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Theorem vdwnnlem3 14054
Description: Lemma for vdwnn 14055. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
vdwnn.4  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem3  |-  -.  ph
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, c    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwnn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
2 vdwnn.3 . . . . . . 7  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3 ssrab2 3434 . . . . . . 7  |-  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }  C_  NN
42, 3eqsstri 3383 . . . . . 6  |-  S  C_  NN
5 nnuz 10892 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtri 3385 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( ZZ>= `  1 )
7 vdwnn.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  S  =/=  (/) )
87r19.21bi 2812 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  S  =/=  (/) )
9 infmssuzcl 10934 . . . . . . 7  |-  ( ( S  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  S  =/=  (/) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
106, 8, 9sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
114, 10sseldi 3351 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
1211nnred 10333 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
1312ralrimiva 2797 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
14 fimaxre3 10275 . . 3  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
151, 13, 14syl2anc 656 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
16 vdwnn.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
17 1nn 10329 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
18 ffvelrn 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> R  /\  1  e.  NN )  ->  ( F `  1
)  e.  R )
1916, 17, 18sylancl 657 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  e.  R )
20 ne0i 3640 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  1 )  e.  R  ->  R  =/=  (/) )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
2221adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  R  =/=  (/) )
23 r19.2z 3766 . . . . . . 7  |-  ( ( R  =/=  (/)  /\  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
2423ex 434 . . . . . 6  |-  ( R  =/=  (/)  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
2522, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x ) )
26 simplr 749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  e.  RR )
27 fllep1 11647 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
2912adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
3026flcld 11644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
3130peano2zd 10746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
3231zred 10743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
33 letr 9464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  RR )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3429, 26, 32, 33syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
3528, 34mpan2d 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
3611adantlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  NN )
3736nnzd 10742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ )
38 eluz 10870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  ZZ  /\  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) ) )
3937, 31, 38syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  <->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
40 simpll 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ph )
4110adantlr 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)
421, 16, 2vdwnnlem2 14053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) ) )  -> 
( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4342impancom 438 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  e.  S
)  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S ) )
4440, 41, 43syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  (
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  sup ( S ,  RR ,  `'  <  ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
4539, 44sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_ 
( ( |_ `  x )  +  1 )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  S
) )
4635, 45syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  S
) )
474sseli 3349 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN )
4847nnnn0d 10632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0 )
4946, 48syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 ) )
5049rexlimdva 2839 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )
)
511adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  R  e.  Fin )
5216adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  F : NN --> R )
53 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0 )
54 vdwnnlem1 14052 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5551, 52, 53, 54syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
5655ex 434 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5756adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN0  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
5825, 50, 573syld 55 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
59 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
k  -  1 )  =  ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) )
6059oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) )
6160raleqdv 2921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
62612rexbidv 2756 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6362notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6463, 2elrab2 3116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  <->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6564simprbi 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 )  e.  S  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6646, 65syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  c  e.  R )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
6766ralimdva 2792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
68 ralnex 2723 . . . . 5  |-  ( A. c  e.  R  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
6967, 68syl6ib 226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x  ->  -.  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
( ( |_ `  x )  +  1 )  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
7058, 69pm2.65d 175 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  -.  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x
)
7170nrexdv 2817 . 2  |-  ( ph  ->  -.  E. x  e.  RR  A. c  e.  R  sup ( S ,  RR ,  `'  <  )  <_  x )
7215, 71pm2.65i 173 1  |-  -.  ph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   class class class wbr 4289   `'ccnv 4835   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   |_cfl 11636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fl 11638  df-hash 12100  df-vdwap 14025  df-vdwmc 14026  df-vdwpc 14027
This theorem is referenced by:  vdwnn  14055
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