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Theorem vmalogdivsum2 24362
Description: The sum  sum_ n  <_  x , Λ ( n ) log ( x  /  n )  /  n is asymptotic to  log ^ 2 ( x )  / 
2  +  O ( log x ). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalogdivsum2  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem vmalogdivsum2
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
32adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
43nnrpd 11339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  RR+ )
54relogcld 23558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
65, 3nndivred 10658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  k )  / 
k )  e.  RR )
71, 6fsumrecl 13787 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  e.  RR )
87recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  e.  CC )
9 elioore 11666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
109adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
11 1rp 11306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
13 1red 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
14 eliooord 11694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1514adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1615simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
1713, 10, 16ltled 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
1810, 12, 17rpgecld 11377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1918relogcld 23558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2019resqcld 12441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  e.  RR )
2120rehalfcld 10859 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
2221recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
2319recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2410, 16rplogcld 23564 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2524rpne0d 11346 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
268, 22, 23, 25divsubdird 10422 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) ) ) )
277, 21resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  e.  RR )
2827recnd 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  e.  CC )
2928, 23, 25divrecd 10386 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
3020recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
31 2cnd 10682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  CC )
32 2ne0 10702 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  =/=  0 )
3430, 31, 23, 33, 25divdiv32d 10408 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  ( log `  x ) )  / 
2 ) )
3523sqvald 12412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( ( log `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
3635oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( ( ( log `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( log `  x
) ) )
3723, 23, 25divcan3d 10388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
3836, 37eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
3938oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  ( log `  x ) )  / 
2 )  =  ( ( log `  x
)  /  2 ) )
4034, 39eqtrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( ( log `  x
)  /  2 ) )
4140oveq2d 6317 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )
4226, 29, 413eqtr3rd 2472 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
4342mpteq2dva 4507 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) ) )
4424rprecred 11352 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
4518ex 435 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
4645ssrdv 3470 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) +oo )  C_  RR+ )
47 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
4847logdivsum 24357 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) ) : RR+ --> RR  /\  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  ~~> r  1  /\  1  e.  RR+  /\  _e  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) ) `
 1 )  - 
1 ) )  <_ 
( ( log `  1
)  /  1 ) ) )
4948simp2i 1015 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r
50 rlimdmo1 13668 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  O(1) )
5149, 50mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  O(1) )
5246, 51o1res2 13614 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  O(1) )
53 divlogrlim 23566 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
54 rlimo1 13667 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
5553, 54mp1i 13 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
5627, 44, 52, 55o1mul2 13675 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
5743, 56eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O(1) )
588, 23, 25divcld 10383 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
5923halfcld 10857 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
6058, 59subcld 9986 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  e.  CC )
61 elfznn 11828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
6261adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
63 vmacl 24031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
6564, 62nndivred 10658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
6618adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
6762nnrpd 11339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
6866, 67rpdivcld 11358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
6968relogcld 23558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
7065, 69remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
711, 70fsumrecl 13787 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
7271recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
7324rpcnd 11343 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
7472, 73, 25divcld 10383 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
7573halfcld 10857 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
7674, 75subcld 9986 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  CC )
7758, 74, 59nnncan2d 10021 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
788, 72, 23, 25divsubdird 10422 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
79 fzfid 12185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
8064adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
8162adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
82 elfznn 11828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
8382adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
8481, 83nnmulcld 10657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  e.  NN )
8580, 84nndivred 10658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) )  e.  RR )
8679, 85fsumrecl 13787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  e.  RR )
8786recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  e.  CC )
8870recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
891, 87, 88fsumsub 13836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
9064recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
9162nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
9262nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9390, 91, 92divcld 10383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
9483nnrecred 10655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
9579, 94fsumrecl 13787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
9695recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
9769recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
9893, 96, 97subdid 10074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
9990adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
10091adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
10183nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
10292adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  =/=  0 )
10383nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
10499, 100, 101, 102, 103divdiv1d 10414 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  /  m
)  =  ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) ) )
10599, 100, 102divcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
106105, 101, 103divrecd 10386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  /  m
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  (
1  /  m ) ) )
107104, 106eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  (
1  /  m ) ) )
108107sumeq2dv 13756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( 1  /  m ) ) )
109101, 103reccld 10376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
11079, 93, 109fsummulc2 13832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( 1  /  m ) ) )
111108, 110eqtr4d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
112111oveq1d 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
11398, 112eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
114113sumeq2dv 13756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
115 vmasum 24130 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n )  =  ( log `  k
) )
1163, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ n  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n )  =  ( log `  k
) )
117116oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n
)  /  k )  =  ( ( log `  k )  /  k
) )
118 fzfid 12185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
119 sgmss 24019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
1203, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  C_  ( 1 ... k ) )
121 ssfi 7794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  e.  Fin )
122118, 120, 121syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  e.  Fin )
1233nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  CC )
124 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
125 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
126124, 125sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  ->  n  e.  NN )
127126, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
(Λ `  n )  e.  RR )
128127recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
(Λ `  n )  e.  CC )
129128anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  n  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
1303nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  =/=  0 )
131122, 123, 129, 130fsumdivc 13834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n
)  /  k )  =  sum_ n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  n )  /  k ) )
132117, 131eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  k )  / 
k )  =  sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  n )  /  k
) )
133132sumeq2dv 13756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  n )  / 
k ) )
134 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
(Λ `  n )  / 
k )  =  ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) ) )
1352ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
k  e.  NN )
136135nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
k  e.  CC )
137135nnne0d 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
k  =/=  0 )
138128, 136, 137divcld 10383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
( (Λ `  n )  /  k )  e.  CC )
139134, 10, 138dvdsflsumcom 24103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  n )  / 
k )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) ) )
140133, 139eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) ) )
141140oveq1d 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
14289, 114, 1413eqtr4rd 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
143142oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )
14477, 78, 1433eqtr2d 2469 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )
145144mpteq2dva 4507 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )
146 1red 9658 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
1471, 65fsumrecl 13787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
148147, 24rerpdivcld 11369 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
149 ioossre 11696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
150 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
151 o1const 13670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 (,) +oo )  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1) )
152149, 150, 151mp2an 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1)
153152a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1) )
154148recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
15512rpcnd 11343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
156147recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
157156, 23, 23, 25divsubdird 10422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) ) )
158156, 23subcld 9986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
159158, 23, 25divrecd 10386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
16023, 25dividd 10381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) )  =  1 )
161160oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
162157, 159, 1613eqtr3rd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  / 
( log `  x
) ) ) )
163162mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) ) )
164147, 19resubcld 10047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
165 vmadivsum 24306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1)
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
16746, 166o1res2 13614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
168164, 44, 167, 55o1mul2 13675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
169163, 168eqeltrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  e.  O(1) )
170154, 155, 169o1dif 13680 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1) ) )
171153, 170mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
172148, 171o1lo1d 13590 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e. 
<_O(1) )
17395, 69resubcld 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
17465, 173remulcld 9671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
1751, 174fsumrecl 13787 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
176175, 24rerpdivcld 11369 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
177 1red 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
178 vmage0 24034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
17962, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
18064, 67, 179divge0d 11378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  /  n ) )
18168rpred 11341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
18291mulid2d 9661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  =  n )
183 fznnfl 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
18410, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
185184simplbda 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
186182, 185eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  <_  x )
18710adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
188177, 187, 67lemuldivd 11387 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  n )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  n ) ) )
189186, 188mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  n ) )
190 harmonicubnd 23921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  <_  ( ( log `  ( x  /  n
) )  +  1 ) )
191181, 189, 190syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  <_  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  1 ) )
19295, 69, 177lesubadd2d 10212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) )  <_  1  <->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  <_  ( ( log `  ( x  /  n
) )  +  1 ) ) )
193191, 192mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
194173, 177, 65, 180, 193lemul2ad 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  1 ) )
19593mulid1d 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  1 )  =  ( (Λ `  n )  /  n
) )
196194, 195breqtrd 4445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  /  n ) )
1971, 174, 65, 196fsumle 13846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
198175, 147, 24, 197lediv1dd 11396 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) ) )
199198adantrr 721 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) ) )
200146, 172, 148, 176, 199lo1le 13702 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e. 
<_O(1) )
201 0red 9644 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
202 harmoniclbnd 23920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )
20368, 202syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )
20495, 69subge0d 10203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 0  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  <->  ( log `  ( x  /  n
) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
205203, 204mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )
20665, 173, 180, 205mulge0d 10190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
2071, 174, 206fsumge0 13842 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
208175, 24, 207divge0d 11378 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )
209176, 201, 208o1lo12 13589 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e. 
<_O(1) ) )
210200, 209mpbird 235 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
211145, 210eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O(1) )
21260, 76, 211o1dif 13680 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1) ) )
21357, 212mpbid 213 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1) )
214213trud 1446 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1868    =/= wne 2618   {crab 2779    C_ wss 3436   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   dom cdm 4849   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   ...cfz 11784   |_cfl 12025   ^cexp 12271   abscabs 13285    ~~> r crli 13536   O(1)co1 13537   <_O(1)clo1 13538   sum_csu 13739   _eceu 14102    || cdvds 14292   logclog 23490  Λcvma 24004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-shft 13118  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-limsup 13513  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-o1 13541  df-lo1 13542  df-sum 13740  df-ef 14108  df-e 14109  df-sin 14110  df-cos 14111  df-pi 14113  df-dvds 14293  df-gcd 14456  df-prm 14610  df-pc 14774  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-starv 15192  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-ip 15195  df-tset 15196  df-ple 15197  df-ds 15199  df-unif 15200  df-hom 15201  df-cco 15202  df-rest 15308  df-topn 15309  df-0g 15327  df-gsum 15328  df-topgen 15329  df-pt 15330  df-prds 15333  df-xrs 15387  df-qtop 15393  df-imas 15394  df-xps 15397  df-mre 15479  df-mrc 15480  df-acs 15482  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-mulg 16663  df-cntz 16958  df-cmn 17419  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-fbas 18954  df-fg 18955  df-cnfld 18958  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-topsp 19910  df-cld 20020  df-ntr 20021  df-cls 20022  df-nei 20100  df-lp 20138  df-perf 20139  df-cn 20229  df-cnp 20230  df-haus 20317  df-cmp 20388  df-tx 20563  df-hmeo 20756  df-fil 20847  df-fm 20939  df-flim 20940  df-flf 20941  df-xms 21321  df-ms 21322  df-tms 21323  df-cncf 21896  df-limc 22807  df-dv 22808  df-log 23492  df-cxp 23493  df-em 23904  df-cht 24009  df-vma 24010  df-chp 24011  df-ppi 24012
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