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Theorem vdwnn 14393
Description: Van der Waerden's theorem, infinitary version. For any finite coloring  F of the positive integers, there is a color 
c that contains arbitrarily long arithmetic progressions. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwnn  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  ->  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
Distinct variable groups:    a, c,
d, k, m, F    R, c
Allowed substitution hints:    R( k, m, a, d)

Proof of Theorem vdwnn
Dummy variables  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  R  e.  Fin )
2 simplr 755 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  F : NN --> R )
3 oveq1 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  (
m  x.  d )  =  ( w  x.  d ) )
43oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( w  x.  d
) ) )
54eleq1d 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  w  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  ( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
65cbvralv 3070 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) )
7 oveq1 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  (
a  +  ( w  x.  d ) )  =  ( y  +  ( w  x.  d
) ) )
87eleq1d 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  (
( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
98ralbidv 2882 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  ( A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
106, 9syl5bb 257 . . . . . . 7  |-  ( a  =  y  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
11 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  z  ->  (
w  x.  d )  =  ( w  x.  z ) )
1211oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  z  ->  (
y  +  ( w  x.  d ) )  =  ( y  +  ( w  x.  z
) ) )
1312eleq1d 2512 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  z  ->  (
( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
1413ralbidv 2882 . . . . . . 7  |-  ( d  =  z  ->  ( A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
1510, 14cbvrex2v 3079 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
16 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
k  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
1716oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
x  -  1 ) ) )
1817raleqdv 3046 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
19182rexbidv 2961 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  ( E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2015, 19syl5bb 257 . . . . 5  |-  ( k  =  x  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2120notbid 294 . . . 4  |-  ( k  =  x  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  -.  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2221cbvrabv 3094 . . 3  |-  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =  { x  e.  NN  |  -.  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... (
x  -  1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z
) )  e.  ( `' F " { u } ) }
23 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
24 sneq 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  u  ->  { c }  =  { u } )
2524imaeq2d 5327 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  u  ->  ( `' F " { c } )  =  ( `' F " { u } ) )
2625eleq2d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  u  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2726ralbidv 2882 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  u  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
28272rexbidv 2961 . . . . . . 7  |-  ( c  =  u  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2928ralbidv 2882 . . . . . 6  |-  ( c  =  u  ->  ( A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
3029cbvrexv 3071 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3123, 30sylnib 304 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  -.  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
32 rabn0 3791 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  NN  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
33 rexnal 2891 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3432, 33bitri 249 . . . . . 6  |-  ( { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3534ralbii 2874 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  R  {
k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  A. u  e.  R  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
36 ralnex 2889 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  R  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  -.  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3735, 36bitri 249 . . . 4  |-  ( A. u  e.  R  {
k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  -.  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3831, 37sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  A. u  e.  R  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/) )
391, 2, 22, 38vdwnnlem3 14392 . 2  |-  -.  (
( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
40 iman 424 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  ->  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  <->  -.  (
( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
4139, 40mpbir 209 1  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  ->  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   (/)c0 3770   {csn 4014   `'ccnv 4988   "cima 4992   -->wf 5574  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810   NNcn 10542   ...cfz 11681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fl 11908  df-hash 12385  df-vdwap 14363  df-vdwmc 14364  df-vdwpc 14365
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