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Theorem vdwnnlem2 14889
Description: Lemma for vdwnn 14891. The set of all "bad"  k for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( A  e.  S  ->  B  e.  S ) )
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, A    a,
c, d, m    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    B, a,
d, k, m    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    A( c)    B( c)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  ZZ )
2 peano2zm 10931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
4 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
51zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  CC )
6 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
7 npcan 9835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
85, 6, 7sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A  -  1 )  +  1 )  =  A )
98fveq2d 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  ( ( A  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  A ) )
104, 9eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( ( A  -  1 )  +  1 ) ) )
11 eluzp1m1 11133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( ( A  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1
) ) )
123, 10, 11syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) ) )
1312ad2antlr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) ) )
14 fzss2 11789 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) )
15 ssralv 3468 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 ... ( A  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( B  -  1 ) )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1716reximdv 2838 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1817reximdv 2838 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1918con3d 138 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( -. 
E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
20 id 22 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN )
21 simpr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
22 eluznn 11180 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN )
2320, 21, 22syl2anr 480 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
2419, 23jctild 545 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( -. 
E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  ( B  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) ) )
2524expimpd 606 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( ( A  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  -> 
( B  e.  NN  /\ 
-.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) ) )
26 oveq1 6256 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
k  -  1 )  =  ( A  - 
1 ) )
2726oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
2827raleqdv 2970 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
29282rexbidv 2885 . . . 4  |-  ( k  =  A  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3029notbid 295 . . 3  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
31 vdwnn.3 . . 3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3230, 31elrab2 3173 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
33 oveq1 6256 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  (
k  -  1 )  =  ( B  - 
1 ) )
3433oveq2d 6265 . . . . . 6  |-  ( k  =  B  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) )
3534raleqdv 2970 . . . . 5  |-  ( k  =  B  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
36352rexbidv 2885 . . . 4  |-  ( k  =  B  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3736notbid 295 . . 3  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3837, 31elrab2 3173 . 2  |-  ( B  e.  S  <->  ( B  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3925, 32, 383imtr4g 273 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( A  e.  S  ->  B  e.  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718    C_ wss 3379   {csn 3941   `'ccnv 4795   "cima 4799   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    - cmin 9811   NNcn 10560   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   ...cfz 11735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  14890
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