MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vfermltl Structured version   Unicode version

Theorem vfermltl 14745
Description: Variant of Fermat's little theorem if  A is not a multiple of  P. (Contributed by AV, 21-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
vfermltl  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
( A ^ ( P  -  1 ) )  mod  P )  =  1 )

Proof of Theorem vfermltl
StepHypRef Expression
1 phiprm 14718 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( phi `  P )  =  ( P  -  1 ) )
21eqcomd 2431 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  -  1 )  =  ( phi `  P
) )
323ad2ant1 1027 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( P  -  1 )  =  ( phi `  P ) )
43oveq2d 6319 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( A ^ ( P  - 
1 ) )  =  ( A ^ ( phi `  P ) ) )
54oveq1d 6318 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
( A ^ ( P  -  1 ) )  mod  P )  =  ( ( A ^ ( phi `  P ) )  mod 
P ) )
6 prmnn 14618 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
763ad2ant1 1027 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  P  e.  NN )
8 simp2 1007 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  A  e.  ZZ )
9 prmz 14619 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
109anim1i 571 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( P  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ ) )
1110ancomd 453 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )
12113adant3 1026 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )
13 gcdcom 14477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  P
)  =  ( P  gcd  A ) )
1412, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( A  gcd  P )  =  ( P  gcd  A
) )
15 coprm 14650 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  A  <->  ( P  gcd  A )  =  1 ) )
1615biimp3a 1365 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( P  gcd  A )  =  1 )
1714, 16eqtrd 2464 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( A  gcd  P )  =  1 )
18 eulerth 14724 . . 3  |-  ( ( P  e.  NN  /\  A  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  P )  =  1 )  ->  (
( A ^ ( phi `  P ) )  mod  P )  =  ( 1  mod  P
) )
197, 8, 17, 18syl3anc 1265 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
( A ^ ( phi `  P ) )  mod  P )  =  ( 1  mod  P
) )
206nnred 10626 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
21 prmgt1 14636 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  1  < 
P )
2220, 21jca 535 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P  e.  RR  /\  1  <  P ) )
23223ad2ant1 1027 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  ( P  e.  RR  /\  1  <  P ) )
24 1mod 12130 . . 3  |-  ( ( P  e.  RR  /\  1  <  P )  -> 
( 1  mod  P
)  =  1 )
2523, 24syl 17 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
1  mod  P )  =  1 )
265, 19, 253eqtrd 2468 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  -.  P  ||  A )  ->  (
( A ^ ( P  -  1 ) )  mod  P )  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   1c1 9542    < clt 9677    - cmin 9862   NNcn 10611   ZZcz 10939    mod cmo 12097   ^cexp 12273    || cdvds 14298    gcd cgcd 14461   Primecprime 14615   phicphi 14704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-inf 7961  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-phi 14707
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator