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Theorem vdwlem9 14939
Description: Lemma for vdw 14944. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
vdwlem9.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
vdwlem9.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem9.g  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
vdwlem9.v  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
vdwlem9.a  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
vdwlem9.h  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
vdwlem9.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem9  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Distinct variable groups:    g, n, x, y, ph    x, f, y, V    f, W, x, y    f, g, F, x, y    f, n, s, K, g, x, y    f, M, g, n, x, y    R, f, g, n, s, x, y    g, H, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, s)    F( n, s)    H( f, n, s)    M( s)    V( g, n, s)    W( g, n, s)

Proof of Theorem vdwlem9
Dummy variables  a 
d  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem9.v . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
2 vdwlem9.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
3 vdw.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
4 vdwlem9.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
5 vdwlem9.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
61, 2, 3, 4, 5vdwlem4 14934 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
7 ovex 6334 . . . . 5  |-  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  e. 
_V
8 ovex 6334 . . . . 5  |-  ( 1 ... V )  e. 
_V
97, 8elmap 7512 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  <->  F :
( 1 ... V
) --> ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) )
106, 9sylibr 215 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) )
11 vdwlem9.a . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
12 breq2 4427 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( K MonoAP  f  <->  K MonoAP  F ) )
1312rspcv 3178 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  ->  ( A. f  e.  (
( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f  ->  K MonoAP  F ) )
1410, 11, 13sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  K MonoAP  F )
15 vdwlem9.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
16 eluz2nn 11205 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
1715, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1817nnnn0d 10933 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
198, 18, 6vdwmc 14928 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  <->  E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) ) )
20 vdwlem9.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
2120adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
22 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) )
2317adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN )
24 simprll 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  NN )
25 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  d  e.  NN )
26 vdwapid1 14925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2822, 27sseldd 3465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( `' F " { g } ) )
29 ffn 5746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
306, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
3130adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V
) )
32 fniniseg 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  ( 1 ... V )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3428, 33mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( 1 ... V )  /\  ( F `  a )  =  g ) )
3534simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  g )
366adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
3734simpld 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... V
) )
3836, 37ffvelrnd 6039 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
3935, 38eqeltrrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
40 rsp 2788 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
g ) ) )
4121, 39, 40sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
421adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  NN )
432adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  NN )
443adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  R  e.  Fin )
454adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  (
2  x.  V ) ) ) --> R )
46 vdwlem9.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4746adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  M  e.  NN )
48 ovex 6334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
49 elmapg 7497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... W
)  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <-> 
g : ( 1 ... W ) --> R ) )
5044, 48, 49sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <->  g :
( 1 ... W
) --> R ) )
5139, 50mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g : ( 1 ... W ) --> R )
5215adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5342, 43, 44, 45, 5, 47, 51, 52, 24, 25, 22vdwlem7 14937 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
54 olc 385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) )
5554a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g ) ) )
5653, 55jaod 381 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
57 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
x  -  1 )  =  ( a  - 
1 ) )
5857oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  -  1 )  +  V )  =  ( ( a  -  1 )  +  V ) )
5958oveq2d 6322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( W  x.  ( (
x  -  1 )  +  V ) )  =  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
6059oveq2d 6322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
6160fveq2d 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
6261mpteq2dv 4511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6348mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  e.  _V
6462, 5, 63fvmpt 5965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6537, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6665, 35eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  g )
6766breq2d 4435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
6818adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
69 peano2nn0 10918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
71 nnm1nn0 10919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
7224, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
73 nn0nnaddcl 10909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  -  1 )  e.  NN0  /\  V  e.  NN )  ->  ( ( a  - 
1 )  +  V
)  e.  NN )
7472, 42, 73syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  NN )
7543, 74nnmulcld 10665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( (
a  -  1 )  +  V ) )  e.  NN )
7624, 42nnaddcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  NN )
7743, 76nnmulcld 10665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  NN )
7877nnzd 11047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  ZZ )
79 2nn 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
80 nnmulcl 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  V  e.  NN )  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
8179, 1, 80sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
822, 81nnmulcld 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  NN )
8382nnzd 11047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8483adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8524nnred 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  RR )
8642nnred 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  RR )
87 elfzle2 11811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  a  <_  V )
8837, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  <_  V )
8985, 86, 86, 88leadd1dd 10235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( V  +  V ) )
9042nncnd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  CC )
91902timesd 10863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  =  ( V  +  V ) )
9289, 91breqtrrd 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V ) )
9376nnred 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  RR )
9481nnred 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  RR )
9594adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  e.  RR )
9643nnred 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  RR )
9743nngt0d 10661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  0  <  W )
98 lemul2 10466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  +  V
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  V
)  e.  RR  /\  ( W  e.  RR  /\  0  <  W ) )  ->  ( (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
9993, 95, 96, 97, 98syl112anc 1268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  +  V
)  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
10092, 99mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  <_ 
( W  x.  (
2  x.  V ) ) )
101 eluz2 11173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) )  <-> 
( ( W  x.  ( a  +  V
) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
a  +  V ) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) )
10278, 84, 100, 101syl3anbrc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) ) )
10343nncnd 10633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  CC )
104 1cnd 9667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  1  e.  CC )
10572nn0cnd 10935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  CC )
106105, 90addcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  CC )
107103, 104, 106adddid 9675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( ( W  x.  1 )  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
108104, 105, 90addassd 9673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( 1  +  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
109 ax-1cn 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
11024nncnd 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  CC )
111 pncan3 9891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
112109, 110, 111sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
113112oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( a  +  V ) )
114108, 113eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) )  =  ( a  +  V ) )
115114oveq2d 6322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )
116103mulid1d 9668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  1 )  =  W )
117116oveq1d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( W  x.  1 )  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
118107, 115, 1173eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  =  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
119118fveq2d 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( ZZ>=
`  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
120102, 119eleqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
121 oveq1 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( z  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
122121fveq2d 5886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
123122cbvmptv 4516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  =  ( z  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
12444, 70, 43, 75, 45, 120, 123vdwlem2 14932 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  -> 
( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
12567, 124sylbird 238 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
126125orim2d 848 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12756, 126syld 45 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12841, 127mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
129128expr 618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
130129rexlimdvva 2921 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
131130exlimdv 1772 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) ) )
13219, 131sylbid 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  -> 
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) ) )
13314, 132mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   {csn 3998   <.cop 4004   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   `'ccnv 4852   "cima 4856    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6306    ^m cmap 7484   Fincfn 7581   CCcc 9545   RRcr 9546   0cc0 9547   1c1 9548    + caddc 9550    x. cmul 9552    < clt 9683    <_ cle 9684    - cmin 9868   NNcn 10617   2c2 10667   NN0cn0 10877   ZZcz 10945   ZZ>=cuz 11167   ...cfz 11792  APcvdwa 14915   MonoAP cvdwm 14916   PolyAP cvdwp 14917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-rp 11311  df-fz 11793  df-hash 12523  df-vdwap 14918  df-vdwmc 14919  df-vdwpc 14920
This theorem is referenced by:  vdwlem10  14940
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