Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwmc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdwmc 15007
 Description: The predicate " The -coloring contains a monochromatic AP of length ". (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwmc.1
vdwmc.2
vdwmc.3
Assertion
Ref Expression
vdwmc MonoAP AP
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem vdwmc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwmc.2 . . 3
2 vdwmc.3 . . . 4
3 vdwmc.1 . . . 4
4 fex 6155 . . . 4
52, 3, 4sylancl 675 . . 3
6 fveq2 5879 . . . . . . . 8 AP AP
76rneqd 5068 . . . . . . 7 AP AP
8 cnveq 5013 . . . . . . . . 9
98imaeq1d 5173 . . . . . . . 8
109pweqd 3947 . . . . . . 7
117, 10ineqan12d 3627 . . . . . 6 AP AP
1211neeq1d 2702 . . . . 5 AP AP
1312exbidv 1776 . . . 4 AP AP
14 df-vdwmc 14998 . . . 4 MonoAP AP
1513, 14brabga 4715 . . 3 MonoAP AP
161, 5, 15syl2anc 673 . 2 MonoAP AP
17 vdwapf 15001 . . . . 5 AP
18 ffn 5739 . . . . 5 AP AP
19 selpw 3949 . . . . . . 7
20 sseq1 3439 . . . . . . 7 AP AP
2119, 20syl5bb 265 . . . . . 6 AP AP
2221rexrn 6039 . . . . 5 AP AP AP
231, 17, 18, 224syl 19 . . . 4 AP AP
24 elin 3608 . . . . . 6 AP AP
2524exbii 1726 . . . . 5 AP AP
26 n0 3732 . . . . 5 AP AP
27 df-rex 2762 . . . . 5 AP AP
2825, 26, 273bitr4ri 286 . . . 4 AP AP
29 fveq2 5879 . . . . . . 7 AP AP
30 df-ov 6311 . . . . . . 7 AP AP
3129, 30syl6eqr 2523 . . . . . 6 AP AP
3231sseq1d 3445 . . . . 5 AP AP
3332rexxp 4982 . . . 4 AP AP
3423, 28, 333bitr3g 295 . . 3 AP AP
3534exbidv 1776 . 2 AP AP
3616, 35bitrd 261 1 MonoAP AP
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cop 3965   class class class wbr 4395   cxp 4837  ccnv 4838   crn 4840  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cn 10631  cn0 10893  APcvdwa 14994   MonoAP cvdwm 14995 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-vdwap 14997  df-vdwmc 14998 This theorem is referenced by:  vdwmc2  15008  vdwlem1  15010  vdwlem2  15011  vdwlem9  15018  vdwlem10  15019  vdwlem12  15021  vdwlem13  15022
 Copyright terms: Public domain W3C validator