Theorem vmalogdivsum2 23849

Description: The sum sum_ n <_ x , Λ ( n ) log ( x / n ) / n is asymptotic to log ^ 2 ( x ) / 2 + O ( log x ). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmalogdivsum2	|- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)

Distinct variable group:   x, n

Proof of Theorem vmalogdivsum2

Dummy variables k m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12086	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		elfznn 11739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
3	2	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
4	3	nnrpd 11280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ )
5	4	relogcld 23134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` k ) e. RR )
6	5, 3	nndivred 10605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` k ) / k ) e. RR )
7	1, 6	fsumrecl 13568	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) e. RR )
8	7	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) e. CC )
9		elioore 11584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
11		1rp 11249	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
13		1red 9628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
14		eliooord 11609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
16	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
17	13, 10, 16	ltled 9750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
18	10, 12, 17	rpgecld 11316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
19	18	relogcld 23134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
20	19	resqcld 12339	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) ^ 2 ) e. RR )
21	20	rehalfcld 10806	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
22	21	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
23	19	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
24	10, 16	rplogcld 23140	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
25	24	rpne0d 11286	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
26	8, 22, 23, 25	divsubdird 10380	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) ) )
27	7, 21	resubcld 10008	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
28	27	recnd 9639	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) e. CC )
29	28, 23, 25	divrecd 10344	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
30	20	recnd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) ^ 2 ) e. CC )
31		2cnd 10629	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
32		2ne0 10649	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 =/= 0 )
34	30, 31, 23, 33, 25	divdiv32d 10366	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) / 2 ) )
35	23	sqvald 12310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) ^ 2 ) = ( ( log ` x ) x. ( log ` x ) ) )
36	35	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( log ` x ) x. ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) )
37	23, 23, 25	divcan3d 10346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) x. ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
38	36, 37	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
39	38	oveq1d 6311	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) / 2 ) = ( ( log ` x ) / 2 ) )
40	34, 39	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) = ( ( log ` x ) / 2 ) )
41	40	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) )
42	26, 29, 41	3eqtr3rd 2507	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
43	42	mpteq2dva 4543	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
44	24	rprecred 11292	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
45	18	ex 434	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
46	45	ssrdv 3505	. . . . . 6 |- ( T. -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
47		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) )
48	47	logdivsum 23844	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) : RR+ --> RR /\ ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. dom ~~> r /\ ( ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) ~~> r 1 /\ 1 e. RR+ /\ _e <_ 1 ) -> ( abs ` ( ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) ` 1 ) - 1 ) ) <_ ( ( log ` 1 ) / 1 ) ) )
49	48	simp2i 1006	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. dom ~~> r
50		rlimdmo1 13452	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. dom ~~> r -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
51	49, 50	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
52	46, 51	o1res2 13398	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
53		divlogrlim 23142	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
54		rlimo1 13451	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
55	53, 54	mp1i 12	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
56	27, 44, 52, 55	o1mul2 13459	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
57	43, 56	eqeltrd 2545	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
58	8, 23, 25	divcld 10341	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) e. CC )
59	23	halfcld 10804	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
60	58, 59	subcld 9950	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
61		elfznn 11739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
62	61	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
63		vmacl 23518	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
65	64, 62	nndivred 10605	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
66	18	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
67	62	nnrpd 11280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
68	66, 67	rpdivcld 11298	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
69	68	relogcld 23134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
70	65, 69	remulcld 9641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
71	1, 70	fsumrecl 13568	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
72	71	recnd 9639	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
73	24	rpcnd 11283	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
74	72, 73, 25	divcld 10341	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
75	73	halfcld 10804	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
76	74, 75	subcld 9950	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
77	58, 74, 59	nnncan2d 9985	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
78	8, 72, 23, 25	divsubdird 10380	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
79		fzfid 12086	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
80	64	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
81	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> n e. NN )
82		elfznn 11739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
83	82	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
84	81, 83	nnmulcld 10604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( n x. m ) e. NN )
85	80, 84	nndivred 10605	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) e. RR )
86	79, 85	fsumrecl 13568	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) e. RR )
87	86	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) e. CC )
88	70	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
89	1, 87, 88	fsumsub 13615	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
90	64	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
91	62	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
92	62	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
93	90, 91, 92	divcld 10341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
94	83	nnrecred 10602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
95	79, 94	fsumrecl 13568	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) e. RR )
96	95	recnd 9639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) e. CC )
97	69	recnd 9639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. CC )
98	93, 96, 97	subdid 10033	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
99	90	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
100	91	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> n e. CC )
101	83	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. CC )
102	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> n =/= 0 )
103	83	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m =/= 0 )
104	99, 100, 101, 102, 103	divdiv1d 10372	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) / m ) = ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
105	99, 100, 102	divcld 10341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
106	105, 101, 103	divrecd 10344	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) / m ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
107	104, 106	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
108	107	sumeq2dv 13537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
109	101, 103	reccld 10334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
110	79, 93, 109	fsummulc2 13611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
111	108, 110	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) )
112	111	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
113	98, 112	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
114	113	sumeq2dv 13537	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
115		vmasum 23617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) = ( log ` k ) )
116	3, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) = ( log ` k ) )
117	116	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) / k ) = ( ( log ` k ) / k ) )
118		fzfid 12086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
119		sgmss 23506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) )
120	3, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) )
121		ssfi 7759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... k ) e. Fin /\ { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) ) -> { y e. NN | y || k } e. Fin )
122	118, 120, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || k } e. Fin )
123	3	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. CC )
124		ssrab2 3581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { y e. NN | y || k } C_ NN
125		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> n e. { y e. NN | y || k } )
126	124, 125	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> n e. NN )
127	126, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
128	127	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
129	128	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) -> (Λ ` n ) e. CC )
130	3	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k =/= 0 )
131	122, 123, 129, 130	fsumdivc 13613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) / k ) = sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) )
132	117, 131	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` k ) / k ) = sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) )
133	132	sumeq2dv 13537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) )
134		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n x. m ) -> ( (Λ ` n ) / k ) = ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
135	2	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k e. NN )
136	135	nncnd 10572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k e. CC )
137	135	nnne0d 10601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k =/= 0 )
138	128, 136, 137	divcld 10341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( (Λ ` n ) / k ) e. CC )
139	134, 10, 138	dvdsflsumcom 23590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
140	133, 139	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
141	140	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
142	89, 114, 141	3eqtr4rd 2509	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
143	142	oveq1d 6311	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
144	77, 78, 143	3eqtr2d 2504	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
145	144	mpteq2dva 4543	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
146		1red 9628	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. RR )
147	1, 65	fsumrecl 13568	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
148	147, 24	rerpdivcld 11308	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. RR )
149		ioossre 11611	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
150		ax-1cn 9567	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
151		o1const 13454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
152	149, 150, 151	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1)
153	152	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
154	148	recnd 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. CC )
155	12	rpcnd 11283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
156	147	recnd 9639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
157	156, 23, 23, 25	divsubdird 10380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) )
158	156, 23	subcld 9950	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
159	158, 23, 25	divrecd 10344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
160	23, 25	dividd 10339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
161	160	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
162	157, 159, 161	3eqtr3rd 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
163	162	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
164	147, 19	resubcld 10008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
165		vmadivsum 23793	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
167	46, 166	o1res2 13398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
168	164, 44, 167, 55	o1mul2 13459	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
169	163, 168	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) e. O(1) )
170	154, 155, 169	o1dif 13464	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) ) )
171	153, 170	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
172	148, 171	o1lo1d 13374	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) )
173	95, 69	resubcld 10008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
174	65, 173	remulcld 9641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
175	1, 174	fsumrecl 13568	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
176	175, 24	rerpdivcld 11308	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
177		1red 9628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
178		vmage0 23521	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
179	62, 178	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
180	64, 67, 179	divge0d 11317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
181	68	rpred 11281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
182	91	mulid2d 9631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
183		fznnfl 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
184	10, 183	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
185	184	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
186	182, 185	eqbrtrd 4476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
187	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
188	177, 187, 67	lemuldivd 11326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
189	186, 188	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
190		harmonicubnd 23465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( x / n ) ) + 1 ) )
191	181, 189, 190	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( x / n ) ) + 1 ) )
192	95, 69, 177	lesubadd2d 10172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) <_ 1 <-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( x / n ) ) + 1 ) ) )
193	191, 192	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) <_ 1 )
194	173, 177, 65, 180, 193	lemul2ad 10506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. 1 ) )
195	93	mulid1d 9630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. 1 ) = ( (Λ ` n ) / n ) )
196	194, 195	breqtrd 4480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
197	1, 174, 65, 196	fsumle 13625	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
198	175, 147, 24, 197	lediv1dd 11335	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) )
199	198	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) )
200	146, 172, 148, 176, 199	lo1le 13486	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) )
201		0red 9614	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. RR )
202		harmoniclbnd 23464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( log ` ( x / n ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) )
203	68, 202	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) )
204	95, 69	subge0d 10163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) <-> ( log ` ( x / n ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) )
205	203, 204	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) )
206	65, 173, 180, 205	mulge0d 10150	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
207	1, 174, 206	fsumge0 13621	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
208	175, 24, 207	divge0d 11317	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
209	176, 201, 208	o1lo12 13373	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) ) )
210	200, 209	mpbird 232	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
211	145, 210	eqeltrd 2545	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) e. O(1) )
212	60, 76, 211	o1dif 13464	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) ) )
213	57, 212	mpbid 210	. 2 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
214	213	trud 1404	1 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   T. wtru 1396   e. wcel 1819   =/= wne 2652   {crab 2811   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   / cdiv 10227   NNcn 10556   2c2 10606   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   ...cfz 11697   |_cfl 11930   ^cexp 12169   abscabs 13079   ~~> r crli 13320   O(1)co1 13321   <_O(1)clo1 13322   sum_csu 13520   _eceu 13810   || cdvds 13998   logclog 23068  Λcvma 23491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-o1 13325  df-lo1 13326  df-sum 13521  df-ef 13815  df-e 13816  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-cmp 20014  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-cxp 23071  df-em 23448  df-cht 23496  df-vma 23497  df-chp 23498  df-ppi 23499

This theorem is referenced by:  vmalogdivsum  23850  2vmadivsumlem  23851  selberg4lem1  23871