Theorem volcn 22197

Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
volcn.1	|- F = ( x e. RR |-> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
volcn	|- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F e. ( RR -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem volcn

Dummy variables u e v y z d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 752	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> A e. dom vol )
2		iccmbl 22158	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) e. dom vol )
3	2	adantll 712	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) e. dom vol )
4		inmbl 22134	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] x ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol )
5	1, 3, 4	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol )
6		mblvol 22123	. . . . 5 |- ( ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
8		inss2 3657	. . . . . 6 |- ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x ) )
10		mblss 22124	. . . . . 6 |- ( ( B [,] x ) e. dom vol -> ( B [,] x ) C_ RR )
11	3, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) C_ RR )
12		mblvol 22123	. . . . . . 7 |- ( ( B [,] x ) e. dom vol -> ( vol ` ( B [,] x ) ) = ( vol* ` ( B [,] x ) ) )
13	3, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) = ( vol* ` ( B [,] x ) ) )
14		iccvolcl 22159	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) e. RR )
15	14	adantll 712	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) e. RR )
16	13, 15	eqeltrrd 2489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol* ` ( B [,] x ) ) e. RR )
17		ovolsscl 22079	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x ) /\ ( B [,] x ) C_ RR /\ ( vol* ` ( B [,] x ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
19	7, 18	eqeltrd 2488	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
20		volcn.1	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
21	19, 20	fmptd 5987	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F : RR --> RR )
22		simprr 756	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
23		oveq12 6241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = z /\ u = y ) -> ( v - u ) = ( z - y ) )
24	23	ancoms 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( v - u ) = ( z - y ) )
25	24	fveq2d 5807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( abs ` ( v - u ) ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
26	25	breq1d 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( abs ` ( v - u ) ) < e <-> ( abs ` ( z - y ) ) < e ) )
27		fveq2 5803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = z -> ( F ` v ) = ( F ` z ) )
28		fveq2 5803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = y -> ( F ` u ) = ( F ` y ) )
29	27, 28	oveqan12rd 6252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) )
30	29	fveq2d 5807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) )
31	30	breq1d 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
32	26, 31	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( ( abs ` ( v - u ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
33		oveq12 6241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = y /\ u = z ) -> ( v - u ) = ( y - z ) )
34	33	ancoms 451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( v - u ) = ( y - z ) )
35	34	fveq2d 5807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( abs ` ( v - u ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
36	35	breq1d 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( abs ` ( v - u ) ) < e <-> ( abs ` ( y - z ) ) < e ) )
37		fveq2 5803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = y -> ( F ` v ) = ( F ` y ) )
38		fveq2 5803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( F ` u ) = ( F ` z ) )
39	37, 38	oveqan12rd 6252	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) )
40	39	fveq2d 5807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
41	40	breq1d 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) )
42	36, 41	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( ( abs ` ( v - u ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
43		ssid 3458	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> RR C_ RR )
45		recn 9530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. RR -> z e. CC )
46		recn 9530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> y e. CC )
47		abssub 13213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
48	45, 46, 47	syl2anr 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
49	48	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
50	49	breq1d 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e <-> ( abs ` ( y - z ) ) < e ) )
51	21	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> F : RR --> RR )
52		ffvelrn 5961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : RR --> RR /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR )
53		ffvelrn 5961	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : RR --> RR /\ z e. RR ) -> ( F ` z ) e. RR )
54	52, 53	anim12dan 836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : RR --> RR /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) )
55	51, 54	sylan 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) )
56		recn 9530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) e. RR -> ( F ` z ) e. CC )
57		recn 9530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) e. RR -> ( F ` y ) e. CC )
58		abssub 13213	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( F ` y ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
59	56, 57, 58	syl2anr 476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
61	60	breq1d 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) )
62	50, 61	imbi12d 318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
63		simpr2 1002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> z e. RR )
64		oveq2 6240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( B [,] x ) = ( B [,] z ) )
65	64	ineq2d 3638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( A i^i ( B [,] x ) ) = ( A i^i ( B [,] z ) ) )
66	65	fveq2d 5807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
67		fvex 5813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) e. _V
68	66, 20, 67	fvmpt 5886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. RR -> ( F ` z ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
69	63, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
70		simplll 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> A e. dom vol )
71		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> B e. RR )
72	71	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> B e. RR )
73		iccmbl 22158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR ) -> ( B [,] z ) e. dom vol )
74	72, 63, 73	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] z ) e. dom vol )
75		inmbl 22134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] z ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol )
76	70, 74, 75	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol )
77		mblvol 22123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
79	69, 78	eqtrd 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
80		simpr1 1001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> y e. RR )
81		oveq2 6240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( B [,] x ) = ( B [,] y ) )
82	81	ineq2d 3638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( A i^i ( B [,] x ) ) = ( A i^i ( B [,] y ) ) )
83	82	fveq2d 5807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
84		fvex 5813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. _V
85	83, 20, 84	fvmpt 5886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> ( F ` y ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
86	80, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
87		simp1 995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> y e. RR )
88		iccmbl 22158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR ) -> ( B [,] y ) e. dom vol )
89	71, 87, 88	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) e. dom vol )
90		inmbl 22134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] y ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol )
91	70, 89, 90	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol )
92		mblvol 22123	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
94	86, 93	eqtrd 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
95	79, 94	oveq12d 6250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) = ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) )
96	51	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> F : RR --> RR )
97	96, 63	ffvelrnd 5964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
98	79, 97	eqeltrrd 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) e. RR )
99	72	leidd 10077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> B <_ B )
100		simpr3 1003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> y <_ z )
101		iccss 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. RR /\ z e. RR ) /\ ( B <_ B /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) )
102	72, 63, 99, 100, 101	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) )
103		sslin 3662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) )
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) )
105		mblss 22124	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR )
106	76, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR )
107	104, 106	sstrd 3449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ RR )
108		iccssre 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
109	80, 63, 108	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
110	107, 109	unssd 3616	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR )
111	96, 80	ffvelrnd 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
112	94, 111	eqeltrrd 2489	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. RR )
113	63, 80	resubcld 9946	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( z - y ) e. RR )
114	112, 113	readdcld 9571	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) e. RR )
115		ovolicc 22116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
116	115	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
117	116, 113	eqeltrd 2488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) e. RR )
118		ovolun 22092	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. RR ) /\ ( ( y [,] z ) C_ RR /\ ( vol* ` ( y [,] z ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) )
119	107, 112, 109, 117, 118	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) )
120	116	oveq2d 6248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) = ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
121	119, 120	breqtrd 4416	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
122		ovollecl 22076	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR /\ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) e. RR /\ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) e. RR )
123	110, 114, 121, 122	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) e. RR )
124	72	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> B e. RR )
125	63	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> z e. RR )
126	80	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y e. RR )
127		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> B <_ y )
128	100	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y <_ z )
129		simp2 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> z e. RR )
130		elicc2 11558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
131	71, 129, 130	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
132	131	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
133	126, 127, 128, 132	mpbir3and 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y e. ( B [,] z ) )
134		iccsplit 11622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR /\ y e. ( B [,] z ) ) -> ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
135	124, 125, 133, 134	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
136		eqimss 3491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
138	80	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> y e. RR )
139	63	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> z e. RR )
140		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> y <_ B )
141	139	leidd 10077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> z <_ z )
142		iccss 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR ) /\ ( y <_ B /\ z <_ z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) )
143	138, 139, 140, 141, 142	syl22anc 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) )
144		ssun4 3606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
146	72, 80, 137, 145	lecasei 9640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
147		sslin 3662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) )
149		indi 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) = ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) )
150		inss2 3657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A i^i ( y [,] z ) ) C_ ( y [,] z )
151		unss2 3611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A i^i ( y [,] z ) ) C_ ( y [,] z ) -> ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) )
152	150, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) )
153	149, 152	eqsstri 3469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) )
154	148, 153	syl6ss 3451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) )
155		ovolss 22078	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) /\ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) )
156	154, 110, 155	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) )
157	98, 123, 114, 156, 121	letrd 9691	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
158	98, 112, 113	lesubadd2d 10109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) <_ ( z - y ) <-> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) ) )
159	157, 158	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) <_ ( z - y ) )
160	95, 159	eqbrtrd 4412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) )
161	97, 111	resubcld 9946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) e. RR )
162		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> e e. RR+ )
163	162	rpred 11220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> e e. RR )
164		lelttr 9624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) e. RR /\ ( z - y ) e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) /\ ( z - y ) < e ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
165	161, 113, 163, 164	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) /\ ( z - y ) < e ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
166	160, 165	mpand 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( z - y ) < e -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
167		abssubge0 13214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( z - y ) )
168	167	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( z - y ) )
169	168	breq1d 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e <-> ( z - y ) < e ) )
170		ovolss 22078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) /\ ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) <_ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
171	104, 106, 170	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) <_ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
172	171, 94, 79	3brtr4d 4422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) <_ ( F ` z ) )
173	111, 97, 172	abssubge0d 13317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) )
174	173	breq1d 4402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e <-> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
175	166, 169, 174	3imtr4d 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
176	32, 42, 44, 62, 175	wlogle 10044	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
177	176	anassrs 646	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
178	177	ralrimiva 2815	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
179	178	anasss 645	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( e e. RR+ /\ y e. RR ) ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
180	179	ancom2s 801	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
181		breq2 4396	. . . . . . 7 |- ( d = e -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < d <-> ( abs ` ( z - y ) ) < e ) )
182	181	imbi1d 315	. . . . . 6 |- ( d = e -> ( ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
183	182	ralbidv 2840	. . . . 5 |- ( d = e -> ( A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
184	183	rspcev 3157	. . . 4 |- ( ( e e. RR+ /\ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
185	22, 180, 184	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
186	185	ralrimivva 2822	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
187		ax-resscn 9497	. . 3 |- RR C_ CC
188		elcncf2 21576	. . 3 |- ( ( RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( F e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( F : RR --> RR /\ A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) ) )
189	187, 187, 188	mp2an 670	. 2 |- ( F e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( F : RR --> RR /\ A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
190	21, 186, 189	sylanbrc 662	1 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F e. ( RR -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 972   = wceq 1403   e. wcel 1840   A.wral 2751   E.wrex 2752   u. cun 3409   i^i cin 3410   C_ wss 3411   class class class wbr 4392   |-> cmpt 4450   dom cdm 4940   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   RRcr 9439   + caddc 9443   < clt 9576   <_ cle 9577   - cmin 9759   RR+crp 11181   [,]cicc 11501   abscabs 13121   -cn->ccncf 21562   vol*covol 22056   volcvol 22057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-rest 14927  df-topgen 14948  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cmp 20070  df-cncf 21564  df-ovol 22058  df-vol 22059

This theorem is referenced by:  volivth  22198