Theorem vdwnn 14948

Description: Van der Waerden's theorem, infinitary version. For any finite coloring F of the positive integers, there is a color c that contains arbitrarily long arithmetic progressions. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwnn	|- ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )

Distinct variable groups:   a, c, d, k, m, F   R, c

Allowed substitution hints:   R( k, m, a, d)

Proof of Theorem vdwnn

Dummy variables u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 760	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> R e. Fin )
2		simplr 762	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> F : NN --> R )
3		oveq1 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( m x. d ) = ( w x. d ) )
4	3	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( w x. d ) ) )
5	4	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
6	5	cbvralv 3019	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
7		oveq1 6297	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( a + ( w x. d ) ) = ( y + ( w x. d ) ) )
8	7	eleq1d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
9	8	ralbidv 2827	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
10	6, 9	syl5bb 261	. . . . . . 7 |- ( a = y -> ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
11		oveq2 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( d = z -> ( w x. d ) = ( w x. z ) )
12	11	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( d = z -> ( y + ( w x. d ) ) = ( y + ( w x. z ) ) )
13	12	eleq1d 2513	. . . . . . . 8 |- ( d = z -> ( ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
14	13	ralbidv 2827	. . . . . . 7 |- ( d = z -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
15	10, 14	cbvrex2v 3028	. . . . . 6 |- ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) )
16		oveq1 6297	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( k - 1 ) = ( x - 1 ) )
17	16	oveq2d 6306	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( 0 ... ( k - 1 ) ) = ( 0 ... ( x - 1 ) ) )
18	17	raleqdv 2993	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
19	18	2rexbidv 2908	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
20	15, 19	syl5bb 261	. . . . 5 |- ( k = x -> ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
21	20	notbid 296	. . . 4 |- ( k = x -> ( -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
22	21	cbvrabv 3044	. . 3 |- { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } = { x e. NN | -. E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) }
23		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
24		sneq 3978	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = u -> { c } = { u } )
25	24	imaeq2d 5168	. . . . . . . . . 10 |- ( c = u -> ( `' F " { c } ) = ( `' F " { u } ) )
26	25	eleq2d 2514	. . . . . . . . 9 |- ( c = u -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
27	26	ralbidv 2827	. . . . . . . 8 |- ( c = u -> ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
28	27	2rexbidv 2908	. . . . . . 7 |- ( c = u -> ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
29	28	ralbidv 2827	. . . . . 6 |- ( c = u -> ( A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
30	29	cbvrexv 3020	. . . . 5 |- ( E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
31	23, 30	sylnib 306	. . . 4 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
32		rabn0 3752	. . . . . . 7 |- ( { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> E. k e. NN -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
33		rexnal 2836	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
34	32, 33	bitri 253	. . . . . 6 |- ( { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
35	34	ralbii 2819	. . . . 5 |- ( A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> A. u e. R -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
36		ralnex 2834	. . . . 5 |- ( A. u e. R -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
37	35, 36	bitri 253	. . . 4 |- ( A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
38	31, 37	sylibr 216	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) )
39	1, 2, 22, 38	vdwnnlem3 14947	. 2 |- -. ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
40		iman 426	. 2 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) <-> -. ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
41	39, 40	mpbir 213	1 |- ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   (/)c0 3731   {csn 3968   `'ccnv 4833   "cima 4837   -->wf 5578  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   - cmin 9860   NNcn 10609   ...cfz 11784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fl 12028  df-hash 12516  df-vdwap 14918  df-vdwmc 14919  df-vdwpc 14920

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