Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwnn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdwnn 14948
 Description: Van der Waerden's theorem, infinitary version. For any finite coloring of the positive integers, there is a color that contains arbitrarily long arithmetic progressions. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
vdwnn
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)

Proof of Theorem vdwnn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 760 . . 3
2 simplr 762 . . 3
3 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11
43oveq2d 6306 . . . . . . . . . 10
54eleq1d 2513 . . . . . . . . 9
65cbvralv 3019 . . . . . . . 8
7 oveq1 6297 . . . . . . . . . 10
87eleq1d 2513 . . . . . . . . 9
98ralbidv 2827 . . . . . . . 8
106, 9syl5bb 261 . . . . . . 7
11 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10
1211oveq2d 6306 . . . . . . . . 9
1312eleq1d 2513 . . . . . . . 8
1413ralbidv 2827 . . . . . . 7
1510, 14cbvrex2v 3028 . . . . . 6
16 oveq1 6297 . . . . . . . . 9
1716oveq2d 6306 . . . . . . . 8
1817raleqdv 2993 . . . . . . 7
19182rexbidv 2908 . . . . . 6
2015, 19syl5bb 261 . . . . 5
2120notbid 296 . . . 4
2221cbvrabv 3044 . . 3
23 simpr 463 . . . . 5
24 sneq 3978 . . . . . . . . . . 11
2524imaeq2d 5168 . . . . . . . . . 10
2625eleq2d 2514 . . . . . . . . 9
2726ralbidv 2827 . . . . . . . 8
28272rexbidv 2908 . . . . . . 7
2928ralbidv 2827 . . . . . 6
3029cbvrexv 3020 . . . . 5
3123, 30sylnib 306 . . . 4
32 rabn0 3752 . . . . . . 7
33 rexnal 2836 . . . . . . 7
3432, 33bitri 253 . . . . . 6
3534ralbii 2819 . . . . 5
36 ralnex 2834 . . . . 5
3735, 36bitri 253 . . . 4
3831, 37sylibr 216 . . 3
391, 2, 22, 38vdwnnlem3 14947 . 2
40 iman 426 . 2
4139, 40mpbir 213 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  crab 2741  c0 3731  csn 3968  ccnv 4833  cima 4837  wf 5578  (class class class)co 6290  cfn 7569  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   cmin 9860  cn 10609  cfz 11784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fl 12028  df-hash 12516  df-vdwap 14918  df-vdwmc 14919  df-vdwpc 14920 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator