Theorem vitalilem3 21049

Description: Lemma for vitali 21052. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vitali.1	|- .~ = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( x - y ) e. QQ ) }
vitali.2	|- S = ( ( 0 [,] 1 ) /. .~ )
vitali.3	|- ( ph -> F Fn S )
vitali.4	|- ( ph -> A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
vitali.5	|- ( ph -> G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
vitali.6	|- T = ( n e. NN |-> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } )
vitali.7	|- ( ph -> -. ran F e. ( ~P RR \ dom vol ) )

Assertion

Ref	Expression
vitalilem3	|- ( ph -> Disj m e. NN ( T ` m ) )

Distinct variable groups:   m, n, s, x, y, z, G   ph, m, n, x, z   z, S   T, m, x   m, F, n, s, x, y, z   .~ , m, n, s, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( y, s)   S( x, y, m, n, s)   T( y, z, n, s)

Proof of Theorem vitalilem3

Dummy variables k v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprlr 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. ( T ` m ) )
2		simprll 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> m e. NN )
3		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( G ` n ) = ( G ` m ) )
4	3	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( s - ( G ` n ) ) = ( s - ( G ` m ) ) )
5	4	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( s - ( G ` n ) ) e. ran F <-> ( s - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
6	5	rabbidv 2962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } = { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
7		vitali.6	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T = ( n e. NN |-> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } )
8		reex 9369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
9	8	rabex 4440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } e. _V
10	6, 7, 9	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( T ` m ) = { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
11	2, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( T ` m ) = { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
12	1, 11	eleqtrd 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } )
13		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s = w -> ( s - ( G ` m ) ) = ( w - ( G ` m ) ) )
14	13	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s = w -> ( ( s - ( G ` m ) ) e. ran F <-> ( w - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
15	14	elrab 3114	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. { s e. RR | ( s - ( G ` m ) ) e. ran F } <-> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
16	12, 15	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` m ) ) e. ran F ) )
17	16	simpld 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. RR )
18	17	recnd 9408	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. CC )
19		vitali.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
20		f1of 5638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) -> G : NN --> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
21	19, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> G : NN --> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
22		inss1 3567	. . . . . . . . . . . 12 |- ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) C_ QQ
23		fss 5564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : NN --> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) /\ ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) C_ QQ ) -> G : NN --> QQ )
24	21, 22, 23	sylancl 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : NN --> QQ )
25	24	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> G : NN --> QQ )
26	25, 2	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` m ) e. QQ )
27		qcn 10963	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` m ) e. QQ -> ( G ` m ) e. CC )
28	26, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` m ) e. CC )
29		simprrl 758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> k e. NN )
30	25, 29	ffvelrnd 5841	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. QQ )
31		qcn 10963	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` k ) e. QQ -> ( G ` k ) e. CC )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
33		vitali.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- .~ = { <. x , y >. | ( ( x e. ( 0 [,] 1 ) /\ y e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( x - y ) e. QQ ) }
34	33	vitalilem1 21047	. . . . . . . . . . . 12 |- .~ Er ( 0 [,] 1 )
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> .~ Er ( 0 [,] 1 ) )
36		vitali.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- S = ( ( 0 [,] 1 ) /. .~ )
37		vitali.3	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F Fn S )
38		vitali.4	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
39		vitali.7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -. ran F e. ( ~P RR \ dom vol ) )
40	33, 36, 37, 38, 19, 7, 39	vitalilem2 21048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ran F C_ ( 0 [,] 1 ) /\ ( 0 [,] 1 ) C_ U_ m e. NN ( T ` m ) /\ U_ m e. NN ( T ` m ) C_ ( -u 1 [,] 2 ) ) )
41	40	simp1d 995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ran F C_ ( 0 [,] 1 ) )
42	41	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ran F C_ ( 0 [,] 1 ) )
43	16	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) e. ran F )
44	42, 43	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
45		simprrr 759	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. ( T ` k ) )
46		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = k -> ( G ` n ) = ( G ` k ) )
47	46	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = k -> ( s - ( G ` n ) ) = ( s - ( G ` k ) ) )
48	47	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = k -> ( ( s - ( G ` n ) ) e. ran F <-> ( s - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
49	48	rabbidv 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> { s e. RR | ( s - ( G ` n ) ) e. ran F } = { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
50	8	rabex 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } e. _V
51	49, 7, 50	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( T ` k ) = { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
52	29, 51	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( T ` k ) = { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
53	45, 52	eleqtrd 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> w e. { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } )
54		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s = w -> ( s - ( G ` k ) ) = ( w - ( G ` k ) ) )
55	54	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s = w -> ( ( s - ( G ` k ) ) e. ran F <-> ( w - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
56	55	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. { s e. RR | ( s - ( G ` k ) ) e. ran F } <-> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
57	53, 56	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w e. RR /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ran F ) )
58	57	simprd 460	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` k ) ) e. ran F )
59	42, 58	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` k ) ) e. ( 0 [,] 1 ) )
60	44, 59	jca 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( w - ( G ` m ) ) e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ( 0 [,] 1 ) ) )
61	18, 28, 32	nnncan1d 9749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) = ( ( G ` k ) - ( G ` m ) ) )
62		qsubcl 10968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( G ` k ) e. QQ /\ ( G ` m ) e. QQ ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` m ) ) e. QQ )
63	30, 26, 62	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) - ( G ` m ) ) e. QQ )
64	61, 63	eqeltrd 2515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) e. QQ )
65		oveq12 6099	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( w - ( G ` m ) ) /\ y = ( w - ( G ` k ) ) ) -> ( x - y ) = ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) )
66	65	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( w - ( G ` m ) ) /\ y = ( w - ( G ` k ) ) ) -> ( ( x - y ) e. QQ <-> ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) e. QQ ) )
67	66, 33	brab2ga 4908	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w - ( G ` m ) ) .~ ( w - ( G ` k ) ) <-> ( ( ( w - ( G ` m ) ) e. ( 0 [,] 1 ) /\ ( w - ( G ` k ) ) e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( ( w - ( G ` m ) ) - ( w - ( G ` k ) ) ) e. QQ ) )
68	60, 64, 67	sylanbrc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) .~ ( w - ( G ` k ) ) )
69	35, 68	erthi 7143	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ = [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ )
70	69	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) )
71		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( [ v ] .~ = w -> ( F ` [ v ] .~ ) = ( F ` w ) )
72		eceq1 7133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` [ v ] .~ ) = ( F ` w ) -> [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ = [ ( F ` w ) ] .~ )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( [ v ] .~ = w -> [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ = [ ( F ` w ) ] .~ )
74	73	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [ v ] .~ = w -> ( F ` [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ ) = ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) )
75	74, 71	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [ v ] .~ = w -> ( ( F ` [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ ) = ( F ` [ v ] .~ ) <-> ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
76	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> .~ Er ( 0 [,] 1 ) )
77		ovex 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 [,] 1 ) e. _V
78		erex 7121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( .~ Er ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 0 [,] 1 ) e. _V -> .~ e. _V ) )
79	34, 77, 78	mp2 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- .~ e. _V
80	79	ecelqsi 7152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. ( 0 [,] 1 ) -> [ v ] .~ e. ( ( 0 [,] 1 ) /. .~ ) )
81	80, 36	syl6eleqr 2532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. ( 0 [,] 1 ) -> [ v ] .~ e. S )
82	81	adantl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ v ] .~ e. S )
83	38	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) )
84		simpr 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> v e. ( 0 [,] 1 ) )
85		erdm 7107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( .~ Er ( 0 [,] 1 ) -> dom .~ = ( 0 [,] 1 ) )
86	34, 85	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- dom .~ = ( 0 [,] 1 )
87	86	eleq2i 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. dom .~ <-> v e. ( 0 [,] 1 ) )
88		ecdmn0 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( v e. dom .~ <-> [ v ] .~ =/= (/) )
89	87, 88	bitr3i 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. ( 0 [,] 1 ) <-> [ v ] .~ =/= (/) )
90	84, 89	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ v ] .~ =/= (/) )
91		neeq1 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = [ v ] .~ -> ( z =/= (/) <-> [ v ] .~ =/= (/) ) )
92		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = [ v ] .~ -> ( F ` z ) = ( F ` [ v ] .~ ) )
93		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = [ v ] .~ -> z = [ v ] .~ )
94	92, 93	eleq12d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = [ v ] .~ -> ( ( F ` z ) e. z <-> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ ) )
95	91, 94	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = [ v ] .~ -> ( ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) <-> ( [ v ] .~ =/= (/) -> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ ) ) )
96	95	rspcv 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( [ v ] .~ e. S -> ( A. z e. S ( z =/= (/) -> ( F ` z ) e. z ) -> ( [ v ] .~ =/= (/) -> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ ) ) )
97	82, 83, 90, 96	syl3c 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ )
98		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F ` [ v ] .~ ) e. _V
99		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- v e. _V
100	98, 99	elec 7136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` [ v ] .~ ) e. [ v ] .~ <-> v .~ ( F ` [ v ] .~ ) )
101	97, 100	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> v .~ ( F ` [ v ] .~ ) )
102	76, 101	erthi 7143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ v ] .~ = [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ )
103	102	eqcomd 2446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ = [ v ] .~ )
104	103	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ v e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( F ` [ ( F ` [ v ] .~ ) ] .~ ) = ( F ` [ v ] .~ ) )
105	36, 75, 104	ectocld 7163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. S ) -> ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) )
106	105	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. w e. S ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) )
107		eceq1 7133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( F ` w ) -> [ z ] .~ = [ ( F ` w ) ] .~ )
108	107	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` w ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) )
109		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( F ` w ) -> z = ( F ` w ) )
110	108, 109	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( F ` w ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
111	110	ralrn 5843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn S -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> A. w e. S ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
112	37, 111	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> A. w e. S ( F ` [ ( F ` w ) ] .~ ) = ( F ` w ) ) )
113	106, 112	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z )
114	113	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z )
115		eceq1 7133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> [ z ] .~ = [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ )
116	115	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) )
117		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> z = ( w - ( G ` m ) ) )
118	116, 117	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( w - ( G ` m ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` m ) ) ) )
119	118	rspcv 3066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w - ( G ` m ) ) e. ran F -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z -> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` m ) ) ) )
120	43, 114, 119	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( F ` [ ( w - ( G ` m ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` m ) ) )
121		eceq1 7133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> [ z ] .~ = [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ )
122	121	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> ( F ` [ z ] .~ ) = ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) )
123		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> z = ( w - ( G ` k ) ) )
124	122, 123	eqeq12d 2455	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( w - ( G ` k ) ) -> ( ( F ` [ z ] .~ ) = z <-> ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` k ) ) ) )
125	124	rspcv 3066	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w - ( G ` k ) ) e. ran F -> ( A. z e. ran F ( F ` [ z ] .~ ) = z -> ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` k ) ) ) )
126	58, 114, 125	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( F ` [ ( w - ( G ` k ) ) ] .~ ) = ( w - ( G ` k ) ) )
127	70, 120, 126	3eqtr3d 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( w - ( G ` m ) ) = ( w - ( G ` k ) ) )
128	18, 28, 32, 127	subcand 9756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( G ` m ) = ( G ` k ) )
129	19	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
130		f1of1 5637	. . . . . . . . 9 |- ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) -> G : NN -1-1-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
131	129, 130	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> G : NN -1-1-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) )
132		f1fveq 5972	. . . . . . . 8 |- ( ( G : NN -1-1-> ( QQ i^i ( -u 1 [,] 1 ) ) /\ ( m e. NN /\ k e. NN ) ) -> ( ( G ` m ) = ( G ` k ) <-> m = k ) )
133	131, 2, 29, 132	syl12anc 1211	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> ( ( G ` m ) = ( G ` k ) <-> m = k ) )
134	128, 133	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) ) -> m = k )
135	134	ex 434	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) -> m = k ) )
136	135	alrimivv 1691	. . . 4 |- ( ph -> A. m A. k ( ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) -> m = k ) )
137		eleq1 2501	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( m e. NN <-> k e. NN ) )
138		fveq2 5688	. . . . . . 7 |- ( m = k -> ( T ` m ) = ( T ` k ) )
139	138	eleq2d 2508	. . . . . 6 |- ( m = k -> ( w e. ( T ` m ) <-> w e. ( T ` k ) ) )
140	137, 139	anbi12d 705	. . . . 5 |- ( m = k -> ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) <-> ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) )
141	140	mo4 2320	. . . 4 |- ( E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) <-> A. m A. k ( ( ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) /\ ( k e. NN /\ w e. ( T ` k ) ) ) -> m = k ) )
142	136, 141	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) )
143	142	alrimiv 1690	. 2 |- ( ph -> A. w E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) )
144		dfdisj2 4261	. 2 |- (Disj m e. NN ( T ` m ) <-> A. w E* m ( m e. NN /\ w e. ( T ` m ) ) )
145	143, 144	sylibr 212	1 |- ( ph -> Disj m e. NN ( T ` m ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 1761   E*wmo 2258   =/= wne 2604   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   i^i cin 3324   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   U_ciun 4168  Disj wdisj 4259   class class class wbr 4289   {copab 4346   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   Fn wfn 5410   -->wf 5411   -1-1->wf1 5412   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Er wer 7094   [cec 7095   /.cqs 7096   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   - cmin 9591   -ucneg 9592   NNcn 10318   2c2 10367   QQcq 10949   [,]cicc 11299   volcvol 20906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-q 10950  df-icc 11303

This theorem is referenced by:  vitalilem4  21050