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Theorem vdwnn 13321
Description: Van der Waerden's theorem, infinitary version. For any finite coloring  F of the natural numbers, there is a color  c that contains arbitrarily long arithmetic progressions. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwnn  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  ->  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
Distinct variable groups:    a, c,
d, k, m, F    R, c
Allowed substitution hints:    R( k, m, a, d)

Proof of Theorem vdwnn
Dummy variables  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  R  e.  Fin )
2 simplr 732 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  F : NN --> R )
3 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  (
m  x.  d )  =  ( w  x.  d ) )
43oveq2d 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( w  x.  d
) ) )
54eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  w  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  ( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
65cbvralv 2892 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) )
7 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  (
a  +  ( w  x.  d ) )  =  ( y  +  ( w  x.  d
) ) )
87eleq1d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  (
( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
98ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  ->  ( A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
106, 9syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( a  =  y  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
11 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  z  ->  (
w  x.  d )  =  ( w  x.  z ) )
1211oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  z  ->  (
y  +  ( w  x.  d ) )  =  ( y  +  ( w  x.  z
) ) )
1312eleq1d 2470 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  z  ->  (
( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
1413ralbidv 2686 . . . . . . 7  |-  ( d  =  z  ->  ( A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
1510, 14cbvrex2v 2901 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
16 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  x  ->  (
k  -  1 )  =  ( x  - 
1 ) )
1716oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  (
0 ... ( k  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
x  -  1 ) ) )
1817raleqdv 2870 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( A. w  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  A. w  e.  (
0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
19182rexbidv 2709 . . . . . 6  |-  ( k  =  x  ->  ( E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2015, 19syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( k  =  x  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2120notbid 286 . . . 4  |-  ( k  =  x  ->  ( -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  -.  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... ( x  - 
1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2221cbvrabv 2915 . . 3  |-  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =  { x  e.  NN  |  -.  E. y  e.  NN  E. z  e.  NN  A. w  e.  ( 0 ... (
x  -  1 ) ) ( y  +  ( w  x.  z
) )  e.  ( `' F " { u } ) }
23 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
24 sneq 3785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  u  ->  { c }  =  { u } )
2524imaeq2d 5162 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  u  ->  ( `' F " { c } )  =  ( `' F " { u } ) )
2625eleq2d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  u  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2726ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  u  ->  ( A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. m  e.  (
0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
28272rexbidv 2709 . . . . . . 7  |-  ( c  =  u  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
2928ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( c  =  u  ->  ( A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) ) )
3029cbvrexv 2893 . . . . 5  |-  ( E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } )  <->  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3123, 30sylnib 296 . . . 4  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  -.  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
32 rabn0 3607 . . . . . . 7  |-  ( { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  E. k  e.  NN  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
33 rexnal 2677 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3432, 33bitri 241 . . . . . 6  |-  ( { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3534ralbii 2690 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  R  {
k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  A. u  e.  R  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
36 ralnex 2676 . . . . 5  |-  ( A. u  e.  R  -.  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } )  <->  -.  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3735, 36bitri 241 . . . 4  |-  ( A. u  e.  R  {
k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/)  <->  -.  E. u  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) )
3831, 37sylibr 204 . . 3  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  ->  A. u  e.  R  { k  e.  NN  |  -.  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { u } ) }  =/=  (/) )
391, 2, 22, 38vdwnnlem3 13320 . 2  |-  -.  (
( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
40 iman 414 . 2  |-  ( ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  ->  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )  <->  -.  (
( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  /\  -.  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) ) )
4139, 40mpbir 201 1  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  F : NN --> R )  ->  E. c  e.  R  A. k  e.  NN  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  A. m  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  e.  ( `' F " { c } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   (/)c0 3588   {csn 3774   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    - cmin 9247   NNcn 9956   ...cfz 10999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fl 11157  df-hash 11574  df-vdwap 13291  df-vdwmc 13292  df-vdwpc 13293
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