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Theorem volcn 22564
 Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1
Assertion
Ref Expression
volcn
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem volcn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 760 . . . . . 6
2 iccmbl 22519 . . . . . . 7
32adantll 720 . . . . . 6
4 inmbl 22495 . . . . . 6
51, 3, 4syl2anc 667 . . . . 5
6 mblvol 22484 . . . . 5
75, 6syl 17 . . . 4
8 inss2 3653 . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
10 mblss 22485 . . . . . 6
113, 10syl 17 . . . . 5
12 mblvol 22484 . . . . . . 7
133, 12syl 17 . . . . . 6
14 iccvolcl 22520 . . . . . . 7
1514adantll 720 . . . . . 6
1613, 15eqeltrrd 2530 . . . . 5
17 ovolsscl 22439 . . . . 5
189, 11, 16, 17syl3anc 1268 . . . 4
197, 18eqeltrd 2529 . . 3
20 volcn.1 . . 3
2119, 20fmptd 6046 . 2
22 simprr 766 . . . 4
23 oveq12 6299 . . . . . . . . . . . . 13
2423ancoms 455 . . . . . . . . . . . 12
2524fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11
2625breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
27 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13
28 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13
2927, 28oveqan12rd 6310 . . . . . . . . . . . 12
3029fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11
3130breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
3226, 31imbi12d 322 . . . . . . . . 9
33 oveq12 6299 . . . . . . . . . . . . 13
3433ancoms 455 . . . . . . . . . . . 12
3534fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11
3635breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
37 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13
38 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13
3937, 38oveqan12rd 6310 . . . . . . . . . . . 12
4039fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11
4140breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
4236, 41imbi12d 322 . . . . . . . . 9
43 ssid 3451 . . . . . . . . . 10
4443a1i 11 . . . . . . . . 9
45 recn 9629 . . . . . . . . . . . . 13
46 recn 9629 . . . . . . . . . . . . 13
47 abssub 13389 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 46, 47syl2anr 481 . . . . . . . . . . . 12
4948adantl 468 . . . . . . . . . . 11
5049breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
5121adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13
52 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . 14
53 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . 14
5452, 53anim12dan 848 . . . . . . . . . . . . 13
5551, 54sylan 474 . . . . . . . . . . . 12
56 recn 9629 . . . . . . . . . . . . 13
57 recn 9629 . . . . . . . . . . . . 13
58 abssub 13389 . . . . . . . . . . . . 13
5956, 57, 58syl2anr 481 . . . . . . . . . . . 12
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11
6160breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
6250, 61imbi12d 322 . . . . . . . . 9
63 simpr2 1015 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6564ineq2d 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6665fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6866, 20, 67fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15
6963, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
70 simplll 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 iccmbl 22519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7472, 63, 73syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16
75 inmbl 22495 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7670, 74, 75syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 mblvol 22484 . . . . . . . . . . . . . . 15
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
7969, 78eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13
80 simpr1 1014 . . . . . . . . . . . . . . 15
81 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281ineq2d 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16
84 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8583, 20, 84fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15
8680, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
87 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
88 iccmbl 22519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8971, 87, 88syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 inmbl 22495 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9170, 89, 90syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 mblvol 22484 . . . . . . . . . . . . . . 15
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
9486, 93eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13
9579, 94oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
9651adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796, 63ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . 15
9879, 97eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . 14
9972leidd 10180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100 simpr3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101 iccss 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10272, 63, 99, 100, 101syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
103 sslin 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105 mblss 22485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10676, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107104, 106sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108 iccssre 11716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10980, 63, 108syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110107, 109unssd 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15
11196, 80ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11294, 111eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11363, 80resubcld 10047 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114112, 113readdcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15
115 ovolicc 22477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116115adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117116, 113eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118 ovolun 22452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119107, 112, 109, 117, 118syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120116oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121119, 120breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15
122 ovollecl 22436 . . . . . . . . . . . . . . 15
123110, 114, 121, 122syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14
12472adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12563adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12680adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
127 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
128100adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
129 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
130 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13171, 129, 130syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
132131adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133126, 127, 128, 132mpbir3and 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134 iccsplit 11765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
135124, 125, 133, 134syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136 eqimss 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13880adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13963adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141139leidd 10180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142 iccss 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143138, 139, 140, 141, 142syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144 ssun4 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14672, 80, 137, 145lecasei 9740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147 sslin 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149 indi 3689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151 unss2 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
153149, 152eqsstri 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16
154148, 153syl6ss 3444 . . . . . . . . . . . . . . 15
155 ovolss 22438 . . . . . . . . . . . . . . 15
156154, 110, 155syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14
15798, 123, 114, 156, 121letrd 9792 . . . . . . . . . . . . 13
15898, 112, 113lesubadd2d 10212 . . . . . . . . . . . . 13
159157, 158mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12
16095, 159eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . 11
16197, 111resubcld 10047 . . . . . . . . . . . 12
162 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13
163162rpred 11341 . . . . . . . . . . . 12
164 lelttr 9724 . . . . . . . . . . . 12
165161, 113, 163, 164syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11
166160, 165mpand 681 . . . . . . . . . 10
167 abssubge0 13390 . . . . . . . . . . . 12
168167adantl 468 . . . . . . . . . . 11
169168breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
170 ovolss 22438 . . . . . . . . . . . . . 14
171104, 106, 170syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13
172171, 94, 793brtr4d 4433 . . . . . . . . . . . 12
173111, 97, 172abssubge0d 13493 . . . . . . . . . . 11
174173breq1d 4412 . . . . . . . . . 10
175166, 169, 1743imtr4d 272 . . . . . . . . 9
17632, 42, 44, 62, 175wlogle 10147 . . . . . . . 8
177176anassrs 654 . . . . . . 7
178177ralrimiva 2802 . . . . . 6
179178anasss 653 . . . . 5
180179ancom2s 811 . . . 4
181 breq2 4406 . . . . . . 7
182181imbi1d 319 . . . . . 6
183182ralbidv 2827 . . . . 5
184183rspcev 3150 . . . 4
18522, 180, 184syl2anc 667 . . 3
186185ralrimivva 2809 . 2
187 ax-resscn 9596 . . 3
188 elcncf2 21922 . . 3
189187, 187, 188mp2an 678 . 2
19021, 186, 189sylanbrc 670 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   cun 3402   cin 3403   wss 3404   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cdm 4834  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538   caddc 9542   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  crp 11302  cicc 11638  cabs 13297  ccncf 21908  covol 22413  cvol 22415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418 This theorem is referenced by:  volivth  22565
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