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Theorem vdwnnlem1 14933
Description: Corollary of vdw 14932, and lemma for vdwnn 14936. If  F is a coloring of the integers, then there are arbitrarily long monochromatic APs in  F. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwnnlem1  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
Distinct variable groups:    a, d, m, c, K    R, a,
c, d    F, a,
c, d, m
Allowed substitution hint:    R( m)

Proof of Theorem vdwnnlem1
Dummy variables  f  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdw 14932 . . 3  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' f " {
c } ) )
213adant2 1024 . 2  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' f " {
c } ) )
3 simpl2 1009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  F : NN --> R )
4 fzssuz 11840 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... n )  C_  ( ZZ>= `  1 )
5 nnuz 11195 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5sseqtr4i 3497 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
7 fssres 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> R  /\  ( 1 ... n
)  C_  NN )  ->  ( F  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) --> R )
83, 6, 7sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) --> R )
9 simpl1 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  R  e.  Fin )
10 ovex 6330 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... n )  e. 
_V
11 elmapg 7490 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... n
)  e.  _V )  ->  ( ( F  |`  ( 1 ... n
) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  <-> 
( F  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) --> R ) )
129, 10, 11sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F  |`  ( 1 ... n
) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  <-> 
( F  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) --> R ) )
138, 12mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F  |`  (
1 ... n ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) )
14 cnveq 5024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( F  |`  ( 1 ... n
) )  ->  `' f  =  `' ( F  |`  ( 1 ... n ) ) )
1514imaeq1d 5183 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( F  |`  ( 1 ... n
) )  ->  ( `' f " {
c } )  =  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n
) ) " {
c } ) )
1615eleq2d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( F  |`  ( 1 ... n
) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f " { c } )  <->  ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n
) ) " {
c } ) ) )
1716ralbidv 2864 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( F  |`  ( 1 ... n
) )  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f
" { c } )  <->  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' ( F  |`  (
1 ... n ) )
" { c } ) ) )
18172rexbidv 2946 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( F  |`  ( 1 ... n
) )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f
" { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n ) )
" { c } ) ) )
1918rexbidv 2939 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( F  |`  ( 1 ... n
) )  ->  ( E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f
" { c } )  <->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n ) )
" { c } ) ) )
2019rspcv 3178 . . . . 5  |-  ( ( F  |`  ( 1 ... n ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n
) )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' f " {
c } )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n ) )
" { c } ) ) )
2113, 20syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f
" { c } )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n
) ) " {
c } ) ) )
22 resss 5144 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  ( 1 ... n
) )  C_  F
23 cnvss 5023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  |`  ( 1 ... n ) ) 
C_  F  ->  `' ( F  |`  ( 1 ... n ) ) 
C_  `' F )
24 imass1 5219 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' ( F  |`  (
1 ... n ) ) 
C_  `' F  -> 
( `' ( F  |`  ( 1 ... n
) ) " {
c } )  C_  ( `' F " { c } ) )
2522, 23, 24mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( `' ( F  |`  (
1 ... n ) )
" { c } )  C_  ( `' F " { c } )
2625sseli 3460 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n ) )
" { c } )  ->  ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
2726ralimi 2818 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n ) )
" { c } )  ->  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
2827reximi 2893 . . . . . 6  |-  ( E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n ) )
" { c } )  ->  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
2928reximi 2893 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n
) ) " {
c } )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
3029reximi 2893 . . . 4  |-  ( E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' ( F  |`  ( 1 ... n
) ) " {
c } )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
3121, 30syl6 34 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f
" { c } )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
3231rexlimdva 2917 . 2  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' f
" { c } )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
332, 32mpd 15 1  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R  /\  K  e.  NN0 )  ->  E. c  e.  R  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   {csn 3996   `'ccnv 4849    |` cres 4852   "cima 4853   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    ^m cmap 7477   Fincfn 7574   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    - cmin 9861   NNcn 10610   NN0cn0 10870   ZZ>=cuz 11160   ...cfz 11785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-fz 11786  df-hash 12516  df-vdwap 14906  df-vdwmc 14907  df-vdwpc 14908
This theorem is referenced by:  vdwnnlem3  14935
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