Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem vdwnnlem2 14889
 Description: Lemma for vdwnn 14891. The set of all "bad" for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1
vdwnn.2
vdwnn.3
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)   ()

Proof of Theorem vdwnnlem2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 11115 . . . . . . . . . . 11
2 peano2zm 10931 . . . . . . . . . . 11
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10
4 id 22 . . . . . . . . . . 11
51zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . 13
6 ax-1cn 9548 . . . . . . . . . . . . 13
7 npcan 9835 . . . . . . . . . . . . 13
85, 6, 7sylancl 666 . . . . . . . . . . . 12
98fveq2d 5829 . . . . . . . . . . 11
104, 9eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . 10
11 eluzp1m1 11133 . . . . . . . . . 10
123, 10, 11syl2anc 665 . . . . . . . . 9
1312ad2antlr 731 . . . . . . . 8
14 fzss2 11789 . . . . . . . 8
15 ssralv 3468 . . . . . . . 8
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . 7
1716reximdv 2838 . . . . . 6
1817reximdv 2838 . . . . 5
1918con3d 138 . . . 4
20 id 22 . . . . 5
21 simpr 462 . . . . 5
22 eluznn 11180 . . . . 5
2320, 21, 22syl2anr 480 . . . 4
2419, 23jctild 545 . . 3
2524expimpd 606 . 2
26 oveq1 6256 . . . . . . 7
2726oveq2d 6265 . . . . . 6
2827raleqdv 2970 . . . . 5
29282rexbidv 2885 . . . 4
3029notbid 295 . . 3
31 vdwnn.3 . . 3
3230, 31elrab2 3173 . 2
33 oveq1 6256 . . . . . . 7
3433oveq2d 6265 . . . . . 6
3534raleqdv 2970 . . . . 5
36352rexbidv 2885 . . . 4
3736notbid 295 . . 3
3837, 31elrab2 3173 . 2
3925, 32, 383imtr4g 273 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2714  wrex 2715  crab 2718   wss 3379  csn 3941  ccnv 4795  cima 4799  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249  cfn 7524  cc 9488  cc0 9490  c1 9491   caddc 9493   cmul 9495   cmin 9811  cn 10560  cz 10888  cuz 11110  cfz 11735 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736 This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  14890
 Copyright terms: Public domain W3C validator