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Theorem vdwnnlem2 13319
Description: Lemma for vdwnn 13321. The set of all "bad"  k for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( A  e.  S  ->  B  e.  S ) )
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, A    a,
c, d, m    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    B, a,
d, k, m    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    A( c)    B( c)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  ZZ )
2 peano2zm 10276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
4 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
51zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  CC )
6 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
7 npcan 9270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
85, 6, 7sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A  -  1 )  +  1 )  =  A )
98fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  ( ( A  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  A ) )
104, 9eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( ( A  -  1 )  +  1 ) ) )
11 eluzp1m1 10465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( ( A  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1
) ) )
123, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) ) )
1312ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) ) )
14 fzss2 11048 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) )
15 ssralv 3367 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 ... ( A  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( B  -  1 ) )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1613, 14, 153syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1716reximdv 2777 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1817reximdv 2777 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1918con3d 127 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( -. 
E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
20 id 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN )
21 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
22 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2322uztrn2 10459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN )
2420, 21, 23syl2anr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
2519, 24jctild 528 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( -. 
E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  ( B  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) ) )
2625expimpd 587 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( ( A  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  -> 
( B  e.  NN  /\ 
-.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) ) )
27 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
k  -  1 )  =  ( A  - 
1 ) )
2827oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
2928raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
30292rexbidv 2709 . . . 4  |-  ( k  =  A  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3130notbid 286 . . 3  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
32 vdwnn.3 . . 3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3331, 32elrab2 3054 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
34 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  (
k  -  1 )  =  ( B  - 
1 ) )
3534oveq2d 6056 . . . . . 6  |-  ( k  =  B  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) )
3635raleqdv 2870 . . . . 5  |-  ( k  =  B  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
37362rexbidv 2709 . . . 4  |-  ( k  =  B  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3837notbid 286 . . 3  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3938, 32elrab2 3054 . 2  |-  ( B  e.  S  <->  ( B  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
4026, 33, 393imtr4g 262 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( A  e.  S  ->  B  e.  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   {csn 3774   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  13320
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000
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