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Theorem vitalilem3 21754
Description: Lemma for vitali 21757. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( x  -  y )  e.  QQ ) }
vitali.2  |-  S  =  ( ( 0 [,] 1 ) /.  .~  )
vitali.3  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
vitali.4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
vitali.5  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
vitali.6  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  n ) )  e.  ran  F } )
vitali.7  |-  ( ph  ->  -.  ran  F  e.  ( ~P RR  \  dom  vol ) )
Assertion
Ref Expression
vitalilem3  |-  ( ph  -> Disj  m  e.  NN  ( T `  m )
)
Distinct variable groups:    m, n, s, x, y, z, G    ph, m, n, x, z   
z, S    T, m, x    m, F, n, s, x, y, z    .~ , m, n, s, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( y, s)    S( x, y, m, n, s)    T( y, z, n, s)

Proof of Theorem vitalilem3
Dummy variables  k 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprlr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  ( T `  m
) )
2 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  ( G `  n )  =  ( G `  m ) )
43oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
s  -  ( G `
 n ) )  =  ( s  -  ( G `  m ) ) )
54eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( s  -  ( G `  n )
)  e.  ran  F  <->  ( s  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F ) )
65rabbidv 3105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 n ) )  e.  ran  F }  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
7 vitali.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  =  ( n  e.  NN  |->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  n ) )  e.  ran  F } )
8 reex 9579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
98rabex 4598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F }  e.  _V
106, 7, 9fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  ( T `  m )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
112, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( T `  m )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
121, 11eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e.  ran  F } )
13 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  w  ->  (
s  -  ( G `
 m ) )  =  ( w  -  ( G `  m ) ) )
1413eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  w  ->  (
( s  -  ( G `  m )
)  e.  ran  F  <->  ( w  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F ) )
1514elrab 3261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  m ) )  e. 
ran  F }  <->  ( w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  m ) )  e. 
ran  F ) )
1612, 15sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  m )
)  e.  ran  F
) )
1716simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  RR )
1817recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  CC )
19 vitali.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
20 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  ->  G : NN
--> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G : NN --> ( QQ 
i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
22 inss1 3718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( QQ 
i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  C_  QQ
23 fss 5737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : NN --> ( QQ 
i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  /\  ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  C_  QQ )  ->  G : NN --> QQ )
2421, 22, 23sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> QQ )
2524adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  G : NN --> QQ )
2625, 2ffvelrnd 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  QQ )
27 qcn 11192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  m )  e.  QQ  ->  ( G `  m )  e.  CC )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  m )  e.  CC )
29 simprrl 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  k  e.  NN )
3025, 29ffvelrnd 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  QQ )
31 qcn 11192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  k )  e.  QQ  ->  ( G `  k )  e.  CC )
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
33 vitali.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( x  -  y )  e.  QQ ) }
3433vitalilem1 21752 . . . . . . . . . . . 12  |-  .~  Er  ( 0 [,] 1
)
3534a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  .~  Er  ( 0 [,] 1
) )
36 vitali.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  ( ( 0 [,] 1 ) /.  .~  )
37 vitali.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  S )
38 vitali.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
39 vitali.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  ran  F  e.  ( ~P RR  \  dom  vol ) )
4033, 36, 37, 38, 19, 7, 39vitalilem2 21753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ran  F  C_  ( 0 [,] 1
)  /\  ( 0 [,] 1 )  C_  U_ m  e.  NN  ( T `  m )  /\  U_ m  e.  NN  ( T `  m ) 
C_  ( -u 1 [,] 2 ) ) )
4140simp1d 1008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
0 [,] 1 ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ran  F 
C_  ( 0 [,] 1 ) )
4316simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F )
4442, 43sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
45 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  ( T `  k
) )
46 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  k  ->  ( G `  n )  =  ( G `  k ) )
4746oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  k  ->  (
s  -  ( G `
 n ) )  =  ( s  -  ( G `  k ) ) )
4847eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  (
( s  -  ( G `  n )
)  e.  ran  F  <->  ( s  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F ) )
4948rabbidv 3105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 n ) )  e.  ran  F }  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
508rabex 4598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F }  e.  _V
5149, 7, 50fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T `  k )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
5229, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( T `  k )  =  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
5345, 52eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e.  ran  F } )
54 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  =  w  ->  (
s  -  ( G `
 k ) )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )
5554eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  w  ->  (
( s  -  ( G `  k )
)  e.  ran  F  <->  ( w  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F ) )
5655elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  { s  e.  RR  |  ( s  -  ( G `  k ) )  e. 
ran  F }  <->  ( w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  k ) )  e. 
ran  F ) )
5753, 56sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  e.  RR  /\  ( w  -  ( G `  k )
)  e.  ran  F
) )
5857simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F )
5942, 58sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 k ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
6044, 59jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( w  -  ( G `  m )
)  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( w  -  ( G `  k )
)  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
6118, 28, 32nnncan1d 9960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( w  -  ( G `  m )
)  -  ( w  -  ( G `  k ) ) )  =  ( ( G `
 k )  -  ( G `  m ) ) )
62 qsubcl 11197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  QQ  /\  ( G `  m )  e.  QQ )  -> 
( ( G `  k )  -  ( G `  m )
)  e.  QQ )
6330, 26, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( G `  k
)  -  ( G `
 m ) )  e.  QQ )
6461, 63eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( w  -  ( G `  m )
)  -  ( w  -  ( G `  k ) ) )  e.  QQ )
65 oveq12 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  ( w  -  ( G `  m ) )  /\  y  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )  ->  ( x  -  y )  =  ( ( w  -  ( G `  m )
)  -  ( w  -  ( G `  k ) ) ) )
6665eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( w  -  ( G `  m ) )  /\  y  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )  ->  ( ( x  -  y )  e.  QQ  <->  ( ( w  -  ( G `  m ) )  -  ( w  -  ( G `  k )
) )  e.  QQ ) )
6766, 33brab2ga 5073 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  -  ( G `
 m ) )  .~  ( w  -  ( G `  k ) )  <->  ( ( ( w  -  ( G `
 m ) )  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  (
w  -  ( G `
 k ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )  /\  ( ( w  -  ( G `  m ) )  -  ( w  -  ( G `  k ) ) )  e.  QQ ) )
6860, 64, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  .~  ( w  -  ( G `  k ) ) )
6935, 68erthi 7355 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  [ ( w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  =  [
( w  -  ( G `  k )
) ]  .~  )
7069fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( F `  [ (
w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  )  =  ( F `  [
( w  -  ( G `  k )
) ]  .~  )
)
71 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  ( F `  [ v ]  .~  )  =  ( F `  w ) )
7271eceq1d 7345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  [ ( F `
 [ v ]  .~  ) ]  .~  =  [ ( F `  w ) ]  .~  )
7372fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  ( F `  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  )  =  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  ) )
7473, 71eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ v ]  .~  =  w  ->  ( ( F `
 [ ( F `
 [ v ]  .~  ) ]  .~  )  =  ( F `  [ v ]  .~  ) 
<->  ( F `  [
( F `  w
) ]  .~  )  =  ( F `  w ) ) )
7534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  .~  Er  ( 0 [,] 1
) )
76 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
77 erex 7332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  .~  Er  ( 0 [,] 1
)  ->  ( (
0 [,] 1 )  e.  _V  ->  .~  e.  _V ) )
7834, 76, 77mp2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  .~  e.  _V
7978ecelqsi 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  [ v ]  .~  e.  ( ( 0 [,] 1
) /.  .~  )
)
8079, 36syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  [ v ]  .~  e.  S
)
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ v ]  .~  e.  S
)
8238adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z ) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  v  e.  ( 0 [,] 1
) )
84 erdm 7318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (  .~  Er  ( 0 [,] 1
)  ->  dom  .~  =  ( 0 [,] 1
) )
8534, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  .~  =  ( 0 [,] 1 )
8685eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  dom  .~  <->  v  e.  ( 0 [,] 1
) )
87 ecdmn0 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  dom  .~  <->  [ v ]  .~  =/=  (/) )
8886, 87bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  [ v ]  .~  =/=  (/) )
8983, 88sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ v ]  .~  =/=  (/) )
90 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( z  =/=  (/)  <->  [ v ]  .~  =/=  (/) ) )
91 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( F `  z )  =  ( F `  [ v ]  .~  ) )
92 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  z  =  [ v ]  .~  )
9391, 92eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( ( F `  z )  e.  z  <->  ( F `  [ v ]  .~  )  e.  [ v ]  .~  ) )
9490, 93imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  [ v ]  .~  ->  ( (
z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  <->  ( [
v ]  .~  =/=  (/) 
->  ( F `  [
v ]  .~  )  e.  [ v ]  .~  ) ) )
9594rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [ v ]  .~  e.  S  ->  ( A. z  e.  S  ( z  =/=  (/)  ->  ( F `  z )  e.  z )  ->  ( [
v ]  .~  =/=  (/) 
->  ( F `  [
v ]  .~  )  e.  [ v ]  .~  ) ) )
9681, 82, 89, 95syl3c 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  [ v ]  .~  )  e.  [
v ]  .~  )
97 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F `
 [ v ]  .~  )  e.  _V
98 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  v  e. 
_V
9997, 98elec 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  [ v ]  .~  )  e. 
[ v ]  .~  <->  v  .~  ( F `  [ v ]  .~  ) )
10096, 99sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  v  .~  ( F `  [
v ]  .~  )
)
10175, 100erthi 7355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ v ]  .~  =  [
( F `  [
v ]  .~  ) ]  .~  )
102101eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  =  [ v ]  .~  )
103102fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  v  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  [ ( F `  [ v ]  .~  ) ]  .~  )  =  ( F `  [ v ]  .~  ) )
10436, 74, 103ectocld 7375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  S )  ->  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w ) )
105104ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. w  e.  S  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w
) )
106 eceq1 7344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  [ z ]  .~  =  [
( F `  w
) ]  .~  )
107106fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  ) )
108 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  z  =  ( F `  w ) )
109107, 108eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  z  <->  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w ) ) )
110109ralrn 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  S  ->  ( A. z  e.  ran  F ( F `  [
z ]  .~  )  =  z  <->  A. w  e.  S  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w
) ) )
11137, 110syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z  <->  A. w  e.  S  ( F `  [ ( F `  w ) ]  .~  )  =  ( F `  w
) ) )
112105, 111mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  F ( F `  [
z ]  .~  )  =  z )
113112adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z )
114 eceq1 7344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  [ z ]  .~  =  [ ( w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  )
115114fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ ( w  -  ( G `  m ) ) ]  .~  )
)
116 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  z  =  ( w  -  ( G `  m )
) )
117115, 116eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  m ) )  ->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  z  <-> 
( F `  [
( w  -  ( G `  m )
) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  m ) ) ) )
118117rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  -  ( G `
 m ) )  e.  ran  F  -> 
( A. z  e. 
ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z  ->  ( F `  [ ( w  -  ( G `  m ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  m ) ) ) )
11943, 113, 118sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( F `  [ (
w  -  ( G `
 m ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  m )
) )
120 eceq1 7344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  [ z ]  .~  =  [ ( w  -  ( G `
 k ) ) ]  .~  )
121120fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ ( w  -  ( G `  k ) ) ]  .~  )
)
122 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  z  =  ( w  -  ( G `  k )
) )
123121, 122eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( w  -  ( G `  k ) )  ->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  z  <-> 
( F `  [
( w  -  ( G `  k )
) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) ) )
124123rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  -  ( G `
 k ) )  e.  ran  F  -> 
( A. z  e. 
ran  F ( F `
 [ z ]  .~  )  =  z  ->  ( F `  [ ( w  -  ( G `  k ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) ) )
12558, 113, 124sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( F `  [ (
w  -  ( G `
 k ) ) ]  .~  )  =  ( w  -  ( G `  k )
) )
12670, 119, 1253eqtr3d 2516 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
w  -  ( G `
 m ) )  =  ( w  -  ( G `  k ) ) )
12718, 28, 32, 126subcand 9967 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  ( G `  m )  =  ( G `  k ) )
12819adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
129 f1of1 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( G : NN -1-1-onto-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) )  ->  G : NN
-1-1-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1 ) ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  G : NN -1-1-> ( QQ  i^i  ( -u 1 [,] 1
) ) )
131 f1fveq 6156 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : NN -1-1-> ( QQ  i^i  ( -u
1 [,] 1 ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  k  e.  NN ) )  -> 
( ( G `  m )  =  ( G `  k )  <-> 
m  =  k ) )
132130, 2, 29, 131syl12anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  (
( G `  m
)  =  ( G `
 k )  <->  m  =  k ) )
133127, 132mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )  ->  m  =  k )
134133ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) )  /\  (
k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  k ) ) )  ->  m  =  k ) )
135134alrimivv 1696 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m A. k
( ( ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) )  /\  (
k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  k ) ) )  ->  m  =  k ) )
136 eleq1 2539 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
m  e.  NN  <->  k  e.  NN ) )
137 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( T `  m )  =  ( T `  k ) )
138137eleq2d 2537 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  (
w  e.  ( T `
 m )  <->  w  e.  ( T `  k ) ) )
139136, 138anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 m ) )  <-> 
( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) ) )
140139mo4 2339 . . . 4  |-  ( E* m ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) )  <->  A. m A. k ( ( ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m ) )  /\  ( k  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 k ) ) )  ->  m  =  k ) )
141135, 140sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  E* m ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) ) )
142141alrimiv 1695 . 2  |-  ( ph  ->  A. w E* m
( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `
 m ) ) )
143 dfdisj2 4419 . 2  |-  (Disj  m  e.  NN  ( T `  m )  <->  A. w E* m ( m  e.  NN  /\  w  e.  ( T `  m
) ) )
144142, 143sylibr 212 1  |-  ( ph  -> Disj  m  e.  NN  ( T `  m )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   E*wmo 2276    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417   class class class wbr 4447   {copab 4504    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    Er wer 7305   [cec 7306   /.cqs 7307   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    - cmin 9801   -ucneg 9802   NNcn 10532   2c2 10581   QQcq 11178   [,]cicc 11528   volcvol 21610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-q 11179  df-icc 11532
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