Theorem vitalilem3 22203

Description: Lemma for vitali 22206. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vitali.1	|- .~ = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( x - y ) e. QQ ) }
vitali.2	|- S = ( ( 0 [,] 1 ) /. .~ )
vitali.3	|- ( ph -> F Fn S )
vitali.4	|- ( ph -> A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
vitali.5	|- ( ph -> G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
vitali.6	|- T = ( n e. NN |-> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } )
vitali.7	|- ( ph -> -. ran F e. ( ~P RR \ dom vol ) )

Assertion

Ref	Expression
vitalilem3	|- ( ph -> Disj m e. NN ( T ` m ) )

Distinct variable groups:   m, n, s, x, y, z, G   ph, m, n, x, z   z, S   T, m, x   m, F, n, s, x, y, z   .~ , m, n, s, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, s)   S( x, y, m, n, s)   T( y, z, n, s)

Proof of Theorem vitalilem3

Dummy variables k v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprlr 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. ( T ` m ) )
2		simprll 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> m e. NN )
3		fveq2 5805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( G ` n ) = ( G ` m ) )
4	3	oveq2d 6250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( s - ( G ` n ) ) = ( s - ( G ` m ) ) )
5	4	eleq1d 2471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( s - ( G ` n ) ) e. ran F <-> ( s - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
6	5	rabbidv 3050	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } = { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
7		vitali.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( n e. NN |-> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } )
8		reex 9533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
9	8	rabex 4544	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } e. _V
10	6, 7, 9	fvmpt 5888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( T ` m ) = { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
11	2, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( T ` m ) = { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
12	1, 11	eleqtrd 2492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
13		oveq1 6241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = w -> ( s - ( G ` m ) ) = ( w - ( G ` m ) ) )
14	13	eleq1d 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = w -> ( ( s - ( G ` m ) ) e. ran F <-> ( w - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
15	14	elrab 3206	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } <-> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
16	12, 15	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
17	16	simpld 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. RR )
18	17	recnd 9572	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. CC )
19		vitali.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
20		f1of 5755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) -> G : NN --> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G : NN --> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
22		inss1 3658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) C_ QQ
23		fss 5678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : NN --> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) /\ ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) C_ QQ ) -> G : NN --> QQ )
24	21, 22, 23	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> QQ )
25	24	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> G : NN --> QQ )
26	25, 2	ffvelrnd 5966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` m ) e. QQ )
27		qcn 11159	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` m ) e. QQ -> ( G ` m ) e. CC )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
29		simprrl 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> k e. NN )
30	25, 29	ffvelrnd 5966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. QQ )
31		qcn 11159	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` k ) e. QQ -> ( G ` k ) e. CC )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
33		vitali.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- .~ = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( x - y ) e. QQ ) }
34	33	vitalilem1 22201	. . . . . . . . . . . 12 |- .~ Er ( 0 [,] 1 )
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> .~ Er ( 0 [,] 1 ) )
36		vitali.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- S = ( ( 0 [,] 1 ) /. .~ )
37		vitali.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F Fn S )
38		vitali.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
39		vitali.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -. ran F e. ( ~P RR \ dom vol ) )
40	33, 36, 37, 38, 19, 7, 39	vitalilem2 22202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ran F C_ ( 0 [,] 1 ) /\ ( 0 [,] 1 ) C_ U_ m e. NN ( T ` m ) /\ U_ m e. NN ( T ` m ) C_ ( -u 1 [,] 2 ) ) )
41	40	simp1d 1009	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ran F C_ ( 0 [,] 1 ) )
42	41	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ran F C_ ( 0 [,] 1 ) )
43	16	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) e. ran F )
44	42, 43	sseldd 3442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
45		simprrr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. ( T ` k ) )
46		fveq2 5805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
47	46	oveq2d 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = k -> ( s - ( G ` n ) ) = ( s - ( G ` k ) ) )
48	47	eleq1d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = k -> ( ( s - ( G ` n ) ) e. ran F <-> ( s - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
49	48	rabbidv 3050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } = { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
50	8	rabex 4544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } e. _V
51	49, 7, 50	fvmpt 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( T ` k ) = { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
52	29, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( T ` k ) = { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
53	45, 52	eleqtrd 2492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
54		oveq1 6241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = w -> ( s - ( G ` k ) ) = ( w - ( G ` k ) ) )
55	54	eleq1d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = w -> ( ( s - ( G ` k ) ) e. ran F <-> ( w - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
56	55	elrab 3206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } <-> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
57	53, 56	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
58	57	simprd 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` k ) ) e. ran F )
59	42, 58	sseldd 3442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` k ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
60	44, 59	jca 530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( w - ( G ` m ) ) e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
61	18, 28, 32	nnncan1d 9921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) = ( ( G ` k ) - ( G ` m ) ) )
62		qsubcl 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` k ) e. QQ /\ ( G ` m ) e. QQ ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` m ) ) e. QQ )
63	30, 26, 62	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` m ) ) e. QQ )
64	61, 63	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) e. QQ )
65		oveq12 6243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( w - ( G ` m ) ) /\ y = ( w - ( G ` k ) ) ) -> ( x - y ) = ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) )
66	65	eleq1d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( w - ( G ` m ) ) /\ y = ( w - ( G ` k ) ) ) -> ( ( x - y ) e. QQ <-> ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) e. QQ ) )
67	66, 33	brab2ga 5018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w - ( G ` m ) ) .~ ( w - ( G ` k ) ) <-> ( ( ( w - ( G ` m ) ) e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) e. QQ ) )
68	60, 64, 67	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) .~ ( w - ( G ` k ) ) )
69	35, 68	erthi 7315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ = [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ )
70	69	fveq2d 5809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) )
71		fveq2 5805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [ v ] .~ = w -> ( F ` [ v ] .~ ) = ( F ` w ) )
72	71	eceq1d 7305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [ v ] .~ = w -> [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ = [ ( F ` w ) ] .~ )
73	72	fveq2d 5809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [ v ] .~ = w -> ( F ` [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ ) = ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) )
74	73, 71	eqeq12d 2424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [ v ] .~ = w -> ( ( F ` [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ ) = ( F ` [ v ] .~ ) <-> ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
75	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> .~ Er ( 0 [,] 1 ) )
76		ovex 6262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 [,] 1 ) e. _V
77		erex 7292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( .~ Er ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 0 [,] 1 ) e. _V -> .~ e. _V ) )
78	34, 76, 77	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- .~ e. _V
79	78	ecelqsi 7324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. ( 0 [,] 1 ) -> [ v ] .~ e. ( ( 0 [,] 1 ) /. .~ ) )
80	79, 36	syl6eleqr 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. ( 0 [,] 1 ) -> [ v ] .~ e. S )
81	80	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ v ] .~ e. S )
82	38	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
83		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> v e. ( 0 [,] 1 ) )
84		erdm 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( .~ Er ( 0 [,] 1 ) -> dom .~ = ( 0 [,] 1 ) )
85	34, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- dom .~ = ( 0 [,] 1 )
86	85	eleq2i 2480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. dom .~ <-> v e. ( 0 [,] 1 ) )
87		ecdmn0 7311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. dom .~ <-> [ v ] .~ =/= (/) )
88	86, 87	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. ( 0 [,] 1 ) <-> [ v ] .~ =/= (/) )
89	83, 88	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ v ] .~ =/= (/) )
90		neeq1 2684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = [ v ] .~ -> ( z =/= (/) <-> [ v ] .~ =/= (/) ) )
91		fveq2 5805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = [ v ] .~ -> ( F ` z ) = ( F ` [ v ] .~ ) )
92		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = [ v ] .~ -> z = [ v ] .~ )
93	91, 92	eleq12d 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = [ v ] .~ -> ( ( F ` z ) e. z <-> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ ) )
94	90, 93	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = [ v ] .~ -> ( ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> ( [ v ] .~ =/= (/) -> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ ) ) )
95	94	rspcv 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [ v ] .~ e. S -> ( A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) -> ( [ v ] .~ =/= (/) -> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ ) ) )
96	81, 82, 89, 95	syl3c 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ )
97		fvex 5815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F ` [ v ] .~ ) e. _V
98		vex 3061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- v e. _V
99	97, 98	elec 7308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ <-> v .~ ( F ` [ v ] .~ ) )
100	96, 99	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> v .~ ( F ` [ v ] .~ ) )
101	75, 100	erthi 7315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ v ] .~ = [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ )
102	101	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ = [ v ] .~ )
103	102	fveq2d 5809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ ) = ( F ` [ v ] .~ ) )
104	36, 74, 103	ectocld 7335	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. S ) -> ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) )
105	104	ralrimiva 2817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. w e. S ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) )
106		eceq1 7304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` w ) -> [ z ] .~ = [ ( F ` w ) ] .~ )
107	106	fveq2d 5809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` w ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) )
108		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` w ) -> z = ( F ` w ) )
109	107, 108	eqeq12d 2424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( F ` w ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
110	109	ralrn 5968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn S -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> A. w e. S ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
111	37, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> A. w e. S ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
112	105, 111	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z )
113	112	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z )
114		eceq1 7304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> [ z ] .~ = [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ )
115	114	fveq2d 5809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) )
116		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> z = ( w - ( G ` m ) ) )
117	115, 116	eqeq12d 2424	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` m ) ) ) )
118	117	rspcv 3155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w - ( G ` m ) ) e. ran F -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z -> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` m ) ) ) )
119	43, 113, 118	sylc 59	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` m ) ) )
120		eceq1 7304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> [ z ] .~ = [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ )
121	120	fveq2d 5809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) )
122		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> z = ( w - ( G ` k ) ) )
123	121, 122	eqeq12d 2424	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` k ) ) ) )
124	123	rspcv 3155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w - ( G ` k ) ) e. ran F -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z -> ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` k ) ) ) )
125	58, 113, 124	sylc 59	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` k ) ) )
126	70, 119, 125	3eqtr3d 2451	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) = ( w - ( G ` k ) ) )
127	18, 28, 32, 126	subcand 9928	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` m ) = ( G ` k ) )
128	19	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
129		f1of1 5754	. . . . . . . . 9 |- ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) -> G : NN -1-1-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> G : NN -1-1-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
131		f1fveq 6107	. . . . . . . 8 |- ( ( G : NN -1-1-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) /\ ( m e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( G ` m ) = ( G ` k ) <-> m = k ) )
132	130, 2, 29, 131	syl12anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( G ` m ) = ( G ` k ) <-> m = k ) )
133	127, 132	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> m = k )
134	133	ex 432	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) -> m = k ) )
135	134	alrimivv 1741	. . . 4 |- ( ph -> A. m A. k ( ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) -> m = k ) )
136		eleq1 2474	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( m e. NN <-> k e. NN ) )
137		fveq2 5805	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( T ` m ) = ( T ` k ) )
138	137	eleq2d 2472	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( w e. ( T ` m ) <-> w e. ( T ` k ) ) )
139	136, 138	anbi12d 709	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) <-> ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) )
140	139	mo4 2289	. . . 4 |- ( E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) <-> A. m A. k ( ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) -> m = k ) )
141	135, 140	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) )
142	141	alrimiv 1740	. 2 |- ( ph -> A. w E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) )
143		dfdisj2 4367	. 2 |- (Disj m e. NN ( T ` m ) <-> A. w E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) )
144	142, 143	sylibr 212	1 |- ( ph -> Disj m e. NN ( T ` m ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1403   = wceq 1405   e. wcel 1842   E*wmo 2239   =/= wne 2598   A.wral 2753   {crab 2757   _Vcvv 3058   \ cdif 3410   i^i cin 3412   C_ wss 3413   (/)c0 3737   ~Pcpw 3954   U_ciun 4270  Disj wdisj 4365   class class class wbr 4394   {copab 4451   |-> cmpt 4452   dom cdm 4942   ran crn 4943   Fn wfn 5520   -->wf 5521   -1-1->wf1 5522   -1-1-onto->wf1o 5524   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Er wer 7265   [cec 7266   /.cqs 7267   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443   - cmin 9761   -ucneg 9762   NNcn 10496   2c2 10546   QQcq 11145   [,]cicc 11503   volcvol 22059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-ec 7270  df-qs 7274  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-q 11146  df-icc 11507

This theorem is referenced by:  vitalilem4  22204