Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnnlem1 Structured version   Unicode version

Theorem vdwnnlem1 14933
 Description: Corollary of vdw 14932, and lemma for vdwnn 14936. If is a coloring of the integers, then there are arbitrarily long monochromatic APs in . (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem1
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem vdwnnlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw 14932 . . 3
3 simpl2 1009 . . . . . . 7
4 fzssuz 11840 . . . . . . . 8
5 nnuz 11195 . . . . . . . 8
64, 5sseqtr4i 3497 . . . . . . 7
7 fssres 5763 . . . . . . 7
83, 6, 7sylancl 666 . . . . . 6
9 simpl1 1008 . . . . . . 7
10 ovex 6330 . . . . . . 7
11 elmapg 7490 . . . . . . 7
129, 10, 11sylancl 666 . . . . . 6
138, 12mpbird 235 . . . . 5
14 cnveq 5024 . . . . . . . . . . 11
1514imaeq1d 5183 . . . . . . . . . 10
1615eleq2d 2492 . . . . . . . . 9
1716ralbidv 2864 . . . . . . . 8
18172rexbidv 2946 . . . . . . 7
1918rexbidv 2939 . . . . . 6
2019rspcv 3178 . . . . 5
2113, 20syl 17 . . . 4
22 resss 5144 . . . . . . . . . 10
23 cnvss 5023 . . . . . . . . . 10
24 imass1 5219 . . . . . . . . . 10
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . . . 9
2625sseli 3460 . . . . . . . 8
2726ralimi 2818 . . . . . . 7
2827reximi 2893 . . . . . 6
2928reximi 2893 . . . . 5
3029reximi 2893 . . . 4
3121, 30syl6 34 . . 3
3231rexlimdva 2917 . 2
332, 32mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776  cvv 3081   wss 3436  csn 3996  ccnv 4849   cres 4852  cima 4853  wf 5594  cfv 5598  (class class class)co 6302   cmap 7477  cfn 7574  cc0 9540  c1 9541   caddc 9543   cmul 9545   cmin 9861  cn 10610  cn0 10870  cuz 11160  cfz 11785 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-hash 12516  df-vdwap 14906  df-vdwmc 14907  df-vdwpc 14908 This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  14935
 Copyright terms: Public domain W3C validator