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Theorem vdwnnlem3 14079
Description: Lemma for vdwnn 14080. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
vdwnn.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, c    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwnn.3 . . . . . . 7  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3 ssrab2 3458 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }  C_  NN
42, 3eqsstri 3407 . . . . . 6  |-  S  C_  NN
5 nnuz 10917 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtri 3409 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( ZZ>= `  1 )
7 vdwnn.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
87r19.21bi 2835 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  S  =/=  (/) )
9 infmssuzcl 10959 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  S  =/=  (/) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
106, 8, 9sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
114, 10sseldi 3375 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
1211nnred 10358 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
1312ralrimiva 2820 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
14 fimaxre3 10300 . . 3  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
151, 13, 14syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
16 vdwnn.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
17 1nn 10354 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
18 ffvelrn 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> R  /\  1  e.  NN )  ->  ( F `  1
)  e.  R )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  R )
20 ne0i 3664 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  1 )  e.  R  ->  R  =/=  (/) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  R  =/=  (/) )
23 r19.2z 3790 . . . . . . 7  |-  ( ( R  =/=  (/)  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
2423ex 434 . . . . . 6  |-  ( R  =/=  (/)  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
2522, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
26 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  e.  RR )
27 fllep1 11672 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2912adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3026flcld 11669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
3130peano2zd 10771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
3231zred 10768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
33 letr 9489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3429, 26, 32, 33syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3528, 34mpan2d 674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
3611adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
3736nnzd 10767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
38 eluz 10895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ  /\  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )
3937, 31, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
40 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ph )
4110adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
421, 16, 2vdwnnlem2 14078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) ) )  -> 
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4342impancom 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4440, 41, 43syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
4539, 44sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S
) )
4635, 45syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
474sseli 3373 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN )
4847nnnn0d 10657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0 )
4946, 48syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 ) )
5049rexlimdva 2862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )
)
511adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  R  e.  Fin )
5216adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  F : NN --> R )
53 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 )
54 vdwnnlem1 14077 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5655ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5756adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5825, 50, 573syld 55 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
59 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
6059oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
6160raleqdv 2944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
62612rexbidv 2779 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6362notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6463, 2elrab2 3140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  <->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6564simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6646, 65syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6766ralimdva 2815 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
68 ralnex 2746 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6967, 68syl6ib 226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
7058, 69pm2.65d 175 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -.  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
7170nrexdv 2840 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
7215, 71pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740    C_ wss 3349   (/)c0 3658   {csn 3898   class class class wbr 4313   `'ccnv 4860   "cima 4864   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   supcsup 7711   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ...cfz 11458   |_cfl 11661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fl 11663  df-hash 12125  df-vdwap 14050  df-vdwmc 14051  df-vdwpc 14052
This theorem is referenced by:  vdwnn  14080
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