Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vfwlkniswwlkn Structured version   Unicode version

Theorem vfwlkniswwlkn 25005
 Description: If the edge function of a walk has length n, then the vertex function of the walk is a word representing the walk as word of length n. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
vfwlkniswwlkn Walks WWalksN

Proof of Theorem vfwlkniswwlkn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkcpr 24828 . . . . 5 Walks Walks
2 wlkn0 24826 . . . . 5 Walks
31, 2sylbi 195 . . . 4 Walks
4 wlkelwrd 24829 . . . . 5 Walks Word
5 ffz0iswrd 12526 . . . . . 6 Word
65adantl 464 . . . . 5 Word Word
74, 6syl 17 . . . 4 Walks Word
8 edgwlk 24830 . . . . . 6 Walks ..^
9 wlklenvm1 24831 . . . . . . . 8 Walks
109oveq2d 6248 . . . . . . 7 Walks ..^ ..^
1110raleqdv 3007 . . . . . 6 Walks ..^ ..^
128, 11mpbid 210 . . . . 5 Walks ..^
131, 12sylbi 195 . . . 4 Walks ..^
143, 7, 133jca 1175 . . 3 Walks Word ..^
1514ad2antrl 726 . 2 Walks Word ..^
16 id 22 . . . . . 6
17 oveq2 6240 . . . . . . . . . . 11
1817adantl 464 . . . . . . . . . 10 Word
1918feq2d 5655 . . . . . . . . 9 Word
2019biimpd 207 . . . . . . . 8 Word
2120impancom 438 . . . . . . 7 Word
2221imp 427 . . . . . 6 Word
23 hashfzdm 12452 . . . . . 6
2416, 22, 23syl2anr 476 . . . . 5 Word
2524ex 432 . . . 4 Word
264, 25sylan 469 . . 3 Walks
2726impcom 428 . 2 Walks
28 wlkbprop 24822 . . . . . . . 8 Walks
2928simp2d 1008 . . . . . . 7 Walks
301, 29sylbi 195 . . . . . 6 Walks
31 simpll 752 . . . . . . . 8
32 simpr 459 . . . . . . . . 9
3332adantr 463 . . . . . . . 8
34 simpr 459 . . . . . . . 8
3531, 33, 343jca 1175 . . . . . . 7
3635ex 432 . . . . . 6
3730, 36syl 17 . . . . 5 Walks
3837adantr 463 . . . 4 Walks
3938impcom 428 . . 3 Walks
40 iswwlkn 24983 . . . 4 WWalksN WWalks
41 iswwlk 24982 . . . . . 6 WWalks Word ..^
42413adant3 1015 . . . . 5 WWalks Word ..^
4342anbi1d 703 . . . 4 WWalks Word ..^
4440, 43bitrd 253 . . 3 WWalksN Word ..^
4539, 44syl 17 . 2 Walks WWalksN Word ..^
4615, 27, 45mpbir2and 921 1 Walks WWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 972   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wral 2751  cvv 3056  c0 3735  cpr 3971   class class class wbr 4392   cdm 4940   crn 4941  wf 5519  cfv 5523  (class class class)co 6232  c1st 6734  c2nd 6735  cc0 9440  c1 9441   caddc 9443   cmin 9759  cn0 10754  cfz 11641  ..^cfzo 11765  chash 12357  Word cword 12488   Walks cwalk 24797   WWalks cwwlk 24976   WWalksN cwwlkn 24977 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-hash 12358  df-word 12496  df-wlk 24807  df-wwlk 24978  df-wwlkn 24979 This theorem is referenced by:  wlknwwlknfun  25009  wlkiswwlkfun  25016
 Copyright terms: Public domain W3C validator