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Theorem vmalogdivsum2 22672
Description: The sum  sum_ n  <_  x , Λ ( n ) log ( x  /  n )  /  n is asymptotic to  log ^ 2 ( x )  / 
2  +  O ( log x ). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalogdivsum2  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem vmalogdivsum2
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
32adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
43nnrpd 11014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  RR+ )
54relogcld 21957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
65, 3nndivred 10358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  k )  / 
k )  e.  RR )
71, 6fsumrecl 13195 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  e.  RR )
87recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  e.  CC )
9 elioore 11318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
109adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
11 1rp 10983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
13 1red 9389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
14 eliooord 11343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1514adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1615simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
1713, 10, 16ltled 9510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
1810, 12, 17rpgecld 11050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1918relogcld 21957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2019resqcld 12018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  e.  RR )
2120rehalfcld 10559 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
2221recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
2319recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2410, 16rplogcld 21963 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2524rpne0d 11020 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
268, 22, 23, 25divsubdird 10134 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) ) ) )
277, 21resubcld 9764 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  e.  RR )
2827recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  e.  CC )
2928, 23, 25divrecd 10098 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
3020recnd 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
31 2cnd 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  CC )
32 2ne0 10402 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  =/=  0 )
3430, 31, 23, 33, 25divdiv32d 10120 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  ( log `  x ) )  / 
2 ) )
3523sqvald 11989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( ( log `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
3635oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( ( ( log `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( log `  x
) ) )
3723, 23, 25divcan3d 10100 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
3836, 37eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
3938oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  ( log `  x ) )  / 
2 )  =  ( ( log `  x
)  /  2 ) )
4034, 39eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( ( log `  x
)  /  2 ) )
4140oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )
4226, 29, 413eqtr3rd 2474 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
4342mpteq2dva 4366 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) ) )
4424rprecred 11026 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
4518ex 434 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
4645ssrdv 3350 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) +oo )  C_  RR+ )
47 eqid 2433 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
4847logdivsum 22667 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) ) : RR+ --> RR  /\  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  ~~> r  1  /\  1  e.  RR+  /\  _e  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) ) `
 1 )  - 
1 ) )  <_ 
( ( log `  1
)  /  1 ) ) )
4948simp2i 991 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r
50 rlimdmo1 13079 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  O(1) )
5149, 50mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  O(1) )
5246, 51o1res2 13025 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  O(1) )
53 divlogrlim 21965 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
54 rlimo1 13078 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
5553, 54mp1i 12 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
5627, 44, 52, 55o1mul2 13086 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
5743, 56eqeltrd 2507 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O(1) )
588, 23, 25divcld 10095 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
5923halfcld 10557 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
6058, 59subcld 9707 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  e.  CC )
61 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
6261adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
63 vmacl 22341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
6564, 62nndivred 10358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
6618adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
6762nnrpd 11014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
6866, 67rpdivcld 11032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
6968relogcld 21957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
7065, 69remulcld 9402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
711, 70fsumrecl 13195 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
7271recnd 9400 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
7324rpcnd 11017 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
7472, 73, 25divcld 10095 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
7573halfcld 10557 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
7674, 75subcld 9707 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  CC )
7758, 74, 59nnncan2d 9742 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
788, 72, 23, 25divsubdird 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
79 fzfid 11779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
8064adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
8162adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
82 elfznn 11465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
8382adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
8481, 83nnmulcld 10357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  e.  NN )
8580, 84nndivred 10358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) )  e.  RR )
8679, 85fsumrecl 13195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  e.  RR )
8786recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  e.  CC )
8870recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
891, 87, 88fsumsub 13238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
9064recnd 9400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
9162nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
9262nnne0d 10354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9390, 91, 92divcld 10095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
9483nnrecred 10355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
9579, 94fsumrecl 13195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
9695recnd 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
9769recnd 9400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
9893, 96, 97subdid 9788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
9990adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
10091adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
10183nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
10292adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  =/=  0 )
10383nnne0d 10354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
10499, 100, 101, 102, 103divdiv1d 10126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  /  m
)  =  ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) ) )
10599, 100, 102divcld 10095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
106105, 101, 103divrecd 10098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  /  m
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  (
1  /  m ) ) )
107104, 106eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  (
1  /  m ) ) )
108107sumeq2dv 13164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( 1  /  m ) ) )
109101, 103reccld 10088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
11079, 93, 109fsummulc2 13234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( 1  /  m ) ) )
111108, 110eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
112111oveq1d 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
11398, 112eqtr4d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
114113sumeq2dv 13164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
115 vmasum 22440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n )  =  ( log `  k
) )
1163, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ n  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n )  =  ( log `  k
) )
117116oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n
)  /  k )  =  ( ( log `  k )  /  k
) )
118 fzfid 11779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
119 sgmss 22329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
1203, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  C_  ( 1 ... k ) )
121 ssfi 7521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  e.  Fin )
122118, 120, 121syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  e.  Fin )
1233nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  CC )
124 ssrab2 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
125 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
126124, 125sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  ->  n  e.  NN )
127126, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
(Λ `  n )  e.  RR )
128127recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
(Λ `  n )  e.  CC )
129128anassrs 641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  n  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
1303nnne0d 10354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  =/=  0 )
131122, 123, 129, 130fsumdivc 13236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n
)  /  k )  =  sum_ n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  n )  /  k ) )
132117, 131eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  k )  / 
k )  =  sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  n )  /  k
) )
133132sumeq2dv 13164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  n )  / 
k ) )
134 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
(Λ `  n )  / 
k )  =  ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) ) )
1352ad2antrl 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
k  e.  NN )
136135nncnd 10326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
k  e.  CC )
137135nnne0d 10354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
k  =/=  0 )
138128, 136, 137divcld 10095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
( (Λ `  n )  /  k )  e.  CC )
139134, 10, 138dvdsflsumcom 22413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  n )  / 
k )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) ) )
140133, 139eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) ) )
141140oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
14289, 114, 1413eqtr4rd 2476 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
143142oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )
14477, 78, 1433eqtr2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )
145144mpteq2dva 4366 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )
146 1red 9389 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
1471, 65fsumrecl 13195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
148147, 24rerpdivcld 11042 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
149 ioossre 11345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
150 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
151 o1const 13081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 (,) +oo )  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1) )
152149, 150, 151mp2an 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1)
153152a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1) )
154148recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
15512rpcnd 11017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
156147recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
157156, 23, 23, 25divsubdird 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) ) )
158156, 23subcld 9707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
159158, 23, 25divrecd 10098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
16023, 25dividd 10093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) )  =  1 )
161160oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
162157, 159, 1613eqtr3rd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  / 
( log `  x
) ) ) )
163162mpteq2dva 4366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) ) )
164147, 19resubcld 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
165 vmadivsum 22616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1)
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
16746, 166o1res2 13025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
168164, 44, 167, 55o1mul2 13086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
169163, 168eqeltrd 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  e.  O(1) )
170154, 155, 169o1dif 13091 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1) ) )
171153, 170mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
172148, 171o1lo1d 13001 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e. 
<_O(1) )
17395, 69resubcld 9764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
17465, 173remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
1751, 174fsumrecl 13195 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
176175, 24rerpdivcld 11042 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
177 1red 9389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
178 vmage0 22344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
17962, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
18064, 67, 179divge0d 11051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  /  n ) )
18168rpred 11015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
18291mulid2d 9392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  =  n )
183 fznnfl 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
18410, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
185184simplbda 619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
186182, 185eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  <_  x )
18710adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
188177, 187, 67lemuldivd 11060 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  n )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  n ) ) )
189186, 188mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  n ) )
190 harmonicubnd 22288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  <_  ( ( log `  ( x  /  n
) )  +  1 ) )
191181, 189, 190syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  <_  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  1 ) )
19295, 69, 177lesubadd2d 9926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) )  <_  1  <->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  <_  ( ( log `  ( x  /  n
) )  +  1 ) ) )
193191, 192mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
194173, 177, 65, 180, 193lemul2ad 10261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  1 ) )
19593mulid1d 9391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  1 )  =  ( (Λ `  n )  /  n
) )
196194, 195breqtrd 4304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  /  n ) )
1971, 174, 65, 196fsumle 13245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
198175, 147, 24, 197lediv1dd 11069 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) ) )
199198adantrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) ) )
200146, 172, 148, 176, 199lo1le 13113 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e. 
<_O(1) )
201 0red 9375 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
202 harmoniclbnd 22287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )
20368, 202syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )
20495, 69subge0d 9917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 0  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  <->  ( log `  ( x  /  n
) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
205203, 204mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )
20665, 173, 180, 205mulge0d 9904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
2071, 174, 206fsumge0 13241 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
208175, 24, 207divge0d 11051 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )
209176, 201, 208o1lo12 13000 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e. 
<_O(1) ) )
210200, 209mpbird 232 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
211145, 210eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O(1) )
21260, 76, 211o1dif 13091 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1) ) )
21357, 212mpbid 210 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1) )
214213trud 1371 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755    =/= wne 2596   {crab 2709    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   dom cdm 4827   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   +oocpnf 9403    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   RR+crp 10979   (,)cioo 11288   ...cfz 11424   |_cfl 11624   ^cexp 11849   abscabs 12707    ~~> r crli 12947   O(1)co1 12948   <_O(1)clo1 12949   sum_csu 13147   _eceu 13331    || cdivides 13518   logclog 21891  Λcvma 22314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ioc 11293  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-o1 12952  df-lo1 12953  df-sum 13148  df-ef 13336  df-e 13337  df-sin 13338  df-cos 13339  df-pi 13341  df-dvds 13519  df-gcd 13674  df-prm 13747  df-pc 13887  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-limc 21183  df-dv 21184  df-log 21893  df-cxp 21894  df-em 22271  df-cht 22319  df-vma 22320  df-chp 22321  df-ppi 22322
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