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Theorem vmalogdivsum2 23479
Description: The sum  sum_ n  <_  x , Λ ( n ) log ( x  /  n )  /  n is asymptotic to  log ^ 2 ( x )  / 
2  +  O ( log x ). Exercise 9.1.7 of [Shapiro], p. 336. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmalogdivsum2  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem vmalogdivsum2
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
32adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
43nnrpd 11255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  RR+ )
54relogcld 22764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  k )  e.  RR )
65, 3nndivred 10584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  k )  / 
k )  e.  RR )
71, 6fsumrecl 13519 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  e.  RR )
87recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  e.  CC )
9 elioore 11559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR )
11 1rp 11224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR+
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR+ )
13 1red 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  RR )
14 eliooord 11584 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  ( 1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  <  x  /\  x  < +oo ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <  x )
1713, 10, 16ltled 9732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  <_  x )
1810, 12, 17rpgecld 11291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
1918relogcld 22764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
2019resqcld 12304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  e.  RR )
2120rehalfcld 10785 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  2 )  e.  RR )
2221recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  2 )  e.  CC )
2319recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
2410, 16rplogcld 22770 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
2524rpne0d 11261 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  =/=  0 )
268, 22, 23, 25divsubdird 10359 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) ) ) )
277, 21resubcld 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  e.  RR )
2827recnd 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  e.  CC )
2928, 23, 25divrecd 10323 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
3020recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  e.  CC )
31 2cnd 10608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  e.  CC )
32 2ne0 10628 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  2  =/=  0 )
3430, 31, 23, 33, 25divdiv32d 10345 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  ( log `  x ) )  / 
2 ) )
3523sqvald 12275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
) ^ 2 )  =  ( ( log `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
3635oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( ( ( log `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( log `  x
) ) )
3723, 23, 25divcan3d 10325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
)  x.  ( log `  x ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
3836, 37eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( log `  x
) ^ 2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( log `  x ) )
3938oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  ( log `  x ) )  / 
2 )  =  ( ( log `  x
)  /  2 ) )
4034, 39eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) )  =  ( ( log `  x
)  /  2 ) )
4140oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( ( ( log `  x ) ^ 2 )  /  2 )  /  ( log `  x
) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )
4226, 29, 413eqtr3rd 2517 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
4342mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) ) )
4424rprecred 11267 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
1  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
4518ex 434 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  ->  x  e.  RR+ )
)
4645ssrdv 3510 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( 1 (,) +oo )  C_  RR+ )
47 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )
4847logdivsum 23474 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) ) : RR+ --> RR  /\  (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  /\  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  ~~> r  1  /\  1  e.  RR+  /\  _e  <_  1 )  ->  ( abs `  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) ) `
 1 )  - 
1 ) )  <_ 
( ( log `  1
)  /  1 ) ) )
4948simp2i 1006 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r
50 rlimdmo1 13403 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  dom  ~~> r  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  O(1) )
5149, 50mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  O(1) )
5246, 51o1res2 13349 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) ) )  e.  O(1) )
53 divlogrlim 22772 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x
) ) )  ~~> r  0
54 rlimo1 13402 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
5553, 54mp1i 12 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( 1  /  ( log `  x ) ) )  e.  O(1) )
5627, 44, 52, 55o1mul2 13410 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  ( ( ( log `  x ) ^ 2 )  / 
2 ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
5743, 56eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O(1) )
588, 23, 25divcld 10320 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  e.  CC )
5923halfcld 10783 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
6058, 59subcld 9930 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  e.  CC )
61 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
63 vmacl 23148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
6564, 62nndivred 10584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  RR )
6618adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
6762nnrpd 11255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
6866, 67rpdivcld 11273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
6968relogcld 22764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
7065, 69remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
711, 70fsumrecl 13519 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
7271recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
7324rpcnd 11258 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( log `  x )  e.  CC )
7472, 73, 25divcld 10320 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
7573halfcld 10783 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  2 )  e.  CC )
7674, 75subcld 9930 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) )  e.  CC )
7758, 74, 59nnncan2d 9965 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
788, 72, 23, 25divsubdird 10359 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) ) ) )
79 fzfid 12051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
8064adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  RR )
8162adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
82 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
8382adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
8481, 83nnmulcld 10583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  e.  NN )
8580, 84nndivred 10584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) )  e.  RR )
8679, 85fsumrecl 13519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  e.  RR )
8786recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  e.  CC )
8870recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
891, 87, 88fsumsub 13566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
9064recnd 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
9162nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
9262nnne0d 10580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9390, 91, 92divcld 10320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
9483nnrecred 10581 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
9579, 94fsumrecl 13519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
9695recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
9769recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
9893, 96, 97subdid 10012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
9990adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
10091adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  CC )
10183nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
10292adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  =/=  0 )
10383nnne0d 10580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
10499, 100, 101, 102, 103divdiv1d 10351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  /  m
)  =  ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) ) )
10599, 100, 102divcld 10320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
106105, 101, 103divrecd 10323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  /  m
)  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  (
1  /  m ) ) )
107104, 106eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  (
1  /  m ) ) )
108107sumeq2dv 13488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( 1  /  m ) ) )
109101, 103reccld 10313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
11079, 93, 109fsummulc2 13562 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( 1  /  m ) ) )
111108, 110eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  =  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
112111oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n )  /  (
n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( (Λ `  n )  /  n )  x.  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )
11398, 112eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
114113sumeq2dv 13488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) )  -  ( ( (Λ `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
115 vmasum 23247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n )  =  ( log `  k
) )
1163, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ n  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n )  =  ( log `  k
) )
117116oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n
)  /  k )  =  ( ( log `  k )  /  k
) )
118 fzfid 12051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
119 sgmss 23136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  ( 1 ... k
) )
1203, 119syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  C_  ( 1 ... k ) )
121 ssfi 7740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... k
)  e.  Fin  /\  { y  e.  NN  | 
y  ||  k }  C_  ( 1 ... k
) )  ->  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  e.  Fin )
122118, 120, 121syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  e.  Fin )
1233nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  CC )
124 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
125 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
126124, 125sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  ->  n  e.  NN )
127126, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
(Λ `  n )  e.  RR )
128127recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
(Λ `  n )  e.  CC )
129128anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  /\  n  e. 
{ y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (Λ `  n
)  e.  CC )
1303nnne0d 10580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  =/=  0 )
131122, 123, 129, 130fsumdivc 13564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  (Λ `  n
)  /  k )  =  sum_ n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k } 
( (Λ `  n )  /  k ) )
132117, 131eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  k )  / 
k )  =  sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k }  ( (Λ `  n )  /  k
) )
133132sumeq2dv 13488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  n )  / 
k ) )
134 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
(Λ `  n )  / 
k )  =  ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) ) )
1352ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
k  e.  NN )
136135nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
k  e.  CC )
137135nnne0d 10580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
k  =/=  0 )
138128, 136, 137divcld 10320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  (
k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } ) )  -> 
( (Λ `  n )  /  k )  e.  CC )
139134, 10, 138dvdsflsumcom 23220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
(Λ `  n )  / 
k )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( (Λ `  n
)  /  ( n  x.  m ) ) )
140133, 139eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) ) )
141140oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( (Λ `  n )  /  ( n  x.  m ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
14289, 114, 1413eqtr4rd 2519 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
143142oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  / 
( log `  x
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )
14477, 78, 1433eqtr2d 2514 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )
145144mpteq2dva 4533 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) ) )
146 1red 9611 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
1471, 65fsumrecl 13519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
148147, 24rerpdivcld 11283 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  RR )
149 ioossre 11586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 (,) +oo )  C_  RR
150 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
151 o1const 13405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 (,) +oo )  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1) )
152149, 150, 151mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1)
153152a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1) )
154148recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) )  e.  CC )
15512rpcnd 11258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  1  e.  CC )
156147recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  CC )
157156, 23, 23, 25divsubdird 10359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) ) )
158156, 23subcld 9930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  CC )
159158, 23, 25divrecd 10323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  /  ( log `  x ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  /  ( log `  x ) ) ) )
16023, 25dividd 10318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) )  =  1 )
161160oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  ( log `  x ) ) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  /  ( log `  x ) )  - 
1 ) )
162157, 159, 1613eqtr3rd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 )  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  x.  ( 1  / 
( log `  x
) ) ) )
163162mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  =  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) ) )
164147, 19resubcld 9987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  -  ( log `  x ) )  e.  RR )
165 vmadivsum 23423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( (Λ `  n )  /  n
)  -  ( log `  x ) ) )  e.  O(1)
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
16746, 166o1res2 13349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
168164, 44, 167, 55o1mul2 13410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  -  ( log `  x
) )  x.  (
1  /  ( log `  x ) ) ) )  e.  O(1) )
169163, 168eqeltrd 2555 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) )  -  1 ) )  e.  O(1) )
170154, 155, 169o1dif 13415 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  1 )  e.  O(1) ) )
171153, 170mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
172148, 171o1lo1d 13325 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  /  ( log `  x
) ) )  e. 
<_O(1) )
17395, 69resubcld 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
17465, 173remulcld 9624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
1751, 174fsumrecl 13519 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
176175, 24rerpdivcld 11283 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  e.  RR )
177 1red 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
178 vmage0 23151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
17962, 178syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
18064, 67, 179divge0d 11292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( (Λ `  n )  /  n ) )
18168rpred 11256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
18291mulid2d 9614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  =  n )
183 fznnfl 11957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
18410, 183syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_  x ) ) )
185184simplbda 624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  <_  x )
186182, 185eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  x.  n )  <_  x )
18710adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
188177, 187, 67lemuldivd 11301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  x.  n )  <_  x  <->  1  <_  ( x  /  n ) ) )
189186, 188mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( x  /  n ) )
190 harmonicubnd 23095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  1  <_  ( x  /  n ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  <_  ( ( log `  ( x  /  n
) )  +  1 ) )
191181, 189, 190syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  <_  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  1 ) )
19295, 69, 177lesubadd2d 10151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) )  <_  1  <->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  <_  ( ( log `  ( x  /  n
) )  +  1 ) ) )
193191, 192mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
194173, 177, 65, 180, 193lemul2ad 10486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  1 ) )
19593mulid1d 9613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  1 )  =  ( (Λ `  n )  /  n
) )
196194, 195breqtrd 4471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
(Λ `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  <_ 
( (Λ `  n )  /  n ) )
1971, 174, 65, 196fsumle 13576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
198175, 147, 24, 197lediv1dd 11310 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) ) )
199198adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  /  ( log `  x ) ) )
200146, 172, 148, 176, 199lo1le 13437 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e. 
<_O(1) )
201 0red 9597 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  0  e.  RR )
202 harmoniclbnd 23094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )
20368, 202syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )
20495, 69subge0d 10142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 0  <_  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) )  <->  ( log `  ( x  /  n
) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
205203, 204mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )
20665, 173, 180, 205mulge0d 10129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
2071, 174, 206fsumge0 13572 . . . . . . . 8  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_ 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
208175, 24, 207divge0d 11292 . . . . . . 7  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( 1 (,) +oo ) )  ->  0  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )
209176, 201, 208o1lo12 13324 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e. 
<_O(1) ) )
210200, 209mpbird 232 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  /  ( log `  x
) ) )  e.  O(1) )
211145, 210eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) )  -  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) ) )  e.  O(1) )
21260, 76, 211o1dif 13415 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( log `  k
)  /  k )  /  ( log `  x
) )  -  (
( log `  x
)  /  2 ) ) )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1) ) )
21357, 212mpbid 210 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1) )
214213trud 1388 1  |-  ( x  e.  ( 1 (,) +oo )  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( (Λ `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  /  ( log `  x ) )  -  ( ( log `  x )  /  2
) ) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   T. wtru 1380    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   +oocpnf 9625    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   RR+crp 11220   (,)cioo 11529   ...cfz 11672   |_cfl 11895   ^cexp 12134   abscabs 13030    ~~> r crli 13271   O(1)co1 13272   <_O(1)clo1 13273   sum_csu 13471   _eceu 13660    || cdivides 13847   logclog 22698  Λcvma 23121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-o1 13276  df-lo1 13277  df-sum 13472  df-ef 13665  df-e 13666  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-limc 22033  df-dv 22034  df-log 22700  df-cxp 22701  df-em 23078  df-cht 23126  df-vma 23127  df-chp 23128  df-ppi 23129
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