Theorem vdwnn 14161

Description: Van der Waerden's theorem, infinitary version. For any finite coloring F of the positive integers, there is a color c that contains arbitrarily long arithmetic progressions. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
vdwnn	|- ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )

Distinct variable groups:   a, c, d, k, m, F   R, c

Allowed substitution hints:   R( k, m, a, d)

Proof of Theorem vdwnn

Dummy variables u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> R e. Fin )
2		simplr 754	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> F : NN --> R )
3		oveq1 6197	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( m x. d ) = ( w x. d ) )
4	3	oveq2d 6206	. . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( a + ( m x. d ) ) = ( a + ( w x. d ) ) )
5	4	eleq1d 2520	. . . . . . . . 9 |- ( m = w -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
6	5	cbvralv 3043	. . . . . . . 8 |- ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
7		oveq1 6197	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( a + ( w x. d ) ) = ( y + ( w x. d ) ) )
8	7	eleq1d 2520	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
9	8	ralbidv 2839	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
10	6, 9	syl5bb 257	. . . . . . 7 |- ( a = y -> ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
11		oveq2 6198	. . . . . . . . . 10 |- ( d = z -> ( w x. d ) = ( w x. z ) )
12	11	oveq2d 6206	. . . . . . . . 9 |- ( d = z -> ( y + ( w x. d ) ) = ( y + ( w x. z ) ) )
13	12	eleq1d 2520	. . . . . . . 8 |- ( d = z -> ( ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
14	13	ralbidv 2839	. . . . . . 7 |- ( d = z -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
15	10, 14	cbvrex2v 3052	. . . . . 6 |- ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) )
16		oveq1 6197	. . . . . . . . 9 |- ( k = x -> ( k - 1 ) = ( x - 1 ) )
17	16	oveq2d 6206	. . . . . . . 8 |- ( k = x -> ( 0 ... ( k - 1 ) ) = ( 0 ... ( x - 1 ) ) )
18	17	raleqdv 3019	. . . . . . 7 |- ( k = x -> ( A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
19	18	2rexbidv 2862	. . . . . 6 |- ( k = x -> ( E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
20	15, 19	syl5bb 257	. . . . 5 |- ( k = x -> ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
21	20	notbid 294	. . . 4 |- ( k = x -> ( -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
22	21	cbvrabv 3067	. . 3 |- { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } = { x e. NN | -. E. y e. NN E. z e. NN A. w e. ( 0 ... ( x - 1 ) ) ( y + ( w x. z ) ) e. ( `' F " { u } ) }
23		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
24		sneq 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = u -> { c } = { u } )
25	24	imaeq2d 5267	. . . . . . . . . 10 |- ( c = u -> ( `' F " { c } ) = ( `' F " { u } ) )
26	25	eleq2d 2521	. . . . . . . . 9 |- ( c = u -> ( ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
27	26	ralbidv 2839	. . . . . . . 8 |- ( c = u -> ( A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
28	27	2rexbidv 2862	. . . . . . 7 |- ( c = u -> ( E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
29	28	ralbidv 2839	. . . . . 6 |- ( c = u -> ( A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) ) )
30	29	cbvrexv 3044	. . . . 5 |- ( E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) <-> E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
31	23, 30	sylnib 304	. . . 4 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
32		rabn0 3755	. . . . . . 7 |- ( { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> E. k e. NN -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
33		rexnal 2865	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
34	32, 33	bitri 249	. . . . . 6 |- ( { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
35	34	ralbii 2831	. . . . 5 |- ( A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> A. u e. R -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
36		ralnex 2864	. . . . 5 |- ( A. u e. R -. A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) <-> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
37	35, 36	bitri 249	. . . 4 |- ( A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) <-> -. E. u e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) )
38	31, 37	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) -> A. u e. R { k e. NN | -. E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { u } ) } =/= (/) )
39	1, 2, 22, 38	vdwnnlem3 14160	. 2 |- -. ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )
40		iman 424	. 2 |- ( ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) <-> -. ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) /\ -. E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) ) )
41	39, 40	mpbir 209	1 |- ( ( R e. Fin /\ F : NN --> R ) -> E. c e. R A. k e. NN E. a e. NN E. d e. NN A. m e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ( a + ( m x. d ) ) e. ( `' F " { c } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   (/)c0 3735   {csn 3975   `'ccnv 4937   "cima 4941   -->wf 5512  (class class class)co 6190   Fincfn 7410   0cc0 9383   1c1 9384   + caddc 9386   x. cmul 9388   - cmin 9696   NNcn 10423   ...cfz 11538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-fl 11743  df-hash 12205  df-vdwap 14131  df-vdwmc 14132  df-vdwpc 14133

This theorem is referenced by: (None)