Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vfwlkniswwlkn Structured version   Unicode version

Theorem vfwlkniswwlkn 30508
 Description: If the edge function of a walk has length n, then the vertex function of the walk is a word representing the walk as word of length n. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
vfwlkniswwlkn Walks WWalksN

Proof of Theorem vfwlkniswwlkn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wlkcpr 30458 . . . . 5 Walks Walks
2 wlkn0 30447 . . . . 5 Walks
31, 2sylbi 195 . . . 4 Walks
4 wlkelwrd 30448 . . . . 5 Walks Word
5 ffz0iswrd 12376 . . . . . 6 Word
65adantl 466 . . . . 5 Word Word
74, 6syl 16 . . . 4 Walks Word
8 edgwlk 30462 . . . . . 6 Walks ..^
9 wlklenfislenpm1 30452 . . . . . . . 8 Walks
109oveq2d 6219 . . . . . . 7 Walks ..^ ..^
1110raleqdv 3029 . . . . . 6 Walks ..^ ..^
128, 11mpbid 210 . . . . 5 Walks ..^
131, 12sylbi 195 . . . 4 Walks ..^
143, 7, 133jca 1168 . . 3 Walks Word ..^
1514ad2antrl 727 . 2 Walks Word ..^
16 id 22 . . . . . 6
17 oveq2 6211 . . . . . . . . . . 11
1817adantl 466 . . . . . . . . . 10 Word
1918feq2d 5658 . . . . . . . . 9 Word
2019biimpd 207 . . . . . . . 8 Word
2120impancom 440 . . . . . . 7 Word
2221imp 429 . . . . . 6 Word
23 hashfzdm 12323 . . . . . 6
2416, 22, 23syl2anr 478 . . . . 5 Word
2524ex 434 . . . 4 Word
264, 25sylan 471 . . 3 Walks
2726impcom 430 . 2 Walks
28 wlkbprop 23605 . . . . . . . 8 Walks
2928simp2d 1001 . . . . . . 7 Walks
301, 29sylbi 195 . . . . . 6 Walks
31 simpll 753 . . . . . . . 8
32 simpr 461 . . . . . . . . 9
3332adantr 465 . . . . . . . 8
34 simpr 461 . . . . . . . 8
3531, 33, 343jca 1168 . . . . . . 7
3635ex 434 . . . . . 6
3730, 36syl 16 . . . . 5 Walks
3837adantr 465 . . . 4 Walks
3938impcom 430 . . 3 Walks
40 iswwlkn 30486 . . . 4 WWalksN WWalks
41 iswwlk 30485 . . . . . 6 WWalks Word ..^
42413adant3 1008 . . . . 5 WWalks Word ..^
4342anbi1d 704 . . . 4 WWalks Word ..^
4440, 43bitrd 253 . . 3 WWalksN Word ..^
4539, 44syl 16 . 2 Walks WWalksN Word ..^
4615, 27, 45mpbir2and 913 1 Walks WWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 965   wceq 1370   wcel 1758   wne 2648  wral 2799  cvv 3078  c0 3748  cpr 3990   class class class wbr 4403   cdm 4951   crn 4952  wf 5525  cfv 5529  (class class class)co 6203  c1st 6688  c2nd 6689  cc0 9396  c1 9397   caddc 9399   cmin 9709  cn0 10693  cfz 11557  ..^cfzo 11668  chash 12223  Word cword 12342   Walks cwalk 23577   WWalks cwwlk 30479   WWalksN cwwlkn 30480 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-hash 12224  df-word 12350  df-wlk 23587  df-wwlk 30481  df-wwlkn 30482 This theorem is referenced by:  wlknwwlknfun  30510  wlkiswwlkfun  30517
 Copyright terms: Public domain W3C validator