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Theorem vdwnnlem3 14377
Description: Lemma for vdwnn 14378. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
vdwnn.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, c    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwnn.3 . . . . . . 7  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }  C_  NN
42, 3eqsstri 3534 . . . . . 6  |-  S  C_  NN
5 nnuz 11118 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtri 3536 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( ZZ>= `  1 )
7 vdwnn.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
87r19.21bi 2833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  S  =/=  (/) )
9 infmssuzcl 11166 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  S  =/=  (/) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
106, 8, 9sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
114, 10sseldi 3502 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
1211nnred 10552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
1312ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
14 fimaxre3 10493 . . 3  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
151, 13, 14syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
16 vdwnn.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
17 1nn 10548 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
18 ffvelrn 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> R  /\  1  e.  NN )  ->  ( F `  1
)  e.  R )
1916, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  R )
20 ne0i 3791 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  1 )  e.  R  ->  R  =/=  (/) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  R  =/=  (/) )
23 r19.2z 3917 . . . . . . 7  |-  ( ( R  =/=  (/)  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
2423ex 434 . . . . . 6  |-  ( R  =/=  (/)  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
2522, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
26 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  e.  RR )
27 fllep1 11907 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2912adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3026flcld 11904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
3130peano2zd 10970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
3231zred 10967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
33 letr 9679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3429, 26, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3528, 34mpan2d 674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
3611adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
3736nnzd 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
38 eluz 11096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ  /\  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )
3937, 31, 38syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
40 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ph )
4110adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
421, 16, 2vdwnnlem2 14376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) ) )  -> 
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4342impancom 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4440, 41, 43syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
4539, 44sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S
) )
4635, 45syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
474sseli 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN )
4847nnnn0d 10853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0 )
4946, 48syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 ) )
5049rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )
)
511adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  R  e.  Fin )
5216adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  F : NN --> R )
53 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 )
54 vdwnnlem1 14375 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5655ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5756adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5825, 50, 573syld 55 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
59 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
6059oveq2d 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
6160raleqdv 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
62612rexbidv 2980 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6362notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6463, 2elrab2 3263 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  <->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6564simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6646, 65syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6766ralimdva 2872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
68 ralnex 2910 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6967, 68syl6ib 226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
7058, 69pm2.65d 175 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -.  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
7170nrexdv 2920 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
7215, 71pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   supcsup 7901   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   ...cfz 11673   |_cfl 11896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fl 11898  df-hash 12375  df-vdwap 14348  df-vdwmc 14349  df-vdwpc 14350
This theorem is referenced by:  vdwnn  14378
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