Theorem vdwnn 14055

Description: Van der Waerden's theorem, infinitary version. For any finite coloring F of the positive integers, there is a color c that contains arbitrarily long arithmetic progressions. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwnn	|- ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )

Distinct variable groups:   a, c, d, k, m, F   R, c

Allowed substitution hints:   R( k, m, a, d)

Proof of Theorem vdwnn

Dummy variables u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 748	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> R e. Fin )
2		simplr 749	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> F : NN --> R )
3		oveq1 6097	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( m x. d ) = ( w x. d ) )
4	3	oveq2d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( w x. d ) ) )
5	4	eleq1d 2507	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
6	5	cbvralv 2945	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
7		oveq1 6097	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( a + ( w x. d ) ) = ( y + ( w x. d ) ) )
8	7	eleq1d 2507	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
9	8	ralbidv 2733	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
10	6, 9	syl5bb 257	. . . . . . 7 |- ( a = y -> ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
11		oveq2 6098	. . . . . . . . . 10 |- ( d = z -> ( w x. d ) = ( w x. z ) )
12	11	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( d = z -> ( y + ( w x. d ) ) = ( y + ( w x. z ) ) )
13	12	eleq1d 2507	. . . . . . . 8 |- ( d = z -> ( ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
14	13	ralbidv 2733	. . . . . . 7 |- ( d = z -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
15	10, 14	cbvrex2v 2954	. . . . . 6 |- ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) )
16		oveq1 6097	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( k - 1 ) = ( x - 1 ) )
17	16	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( 0 ... ( k - 1 ) ) = ( 0 ... ( x - 1 ) ) )
18	17	raleqdv 2921	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
19	18	2rexbidv 2756	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
20	15, 19	syl5bb 257	. . . . 5 |- ( k = x -> ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
21	20	notbid 294	. . . 4 |- ( k = x -> ( -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
22	21	cbvrabv 2969	. . 3 |- { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } = { x e. NN | -. E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) }
23		simpr 458	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
24		sneq 3884	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = u -> { c } = { u } )
25	24	imaeq2d 5166	. . . . . . . . . 10 |- ( c = u -> ( `' F " { c } ) = ( `' F " { u } ) )
26	25	eleq2d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( c = u -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
27	26	ralbidv 2733	. . . . . . . 8 |- ( c = u -> ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
28	27	2rexbidv 2756	. . . . . . 7 |- ( c = u -> ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
29	28	ralbidv 2733	. . . . . 6 |- ( c = u -> ( A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
30	29	cbvrexv 2946	. . . . 5 |- ( E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
31	23, 30	sylnib 304	. . . 4 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
32		rabn0 3654	. . . . . . 7 |- ( { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> E. k e. NN -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
33		rexnal 2724	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
34	32, 33	bitri 249	. . . . . 6 |- ( { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
35	34	ralbii 2737	. . . . 5 |- ( A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> A. u e. R -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
36		ralnex 2723	. . . . 5 |- ( A. u e. R -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
37	35, 36	bitri 249	. . . 4 |- ( A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
38	31, 37	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) )
39	1, 2, 22, 38	vdwnnlem3 14054	. 2 |- -. ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
40		iman 424	. 2 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) <-> -. ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
41	39, 40	mpbir 209	1 |- ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   (/)c0 3634   {csn 3874   `'ccnv 4835   "cima 4839   -->wf 5411  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   - cmin 9591   NNcn 10318   ...cfz 11433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fl 11638  df-hash 12100  df-vdwap 14025  df-vdwmc 14026  df-vdwpc 14027

This theorem is referenced by: (None)