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Theorem vitalilem3 19455
Description: Lemma for vitali 19458. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( x  -  y )  e.  QQ ) }
vitali.2  |-  S  =  ( ( 0 [,] 1 ) /.  .~  )
vitali.3  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
vitali.4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
vitali.5  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
vitali.6  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  n ) )  e.  ran  F } )
vitali.7  |-  ( ph  ->  -.  ran  F  e.  ( ~P RR  \  dom  vol ) )
Assertion
Ref Expression
vitalilem3  |-  ( ph  -> Disj  m  e.  NN ( T `  m )
)
Distinct variable groups:    m, n, s, x, y, z, G    ph, m, n, x, z   
z, S    T, m, x    m, F, n, s, x, y, z    .~ , m, n, s, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, s)    S( x, y, m, n, s)    T( y, z, n, s)

Proof of Theorem vitalilem3
Dummy variables  k 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprlr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  ( T `  m
) )
2 simprll 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( G `  n )  =  ( G `  m ) )
43oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
s  -  ( G `
 n ) )  =  ( s  -  ( G `  m ) ) )
54eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( s  -  ( G `  n )
)  e.  ran  F  <->  ( s  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F ) )
65rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 n ) )  e.  ran  F }  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
7 vitali.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  n ) )  e.  ran  F } )
8 reex 9037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
98rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F }  e.  _V
106, 7, 9fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  ( T `  m )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
112, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( T `  m )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
121, 11eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
13 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  (
s  -  ( G `
 m ) )  =  ( w  -  ( G `  m ) ) )
1413eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  w  ->  (
( s  -  ( G `  m )
)  e.  ran  F  <->  ( w  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F ) )
1514elrab 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e. 
ran  F }  <->  ( w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  m ) )  e. 
ran  F ) )
1612, 15sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  m )
)  e.  ran  F
) )
1716simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  RR )
1817recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  CC )
19 vitali.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
20 f1of 5633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  ->  G : NN
--> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( QQ 
i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
22 inss1 3521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( QQ 
i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  C_  QQ
23 fss 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : NN --> ( QQ 
i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  /\  ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  C_  QQ )  ->  G : NN --> QQ )
2421, 22, 23sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> QQ )
2524adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  G : NN --> QQ )
2625, 2ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  QQ )
27 qcn 10544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  m )  e.  QQ  ->  ( G `  m )  e.  CC )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  CC )
29 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
3025, 29ffvelrnd 5830 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  QQ )
31 qcn 10544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  k )  e.  QQ  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
33 vitali.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( x  -  y )  e.  QQ ) }
3433vitalilem1 19453 . . . . . . . . . . . 12  |-  .~  Er  ( 0 [,] 1
)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  .~  Er  ( 0 [,] 1
) )
36 vitali.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  ( ( 0 [,] 1 ) /.  .~  )
37 vitali.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
38 vitali.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
39 vitali.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  ran  F  e.  ( ~P RR  \  dom  vol ) )
4033, 36, 37, 38, 19, 7, 39vitalilem2 19454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ran  F  C_  ( 0 [,] 1
)  /\  ( 0 [,] 1 )  C_  U_ m  e.  NN  ( T `  m )  /\  U_ m  e.  NN  ( T `  m ) 
C_  ( -u 1 [,] 2 ) ) )
4140simp1d 969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
0 [,] 1 ) )
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ran  F 
C_  ( 0 [,] 1 ) )
4316simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F )
4442, 43sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
45 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  ( T `  k
) )
46 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
4746oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  k  ->  (
s  -  ( G `
 n ) )  =  ( s  -  ( G `  k ) ) )
4847eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  (
( s  -  ( G `  n )
)  e.  ran  F  <->  ( s  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F ) )
4948rabbidv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 n ) )  e.  ran  F }  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
508rabex 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F }  e.  _V
5149, 7, 50fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
5229, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( T `  k )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
5345, 52eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
54 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  w  ->  (
s  -  ( G `
 k ) )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )
5554eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  w  ->  (
( s  -  ( G `  k )
)  e.  ran  F  <->  ( w  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F ) )
5655elrab 3052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e. 
ran  F }  <->  ( w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  k ) )  e. 
ran  F ) )
5753, 56sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  k )
)  e.  ran  F
) )
5857simprd 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F )
5942, 58sseldd 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 k ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6044, 59jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( w  -  ( G `  m )
)  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( w  -  ( G `  k )
)  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
6118, 28, 32nnncan1d 9401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( w  -  ( G `  m )
)  -  ( w  -  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( G `  m ) ) )
62 qsubcl 10549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  QQ  /\  ( G `  m )  e.  QQ )  -> 
( ( G `  k )  -  ( G `  m )
)  e.  QQ )
6330, 26, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( G `  k
)  -  ( G `
 m ) )  e.  QQ )
6461, 63eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( w  -  ( G `  m )
)  -  ( w  -  ( G `  k ) ) )  e.  QQ )
65 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( w  -  ( G `  m ) )  /\  y  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )  ->  ( x  -  y )  =  ( ( w  -  ( G `  m )
)  -  ( w  -  ( G `  k ) ) ) )
6665eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( w  -  ( G `  m ) )  /\  y  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )  ->  ( ( x  -  y )  e.  QQ  <->  ( ( w  -  ( G `  m ) )  -  ( w  -  ( G `  k )
) )  e.  QQ ) )
6766, 33brab2ga 4910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  -  ( G `
 m ) )  .~  ( w  -  ( G `  k ) )  <->  ( ( ( w  -  ( G `
 m ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  (
w  -  ( G `
 k ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( ( w  -  ( G `  m ) )  -  ( w  -  ( G `  k ) ) )  e.  QQ ) )
6860, 64, 67sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  .~  ( w  -  ( G `  k ) ) )
6935, 68erthi 6910 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  [ ( w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  =  [
( w  -  ( G `  k )
) ]  .~  )
7069fveq2d 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( F `  [ (
w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  )  =  ( F `  [
( w  -  ( G `  k )
) ]  .~  )
)
71 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  ( F `  [ v ]  .~  )  =  ( F `  w ) )
72 eceq1 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  [ v ]  .~  )  =  ( F `  w
)  ->  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  =  [ ( F `  w ) ]  .~  )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  [ ( F `
 [ v ]  .~  ) ]  .~  =  [ ( F `  w ) ]  .~  )
7473fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  ( F `  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  )  =  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  ) )
7574, 71eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  ( ( F `
 [ ( F `
 [ v ]  .~  ) ]  .~  )  =  ( F `  [ v ]  .~  ) 
<->  ( F `  [
( F `  w
) ]  .~  )  =  ( F `  w ) ) )
7634a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  .~  Er  ( 0 [,] 1
) )
77 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
78 erex 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  .~  Er  ( 0 [,] 1
)  ->  ( (
0 [,] 1 )  e.  _V  ->  .~  e.  _V ) )
7934, 77, 78mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  .~  e.  _V
8079ecelqsi 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  [ v ]  .~  e.  ( ( 0 [,] 1
) /.  .~  )
)
8180, 36syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  [ v ]  .~  e.  S
)
8281adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ v ]  .~  e.  S
)
8338adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
84 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  v  e.  ( 0 [,] 1
) )
85 erdm 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  .~  Er  ( 0 [,] 1
)  ->  dom  .~  =  ( 0 [,] 1
) )
8634, 85ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  .~  =  ( 0 [,] 1 )
8786eleq2i 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  dom  .~  <->  v  e.  ( 0 [,] 1
) )
88 ecdmn0 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  dom  .~  <->  [ v ]  .~  =/=  (/) )
8987, 88bitr3i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  [ v ]  .~  =/=  (/) )
9084, 89sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ v ]  .~  =/=  (/) )
91 neeq1 2575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( z  =/=  (/)  <->  [ v ]  .~  =/=  (/) ) )
92 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( F `  z )  =  ( F `  [ v ]  .~  ) )
93 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  z  =  [ v ]  .~  )
9492, 93eleq12d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( ( F `  z )  e.  z  <->  ( F `  [ v ]  .~  )  e.  [ v ]  .~  ) )
9591, 94imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( (
z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  ( [
v ]  .~  =/=  (/) 
->  ( F `  [
v ]  .~  )  e.  [ v ]  .~  ) ) )
9695rspcv 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [ v ]  .~  e.  S  ->  ( A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  ->  ( [
v ]  .~  =/=  (/) 
->  ( F `  [
v ]  .~  )  e.  [ v ]  .~  ) ) )
9782, 83, 90, 96syl3c 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  [ v ]  .~  )  e.  [
v ]  .~  )
98 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 [ v ]  .~  )  e.  _V
99 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
10098, 99elec 6903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  [ v ]  .~  )  e. 
[ v ]  .~  <->  v  .~  ( F `  [ v ]  .~  ) )
10197, 100sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  v  .~  ( F `  [
v ]  .~  )
)
10276, 101erthi 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ v ]  .~  =  [
( F `  [
v ]  .~  ) ]  .~  )
103102eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  =  [ v ]  .~  )
104103fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  )  =  ( F `  [ v ]  .~  ) )
10536, 75, 104ectocld 6930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w ) )
106105ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. w  e.  S  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w
) )
107 eceq1 6900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  [ z ]  .~  =  [
( F `  w
) ]  .~  )
108107fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  ) )
109 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  z  =  ( F `  w ) )
110108, 109eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  z  <->  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w ) ) )
111110ralrn 5832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  S  ->  ( A. z  e.  ran  F ( F `  [
z ]  .~  )  =  z  <->  A. w  e.  S  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w
) ) )
11237, 111syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z  <->  A. w  e.  S  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w
) ) )
113106, 112mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  F ( F `  [
z ]  .~  )  =  z )
114113adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z )
115 eceq1 6900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  [ z ]  .~  =  [ ( w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  )
116115fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ ( w  -  ( G `  m ) ) ]  .~  )
)
117 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  z  =  ( w  -  ( G `  m )
) )
118116, 117eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  z  <-> 
( F `  [
( w  -  ( G `  m )
) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  m ) ) ) )
119118rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F  -> 
( A. z  e. 
ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z  ->  ( F `  [ ( w  -  ( G `  m ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  m ) ) ) )
12043, 114, 119sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( F `  [ (
w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  m )
) )
121 eceq1 6900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  [ z ]  .~  =  [ ( w  -  ( G `
 k ) ) ]  .~  )
122121fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ ( w  -  ( G `  k ) ) ]  .~  )
)
123 id 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  z  =  ( w  -  ( G `  k )
) )
124122, 123eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  z  <-> 
( F `  [
( w  -  ( G `  k )
) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) ) )
125124rspcv 3008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F  -> 
( A. z  e. 
ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z  ->  ( F `  [ ( w  -  ( G `  k ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) ) )
12658, 114, 125sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( F `  [ (
w  -  ( G `
 k ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  k )
) )
12770, 120, 1263eqtr3d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )
12818, 28, 32, 127subcand 9408 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
12919adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
130 f1of1 5632 . . . . . . . . 9  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  ->  G : NN
-1-1-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  G : NN -1-1-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1
) ) )
132 f1fveq 5967 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : NN -1-1-> ( QQ  i^i  ( -u
1 [,] 1 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( G `  m )  =  ( G `  k )  <-> 
m  =  k ) )
133131, 2, 29, 132syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( G `  m
)  =  ( G `
 k )  <->  m  =  k ) )
134128, 133mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  m  =  k )
135134ex 424 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) )  /\  (
k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  k ) ) )  ->  m  =  k ) )
136135alrimivv 1639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m A. k
( ( ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) )  /\  (
k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  k ) ) )  ->  m  =  k ) )
137 eleq1 2464 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
m  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
138 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( T `  m )  =  ( T `  k ) )
139138eleq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
w  e.  ( T `
 m )  <->  w  e.  ( T `  k ) ) )
140137, 139anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 m ) )  <-> 
( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )
141140mo4 2287 . . . 4  |-  ( E* m ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) )  <->  A. m A. k ( ( ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) )  ->  m  =  k ) )
142136, 141sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  E* m ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) ) )
143142alrimiv 1638 . 2  |-  ( ph  ->  A. w E* m
( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 m ) ) )
144 dfdisj2 4144 . 2  |-  (Disj  m  e.  NN ( T `  m )  <->  A. w E* m ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) ) )
145143, 144sylibr 204 1  |-  ( ph  -> Disj  m  e.  NN ( T `  m )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1721   E*wmo 2255    =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U_ciun 4053  Disj wdisj 4142   class class class wbr 4172   {copab 4225    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    Er wer 6861   [cec 6862   /.cqs 6863   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   2c2 10005   QQcq 10530   [,]cicc 10875   volcvol 19313
This theorem is referenced by:  vitalilem4  19456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-q 10531  df-icc 10879
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