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Theorem vdwlem9 14994
Description: Lemma for vdw 14999. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
vdwlem9.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
vdwlem9.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem9.g  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
vdwlem9.v  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
vdwlem9.a  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
vdwlem9.h  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
vdwlem9.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem9  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Distinct variable groups:    g, n, x, y, ph    x, f, y, V    f, W, x, y    f, g, F, x, y    f, n, s, K, g, x, y    f, M, g, n, x, y    R, f, g, n, s, x, y    g, H, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, s)    F( n, s)    H( f, n, s)    M( s)    V( g, n, s)    W( g, n, s)

Proof of Theorem vdwlem9
Dummy variables  a 
d  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem9.v . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
2 vdwlem9.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
3 vdw.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
4 vdwlem9.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
5 vdwlem9.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
61, 2, 3, 4, 5vdwlem4 14989 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
7 ovex 6348 . . . . 5  |-  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  e. 
_V
8 ovex 6348 . . . . 5  |-  ( 1 ... V )  e. 
_V
97, 8elmap 7531 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  <->  F :
( 1 ... V
) --> ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) )
106, 9sylibr 217 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) )
11 vdwlem9.a . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
12 breq2 4422 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( K MonoAP  f  <->  K MonoAP  F ) )
1312rspcv 3158 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  ->  ( A. f  e.  (
( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f  ->  K MonoAP  F ) )
1410, 11, 13sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  K MonoAP  F )
15 vdwlem9.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
16 eluz2nn 11231 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
1715, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1817nnnn0d 10959 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
198, 18, 6vdwmc 14983 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  <->  E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) ) )
20 vdwlem9.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
2120adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
22 simprr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) )
2317adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN )
24 simprll 777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  NN )
25 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  d  e.  NN )
26 vdwapid1 14980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2822, 27sseldd 3445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( `' F " { g } ) )
29 ffn 5755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
306, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
3130adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V
) )
32 fniniseg 6031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  ( 1 ... V )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3428, 33mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( 1 ... V )  /\  ( F `  a )  =  g ) )
3534simprd 469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  g )
366adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
3734simpld 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... V
) )
3836, 37ffvelrnd 6051 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
3935, 38eqeltrrd 2541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
40 rsp 2766 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
g ) ) )
4121, 39, 40sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
421adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  NN )
432adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  NN )
443adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  R  e.  Fin )
454adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  (
2  x.  V ) ) ) --> R )
46 vdwlem9.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4746adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  M  e.  NN )
48 ovex 6348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
49 elmapg 7516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... W
)  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <-> 
g : ( 1 ... W ) --> R ) )
5044, 48, 49sylancl 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <->  g :
( 1 ... W
) --> R ) )
5139, 50mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g : ( 1 ... W ) --> R )
5215adantr 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5342, 43, 44, 45, 5, 47, 51, 52, 24, 25, 22vdwlem7 14992 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
54 olc 390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) )
5554a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g ) ) )
5653, 55jaod 386 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
57 oveq1 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
x  -  1 )  =  ( a  - 
1 ) )
5857oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  -  1 )  +  V )  =  ( ( a  -  1 )  +  V ) )
5958oveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( W  x.  ( (
x  -  1 )  +  V ) )  =  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
6059oveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
6160fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
6261mpteq2dv 4506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6348mptex 6166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  e.  _V
6462, 5, 63fvmpt 5976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6537, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6665, 35eqtr3d 2498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  g )
6766breq2d 4430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
6818adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
69 peano2nn0 10944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
71 nnm1nn0 10945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
7224, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
73 nn0nnaddcl 10935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  -  1 )  e.  NN0  /\  V  e.  NN )  ->  ( ( a  - 
1 )  +  V
)  e.  NN )
7472, 42, 73syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  NN )
7543, 74nnmulcld 10690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( (
a  -  1 )  +  V ) )  e.  NN )
7624, 42nnaddcld 10689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  NN )
7743, 76nnmulcld 10690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  NN )
7877nnzd 11073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  ZZ )
79 2nn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
80 nnmulcl 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  V  e.  NN )  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
8179, 1, 80sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
822, 81nnmulcld 10690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  NN )
8382nnzd 11073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8483adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8524nnred 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  RR )
8642nnred 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  RR )
87 elfzle2 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  a  <_  V )
8837, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  <_  V )
8985, 86, 86, 88leadd1dd 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( V  +  V ) )
9042nncnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  CC )
91902timesd 10889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  =  ( V  +  V ) )
9289, 91breqtrrd 4445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V ) )
9376nnred 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  RR )
9481nnred 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  RR )
9594adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  e.  RR )
9643nnred 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  RR )
9743nngt0d 10686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  0  <  W )
98 lemul2 10491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  +  V
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  V
)  e.  RR  /\  ( W  e.  RR  /\  0  <  W ) )  ->  ( (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
9993, 95, 96, 97, 98syl112anc 1280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  +  V
)  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
10092, 99mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  <_ 
( W  x.  (
2  x.  V ) ) )
101 eluz2 11199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) )  <-> 
( ( W  x.  ( a  +  V
) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
a  +  V ) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) )
10278, 84, 100, 101syl3anbrc 1198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) ) )
10343nncnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  CC )
104 1cnd 9690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  1  e.  CC )
10572nn0cnd 10961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  CC )
106105, 90addcld 9693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  CC )
107103, 104, 106adddid 9698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( ( W  x.  1 )  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
108104, 105, 90addassd 9696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( 1  +  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
109 ax-1cn 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
11024nncnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  CC )
111 pncan3 9914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
112109, 110, 111sylancr 674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
113112oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( a  +  V ) )
114108, 113eqtr3d 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) )  =  ( a  +  V ) )
115114oveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )
116103mulid1d 9691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  1 )  =  W )
117116oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( W  x.  1 )  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
118107, 115, 1173eqtr3d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  =  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
119118fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( ZZ>=
`  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
120102, 119eleqtrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
121 oveq1 6327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( z  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
122121fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
123122cbvmptv 4511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  =  ( z  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
12444, 70, 43, 75, 45, 120, 123vdwlem2 14987 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  -> 
( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
12567, 124sylbird 243 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
126125orim2d 856 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12756, 126syld 45 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12841, 127mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
129128expr 624 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
130129rexlimdvva 2898 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
131130exlimdv 1790 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) ) )
13219, 131sylbid 223 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  -> 
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) ) )
13314, 132mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    C_ wss 3416   {csn 3980   <.cop 3986   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477   `'ccnv 4855   "cima 4859    Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    ^m cmap 7503   Fincfn 7600   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571    + caddc 9573    x. cmul 9575    < clt 9706    <_ cle 9707    - cmin 9891   NNcn 10642   2c2 10692   NN0cn0 10903   ZZcz 10971   ZZ>=cuz 11193   ...cfz 11819  APcvdwa 14970   MonoAP cvdwm 14971   PolyAP cvdwp 14972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-rp 11337  df-fz 11820  df-hash 12554  df-vdwap 14973  df-vdwmc 14974  df-vdwpc 14975
This theorem is referenced by:  vdwlem10  14995
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