Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdwnnlem3 15026
 Description: Lemma for vdwnn 15027. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1
vdwnn.2
vdwnn.3
vdwnn.4
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3
2 vdwnn.3 . . . . . . 7
3 ssrab2 3500 . . . . . . 7
42, 3eqsstri 3448 . . . . . 6
5 nnuz 11218 . . . . . . . 8
64, 5sseqtri 3450 . . . . . . 7
7 vdwnn.4 . . . . . . . 8
87r19.21bi 2776 . . . . . . 7
9 infssuzcl 11268 . . . . . . 7 inf
106, 8, 9sylancr 676 . . . . . 6 inf
114, 10sseldi 3416 . . . . 5 inf
1211nnred 10646 . . . 4 inf
1312ralrimiva 2809 . . 3 inf
14 fimaxre3 10575 . . 3 inf inf
151, 13, 14syl2anc 673 . 2 inf
16 vdwnn.2 . . . . . . . . 9
17 1nn 10642 . . . . . . . . 9
18 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9
1916, 17, 18sylancl 675 . . . . . . . 8
20 ne0i 3728 . . . . . . . 8
2119, 20syl 17 . . . . . . 7
2221adantr 472 . . . . . 6
23 r19.2z 3849 . . . . . . 7 inf inf
2423ex 441 . . . . . 6 inf inf
2522, 24syl 17 . . . . 5 inf inf
26 simplr 770 . . . . . . . . . 10
27 fllep1 12070 . . . . . . . . . 10
2826, 27syl 17 . . . . . . . . 9
2912adantlr 729 . . . . . . . . . 10 inf
3026flcld 12067 . . . . . . . . . . . 12
3130peano2zd 11066 . . . . . . . . . . 11
3231zred 11063 . . . . . . . . . 10
33 letr 9745 . . . . . . . . . 10 inf inf inf
3429, 26, 32, 33syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 inf inf
3528, 34mpan2d 688 . . . . . . . 8 inf inf
3611adantlr 729 . . . . . . . . . . 11 inf
3736nnzd 11062 . . . . . . . . . 10 inf
38 eluz 11196 . . . . . . . . . 10 inf inf inf
3937, 31, 38syl2anc 673 . . . . . . . . 9 inf inf
40 simpll 768 . . . . . . . . . 10
4110adantlr 729 . . . . . . . . . 10 inf
421, 16, 2vdwnnlem2 15025 . . . . . . . . . . 11 inf inf
4342impancom 447 . . . . . . . . . 10 inf inf
4440, 41, 43syl2anc 673 . . . . . . . . 9 inf
4539, 44sylbird 243 . . . . . . . 8 inf
4635, 45syld 44 . . . . . . 7 inf
474sseli 3414 . . . . . . . 8
4847nnnn0d 10949 . . . . . . 7
4946, 48syl6 33 . . . . . 6 inf
5049rexlimdva 2871 . . . . 5 inf
511adantr 472 . . . . . . . 8
5216adantr 472 . . . . . . . 8
53 simpr 468 . . . . . . . 8
54 vdwnnlem1 15024 . . . . . . . 8
5551, 52, 53, 54syl3anc 1292 . . . . . . 7
5655ex 441 . . . . . 6
5756adantr 472 . . . . 5
5825, 50, 573syld 56 . . . 4 inf
59 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13
6059oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
6160raleqdv 2979 . . . . . . . . . . 11
62612rexbidv 2897 . . . . . . . . . 10
6362notbid 301 . . . . . . . . 9
6463, 2elrab2 3186 . . . . . . . 8
6564simprbi 471 . . . . . . 7
6646, 65syl6 33 . . . . . 6 inf
6766ralimdva 2805 . . . . 5 inf
68 ralnex 2834 . . . . 5
6967, 68syl6ib 234 . . . 4 inf
7058, 69pm2.65d 180 . . 3 inf
7170nrexdv 2842 . 2 inf
7215, 71pm2.65i 178 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   wss 3390  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395  ccnv 4838  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  infcinf 7973  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  cfl 12059 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-hash 12554  df-vdwap 14997  df-vdwmc 14998  df-vdwpc 14999 This theorem is referenced by:  vdwnn  15027
 Copyright terms: Public domain W3C validator