Theorem volcn 21743

Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
volcn.1	|- F = ( x e. RR |-> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
volcn	|- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F e. ( RR -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem volcn

Dummy variables u e v y z d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> A e. dom vol )
2		iccmbl 21704	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) e. dom vol )
3	2	adantll 713	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) e. dom vol )
4		inmbl 21680	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] x ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol )
5	1, 3, 4	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol )
6		mblvol 21669	. . . . 5 |- ( ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
7	5, 6	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
8		inss2 3712	. . . . . 6 |- ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x ) )
10		mblss 21670	. . . . . 6 |- ( ( B [,] x ) e. dom vol -> ( B [,] x ) C_ RR )
11	3, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) C_ RR )
12		mblvol 21669	. . . . . . 7 |- ( ( B [,] x ) e. dom vol -> ( vol ` ( B [,] x ) ) = ( vol* ` ( B [,] x ) ) )
13	3, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) = ( vol* ` ( B [,] x ) ) )
14		iccvolcl 21705	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) e. RR )
15	14	adantll 713	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) e. RR )
16	13, 15	eqeltrrd 2549	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol* ` ( B [,] x ) ) e. RR )
17		ovolsscl 21625	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x ) /\ ( B [,] x ) C_ RR /\ ( vol* ` ( B [,] x ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1223	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
19	7, 18	eqeltrd 2548	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
20		volcn.1	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
21	19, 20	fmptd 6036	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F : RR --> RR )
22		simprr 756	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
23		oveq12 6284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = z /\ u = y ) -> ( v - u ) = ( z - y ) )
24	23	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( v - u ) = ( z - y ) )
25	24	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( abs ` ( v - u ) ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
26	25	breq1d 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( abs ` ( v - u ) ) < e <-> ( abs ` ( z - y ) ) < e ) )
27		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = z -> ( F ` v ) = ( F ` z ) )
28		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = y -> ( F ` u ) = ( F ` y ) )
29	27, 28	oveqan12rd 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) )
30	29	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) )
31	30	breq1d 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
32	26, 31	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( ( abs ` ( v - u ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
33		oveq12 6284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = y /\ u = z ) -> ( v - u ) = ( y - z ) )
34	33	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( v - u ) = ( y - z ) )
35	34	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( abs ` ( v - u ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
36	35	breq1d 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( abs ` ( v - u ) ) < e <-> ( abs ` ( y - z ) ) < e ) )
37		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = y -> ( F ` v ) = ( F ` y ) )
38		fveq2 5857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( F ` u ) = ( F ` z ) )
39	37, 38	oveqan12rd 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) )
40	39	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
41	40	breq1d 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) )
42	36, 41	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( ( abs ` ( v - u ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
43		ssid 3516	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> RR C_ RR )
45		recn 9571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. RR -> z e. CC )
46		recn 9571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> y e. CC )
47		abssub 13108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
48	45, 46, 47	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
50	49	breq1d 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e <-> ( abs ` ( y - z ) ) < e ) )
51	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> F : RR --> RR )
52		ffvelrn 6010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : RR --> RR /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR )
53		ffvelrn 6010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : RR --> RR /\ z e. RR ) -> ( F ` z ) e. RR )
54	52, 53	anim12dan 834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : RR --> RR /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) )
55	51, 54	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) )
56		recn 9571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) e. RR -> ( F ` z ) e. CC )
57		recn 9571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) e. RR -> ( F ` y ) e. CC )
58		abssub 13108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( F ` y ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
59	56, 57, 58	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
60	55, 59	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
61	60	breq1d 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) )
62	50, 61	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
63		simpr2 998	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> z e. RR )
64		oveq2 6283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( B [,] x ) = ( B [,] z ) )
65	64	ineq2d 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( A i^i ( B [,] x ) ) = ( A i^i ( B [,] z ) ) )
66	65	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
67		fvex 5867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) e. _V
68	66, 20, 67	fvmpt 5941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. RR -> ( F ` z ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
69	63, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
70		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> A e. dom vol )
71		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> B e. RR )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> B e. RR )
73		iccmbl 21704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR ) -> ( B [,] z ) e. dom vol )
74	72, 63, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] z ) e. dom vol )
75		inmbl 21680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] z ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol )
76	70, 74, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol )
77		mblvol 21669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
78	76, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
79	69, 78	eqtrd 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
80		simpr1 997	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> y e. RR )
81		oveq2 6283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( B [,] x ) = ( B [,] y ) )
82	81	ineq2d 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( A i^i ( B [,] x ) ) = ( A i^i ( B [,] y ) ) )
83	82	fveq2d 5861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
84		fvex 5867	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. _V
85	83, 20, 84	fvmpt 5941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> ( F ` y ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
86	80, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
87		simp1 991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> y e. RR )
88		iccmbl 21704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR ) -> ( B [,] y ) e. dom vol )
89	71, 87, 88	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) e. dom vol )
90		inmbl 21680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] y ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol )
91	70, 89, 90	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol )
92		mblvol 21669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
94	86, 93	eqtrd 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
95	79, 94	oveq12d 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) = ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) )
96	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> F : RR --> RR )
97	96, 63	ffvelrnd 6013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
98	79, 97	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) e. RR )
99	72	leidd 10108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> B <_ B )
100		simpr3 999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> y <_ z )
101		iccss 11581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. RR /\ z e. RR ) /\ ( B <_ B /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) )
102	72, 63, 99, 100, 101	syl22anc 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) )
103		sslin 3717	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) )
104	102, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) )
105		mblss 21670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR )
106	76, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR )
107	104, 106	sstrd 3507	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ RR )
108		iccssre 11595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
109	80, 63, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
110	107, 109	unssd 3673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR )
111	96, 80	ffvelrnd 6013	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
112	94, 111	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. RR )
113	63, 80	resubcld 9976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( z - y ) e. RR )
114	112, 113	readdcld 9612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) e. RR )
115		ovolicc 21662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
116	115	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
117	116, 113	eqeltrd 2548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) e. RR )
118		ovolun 21638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. RR ) /\ ( ( y [,] z ) C_ RR /\ ( vol* ` ( y [,] z ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) )
119	107, 112, 109, 117, 118	syl22anc 1224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) )
120	116	oveq2d 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) = ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
121	119, 120	breqtrd 4464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
122		ovollecl 21622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR /\ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) e. RR /\ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) e. RR )
123	110, 114, 121, 122	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) e. RR )
124	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> B e. RR )
125	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> z e. RR )
126	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y e. RR )
127		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> B <_ y )
128	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y <_ z )
129		simp2 992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> z e. RR )
130		elicc2 11578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
131	71, 129, 130	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
132	131	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
133	126, 127, 128, 132	mpbir3and 1174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y e. ( B [,] z ) )
134		iccsplit 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR /\ y e. ( B [,] z ) ) -> ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
135	124, 125, 133, 134	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
136		eqimss 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
137	135, 136	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
138	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> y e. RR )
139	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> z e. RR )
140		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> y <_ B )
141	139	leidd 10108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> z <_ z )
142		iccss 11581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR ) /\ ( y <_ B /\ z <_ z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) )
143	138, 139, 140, 141, 142	syl22anc 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) )
144		ssun4 3663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
145	143, 144	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
146	72, 80, 137, 145	lecasei 9679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
147		sslin 3717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) )
149		indi 3737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) = ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) )
150		inss2 3712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A i^i ( y [,] z ) ) C_ ( y [,] z )
151		unss2 3668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A i^i ( y [,] z ) ) C_ ( y [,] z ) -> ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) )
152	150, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) )
153	149, 152	eqsstri 3527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) )
154	148, 153	syl6ss 3509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) )
155		ovolss 21624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) /\ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) )
156	154, 110, 155	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) )
157	98, 123, 114, 156, 121	letrd 9727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
158	98, 112, 113	lesubadd2d 10140	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) <_ ( z - y ) <-> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) ) )
159	157, 158	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) <_ ( z - y ) )
160	95, 159	eqbrtrd 4460	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) )
161	97, 111	resubcld 9976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) e. RR )
162		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> e e. RR+ )
163	162	rpred 11245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> e e. RR )
164		lelttr 9664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) e. RR /\ ( z - y ) e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) /\ ( z - y ) < e ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
165	161, 113, 163, 164	syl3anc 1223	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) /\ ( z - y ) < e ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
166	160, 165	mpand 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( z - y ) < e -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
167		abssubge0 13109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( z - y ) )
168	167	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( z - y ) )
169	168	breq1d 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e <-> ( z - y ) < e ) )
170		ovolss 21624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) /\ ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) <_ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
171	104, 106, 170	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) <_ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
172	171, 94, 79	3brtr4d 4470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) <_ ( F ` z ) )
173	111, 97, 172	abssubge0d 13212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) )
174	173	breq1d 4450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e <-> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
175	166, 169, 174	3imtr4d 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
176	32, 42, 44, 62, 175	wlogle 10075	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
177	176	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
178	177	ralrimiva 2871	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
179	178	anasss 647	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( e e. RR+ /\ y e. RR ) ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
180	179	ancom2s 800	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
181		breq2 4444	. . . . . . 7 |- ( d = e -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < d <-> ( abs ` ( z - y ) ) < e ) )
182	181	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( d = e -> ( ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
183	182	ralbidv 2896	. . . . 5 |- ( d = e -> ( A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
184	183	rspcev 3207	. . . 4 |- ( ( e e. RR+ /\ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
185	22, 180, 184	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
186	185	ralrimivva 2878	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
187		ax-resscn 9538	. . 3 |- RR C_ CC
188		elcncf2 21122	. . 3 |- ( ( RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( F e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( F : RR --> RR /\ A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) ) )
189	187, 187, 188	mp2an 672	. 2 |- ( F e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( F : RR --> RR /\ A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
190	21, 186, 189	sylanbrc 664	1 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F e. ( RR -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   u. cun 3467   i^i cin 3468   C_ wss 3469   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   dom cdm 4992   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   + caddc 9484   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   RR+crp 11209   [,]cicc 11521   abscabs 13017   -cn->ccncf 21108   vol*covol 21602   volcvol 21603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cmp 19646  df-cncf 21110  df-ovol 21604  df-vol 21605

This theorem is referenced by:  volivth  21744