MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vmacl Structured version   Unicode version

Theorem vmacl 22340
Description: Closure for the von Mangoldt function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
vmacl  |-  ( A  e.  NN  ->  (Λ `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem vmacl
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2493 . 2  |-  ( (Λ `  A )  =  0  ->  ( (Λ `  A
)  e.  RR  <->  0  e.  RR ) )
2 isppw2 22337 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  <->  E. p  e.  Prime  E. k  e.  NN  A  =  ( p ^
k ) ) )
3 vmappw 22338 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  =  ( log `  p ) )
4 prmnn 13748 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
54nnrpd 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR+ )
65relogcld 21956 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( log `  p )  e.  RR )
76adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  ( log `  p )  e.  RR )
83, 7eqeltrd 2507 . . . . . 6  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  (Λ `  ( p ^ k
) )  e.  RR )
9 fveq2 5679 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( p ^
k )  ->  (Λ `  A )  =  (Λ `  ( p ^ k
) ) )
109eleq1d 2499 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( p ^
k )  ->  (
(Λ `  A )  e.  RR  <->  (Λ `  ( p ^ k ) )  e.  RR ) )
118, 10syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  =  ( p ^ k )  -> 
(Λ `  A )  e.  RR ) )
1211rexlimivv 2836 . . . 4  |-  ( E. p  e.  Prime  E. k  e.  NN  A  =  ( p ^ k )  ->  (Λ `  A )  e.  RR )
132, 12syl6bi 228 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
(Λ `  A )  =/=  0  ->  (Λ `  A
)  e.  RR ) )
1413imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  (Λ `  A )  =/=  0 )  ->  (Λ `  A )  e.  RR )
15 0red 9374 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  0  e.  RR )
161, 14, 15pm2.61ne 2676 1  |-  ( A  e.  NN  ->  (Λ `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   E.wrex 2706   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   RRcr 9268   0cc0 9269   NNcn 10309   ^cexp 11848   Primecprime 13745   logclog 21890  Λcvma 22313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-dvds 13518  df-gcd 13673  df-prm 13746  df-pc 13886  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-vma 22319
This theorem is referenced by:  vmaf  22341  vmage0  22343  chpf  22345  efchpcl  22347  chpp1  22377  chpwordi  22379  chtlepsi  22429  vmasum  22439  logfac2  22440  chpval2  22441  vmadivsum  22615  vmadivsumb  22616  rplogsumlem2  22618  rpvmasumlem  22620  dchrvmasum2if  22630  dchrvmasumiflem2  22635  rpvmasum2  22645  dchrisum0re  22646  dchrvmasumlem  22656  rplogsum  22660  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  logsqvma  22675  logsqvma2  22676  selberg  22681  selbergb  22682  selberg2lem  22683  selberg2  22684  selberg2b  22685  chpdifbndlem1  22686  selberg3lem1  22690  selberg3lem2  22691  selberg3  22692  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrsumo1  22698  selbergr  22701  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntsf  22706  pntsval2  22709  pntrlog2bndlem1  22710  pntpbnd1a  22718
  Copyright terms: Public domain W3C validator