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Theorem vdwlem9 14048
Description: Lemma for vdw 14053. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
vdwlem9.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
vdwlem9.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem9.g  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
vdwlem9.v  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
vdwlem9.a  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
vdwlem9.h  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
vdwlem9.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem9  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Distinct variable groups:    g, n, x, y, ph    x, f, y, V    f, W, x, y    f, g, F, x, y    f, n, s, K, g, x, y    f, M, g, n, x, y    R, f, g, n, s, x, y    g, H, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, s)    F( n, s)    H( f, n, s)    M( s)    V( g, n, s)    W( g, n, s)

Proof of Theorem vdwlem9
Dummy variables  a 
d  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem9.v . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
2 vdwlem9.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
3 vdw.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
4 vdwlem9.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
5 vdwlem9.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
61, 2, 3, 4, 5vdwlem4 14043 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
7 ovex 6114 . . . . 5  |-  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  e. 
_V
8 ovex 6114 . . . . 5  |-  ( 1 ... V )  e. 
_V
97, 8elmap 7239 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  <->  F :
( 1 ... V
) --> ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) )
106, 9sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) )
11 vdwlem9.a . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
12 breq2 4294 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( K MonoAP  f  <->  K MonoAP  F ) )
1312rspcv 3067 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  ->  ( A. f  e.  (
( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f  ->  K MonoAP  F ) )
1410, 11, 13sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  K MonoAP  F )
15 vdwlem9.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
16 eluz2b2 10925 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( K  e.  NN  /\  1  < 
K ) )
1716simplbi 460 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
1815, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1918nnnn0d 10634 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
208, 19, 6vdwmc 14037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  <->  E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) ) )
21 vdwlem9.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
23 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) )
2418adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN )
25 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  NN )
26 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  d  e.  NN )
27 vdwapid1 14034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2824, 25, 26, 27syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2923, 28sseldd 3355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( `' F " { g } ) )
30 ffn 5557 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
316, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V
) )
33 fniniseg 5822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  ( 1 ... V )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3529, 34mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( 1 ... V )  /\  ( F `  a )  =  g ) )
3635simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  g )
376adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
3835simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... V
) )
3937, 38ffvelrnd 5842 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
4036, 39eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
41 rsp 2774 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
g ) ) )
4222, 40, 41sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
431adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  NN )
442adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  NN )
453adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  R  e.  Fin )
464adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  (
2  x.  V ) ) ) --> R )
47 vdwlem9.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4847adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  M  e.  NN )
49 ovex 6114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
50 elmapg 7225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... W
)  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <-> 
g : ( 1 ... W ) --> R ) )
5145, 49, 50sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <->  g :
( 1 ... W
) --> R ) )
5240, 51mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g : ( 1 ... W ) --> R )
5315adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5443, 44, 45, 46, 5, 48, 52, 53, 25, 26, 23vdwlem7 14046 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
55 olc 384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) )
5655a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g ) ) )
5754, 56jaod 380 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
58 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
x  -  1 )  =  ( a  - 
1 ) )
5958oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  -  1 )  +  V )  =  ( ( a  -  1 )  +  V ) )
6059oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( W  x.  ( (
x  -  1 )  +  V ) )  =  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
6160oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
6261fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
6362mpteq2dv 4377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6449mptex 5946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  e.  _V
6563, 5, 64fvmpt 5772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6638, 65syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6766, 36eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  g )
6867breq2d 4302 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
6919adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
70 peano2nn0 10618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
72 nnm1nn0 10619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
7325, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
74 nn0nnaddcl 10609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  -  1 )  e.  NN0  /\  V  e.  NN )  ->  ( ( a  - 
1 )  +  V
)  e.  NN )
7573, 43, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  NN )
7644, 75nnmulcld 10367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( (
a  -  1 )  +  V ) )  e.  NN )
7725, 43nnaddcld 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  NN )
7844, 77nnmulcld 10367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  NN )
7978nnzd 10744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  ZZ )
80 2nn 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
81 nnmulcl 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  V  e.  NN )  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
8280, 1, 81sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
832, 82nnmulcld 10367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  NN )
8483nnzd 10744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8584adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8625nnred 10335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  RR )
8743nnred 10335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  RR )
88 elfzle2 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  a  <_  V )
8938, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  <_  V )
9086, 87, 87, 89leadd1dd 9951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( V  +  V ) )
9143nncnd 10336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  CC )
92912timesd 10565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  =  ( V  +  V ) )
9390, 92breqtrrd 4316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V ) )
9477nnred 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  RR )
9582nnred 10335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  RR )
9695adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  e.  RR )
9744nnred 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  RR )
9844nngt0d 10363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  0  <  W )
99 lemul2 10180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  +  V
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  V
)  e.  RR  /\  ( W  e.  RR  /\  0  <  W ) )  ->  ( (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
10094, 96, 97, 98, 99syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  +  V
)  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
10193, 100mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  <_ 
( W  x.  (
2  x.  V ) ) )
102 eluz2 10865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) )  <-> 
( ( W  x.  ( a  +  V
) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
a  +  V ) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) )
10379, 85, 101, 102syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) ) )
10444nncnd 10336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  CC )
105 ax-1cn 9338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  1  e.  CC )
10773nn0cnd 10636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  CC )
108107, 91addcld 9403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  CC )
109104, 106, 108adddid 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( ( W  x.  1 )  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
110106, 107, 91addassd 9406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( 1  +  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
11125nncnd 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  CC )
112 pncan3 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
113105, 111, 112sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
114113oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( a  +  V ) )
115110, 114eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) )  =  ( a  +  V ) )
116115oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )
117104mulid1d 9401 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  1 )  =  W )
118117oveq1d 6104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( W  x.  1 )  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
119109, 116, 1183eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  =  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
120119fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( ZZ>=
`  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
121103, 120eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
122 oveq1 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( z  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
123122fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
124123cbvmptv 4381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  =  ( z  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
12545, 71, 44, 76, 46, 121, 124vdwlem2 14041 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  -> 
( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
12668, 125sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
127126orim2d 836 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12857, 127syld 44 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12942, 128mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
130129expr 615 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
131130rexlimdvva 2846 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
132131exlimdv 1690 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) ) )
13320, 132sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  -> 
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) ) )
13414, 133mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   {csn 3875   <.cop 3881   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   `'ccnv 4837   "cima 4841    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    ^m cmap 7212   Fincfn 7308   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283    x. cmul 9285    < clt 9416    <_ cle 9417    - cmin 9593   NNcn 10320   2c2 10369   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   ZZ>=cuz 10859   ...cfz 11435  APcvdwa 14024   MonoAP cvdwm 14025   PolyAP cvdwp 14026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-hash 12102  df-vdwap 14027  df-vdwmc 14028  df-vdwpc 14029
This theorem is referenced by:  vdwlem10  14049
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