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Theorem vdwnn 14948
Description: Van der Waerden's theorem, infinitary version. For any finite coloring  F of the positive integers, there is a color 
c that contains arbitrarily long arithmetic progressions. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwnn  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  ->  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
Distinct variable groups:    a, c,
d, k, m, F    R, c
Allowed substitution hints:    R( k, m, a, d)

Proof of Theorem vdwnn
Dummy variables  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 760 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  R  e.  Fin )
2 simplr 762 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  F : NN --> R )
3 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  (
m  x.  d )  =  ( w  x.  d ) )
43oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( w  x.  d
) ) )
54eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  w  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  ( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
65cbvralv 3019 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) )
7 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  (
a  +  ( w  x.  d ) )  =  ( y  +  ( w  x.  d
) ) )
87eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  (
( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
98ralbidv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  ( A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
106, 9syl5bb 261 . . . . . . 7  |-  ( a  =  y  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
11 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  z  ->  (
w  x.  d )  =  ( w  x.  z ) )
1211oveq2d 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  z  ->  (
y  +  ( w  x.  d ) )  =  ( y  +  ( w  x.  z
) ) )
1312eleq1d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  z  ->  (
( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
1413ralbidv 2827 . . . . . . 7  |-  ( d  =  z  ->  ( A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
1510, 14cbvrex2v 3028 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
16 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
k  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
1716oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
x  -  1 ) ) )
1817raleqdv 2993 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
19182rexbidv 2908 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  ( E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2015, 19syl5bb 261 . . . . 5  |-  ( k  =  x  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2120notbid 296 . . . 4  |-  ( k  =  x  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  -.  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2221cbvrabv 3044 . . 3  |-  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =  { x  e.  NN  |  -.  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... (
x  -  1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z
) )  e.  ( `' F " { u } ) }
23 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
24 sneq 3978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  u  ->  { c }  =  { u } )
2524imaeq2d 5168 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  u  ->  ( `' F " { c } )  =  ( `' F " { u } ) )
2625eleq2d 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  u  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2726ralbidv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  u  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
28272rexbidv 2908 . . . . . . 7  |-  ( c  =  u  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2928ralbidv 2827 . . . . . 6  |-  ( c  =  u  ->  ( A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
3029cbvrexv 3020 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3123, 30sylnib 306 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  -.  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
32 rabn0 3752 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  NN  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
33 rexnal 2836 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3432, 33bitri 253 . . . . . 6  |-  ( { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3534ralbii 2819 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  R  {
k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  A. u  e.  R  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
36 ralnex 2834 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  R  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  -.  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3735, 36bitri 253 . . . 4  |-  ( A. u  e.  R  {
k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  -.  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3831, 37sylibr 216 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  A. u  e.  R  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/) )
391, 2, 22, 38vdwnnlem3 14947 . 2  |-  -.  (
( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
40 iman 426 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  ->  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  <->  -.  (
( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
4139, 40mpbir 213 1  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  ->  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   (/)c0 3731   {csn 3968   `'ccnv 4833   "cima 4837   -->wf 5578  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    - cmin 9860   NNcn 10609   ...cfz 11784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fl 12028  df-hash 12516  df-vdwap 14918  df-vdwmc 14919  df-vdwpc 14920
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