Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitali Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vitali 22650
 Description: If the reals can be well-ordered, then there are non-measurable sets. The proof uses "Vitali sets", named for Giuseppe Vitali (1905). (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
vitali

Proof of Theorem vitali
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 9648 . . . 4
21pwex 4584 . . 3
3 weinxp 4907 . . . . 5
4 unipw 4650 . . . . . 6
5 weeq2 4828 . . . . . 6
64, 5ax-mp 5 . . . . 5
73, 6bitr4i 260 . . . 4
81, 1xpex 6614 . . . . . 6
98inex2 4538 . . . . 5
10 weeq1 4827 . . . . 5
119, 10spcev 3127 . . . 4
127, 11sylbi 200 . . 3
13 dfac8c 8482 . . 3
142, 12, 13mpsyl 64 . 2
15 qex 11299 . . . . . . 7
1615inex1 4537 . . . . . 6
17 nnrecq 11310 . . . . . . . 8
18 nnrecre 10668 . . . . . . . . 9
19 neg1rr 10736 . . . . . . . . . . 11
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10
21 0re 9661 . . . . . . . . . . 11
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10
23 neg1lt0 10738 . . . . . . . . . . . 12
2419, 21, 23ltleii 9775 . . . . . . . . . . 11
2524a1i 11 . . . . . . . . . 10
26 nnrp 11334 . . . . . . . . . . . 12
2726rpreccld 11374 . . . . . . . . . . 11
2827rpge0d 11368 . . . . . . . . . 10
2920, 22, 18, 25, 28letrd 9809 . . . . . . . . 9
30 nnge1 10657 . . . . . . . . . . 11
31 nnre 10638 . . . . . . . . . . . 12
32 nngt0 10660 . . . . . . . . . . . 12
33 1re 9660 . . . . . . . . . . . . 13
34 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . 13
35 lerec 10511 . . . . . . . . . . . . 13
3633, 34, 35mpanl12 696 . . . . . . . . . . . 12
3731, 32, 36syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
3830, 37mpbid 215 . . . . . . . . . 10
39 1div1e1 10322 . . . . . . . . . 10
4038, 39syl6breq 4435 . . . . . . . . 9
4119, 33elicc2i 11725 . . . . . . . . 9
4218, 29, 40, 41syl3anbrc 1214 . . . . . . . 8
4317, 42elind 3609 . . . . . . 7
44 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
45 nncn 10639 . . . . . . . . . . 11
46 nnne0 10664 . . . . . . . . . . 11
4745, 46recrecd 10402 . . . . . . . . . 10
48 nncn 10639 . . . . . . . . . . 11
49 nnne0 10664 . . . . . . . . . . 11
5048, 49recrecd 10402 . . . . . . . . . 10
5147, 50eqeqan12d 2487 . . . . . . . . 9
5244, 51syl5ib 227 . . . . . . . 8
53 oveq2 6316 . . . . . . . 8
5452, 53impbid1 208 . . . . . . 7
5543, 54dom2 7630 . . . . . 6
5616, 55ax-mp 5 . . . . 5
57 inss1 3643 . . . . . . 7
58 ssdomg 7633 . . . . . . 7
5915, 57, 58mp2 9 . . . . . 6
60 qnnen 14343 . . . . . 6
61 domentr 7646 . . . . . 6
6259, 60, 61mp2an 686 . . . . 5
63 sbth 7710 . . . . 5
6456, 62, 63mp2an 686 . . . 4
65 bren 7596 . . . 4
6664, 65mpbi 213 . . 3
67 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
68 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68bi2anan9 890 . . . . . . . . . . . 12
70 oveq12 6317 . . . . . . . . . . . . 13
7170eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12
7269, 71anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11
7372cbvopabv 4465 . . . . . . . . . 10
74 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
75 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
76 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
7775, 76fnmpti 5716 . . . . . . . . . . 11
7877a1i 11 . . . . . . . . . 10
79 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
81 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8280, 81eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . . 15
8379, 82imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14
8483cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . . 13
8573vitalilem1 22645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8786qsss 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887trud 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 unitssre 11805 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 sspwb 4649 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9189, 90mpbi 213 . . . . . . . . . . . . . . 15
9288, 91sstri 3427 . . . . . . . . . . . . . 14
93 ssralv 3479 . . . . . . . . . . . . . 14
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
9584, 94sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12
96 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9896, 76, 97fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . 14
10099imbi2d 323 . . . . . . . . . . . . 13
101100ralbiia 2822 . . . . . . . . . . . 12
10295, 101sylibr 217 . . . . . . . . . . 11
103102ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10
104 simprl 772 . . . . . . . . . 10
105 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14
106105eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13
107106cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . 12
108 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14
110109eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13
111110rabbidv 3022 . . . . . . . . . . . 12
112107, 111syl5eq 2517 . . . . . . . . . . 11
113112cbvmptv 4488 . . . . . . . . . 10
114 simprr 774 . . . . . . . . . 10
11573, 74, 78, 103, 104, 113, 114vitalilem5 22649 . . . . . . . . 9
116115pm2.21i 136 . . . . . . . 8
117116expr 626 . . . . . . 7
118117pm2.18d 115 . . . . . 6
119 eldif 3400 . . . . . . 7
120 mblss 22563 . . . . . . . . . 10
121 selpw 3949 . . . . . . . . . 10
122120, 121sylibr 217 . . . . . . . . 9
123122ssriv 3422 . . . . . . . 8
124 ssnelpss 3530 . . . . . . . 8
125123, 124ax-mp 5 . . . . . . 7
126119, 125sylbi 200 . . . . . 6
127118, 126syl 17 . . . . 5
128127ex 441 . . . 4
129128exlimdv 1787 . . 3
13066, 129mpi 20 . 2
13114, 130exlimddv 1789 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wtru 1453  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   cin 3389   wss 3390   wpss 3391  c0 3722  cpw 3942  cuni 4190   class class class wbr 4395  copab 4453   cmpt 4454   wwe 4797   cxp 4837   cdm 4839   crn 4840   wfn 5584  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308   wer 7378  cqs 7380   cen 7584   cdom 7585  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  cq 11287  cicc 11663  cvol 22493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator