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Theorem vdwnnlem3 14599
Description: Lemma for vdwnn 14600. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
vdwnn.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, c    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwnn.3 . . . . . . 7  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3 ssrab2 3571 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }  C_  NN
42, 3eqsstri 3519 . . . . . 6  |-  S  C_  NN
5 nnuz 11117 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtri 3521 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( ZZ>= `  1 )
7 vdwnn.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
87r19.21bi 2823 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  S  =/=  (/) )
9 infmssuzcl 11166 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  S  =/=  (/) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
106, 8, 9sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
114, 10sseldi 3487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
1211nnred 10546 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
1312ralrimiva 2868 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
14 fimaxre3 10487 . . 3  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
151, 13, 14syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
16 vdwnn.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
17 1nn 10542 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
18 ffvelrn 6005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> R  /\  1  e.  NN )  ->  ( F `  1
)  e.  R )
1916, 17, 18sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  R )
20 ne0i 3789 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  1 )  e.  R  ->  R  =/=  (/) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
2221adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  R  =/=  (/) )
23 r19.2z 3906 . . . . . . 7  |-  ( ( R  =/=  (/)  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
2423ex 432 . . . . . 6  |-  ( R  =/=  (/)  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
2522, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
26 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  e.  RR )
27 fllep1 11919 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2912adantlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3026flcld 11916 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
3130peano2zd 10968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
3231zred 10965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
33 letr 9667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3429, 26, 32, 33syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3528, 34mpan2d 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
3611adantlr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
3736nnzd 10964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
38 eluz 11095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ  /\  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )
3937, 31, 38syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
40 simpll 751 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ph )
4110adantlr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
421, 16, 2vdwnnlem2 14598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) ) )  -> 
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4342impancom 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4440, 41, 43syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
4539, 44sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S
) )
4635, 45syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
474sseli 3485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN )
4847nnnn0d 10848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0 )
4946, 48syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 ) )
5049rexlimdva 2946 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )
)
511adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  R  e.  Fin )
5216adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  F : NN --> R )
53 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 )
54 vdwnnlem1 14597 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5655ex 432 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5756adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5825, 50, 573syld 55 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
59 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
6059oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
6160raleqdv 3057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
62612rexbidv 2972 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6362notbid 292 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6463, 2elrab2 3256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  <->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6564simprbi 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6646, 65syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6766ralimdva 2862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
68 ralnex 2900 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6967, 68syl6ib 226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
7058, 69pm2.65d 175 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -.  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
7170nrexdv 2910 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
7215, 71pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   supcsup 7892   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675   |_cfl 11908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fl 11910  df-hash 12388  df-vdwap 14570  df-vdwmc 14571  df-vdwpc 14572
This theorem is referenced by:  vdwnn  14600
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