `  z
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  e ) ) )
19021, 186, 189sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR )  ->  F  e.  ( RR -cn-> RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808    u. cun 3467    i^i cin 3468    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   dom cdm 4992   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   RR+crp 11209   [,]cicc 11521   abscabs 13017   -cn->ccncf 21108   vol*covol 21602   volcvol 21603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cmp 19646  df-cncf 21110  df-ovol 21604  df-vol 21605
This theorem is referenced by:  volivth  21744
  Copyright terms: Public domain W3C validator