Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwmc2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdwmc2 14929
 Description: Expand out the definition of an arithmetic progression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwmc.1
vdwmc.2
vdwmc.3
vdwmc2.4
Assertion
Ref Expression
vdwmc2 MonoAP
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,)   ()   (,,,)

Proof of Theorem vdwmc2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwmc.1 . . 3
2 vdwmc.2 . . 3
3 vdwmc.3 . . 3
41, 2, 3vdwmc 14928 . 2 MonoAP AP
5 vdwapid1 14925 . . . . . . . . . . . 12 AP
6 ne0i 3737 . . . . . . . . . . . 12 AP AP
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 AP
873expb 1209 . . . . . . . . . 10 AP
98adantll 720 . . . . . . . . 9 AP
10 ssn0 3767 . . . . . . . . . 10 AP AP
1110expcom 437 . . . . . . . . 9 AP AP
129, 11syl 17 . . . . . . . 8 AP
13 disjsn 4032 . . . . . . . . . 10
143adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
15 fimacnvdisj 5761 . . . . . . . . . . . . 13
1615ex 436 . . . . . . . . . . . 12
1714, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11
1817adantr 467 . . . . . . . . . 10
1913, 18syl5bir 222 . . . . . . . . 9
2019necon1ad 2641 . . . . . . . 8
2112, 20syld 45 . . . . . . 7 AP
2221rexlimdvva 2886 . . . . . 6 AP
2322pm4.71rd 641 . . . . 5 AP AP
2423exbidv 1768 . . . 4 AP AP
25 df-rex 2743 . . . 4 AP AP
2624, 25syl6bbr 267 . . 3 AP AP
27 vdwmc2.4 . . . . . . . . 9
283, 27ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8
29 ne0i 3737 . . . . . . . 8
3028, 29syl 17 . . . . . . 7
3130adantr 467 . . . . . 6
32 1nn 10620 . . . . . . . . 9
3332ne0ii 3738 . . . . . . . 8
34 simpllr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . 14 AP AP
3635oveqd 6307 . . . . . . . . . . . . 13 AP AP
37 vdwap0 14926 . . . . . . . . . . . . . 14 AP
3837adantll 720 . . . . . . . . . . . . 13 AP
3936, 38eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12 AP
40 0ss 3763 . . . . . . . . . . . 12
4139, 40syl6eqss 3482 . . . . . . . . . . 11 AP
4241ralrimiva 2802 . . . . . . . . . 10 AP
43 r19.2z 3858 . . . . . . . . . 10 AP AP
4433, 42, 43sylancr 669 . . . . . . . . 9 AP
4544ralrimiva 2802 . . . . . . . 8 AP
46 r19.2z 3858 . . . . . . . 8 AP AP
4733, 45, 46sylancr 669 . . . . . . 7 AP
4847ralrimivw 2803 . . . . . 6 AP
49 r19.2z 3858 . . . . . 6 AP AP
5031, 48, 49syl2anc 667 . . . . 5 AP
51 rexex 2844 . . . . 5 AP AP
5250, 51syl 17 . . . 4 AP
5352, 502thd 244 . . 3 AP AP
54 elnn0 10871 . . . 4
552, 54sylib 200 . . 3
5626, 53, 55mpjaodan 795 . 2 AP AP
57 vdwapval 14923 . . . . . . . . 9 AP
58573expb 1209 . . . . . . . 8 AP
592, 58sylan 474 . . . . . . 7 AP
6059imbi1d 319 . . . . . 6 AP
6160albidv 1767 . . . . 5 AP
62 dfss2 3421 . . . . 5 AP AP
63 ralcom4 3066 . . . . . 6
64 ovex 6318 . . . . . . . 8
65 eleq1 2517 . . . . . . . 8
6664, 65ceqsalv 3075 . . . . . . 7
6766ralbii 2819 . . . . . 6
68 r19.23v 2867 . . . . . . 7
6968albii 1691 . . . . . 6
7063, 67, 693bitr3i 279 . . . . 5
7161, 62, 703bitr4g 292 . . . 4 AP
72712rexbidva 2907 . . 3 AP
7372rexbidv 2901 . 2 AP
744, 56, 733bitrd 283 1 MonoAP
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 985  wal 1442   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887   wne 2622  wral 2737  wrex 2738  cvv 3045   cin 3403   wss 3404  c0 3731  csn 3968   class class class wbr 4402  ccnv 4833  cima 4837  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   cmin 9860  cn 10609  cn0 10869  cfz 11784  APcvdwa 14915   MonoAP cvdwm 14916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-vdwap 14918  df-vdwmc 14919 This theorem is referenced by:  vdw  14944
 Copyright terms: Public domain W3C validator