Theorem volcn 21084

Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
volcn.1	|- F = ( x e. RR |-> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
volcn	|- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F e. ( RR -cn-> RR ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem volcn

Dummy variables u e v y z d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> A e. dom vol )
2		iccmbl 21045	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) e. dom vol )
3	2	adantll 713	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) e. dom vol )
4		inmbl 21021	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] x ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol )
5	1, 3, 4	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol )
6		mblvol 21011	. . . . 5 |- ( ( A i^i ( B [,] x ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
7	5, 6	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
8		inss2 3569	. . . . . 6 |- ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x ) )
10		mblss 21012	. . . . . 6 |- ( ( B [,] x ) e. dom vol -> ( B [,] x ) C_ RR )
11	3, 10	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( B [,] x ) C_ RR )
12		mblvol 21011	. . . . . . 7 |- ( ( B [,] x ) e. dom vol -> ( vol ` ( B [,] x ) ) = ( vol* ` ( B [,] x ) ) )
13	3, 12	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) = ( vol* ` ( B [,] x ) ) )
14		iccvolcl 21046	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) e. RR )
15	14	adantll 713	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( B [,] x ) ) e. RR )
16	13, 15	eqeltrrd 2516	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol* ` ( B [,] x ) ) e. RR )
17		ovolsscl 20967	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i ( B [,] x ) ) C_ ( B [,] x ) /\ ( B [,] x ) C_ RR /\ ( vol* ` ( B [,] x ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
18	9, 11, 16, 17	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
19	7, 18	eqeltrd 2515	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) e. RR )
20		volcn.1	. . 3 |- F = ( x e. RR |-> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) )
21	19, 20	fmptd 5865	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F : RR --> RR )
22		simprr 756	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> e e. RR+ )
23		oveq12 6098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = z /\ u = y ) -> ( v - u ) = ( z - y ) )
24	23	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( v - u ) = ( z - y ) )
25	24	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( abs ` ( v - u ) ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
26	25	breq1d 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( abs ` ( v - u ) ) < e <-> ( abs ` ( z - y ) ) < e ) )
27		fveq2 5689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = z -> ( F ` v ) = ( F ` z ) )
28		fveq2 5689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = y -> ( F ` u ) = ( F ` y ) )
29	27, 28	oveqan12rd 6109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) )
30	29	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) )
31	30	breq1d 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
32	26, 31	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = y /\ v = z ) -> ( ( ( abs ` ( v - u ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
33		oveq12 6098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v = y /\ u = z ) -> ( v - u ) = ( y - z ) )
34	33	ancoms 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( v - u ) = ( y - z ) )
35	34	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( abs ` ( v - u ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
36	35	breq1d 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( abs ` ( v - u ) ) < e <-> ( abs ` ( y - z ) ) < e ) )
37		fveq2 5689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = y -> ( F ` v ) = ( F ` y ) )
38		fveq2 5689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = z -> ( F ` u ) = ( F ` z ) )
39	37, 38	oveqan12rd 6109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) = ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) )
40	39	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
41	40	breq1d 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) )
42	36, 41	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = z /\ v = y ) -> ( ( ( abs ` ( v - u ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` v ) - ( F ` u ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
43		ssid 3373	. . . . . . . . . 10 |- RR C_ RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> RR C_ RR )
45		recn 9370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. RR -> z e. CC )
46		recn 9370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> y e. CC )
47		abssub 12812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. CC /\ y e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
48	45, 46, 47	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
49	48	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
50	49	breq1d 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e <-> ( abs ` ( y - z ) ) < e ) )
51	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> F : RR --> RR )
52		ffvelrn 5839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : RR --> RR /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR )
53		ffvelrn 5839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : RR --> RR /\ z e. RR ) -> ( F ` z ) e. RR )
54	52, 53	anim12dan 833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : RR --> RR /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) )
55	51, 54	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) )
56		recn 9370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` z ) e. RR -> ( F ` z ) e. CC )
57		recn 9370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` y ) e. RR -> ( F ` y ) e. CC )
58		abssub 12812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` z ) e. CC /\ ( F ` y ) e. CC ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
59	56, 57, 58	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ ( F ` z ) e. RR ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
60	55, 59	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) )
61	60	breq1d 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e <-> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) )
62	50, 61	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( y - z ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` y ) - ( F ` z ) ) ) < e ) ) )
63		simpr2 995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> z e. RR )
64		oveq2 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = z -> ( B [,] x ) = ( B [,] z ) )
65	64	ineq2d 3550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = z -> ( A i^i ( B [,] x ) ) = ( A i^i ( B [,] z ) ) )
66	65	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = z -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
67		fvex 5699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) e. _V
68	66, 20, 67	fvmpt 5772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. RR -> ( F ` z ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
69	63, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
70		simplll 757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> A e. dom vol )
71		simplr 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) -> B e. RR )
72	71	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> B e. RR )
73		iccmbl 21045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR ) -> ( B [,] z ) e. dom vol )
74	72, 63, 73	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] z ) e. dom vol )
75		inmbl 21021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] z ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol )
76	70, 74, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol )
77		mblvol 21011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
78	76, 77	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
79	69, 78	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
80		simpr1 994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> y e. RR )
81		oveq2 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( B [,] x ) = ( B [,] y ) )
82	81	ineq2d 3550	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( A i^i ( B [,] x ) ) = ( A i^i ( B [,] y ) ) )
83	82	fveq2d 5693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] x ) ) ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
84		fvex 5699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. _V
85	83, 20, 84	fvmpt 5772	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. RR -> ( F ` y ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
86	80, 85	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) = ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
87		simp1 988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> y e. RR )
88		iccmbl 21045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. RR /\ y e. RR ) -> ( B [,] y ) e. dom vol )
89	71, 87, 88	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) e. dom vol )
90		inmbl 21021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. dom vol /\ ( B [,] y ) e. dom vol ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol )
91	70, 89, 90	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol )
92		mblvol 21011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A i^i ( B [,] y ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
94	86, 93	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) = ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) )
95	79, 94	oveq12d 6107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) = ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) )
96	51	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> F : RR --> RR )
97	96, 63	ffvelrnd 5842	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
98	79, 97	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) e. RR )
99	72	leidd 9904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> B <_ B )
100		simpr3 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> y <_ z )
101		iccss 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. RR /\ z e. RR ) /\ ( B <_ B /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) )
102	72, 63, 99, 100, 101	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) )
103		sslin 3574	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B [,] y ) C_ ( B [,] z ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) )
104	102, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) )
105		mblss 21012	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A i^i ( B [,] z ) ) e. dom vol -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR )
106	76, 105	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR )
107	104, 106	sstrd 3364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ RR )
108		iccssre 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
109	80, 63, 108	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( y [,] z ) C_ RR )
110	107, 109	unssd 3530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR )
111	96, 80	ffvelrnd 5842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) e. RR )
112	94, 111	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. RR )
113	63, 80	resubcld 9774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( z - y ) e. RR )
114	112, 113	readdcld 9411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) e. RR )
115		ovolicc 21004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
116	115	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) = ( z - y ) )
117	116, 113	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( y [,] z ) ) e. RR )
118		ovolun 20980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ RR /\ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) e. RR ) /\ ( ( y [,] z ) C_ RR /\ ( vol* ` ( y [,] z ) ) e. RR ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) )
119	107, 112, 109, 117, 118	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) )
120	116	oveq2d 6105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( vol* ` ( y [,] z ) ) ) = ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
121	119, 120	breqtrd 4314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
122		ovollecl 20964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR /\ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) e. RR /\ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) e. RR )
123	110, 114, 121, 122	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) e. RR )
124	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> B e. RR )
125	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> z e. RR )
126	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y e. RR )
127		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> B <_ y )
128	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y <_ z )
129		simp2 989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> z e. RR )
130		elicc2 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
131	71, 129, 130	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
132	131	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( y e. ( B [,] z ) <-> ( y e. RR /\ B <_ y /\ y <_ z ) ) )
133	126, 127, 128, 132	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> y e. ( B [,] z ) )
134		iccsplit 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. RR /\ z e. RR /\ y e. ( B [,] z ) ) -> ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
135	124, 125, 133, 134	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
136		eqimss 3406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B [,] z ) = ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
137	135, 136	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ B <_ y ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
138	80	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> y e. RR )
139	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> z e. RR )
140		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> y <_ B )
141	139	leidd 9904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> z <_ z )
142		iccss 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR ) /\ ( y <_ B /\ z <_ z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) )
143	138, 139, 140, 141, 142	syl22anc 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) )
144		ssun4 3520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B [,] z ) C_ ( y [,] z ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
145	143, 144	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) /\ y <_ B ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
146	72, 80, 137, 145	lecasei 9478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) )
147		sslin 3574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B [,] z ) C_ ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) )
148	146, 147	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) )
149		indi 3594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) = ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) )
150		inss2 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A i^i ( y [,] z ) ) C_ ( y [,] z )
151		unss2 3525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A i^i ( y [,] z ) ) C_ ( y [,] z ) -> ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) )
152	150, 151	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( A i^i ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) )
153	149, 152	eqsstri 3384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A i^i ( ( B [,] y ) u. ( y [,] z ) ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) )
154	148, 153	syl6ss 3366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) )
155		ovolss 20966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) /\ ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) )
156	154, 110, 155	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( A i^i ( B [,] y ) ) u. ( y [,] z ) ) ) )
157	98, 123, 114, 156, 121	letrd 9526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) )
158	98, 112, 113	lesubadd2d 9936	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) <_ ( z - y ) <-> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) <_ ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) + ( z - y ) ) ) )
159	157, 158	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) - ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) ) <_ ( z - y ) )
160	95, 159	eqbrtrd 4310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) )
161	97, 111	resubcld 9774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) e. RR )
162		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> e e. RR+ )
163	162	rpred 11025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> e e. RR )
164		lelttr 9463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) e. RR /\ ( z - y ) e. RR /\ e e. RR ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) /\ ( z - y ) < e ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
165	161, 113, 163, 164	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) <_ ( z - y ) /\ ( z - y ) < e ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
166	160, 165	mpand 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( z - y ) < e -> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
167		abssubge0 12813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( z - y ) )
168	167	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( z - y ) )
169	168	breq1d 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e <-> ( z - y ) < e ) )
170		ovolss 20966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A i^i ( B [,] y ) ) C_ ( A i^i ( B [,] z ) ) /\ ( A i^i ( B [,] z ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) <_ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
171	104, 106, 170	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( vol* ` ( A i^i ( B [,] y ) ) ) <_ ( vol* ` ( A i^i ( B [,] z ) ) ) )
172	171, 94, 79	3brtr4d 4320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( F ` y ) <_ ( F ` z ) )
173	111, 97, 172	abssubge0d 12916	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) )
174	173	breq1d 4300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e <-> ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) < e ) )
175	166, 169, 174	3imtr4d 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y <_ z ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
176	32, 42, 44, 62, 175	wlogle 9871	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
177	176	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR ) /\ z e. RR ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
178	177	ralrimiva 2797	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ e e. RR+ ) /\ y e. RR ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
179	178	anasss 647	. . . . 5 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( e e. RR+ /\ y e. RR ) ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
180	179	ancom2s 800	. . . 4 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
181		breq2 4294	. . . . . . 7 |- ( d = e -> ( ( abs ` ( z - y ) ) < d <-> ( abs ` ( z - y ) ) < e ) )
182	181	imbi1d 317	. . . . . 6 |- ( d = e -> ( ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
183	182	ralbidv 2733	. . . . 5 |- ( d = e -> ( A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) <-> A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
184	183	rspcev 3071	. . . 4 |- ( ( e e. RR+ /\ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < e -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
185	22, 180, 184	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) /\ ( y e. RR /\ e e. RR+ ) ) -> E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
186	185	ralrimivva 2806	. 2 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) )
187		ax-resscn 9337	. . 3 |- RR C_ CC
188		elcncf2 20464	. . 3 |- ( ( RR C_ CC /\ RR C_ CC ) -> ( F e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( F : RR --> RR /\ A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) ) )
189	187, 187, 188	mp2an 672	. 2 |- ( F e. ( RR -cn-> RR ) <-> ( F : RR --> RR /\ A. y e. RR A. e e. RR+ E. d e. RR+ A. z e. RR ( ( abs ` ( z - y ) ) < d -> ( abs ` ( ( F ` z ) - ( F ` y ) ) ) < e ) ) )
190	21, 186, 189	sylanbrc 664	1 |- ( ( A e. dom vol /\ B e. RR ) -> F e. ( RR -cn-> RR ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   u. cun 3324   i^i cin 3325   C_ wss 3326   class class class wbr 4290   e. cmpt 4348   dom cdm 4838   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   + caddc 9283   < clt 9416   <_ cle 9417   - cmin 9593   RR+crp 10989   [,]cicc 11301   abscabs 12721   -cn->ccncf 20450   vol*covol 20944   volcvol 20945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-of 6318  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-2o 6919  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-fi 7659  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-q 10952  df-rp 10990  df-xneg 11087  df-xadd 11088  df-xmul 11089  df-ioo 11302  df-ico 11304  df-icc 11305  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-rlim 12965  df-sum 13162  df-rest 14359  df-topgen 14380  df-psmet 17807  df-xmet 17808  df-met 17809  df-bl 17810  df-mopn 17811  df-top 18501  df-bases 18503  df-topon 18504  df-cmp 18988  df-cncf 20452  df-ovol 20946  df-vol 20947

This theorem is referenced by:  volivth  21085