Theorem vdwnn 13321

Description: Van der Waerden's theorem, infinitary version. For any finite coloring F of the natural numbers, there is a color c that contains arbitrarily long arithmetic progressions. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwnn	|- ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )

Distinct variable groups:   a, c, d, k, m, F   R, c

Allowed substitution hints:   R( k, m, a, d)

Proof of Theorem vdwnn

Dummy variables u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 731	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> R e. Fin )
2		simplr 732	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> F : NN --> R )
3		oveq1 6047	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( m x. d ) = ( w x. d ) )
4	3	oveq2d 6056	. . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( w x. d ) ) )
5	4	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
6	5	cbvralv 2892	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
7		oveq1 6047	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( a + ( w x. d ) ) = ( y + ( w x. d ) ) )
8	7	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
9	8	ralbidv 2686	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
10	6, 9	syl5bb 249	. . . . . . 7 |- ( a = y -> ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
11		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( d = z -> ( w x. d ) = ( w x. z ) )
12	11	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( d = z -> ( y + ( w x. d ) ) = ( y + ( w x. z ) ) )
13	12	eleq1d 2470	. . . . . . . 8 |- ( d = z -> ( ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
14	13	ralbidv 2686	. . . . . . 7 |- ( d = z -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
15	10, 14	cbvrex2v 2901	. . . . . 6 |- ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) )
16		oveq1 6047	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( k - 1 ) = ( x - 1 ) )
17	16	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( 0 ... ( k - 1 ) ) = ( 0 ... ( x - 1 ) ) )
18	17	raleqdv 2870	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
19	18	2rexbidv 2709	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
20	15, 19	syl5bb 249	. . . . 5 |- ( k = x -> ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
21	20	notbid 286	. . . 4 |- ( k = x -> ( -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
22	21	cbvrabv 2915	. . 3 |- { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } = { x e. NN | -. E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) }
23		simpr 448	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
24		sneq 3785	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = u -> { c } = { u } )
25	24	imaeq2d 5162	. . . . . . . . . 10 |- ( c = u -> ( `' F " { c } ) = ( `' F " { u } ) )
26	25	eleq2d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( c = u -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
27	26	ralbidv 2686	. . . . . . . 8 |- ( c = u -> ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
28	27	2rexbidv 2709	. . . . . . 7 |- ( c = u -> ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
29	28	ralbidv 2686	. . . . . 6 |- ( c = u -> ( A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
30	29	cbvrexv 2893	. . . . 5 |- ( E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
31	23, 30	sylnib 296	. . . 4 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
32		rabn0 3607	. . . . . . 7 |- ( { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> E. k e. NN -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
33		rexnal 2677	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
34	32, 33	bitri 241	. . . . . 6 |- ( { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
35	34	ralbii 2690	. . . . 5 |- ( A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> A. u e. R -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
36		ralnex 2676	. . . . 5 |- ( A. u e. R -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
37	35, 36	bitri 241	. . . 4 |- ( A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
38	31, 37	sylibr 204	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) )
39	1, 2, 22, 38	vdwnnlem3 13320	. 2 |- -. ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
40		iman 414	. 2 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) <-> -. ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
41	39, 40	mpbir 201	1 |- ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   (/)c0 3588   {csn 3774   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   - cmin 9247   NNcn 9956   ...cfz 10999

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-hash 11574  df-vdwap 13291  df-vdwmc 13292  df-vdwpc 13293