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Theorem vdwnnlem3 15026
Description: Lemma for vdwnn 15027. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
vdwnn.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, c    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwnn.3 . . . . . . 7  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3 ssrab2 3500 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }  C_  NN
42, 3eqsstri 3448 . . . . . 6  |-  S  C_  NN
5 nnuz 11218 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtri 3450 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( ZZ>= `  1 )
7 vdwnn.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
87r19.21bi 2776 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  S  =/=  (/) )
9 infssuzcl 11268 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  S  =/=  (/) )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )
106, 8, 9sylancr 676 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )
114, 10sseldi 3416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  NN )
1211nnred 10646 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1312ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
14 fimaxre3 10575 . . 3  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x )
151, 13, 14syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x )
16 vdwnn.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
17 1nn 10642 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
18 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> R  /\  1  e.  NN )  ->  ( F `  1
)  e.  R )
1916, 17, 18sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  R )
20 ne0i 3728 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  1 )  e.  R  ->  R  =/=  (/) )
2119, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
2221adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  R  =/=  (/) )
23 r19.2z 3849 . . . . . . 7  |-  ( ( R  =/=  (/)  /\  A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x )  ->  E. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x )
2423ex 441 . . . . . 6  |-  ( R  =/=  (/)  ->  ( A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x )
)
2522, 24syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x )
)
26 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  e.  RR )
27 fllep1 12070 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2912adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3026flcld 12067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
3130peano2zd 11066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
3231zred 11063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
33 letr 9745 . . . . . . . . . 10  |-  ( (inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( (inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3429, 26, 32, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
(inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  /\  x  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3528, 34mpan2d 688 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3611adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  NN )
3736nnzd 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
38 eluz 11196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` inf ( S ,  RR ,  <  )
)  <-> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )
3937, 31, 38syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` inf ( S ,  RR ,  <  ) )  <-> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
40 simpll 768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ph )
4110adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )
421, 16, 2vdwnnlem2 15025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= ` inf ( S ,  RR ,  <  ) ) )  ->  (inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  S  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4342impancom 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\ inf ( S ,  RR ,  <  )  e.  S )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` inf ( S ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S ) )
4440, 41, 43syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` inf ( S ,  RR ,  <  ) )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S ) )
4539, 44sylbird 243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S ) )
4635, 45syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  ->  ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S ) )
474sseli 3414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN )
4847nnnn0d 10949 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0 )
4946, 48syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  ->  ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0 ) )
5049rexlimdva 2871 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  ->  ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0 ) )
511adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  R  e.  Fin )
5216adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  F : NN --> R )
53 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 )
54 vdwnnlem1 15024 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5655ex 441 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5756adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5825, 50, 573syld 56 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
59 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
6059oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
6160raleqdv 2979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
62612rexbidv 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6362notbid 301 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6463, 2elrab2 3186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  <->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6564simprbi 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6646, 65syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  ->  -. 
E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6766ralimdva 2805 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  ->  A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
68 ralnex 2834 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6967, 68syl6ib 234 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x  ->  -. 
E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
7058, 69pm2.65d 180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -.  A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x )
7170nrexdv 2842 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. c  e.  R inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  x )
7215, 71pm2.65i 178 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   "cima 4842   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587  infcinf 7973   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   |_cfl 12059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-hash 12554  df-vdwap 14997  df-vdwmc 14998  df-vdwpc 14999
This theorem is referenced by:  vdwnn  15027
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