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Theorem vdwnnlem2 14062
Description: Lemma for vdwnn 14064. The set of all "bad"  k for the theorem is upwards-closed, because a long AP implies a short AP. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwnn.1  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwnn.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> R )
vdwnn.3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( A  e.  S  ->  B  e.  S ) )
Distinct variable groups:    a, d,
k, m, A    a,
c, d, m    ph, a,
c, d    R, a,
c, d    B, a,
d, k, m    F, a    k, c, F, d, m    S, a, d, k, m
Allowed substitution hints:    ph( k, m)    A( c)    B( c)    R( k, m)    S( c)

Proof of Theorem vdwnnlem2
StepHypRef Expression
1 eluzel2 10871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  ZZ )
2 peano2zm 10693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
4 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
51zcnd 10753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  A  e.  CC )
6 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
7 npcan 9624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  +  1 )  =  A )
85, 6, 7sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ( A  -  1 )  +  1 )  =  A )
98fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( ZZ>= `  ( ( A  - 
1 )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  A ) )
104, 9eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  ( ( A  -  1 )  +  1 ) ) )
11 eluzp1m1 10889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  B  e.  ( ZZ>= `  ( ( A  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1
) ) )
123, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) ) )
1312ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) ) )
14 fzss2 11503 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( A  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( A  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) )
15 ssralv 3421 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 ... ( A  -  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( B  -  1 ) )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1613, 14, 153syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1716reximdv 2832 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1817reximdv 2832 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
1918con3d 133 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( -. 
E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
20 id 22 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN )
21 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)
22 eluznn 10930 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A ) )  ->  B  e.  NN )
2320, 21, 22syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
2419, 23jctild 543 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  /\  A  e.  NN )  ->  ( -. 
E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  ->  ( B  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) ) )
2524expimpd 603 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( ( A  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  -> 
( B  e.  NN  /\ 
-.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) ) )
26 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( k  =  A  ->  (
k  -  1 )  =  ( A  - 
1 ) )
2726oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( k  =  A  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) )
2827raleqdv 2928 . . . . 5  |-  ( k  =  A  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
29282rexbidv 2763 . . . 4  |-  ( k  =  A  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3029notbid 294 . . 3  |-  ( k  =  A  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
31 vdwnn.3 . . 3  |-  S  =  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) }
3230, 31elrab2 3124 . 2  |-  ( A  e.  S  <->  ( A  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( A  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
33 oveq1 6103 . . . . . . 7  |-  ( k  =  B  ->  (
k  -  1 )  =  ( B  - 
1 ) )
3433oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( k  =  B  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) )
3534raleqdv 2928 . . . . 5  |-  ( k  =  B  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
36352rexbidv 2763 . . . 4  |-  ( k  =  B  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3736notbid 294 . . 3  |-  ( k  =  B  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3837, 31elrab2 3124 . 2  |-  ( B  e.  S  <->  ( B  e.  NN  /\  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( B  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3925, 32, 383imtr4g 270 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( A  e.  S  ->  B  e.  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724    C_ wss 3333   {csn 3882   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   CCcc 9285   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    - cmin 9600   NNcn 10327   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  14063
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