MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmacl Structured version   Unicode version

Theorem vmacl 23773
Description: Closure for the von Mangoldt function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmacl  |-  ( A  e.  NN  ->  (Λ `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem vmacl
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2474 . 2  |-  ( (Λ `  A )  =  0  ->  ( (Λ `  A
)  e.  RR  <->  0  e.  RR ) )
2 isppw2 23770 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  E. p  e.  Prime  E. k  e.  NN  A  =  ( p ^
k ) ) )
3 vmappw 23771 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
4 prmnn 14429 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
54nnrpd 11302 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR+ )
65relogcld 23302 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( log `  p )  e.  RR )
76adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p )  e.  RR )
83, 7eqeltrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  e.  RR )
9 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( p ^
k )  ->  (Λ `  A )  =  (Λ `  ( p ^ k
) ) )
109eleq1d 2471 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( p ^
k )  ->  (
(Λ `  A )  e.  RR  <->  (Λ `  ( p ^ k ) )  e.  RR ) )
118, 10syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  =  ( p ^ k )  -> 
(Λ `  A )  e.  RR ) )
1211rexlimivv 2901 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  E. k  e.  NN  A  =  ( p ^ k )  ->  (Λ `  A )  e.  RR )
132, 12syl6bi 228 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  ->  (Λ `  A
)  e.  RR ) )
1413imp 427 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  (Λ `  A )  =/=  0 )  ->  (Λ `  A )  e.  RR )
15 0red 9627 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  e.  RR )
161, 14, 15pm2.61ne 2718 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (Λ `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2755   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   RRcr 9521   0cc0 9522   NNcn 10576   ^cexp 12210   Primecprime 14426   logclog 23234  Λcvma 23746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-dvds 14196  df-gcd 14354  df-prm 14427  df-pc 14570  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-vma 23752
This theorem is referenced by:  vmaf  23774  vmage0  23776  chpf  23778  efchpcl  23780  chpp1  23810  chpwordi  23812  chtlepsi  23862  vmasum  23872  logfac2  23873  chpval2  23874  vmadivsum  24048  vmadivsumb  24049  rplogsumlem2  24051  rpvmasumlem  24053  dchrvmasum2if  24063  dchrvmasumiflem2  24068  rpvmasum2  24078  dchrisum0re  24079  dchrvmasumlem  24089  rplogsum  24093  vmalogdivsum2  24104  vmalogdivsum  24105  2vmadivsumlem  24106  logsqvma  24108  logsqvma2  24109  selberg  24114  selbergb  24115  selberg2lem  24116  selberg2  24117  selberg2b  24118  chpdifbndlem1  24119  selberg3lem1  24123  selberg3lem2  24124  selberg3  24125  selberg4lem1  24126  selberg4  24127  pntrsumo1  24131  selbergr  24134  selberg3r  24135  selberg4r  24136  selberg34r  24137  pntsf  24139  pntsval2  24142  pntrlog2bndlem1  24143  pntpbnd1a  24151
  Copyright terms: Public domain W3C validator