Theorem vmalogdivsum2 22919

Description: The sum sum_ n <_ x , Λ ( n ) log ( x / n ) / n is asymptotic to log ^ 2 ( x ) / 2 + O ( log x ). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmalogdivsum2	|- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)

Distinct variable group:   x, n

Proof of Theorem vmalogdivsum2

Dummy variables k m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11911	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		elfznn 11594	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
3	2	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
4	3	nnrpd 11136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ )
5	4	relogcld 22204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` k ) e. RR )
6	5, 3	nndivred 10480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` k ) / k ) e. RR )
7	1, 6	fsumrecl 13328	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) e. RR )
8	7	recnd 9522	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) e. CC )
9		elioore 11440	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
11		1rp 11105	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
13		1red 9511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
14		eliooord 11465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
16	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
17	13, 10, 16	ltled 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
18	10, 12, 17	rpgecld 11172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
19	18	relogcld 22204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
20	19	resqcld 12150	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) ^ 2 ) e. RR )
21	20	rehalfcld 10681	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
22	21	recnd 9522	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
23	19	recnd 9522	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
24	10, 16	rplogcld 22210	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
25	24	rpne0d 11142	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
26	8, 22, 23, 25	divsubdird 10256	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) ) )
27	7, 21	resubcld 9886	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
28	27	recnd 9522	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) e. CC )
29	28, 23, 25	divrecd 10220	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
30	20	recnd 9522	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) ^ 2 ) e. CC )
31		2cnd 10504	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
32		2ne0 10524	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 =/= 0 )
34	30, 31, 23, 33, 25	divdiv32d 10242	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) / 2 ) )
35	23	sqvald 12121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) ^ 2 ) = ( ( log ` x ) x. ( log ` x ) ) )
36	35	oveq1d 6214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( log ` x ) x. ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) )
37	23, 23, 25	divcan3d 10222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) x. ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
38	36, 37	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
39	38	oveq1d 6214	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) / 2 ) = ( ( log ` x ) / 2 ) )
40	34, 39	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) = ( ( log ` x ) / 2 ) )
41	40	oveq2d 6215	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) )
42	26, 29, 41	3eqtr3rd 2504	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
43	42	mpteq2dva 4485	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
44	24	rprecred 11148	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
45	18	ex 434	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
46	45	ssrdv 3469	. . . . . 6 |- ( T. -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
47		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) )
48	47	logdivsum 22914	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) : RR+ --> RR /\ ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. dom ~~> r /\ ( ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) ~~> r 1 /\ 1 e. RR+ /\ _e <_ 1 ) -> ( abs ` ( ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) ` 1 ) - 1 ) ) <_ ( ( log ` 1 ) / 1 ) ) )
49	48	simp2i 998	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. dom ~~> r
50		rlimdmo1 13212	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. dom ~~> r -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
51	49, 50	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
52	46, 51	o1res2 13158	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
53		divlogrlim 22212	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
54		rlimo1 13211	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
55	53, 54	mp1i 12	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
56	27, 44, 52, 55	o1mul2 13219	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
57	43, 56	eqeltrd 2542	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
58	8, 23, 25	divcld 10217	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) e. CC )
59	23	halfcld 10679	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
60	58, 59	subcld 9829	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
61		elfznn 11594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
62	61	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
63		vmacl 22588	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
65	64, 62	nndivred 10480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
66	18	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
67	62	nnrpd 11136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
68	66, 67	rpdivcld 11154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
69	68	relogcld 22204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
70	65, 69	remulcld 9524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
71	1, 70	fsumrecl 13328	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
72	71	recnd 9522	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
73	24	rpcnd 11139	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
74	72, 73, 25	divcld 10217	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
75	73	halfcld 10679	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
76	74, 75	subcld 9829	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
77	58, 74, 59	nnncan2d 9864	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
78	8, 72, 23, 25	divsubdird 10256	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
79		fzfid 11911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
80	64	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
81	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> n e. NN )
82		elfznn 11594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
83	82	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
84	81, 83	nnmulcld 10479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( n x. m ) e. NN )
85	80, 84	nndivred 10480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) e. RR )
86	79, 85	fsumrecl 13328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) e. RR )
87	86	recnd 9522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) e. CC )
88	70	recnd 9522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
89	1, 87, 88	fsumsub 13372	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
90	64	recnd 9522	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
91	62	nncnd 10448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
92	62	nnne0d 10476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
93	90, 91, 92	divcld 10217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
94	83	nnrecred 10477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
95	79, 94	fsumrecl 13328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) e. RR )
96	95	recnd 9522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) e. CC )
97	69	recnd 9522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. CC )
98	93, 96, 97	subdid 9910	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
99	90	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
100	91	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> n e. CC )
101	83	nncnd 10448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. CC )
102	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> n =/= 0 )
103	83	nnne0d 10476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m =/= 0 )
104	99, 100, 101, 102, 103	divdiv1d 10248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) / m ) = ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
105	99, 100, 102	divcld 10217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
106	105, 101, 103	divrecd 10220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) / m ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
107	104, 106	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
108	107	sumeq2dv 13297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
109	101, 103	reccld 10210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
110	79, 93, 109	fsummulc2 13368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
111	108, 110	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) )
112	111	oveq1d 6214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
113	98, 112	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
114	113	sumeq2dv 13297	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
115		vmasum 22687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) = ( log ` k ) )
116	3, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) = ( log ` k ) )
117	116	oveq1d 6214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) / k ) = ( ( log ` k ) / k ) )
118		fzfid 11911	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
119		sgmss 22576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) )
120	3, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) )
121		ssfi 7643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... k ) e. Fin /\ { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) ) -> { y e. NN | y || k } e. Fin )
122	118, 120, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || k } e. Fin )
123	3	nncnd 10448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. CC )
124		ssrab2 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { y e. NN | y || k } C_ NN
125		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> n e. { y e. NN | y || k } )
126	124, 125	sseldi 3461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> n e. NN )
127	126, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
128	127	recnd 9522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
129	128	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) -> (Λ ` n ) e. CC )
130	3	nnne0d 10476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k =/= 0 )
131	122, 123, 129, 130	fsumdivc 13370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) / k ) = sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) )
132	117, 131	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` k ) / k ) = sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) )
133	132	sumeq2dv 13297	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) )
134		oveq2 6207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n x. m ) -> ( (Λ ` n ) / k ) = ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
135	2	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k e. NN )
136	135	nncnd 10448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k e. CC )
137	135	nnne0d 10476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k =/= 0 )
138	128, 136, 137	divcld 10217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( (Λ ` n ) / k ) e. CC )
139	134, 10, 138	dvdsflsumcom 22660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
140	133, 139	eqtrd 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
141	140	oveq1d 6214	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
142	89, 114, 141	3eqtr4rd 2506	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
143	142	oveq1d 6214	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
144	77, 78, 143	3eqtr2d 2501	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
145	144	mpteq2dva 4485	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
146		1red 9511	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. RR )
147	1, 65	fsumrecl 13328	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
148	147, 24	rerpdivcld 11164	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. RR )
149		ioossre 11467	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
150		ax-1cn 9450	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
151		o1const 13214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
152	149, 150, 151	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1)
153	152	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
154	148	recnd 9522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. CC )
155	12	rpcnd 11139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
156	147	recnd 9522	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
157	156, 23, 23, 25	divsubdird 10256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) )
158	156, 23	subcld 9829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
159	158, 23, 25	divrecd 10220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
160	23, 25	dividd 10215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
161	160	oveq2d 6215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
162	157, 159, 161	3eqtr3rd 2504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
163	162	mpteq2dva 4485	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
164	147, 19	resubcld 9886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
165		vmadivsum 22863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
167	46, 166	o1res2 13158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
168	164, 44, 167, 55	o1mul2 13219	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
169	163, 168	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) e. O(1) )
170	154, 155, 169	o1dif 13224	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) ) )
171	153, 170	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
172	148, 171	o1lo1d 13134	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) )
173	95, 69	resubcld 9886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
174	65, 173	remulcld 9524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
175	1, 174	fsumrecl 13328	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
176	175, 24	rerpdivcld 11164	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
177		1red 9511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
178		vmage0 22591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
179	62, 178	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
180	64, 67, 179	divge0d 11173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
181	68	rpred 11137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
182	91	mulid2d 9514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
183		fznnfl 11817	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
184	10, 183	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
185	184	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
186	182, 185	eqbrtrd 4419	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
187	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
188	177, 187, 67	lemuldivd 11182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
189	186, 188	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
190		harmonicubnd 22535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( x / n ) ) + 1 ) )
191	181, 189, 190	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( x / n ) ) + 1 ) )
192	95, 69, 177	lesubadd2d 10048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) <_ 1 <-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( x / n ) ) + 1 ) ) )
193	191, 192	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) <_ 1 )
194	173, 177, 65, 180, 193	lemul2ad 10383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. 1 ) )
195	93	mulid1d 9513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. 1 ) = ( (Λ ` n ) / n ) )
196	194, 195	breqtrd 4423	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
197	1, 174, 65, 196	fsumle 13379	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
198	175, 147, 24, 197	lediv1dd 11191	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) )
199	198	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) )
200	146, 172, 148, 176, 199	lo1le 13246	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) )
201		0red 9497	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. RR )
202		harmoniclbnd 22534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( log ` ( x / n ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) )
203	68, 202	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) )
204	95, 69	subge0d 10039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) <-> ( log ` ( x / n ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) )
205	203, 204	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) )
206	65, 173, 180, 205	mulge0d 10026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
207	1, 174, 206	fsumge0 13375	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
208	175, 24, 207	divge0d 11173	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
209	176, 201, 208	o1lo12 13133	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) ) )
210	200, 209	mpbird 232	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
211	145, 210	eqeltrd 2542	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) e. O(1) )
212	60, 76, 211	o1dif 13224	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) ) )
213	57, 212	mpbid 210	. 2 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
214	213	trud 1379	1 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   T. wtru 1371   e. wcel 1758   =/= wne 2647   {crab 2802   C_ wss 3435   class class class wbr 4399   |-> cmpt 4457   dom cdm 4947   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Fincfn 7419   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393   + caddc 9395   x. cmul 9397   +oocpnf 9525   < clt 9528   <_ cle 9529   - cmin 9705   / cdiv 10103   NNcn 10432   2c2 10481   RR+crp 11101   (,)cioo 11410   ...cfz 11553   |_cfl 11756   ^cexp 11981   abscabs 12840   ~~> r crli 13080   O(1)co1 13081   <_O(1)clo1 13082   sum_csu 13280   _eceu 13465   || cdivides 13652   logclog 22138  Λcvma 22561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-pm 7326  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-ioc 11415  df-ico 11416  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-fac 12168  df-bc 12195  df-hash 12220  df-shft 12673  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-limsup 13066  df-clim 13083  df-rlim 13084  df-o1 13085  df-lo1 13086  df-sum 13281  df-ef 13470  df-e 13471  df-sin 13472  df-cos 13473  df-pi 13475  df-dvds 13653  df-gcd 13808  df-prm 13881  df-pc 14021  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-fbas 17938  df-fg 17939  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-nei 18833  df-lp 18871  df-perf 18872  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-cmp 19121  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-fil 19550  df-fm 19642  df-flim 19643  df-flf 19644  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585  df-limc 21473  df-dv 21474  df-log 22140  df-cxp 22141  df-em 22518  df-cht 22566  df-vma 22567  df-chp 22568  df-ppi 22569

This theorem is referenced by:  vmalogdivsum  22920  2vmadivsumlem  22921  selberg4lem1  22941