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Theorem vitalilem3 22568
Description: Lemma for vitali 22571. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( x  -  y )  e.  QQ ) }
vitali.2  |-  S  =  ( ( 0 [,] 1 ) /.  .~  )
vitali.3  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
vitali.4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
vitali.5  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
vitali.6  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  n ) )  e.  ran  F } )
vitali.7  |-  ( ph  ->  -.  ran  F  e.  ( ~P RR  \  dom  vol ) )
Assertion
Ref Expression
vitalilem3  |-  ( ph  -> Disj  m  e.  NN  ( T `  m )
)
Distinct variable groups:    m, n, s, x, y, z, G    ph, m, n, x, z   
z, S    T, m, x    m, F, n, s, x, y, z    .~ , m, n, s, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, s)    S( x, y, m, n, s)    T( y, z, n, s)

Proof of Theorem vitalilem3
Dummy variables  k 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprlr 773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  ( T `  m
) )
2 simprll 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( G `  n )  =  ( G `  m ) )
43oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
s  -  ( G `
 n ) )  =  ( s  -  ( G `  m ) ) )
54eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( s  -  ( G `  n )
)  e.  ran  F  <->  ( s  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F ) )
65rabbidv 3036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 n ) )  e.  ran  F }  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
7 vitali.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  n ) )  e.  ran  F } )
8 reex 9630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
98rabex 4554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F }  e.  _V
106, 7, 9fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  ( T `  m )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
112, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( T `  m )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
121, 11eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
13 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  (
s  -  ( G `
 m ) )  =  ( w  -  ( G `  m ) ) )
1413eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  w  ->  (
( s  -  ( G `  m )
)  e.  ran  F  <->  ( w  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F ) )
1514elrab 3196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e. 
ran  F }  <->  ( w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  m ) )  e. 
ran  F ) )
1612, 15sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  m )
)  e.  ran  F
) )
1716simpld 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  RR )
1817recnd 9669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  CC )
19 vitali.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
20 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  ->  G : NN
--> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( QQ 
i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
22 inss1 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( QQ 
i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  C_  QQ
23 fss 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : NN --> ( QQ 
i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  /\  ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  C_  QQ )  ->  G : NN --> QQ )
2421, 22, 23sylancl 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> QQ )
2524adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  G : NN --> QQ )
2625, 2ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  QQ )
27 qcn 11278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  m )  e.  QQ  ->  ( G `  m )  e.  CC )
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  CC )
29 simprrl 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
3025, 29ffvelrnd 6023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  QQ )
31 qcn 11278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  k )  e.  QQ  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
33 vitali.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( x  -  y )  e.  QQ ) }
3433vitalilem1 22566 . . . . . . . . . . . 12  |-  .~  Er  ( 0 [,] 1
)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  .~  Er  ( 0 [,] 1
) )
36 vitali.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  ( ( 0 [,] 1 ) /.  .~  )
37 vitali.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
38 vitali.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
39 vitali.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  ran  F  e.  ( ~P RR  \  dom  vol ) )
4033, 36, 37, 38, 19, 7, 39vitalilem2 22567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ran  F  C_  ( 0 [,] 1
)  /\  ( 0 [,] 1 )  C_  U_ m  e.  NN  ( T `  m )  /\  U_ m  e.  NN  ( T `  m ) 
C_  ( -u 1 [,] 2 ) ) )
4140simp1d 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
0 [,] 1 ) )
4241adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ran  F 
C_  ( 0 [,] 1 ) )
4316simprd 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F )
4442, 43sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
45 simprrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  ( T `  k
) )
46 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
4746oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  k  ->  (
s  -  ( G `
 n ) )  =  ( s  -  ( G `  k ) ) )
4847eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  (
( s  -  ( G `  n )
)  e.  ran  F  <->  ( s  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F ) )
4948rabbidv 3036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 n ) )  e.  ran  F }  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
508rabex 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F }  e.  _V
5149, 7, 50fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
5229, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( T `  k )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
5345, 52eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
54 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  w  ->  (
s  -  ( G `
 k ) )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )
5554eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  w  ->  (
( s  -  ( G `  k )
)  e.  ran  F  <->  ( w  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F ) )
5655elrab 3196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e. 
ran  F }  <->  ( w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  k ) )  e. 
ran  F ) )
5753, 56sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  k )
)  e.  ran  F
) )
5857simprd 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F )
5942, 58sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 k ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6044, 59jca 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( w  -  ( G `  m )
)  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( w  -  ( G `  k )
)  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
6118, 28, 32nnncan1d 10020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( w  -  ( G `  m )
)  -  ( w  -  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( G `  m ) ) )
62 qsubcl 11283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  QQ  /\  ( G `  m )  e.  QQ )  -> 
( ( G `  k )  -  ( G `  m )
)  e.  QQ )
6330, 26, 62syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( G `  k
)  -  ( G `
 m ) )  e.  QQ )
6461, 63eqeltrd 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( w  -  ( G `  m )
)  -  ( w  -  ( G `  k ) ) )  e.  QQ )
65 oveq12 6299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( w  -  ( G `  m ) )  /\  y  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )  ->  ( x  -  y )  =  ( ( w  -  ( G `  m )
)  -  ( w  -  ( G `  k ) ) ) )
6665eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( w  -  ( G `  m ) )  /\  y  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )  ->  ( ( x  -  y )  e.  QQ  <->  ( ( w  -  ( G `  m ) )  -  ( w  -  ( G `  k )
) )  e.  QQ ) )
6766, 33brab2ga 4910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  -  ( G `
 m ) )  .~  ( w  -  ( G `  k ) )  <->  ( ( ( w  -  ( G `
 m ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  (
w  -  ( G `
 k ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( ( w  -  ( G `  m ) )  -  ( w  -  ( G `  k ) ) )  e.  QQ ) )
6860, 64, 67sylanbrc 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  .~  ( w  -  ( G `  k ) ) )
6935, 68erthi 7410 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  [ ( w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  =  [
( w  -  ( G `  k )
) ]  .~  )
7069fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( F `  [ (
w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  )  =  ( F `  [
( w  -  ( G `  k )
) ]  .~  )
)
71 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  ( F `  [ v ]  .~  )  =  ( F `  w ) )
7271eceq1d 7400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  [ ( F `
 [ v ]  .~  ) ]  .~  =  [ ( F `  w ) ]  .~  )
7372fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  ( F `  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  )  =  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  ) )
7473, 71eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  ( ( F `
 [ ( F `
 [ v ]  .~  ) ]  .~  )  =  ( F `  [ v ]  .~  ) 
<->  ( F `  [
( F `  w
) ]  .~  )  =  ( F `  w ) ) )
7534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  .~  Er  ( 0 [,] 1
) )
76 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
77 erex 7387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  .~  Er  ( 0 [,] 1
)  ->  ( (
0 [,] 1 )  e.  _V  ->  .~  e.  _V ) )
7834, 76, 77mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  .~  e.  _V
7978ecelqsi 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  [ v ]  .~  e.  ( ( 0 [,] 1
) /.  .~  )
)
8079, 36syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  [ v ]  .~  e.  S
)
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ v ]  .~  e.  S
)
8238adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
83 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  v  e.  ( 0 [,] 1
) )
84 erdm 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  .~  Er  ( 0 [,] 1
)  ->  dom  .~  =  ( 0 [,] 1
) )
8534, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  .~  =  ( 0 [,] 1 )
8685eleq2i 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  dom  .~  <->  v  e.  ( 0 [,] 1
) )
87 ecdmn0 7406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  dom  .~  <->  [ v ]  .~  =/=  (/) )
8886, 87bitr3i 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  [ v ]  .~  =/=  (/) )
8983, 88sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ v ]  .~  =/=  (/) )
90 neeq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( z  =/=  (/)  <->  [ v ]  .~  =/=  (/) ) )
91 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( F `  z )  =  ( F `  [ v ]  .~  ) )
92 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  z  =  [ v ]  .~  )
9391, 92eleq12d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( ( F `  z )  e.  z  <->  ( F `  [ v ]  .~  )  e.  [ v ]  .~  ) )
9490, 93imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( (
z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  ( [
v ]  .~  =/=  (/) 
->  ( F `  [
v ]  .~  )  e.  [ v ]  .~  ) ) )
9594rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [ v ]  .~  e.  S  ->  ( A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  ->  ( [
v ]  .~  =/=  (/) 
->  ( F `  [
v ]  .~  )  e.  [ v ]  .~  ) ) )
9681, 82, 89, 95syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  [ v ]  .~  )  e.  [
v ]  .~  )
97 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 [ v ]  .~  )  e.  _V
98 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
9997, 98elec 7403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  [ v ]  .~  )  e. 
[ v ]  .~  <->  v  .~  ( F `  [ v ]  .~  ) )
10096, 99sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  v  .~  ( F `  [
v ]  .~  )
)
10175, 100erthi 7410 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ v ]  .~  =  [
( F `  [
v ]  .~  ) ]  .~  )
102101eqcomd 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  =  [ v ]  .~  )
103102fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  )  =  ( F `  [ v ]  .~  ) )
10436, 74, 103ectocld 7430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w ) )
105104ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. w  e.  S  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w
) )
106 eceq1 7399 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  [ z ]  .~  =  [
( F `  w
) ]  .~  )
107106fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  ) )
108 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  z  =  ( F `  w ) )
109107, 108eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  z  <->  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w ) ) )
110109ralrn 6025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  S  ->  ( A. z  e.  ran  F ( F `  [
z ]  .~  )  =  z  <->  A. w  e.  S  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w
) ) )
11137, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z  <->  A. w  e.  S  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w
) ) )
112105, 111mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  F ( F `  [
z ]  .~  )  =  z )
113112adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z )
114 eceq1 7399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  [ z ]  .~  =  [ ( w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  )
115114fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ ( w  -  ( G `  m ) ) ]  .~  )
)
116 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  z  =  ( w  -  ( G `  m )
) )
117115, 116eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  z  <-> 
( F `  [
( w  -  ( G `  m )
) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  m ) ) ) )
118117rspcv 3146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F  -> 
( A. z  e. 
ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z  ->  ( F `  [ ( w  -  ( G `  m ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  m ) ) ) )
11943, 113, 118sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( F `  [ (
w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  m )
) )
120 eceq1 7399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  [ z ]  .~  =  [ ( w  -  ( G `
 k ) ) ]  .~  )
121120fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ ( w  -  ( G `  k ) ) ]  .~  )
)
122 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  z  =  ( w  -  ( G `  k )
) )
123121, 122eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  z  <-> 
( F `  [
( w  -  ( G `  k )
) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) ) )
124123rspcv 3146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F  -> 
( A. z  e. 
ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z  ->  ( F `  [ ( w  -  ( G `  k ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) ) )
12558, 113, 124sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( F `  [ (
w  -  ( G `
 k ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  k )
) )
12670, 119, 1253eqtr3d 2493 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )
12718, 28, 32, 126subcand 10027 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
12819adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
129 f1of1 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  ->  G : NN
-1-1-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
130128, 129syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  G : NN -1-1-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1
) ) )
131 f1fveq 6163 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : NN -1-1-> ( QQ  i^i  ( -u
1 [,] 1 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( G `  m )  =  ( G `  k )  <-> 
m  =  k ) )
132130, 2, 29, 131syl12anc 1266 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( G `  m
)  =  ( G `
 k )  <->  m  =  k ) )
133127, 132mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  m  =  k )
134133ex 436 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) )  /\  (
k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  k ) ) )  ->  m  =  k ) )
135134alrimivv 1774 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m A. k
( ( ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) )  /\  (
k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  k ) ) )  ->  m  =  k ) )
136 eleq1 2517 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
m  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
137 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( T `  m )  =  ( T `  k ) )
138137eleq2d 2514 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
w  e.  ( T `
 m )  <->  w  e.  ( T `  k ) ) )
139136, 138anbi12d 717 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 m ) )  <-> 
( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )
140139mo4 2346 . . . 4  |-  ( E* m ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) )  <->  A. m A. k ( ( ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) )  ->  m  =  k ) )
141135, 140sylibr 216 . . 3  |-  ( ph  ->  E* m ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) ) )
142141alrimiv 1773 . 2  |-  ( ph  ->  A. w E* m
( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 m ) ) )
143 dfdisj2 4375 . 2  |-  (Disj  m  e.  NN  ( T `  m )  <->  A. w E* m ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) ) )
144142, 143sylibr 216 1  |-  ( ph  -> Disj  m  e.  NN  ( T `  m )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887   E*wmo 2300    =/= wne 2622   A.wral 2737   {crab 2741   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373   class class class wbr 4402   {copab 4460    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    Er wer 7360   [cec 7361   /.cqs 7362   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    - cmin 9860   -ucneg 9861   NNcn 10609   2c2 10659   QQcq 11264   [,]cicc 11638   volcvol 22415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-ec 7365  df-qs 7369  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-q 11265  df-icc 11642
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