Theorem vmalogdivsum2 22767

Description: The sum sum_ n <_ x , Λ ( n ) log ( x / n ) / n is asymptotic to log ^ 2 ( x ) / 2 + O ( log x ). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
vmalogdivsum2	|- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)

Distinct variable group:   x, n

Proof of Theorem vmalogdivsum2

Dummy variables k m y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 11787	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` x ) ) e. Fin )
2		elfznn 11470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> k e. NN )
3	2	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. NN )
4	3	nnrpd 11018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. RR+ )
5	4	relogcld 22052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` k ) e. RR )
6	5, 3	nndivred 10362	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` k ) / k ) e. RR )
7	1, 6	fsumrecl 13203	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) e. RR )
8	7	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) e. CC )
9		elioore 11322	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR )
11		1rp 10987	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR+
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR+ )
13		1red 9393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
14		eliooord 11347	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
15	14	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 < x /\ x < +oo ) )
16	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 < x )
17	13, 10, 16	ltled 9514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 <_ x )
18	10, 12, 17	rpgecld 11054	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> x e. RR+ )
19	18	relogcld 22052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR )
20	19	resqcld 12026	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) ^ 2 ) e. RR )
21	20	rehalfcld 10563	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) e. RR )
22	21	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) e. CC )
23	19	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
24	10, 16	rplogcld 22058	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. RR+ )
25	24	rpne0d 11024	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) =/= 0 )
26	8, 22, 23, 25	divsubdird 10138	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) ) )
27	7, 21	resubcld 9768	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) e. RR )
28	27	recnd 9404	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) e. CC )
29	28, 23, 25	divrecd 10102	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
30	20	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) ^ 2 ) e. CC )
31		2cnd 10386	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 e. CC )
32		2ne0 10406	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 2 =/= 0 )
34	30, 31, 23, 33, 25	divdiv32d 10124	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) / 2 ) )
35	23	sqvald 11997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) ^ 2 ) = ( ( log ` x ) x. ( log ` x ) ) )
36	35	oveq1d 6101	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) = ( ( ( log ` x ) x. ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) )
37	23, 23, 25	divcan3d 10104	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) x. ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
38	36, 37	eqtrd 2470	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) = ( log ` x ) )
39	38	oveq1d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / ( log ` x ) ) / 2 ) = ( ( log ` x ) / 2 ) )
40	34, 39	eqtrd 2470	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) = ( ( log ` x ) / 2 ) )
41	40	oveq2d 6102	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) )
42	26, 29, 41	3eqtr3rd 2479	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
43	42	mpteq2dva 4373	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
44	24	rprecred 11030	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( 1 / ( log ` x ) ) e. RR )
45	18	ex 434	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) -> x e. RR+ ) )
46	45	ssrdv 3357	. . . . . 6 |- ( T. -> ( 1 (,) +oo ) C_ RR+ )
47		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) )
48	47	logdivsum 22762	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) : RR+ --> RR /\ ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. dom ~~> r /\ ( ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) ~~> r 1 /\ 1 e. RR+ /\ _e <_ 1 ) -> ( abs ` ( ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) ` 1 ) - 1 ) ) <_ ( ( log ` 1 ) / 1 ) ) )
49	48	simp2i 998	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. dom ~~> r
50		rlimdmo1 13087	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. dom ~~> r -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
51	49, 50	mp1i 12	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
52	46, 51	o1res2 13033	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
53		divlogrlim 22060	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0
54		rlimo1 13086	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) ~~> r 0 -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
55	53, 54	mp1i 12	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( 1 / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
56	27, 44, 52, 55	o1mul2 13094	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - ( ( ( log ` x ) ^ 2 ) / 2 ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
57	43, 56	eqeltrd 2512	. . 3 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
58	8, 23, 25	divcld 10099	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) e. CC )
59	23	halfcld 10561	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
60	58, 59	subcld 9711	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
61		elfznn 11470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) -> n e. NN )
62	61	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. NN )
63		vmacl 22436	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> (Λ ` n ) e. RR )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
65	64, 62	nndivred 10362	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
66	18	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR+ )
67	62	nnrpd 11018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. RR+ )
68	66, 67	rpdivcld 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR+ )
69	68	relogcld 22052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. RR )
70	65, 69	remulcld 9406	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
71	1, 70	fsumrecl 13203	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
72	71	recnd 9404	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
73	24	rpcnd 11021	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( log ` x ) e. CC )
74	72, 73, 25	divcld 10099	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) e. CC )
75	73	halfcld 10561	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / 2 ) e. CC )
76	74, 75	subcld 9711	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) e. CC )
77	58, 74, 59	nnncan2d 9746	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
78	8, 72, 23, 25	divsubdird 10138	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
79		fzfid 11787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) e. Fin )
80	64	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
81	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> n e. NN )
82		elfznn 11470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) -> m e. NN )
83	82	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. NN )
84	81, 83	nnmulcld 10361	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( n x. m ) e. NN )
85	80, 84	nndivred 10362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) e. RR )
86	79, 85	fsumrecl 13203	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) e. RR )
87	86	recnd 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) e. CC )
88	70	recnd 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) e. CC )
89	1, 87, 88	fsumsub 13247	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
90	64	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
91	62	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n e. CC )
92	62	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n =/= 0 )
93	90, 91, 92	divcld 10099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
94	83	nnrecred 10359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 / m ) e. RR )
95	79, 94	fsumrecl 13203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) e. RR )
96	95	recnd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) e. CC )
97	69	recnd 9404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) e. CC )
98	93, 96, 97	subdid 9792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
99	90	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
100	91	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> n e. CC )
101	83	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m e. CC )
102	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> n =/= 0 )
103	83	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> m =/= 0 )
104	99, 100, 101, 102, 103	divdiv1d 10130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) / m ) = ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
105	99, 100, 102	divcld 10099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
106	105, 101, 103	divrecd 10102	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) / m ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
107	104, 106	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
108	107	sumeq2dv 13172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
109	101, 103	reccld 10092	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ) -> ( 1 / m ) e. CC )
110	79, 93, 109	fsummulc2 13243	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) = sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( 1 / m ) ) )
111	108, 110	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) = ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) )
112	111	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( ( ( (Λ ` n ) / n ) x. sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
113	98, 112	eqtr4d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
114	113	sumeq2dv 13172	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
115		vmasum 22535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) = ( log ` k ) )
116	3, 115	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) = ( log ` k ) )
117	116	oveq1d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) / k ) = ( ( log ` k ) / k ) )
118		fzfid 11787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 ... k ) e. Fin )
119		sgmss 22424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) )
120	3, 119	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) )
121		ssfi 7525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... k ) e. Fin /\ { y e. NN | y || k } C_ ( 1 ... k ) ) -> { y e. NN | y || k } e. Fin )
122	118, 120, 121	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> { y e. NN | y || k } e. Fin )
123	3	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k e. CC )
124		ssrab2 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { y e. NN | y || k } C_ NN
125		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> n e. { y e. NN | y || k } )
126	124, 125	sseldi 3349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> n e. NN )
127	126, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> (Λ ` n ) e. RR )
128	127	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> (Λ ` n ) e. CC )
129	128	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) -> (Λ ` n ) e. CC )
130	3	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> k =/= 0 )
131	122, 123, 129, 130	fsumdivc 13245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ n e. { y e. NN | y || k } (Λ ` n ) / k ) = sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) )
132	117, 131	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( log ` k ) / k ) = sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) )
133	132	sumeq2dv 13172	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) )
134		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n x. m ) -> ( (Λ ` n ) / k ) = ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
135	2	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k e. NN )
136	135	nncnd 10330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k e. CC )
137	135	nnne0d 10358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> k =/= 0 )
138	128, 136, 137	divcld 10099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ ( k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) /\ n e. { y e. NN | y || k } ) ) -> ( (Λ ` n ) / k ) e. CC )
139	134, 10, 138	dvdsflsumcom 22508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ n e. { y e. NN | y || k } ( (Λ ` n ) / k ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
140	133, 139	eqtrd 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) )
141	140	oveq1d 6101	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( (Λ ` n ) / ( n x. m ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
142	89, 114, 141	3eqtr4rd 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
143	142	oveq1d 6101	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
144	77, 78, 143	3eqtr2d 2476	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
145	144	mpteq2dva 4373	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) )
146		1red 9393	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. RR )
147	1, 65	fsumrecl 13203	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. RR )
148	147, 24	rerpdivcld 11046	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. RR )
149		ioossre 11349	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 (,) +oo ) C_ RR
150		ax-1cn 9332	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
151		o1const 13089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 (,) +oo ) C_ RR /\ 1 e. CC ) -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
152	149, 150, 151	mp2an 672	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1)
153	152	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) )
154	148	recnd 9404	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) e. CC )
155	12	rpcnd 11021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 1 e. CC )
156	147	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) e. CC )
157	156, 23, 23, 25	divsubdird 10138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) )
158	156, 23	subcld 9711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. CC )
159	158, 23, 25	divrecd 10102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) / ( log ` x ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
160	23, 25	dividd 10097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) = 1 )
161	160	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / ( log ` x ) ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) )
162	157, 159, 161	3eqtr3rd 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) )
163	162	mpteq2dva 4373	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) = ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) )
164	147, 19	resubcld 9768	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) e. RR )
165		vmadivsum 22711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1)
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( x e. RR+ |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
167	46, 166	o1res2 13033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
168	164, 44, 167, 55	o1mul2 13094	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) - ( log ` x ) ) x. ( 1 / ( log ` x ) ) ) ) e. O(1) )
169	163, 168	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) - 1 ) ) e. O(1) )
170	154, 155, 169	o1dif 13099	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> 1 ) e. O(1) ) )
171	153, 170	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
172	148, 171	o1lo1d 13009	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) )
173	95, 69	resubcld 9768	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) e. RR )
174	65, 173	remulcld 9406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
175	1, 174	fsumrecl 13203	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) e. RR )
176	175, 24	rerpdivcld 11046	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) e. RR )
177		1red 9393	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 e. RR )
178		vmage0 22439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> 0 <_ (Λ ` n ) )
179	62, 178	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ (Λ ` n ) )
180	64, 67, 179	divge0d 11055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
181	68	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( x / n ) e. RR )
182	91	mulid2d 9396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) = n )
183		fznnfl 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. RR -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
184	10, 183	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) <-> ( n e. NN /\ n <_ x ) ) )
185	184	simplbda 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> n <_ x )
186	182, 185	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 1 x. n ) <_ x )
187	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> x e. RR )
188	177, 187, 67	lemuldivd 11064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( 1 x. n ) <_ x <-> 1 <_ ( x / n ) ) )
189	186, 188	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 1 <_ ( x / n ) )
190		harmonicubnd 22383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x / n ) e. RR /\ 1 <_ ( x / n ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( x / n ) ) + 1 ) )
191	181, 189, 190	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( x / n ) ) + 1 ) )
192	95, 69, 177	lesubadd2d 9930	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) <_ 1 <-> sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) <_ ( ( log ` ( x / n ) ) + 1 ) ) )
193	191, 192	mpbird 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) <_ 1 )
194	173, 177, 65, 180, 193	lemul2ad 10265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. 1 ) )
195	93	mulid1d 9395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. 1 ) = ( (Λ ` n ) / n ) )
196	194, 195	breqtrd 4311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ ( (Λ ` n ) / n ) )
197	1, 174, 65, 196	fsumle 13254	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) )
198	175, 147, 24, 197	lediv1dd 11073	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) )
199	198	adantrr 716	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ ( x e. ( 1 (,) +oo ) /\ 1 <_ x ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( (Λ ` n ) / n ) / ( log ` x ) ) )
200	146, 172, 148, 176, 199	lo1le 13121	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) )
201		0red 9379	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. RR )
202		harmoniclbnd 22382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x / n ) e. RR+ -> ( log ` ( x / n ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) )
203	68, 202	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( log ` ( x / n ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) )
204	95, 69	subge0d 9921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> ( 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) <-> ( log ` ( x / n ) ) <_ sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) ) )
205	203, 204	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) )
206	65, 173, 180, 205	mulge0d 9908	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ) -> 0 <_ ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
207	1, 174, 206	fsumge0 13250	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) )
208	175, 24, 207	divge0d 11055	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 1 (,) +oo ) ) -> 0 <_ ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) )
209	176, 201, 208	o1lo12 13008	. . . . . 6 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. <_O(1) ) )
210	200, 209	mpbird 232	. . . . 5 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( sum_ m e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / n ) ) ) ( 1 / m ) - ( log ` ( x / n ) ) ) ) / ( log ` x ) ) ) e. O(1) )
211	145, 210	eqeltrd 2512	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) - ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) ) e. O(1) )
212	60, 76, 211	o1dif 13099	. . 3 |- ( T. -> ( ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( log ` k ) / k ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) <-> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) ) )
213	57, 212	mpbid 210	. 2 |- ( T. -> ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1) )
214	213	trud 1378	1 |- ( x e. ( 1 (,) +oo ) |-> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( (Λ ` n ) / n ) x. ( log ` ( x / n ) ) ) / ( log ` x ) ) - ( ( log ` x ) / 2 ) ) ) e. O(1)

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   T. wtru 1370   e. wcel 1756   =/= wne 2601   {crab 2714   C_ wss 3323   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   dom cdm 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   +oocpnf 9407   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   / cdiv 9985   NNcn 10314   2c2 10363   RR+crp 10983   (,)cioo 11292   ...cfz 11429   |_cfl 11632   ^cexp 11857   abscabs 12715   ~~> r crli 12955   O(1)co1 12956   <_O(1)clo1 12957   sum_csu 13155   _eceu 13340   || cdivides 13527   logclog 21986  Λcvma 22409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-o1 12960  df-lo1 12961  df-sum 13156  df-ef 13345  df-e 13346  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-prm 13756  df-pc 13896  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-fbas 17794  df-fg 17795  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-nei 18682  df-lp 18720  df-perf 18721  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-cmp 18970  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-fil 19399  df-fm 19491  df-flim 19492  df-flf 19493  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434  df-limc 21321  df-dv 21322  df-log 21988  df-cxp 21989  df-em 22366  df-cht 22414  df-vma 22415  df-chp 22416  df-ppi 22417

This theorem is referenced by:  vmalogdivsum  22768  2vmadivsumlem  22769  selberg4lem1  22789