Theorem vidfunid 15185

Description: The functor F associates every object of T to an object in U. For the identification of objects with the identities see df-func 15181. JFM CAT₁ th. 97.

Hypotheses

Ref	Expression
vidfunid.1	|- O1 = dom (id` T)
vidfunid.2	|- I1 = (id` T)
vidfunid.3	|- O2 = dom (id` U)
vidfunid.4	|- I2 = (id` U)

Assertion

Ref	Expression
vidfunid	|- ((T e. Cat /\ U e. Cat ) -> (F e. ( Func ` <.T, U>.) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p)))

Distinct variable groups:   o,F,p   o,O₁   p,O₂   T,o,p   U,o,p

Proof of Theorem vidfunid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vidfunid.1	. . . . . . 7 |- O1 = dom (id` T)
2		eqid 1884	. . . . . . 7 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
3		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (dom` T) = (dom` T)
4		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (cod` T) = (cod` T)
5		vidfunid.2	. . . . . . 7 |- I1 = (id` T)
6		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (o` T) = (o` T)
7		vidfunid.3	. . . . . . 7 |- O2 = dom (id` U)
8		eqid 1884	. . . . . . 7 |- dom (dom` U) = dom (dom` U)
9		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (dom` U) = (dom` U)
10		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (cod` U) = (cod` U)
11		vidfunid.4	. . . . . . 7 |- I2 = (id` U)
12		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (o` U) = (o` U)
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	isfunb 15183	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. ( Func ` <.T, U>.)) -> (F e. ( Func ` <.T, U>.) <-> (F:dom (dom` T)-->dom (dom` U) /\ (A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p) /\ (A.m e. dom (dom` T)(F` (I1` ((dom` T)` m))) = (I2` ((dom` U)` (F` m))) /\ A.m e. dom (dom` T)(F` (I1` ((cod` T)` m))) = (I2` ((cod` U)` (F` m)))) /\ A.m e. dom (dom` T)A.n e. dom (dom` T)(((cod` T)` n) = ((dom` T)` m) -> (F` (m(o` T)n)) = ((F` m)(o` U)(F` n)))))))
14	13	simplbda 465	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. ( Func ` <.T, U>.)) /\ F e. ( Func ` <.T, U>.)) -> (A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p) /\ (A.m e. dom (dom` T)(F` (I1` ((dom` T)` m))) = (I2` ((dom` U)` (F` m))) /\ A.m e. dom (dom` T)(F` (I1` ((cod` T)` m))) = (I2` ((cod` U)` (F` m)))) /\ A.m e. dom (dom` T)A.n e. dom (dom` T)(((cod` T)` n) = ((dom` T)` m) -> (F` (m(o` T)n)) = ((F` m)(o` U)(F` n)))))
15	14	simp1d 888	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. ( Func ` <.T, U>.)) /\ F e. ( Func ` <.T, U>.)) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p))
16	15	ex 402	. . 3 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat /\ F e. ( Func ` <.T, U>.)) -> (F e. ( Func ` <.T, U>.) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p)))
17	16	3expia 1069	. 2 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat ) -> (F e. ( Func ` <.T, U>.) -> (F e. ( Func ` <.T, U>.) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p))))
18	17	pm2.43d 79	1 |- ((T e. Cat /\ U e. Cat ) -> (F e. ( Func ` <.T, U>.) -> A.o e. O1 E.p e. O2 (F` (I1` o)) = (I2` p)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  <.cop 3046  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061  oco_ 15062   Cat ccat 15099   Func cfunc 15179

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-func 15181

Copyright terms: Public domain