MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmacl Structured version   Unicode version

Theorem vmacl 23120
Description: Closure for the von Mangoldt function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmacl  |-  ( A  e.  NN  ->  (Λ `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem vmacl
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2539 . 2  |-  ( (Λ `  A )  =  0  ->  ( (Λ `  A
)  e.  RR  <->  0  e.  RR ) )
2 isppw2 23117 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  E. p  e.  Prime  E. k  e.  NN  A  =  ( p ^
k ) ) )
3 vmappw 23118 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
4 prmnn 14075 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
54nnrpd 11251 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR+ )
65relogcld 22736 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( log `  p )  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p )  e.  RR )
83, 7eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  e.  RR )
9 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( p ^
k )  ->  (Λ `  A )  =  (Λ `  ( p ^ k
) ) )
109eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( p ^
k )  ->  (
(Λ `  A )  e.  RR  <->  (Λ `  ( p ^ k ) )  e.  RR ) )
118, 10syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  =  ( p ^ k )  -> 
(Λ `  A )  e.  RR ) )
1211rexlimivv 2960 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  E. k  e.  NN  A  =  ( p ^ k )  ->  (Λ `  A )  e.  RR )
132, 12syl6bi 228 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  ->  (Λ `  A
)  e.  RR ) )
1413imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  (Λ `  A )  =/=  0 )  ->  (Λ `  A )  e.  RR )
15 0red 9593 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  e.  RR )
161, 14, 15pm2.61ne 2782 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (Λ `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   NNcn 10532   ^cexp 12130   Primecprime 14072   logclog 22670  Λcvma 23093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-dvds 13844  df-gcd 14000  df-prm 14073  df-pc 14216  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672  df-vma 23099
This theorem is referenced by:  vmaf  23121  vmage0  23123  chpf  23125  efchpcl  23127  chpp1  23157  chpwordi  23159  chtlepsi  23209  vmasum  23219  logfac2  23220  chpval2  23221  vmadivsum  23395  vmadivsumb  23396  rplogsumlem2  23398  rpvmasumlem  23400  dchrvmasum2if  23410  dchrvmasumiflem2  23415  rpvmasum2  23425  dchrisum0re  23426  dchrvmasumlem  23436  rplogsum  23440  vmalogdivsum2  23451  vmalogdivsum  23452  2vmadivsumlem  23453  logsqvma  23455  logsqvma2  23456  selberg  23461  selbergb  23462  selberg2lem  23463  selberg2  23464  selberg2b  23465  chpdifbndlem1  23466  selberg3lem1  23470  selberg3lem2  23471  selberg3  23472  selberg4lem1  23473  selberg4  23474  pntrsumo1  23478  selbergr  23481  selberg3r  23482  selberg4r  23483  selberg34r  23484  pntsf  23486  pntsval2  23489  pntrlog2bndlem1  23490  pntpbnd1a  23498
  Copyright terms: Public domain W3C validator