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Theorem vdwlem9 14518
Description: Lemma for vdw 14523. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem9.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
vdwlem9.s  |-  ( ph  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f
)
vdwlem9.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
vdwlem9.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem9.g  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
vdwlem9.v  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
vdwlem9.a  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
vdwlem9.h  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
vdwlem9.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem9  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Distinct variable groups:    g, n, x, y, ph    x, f, y, V    f, W, x, y    f, g, F, x, y    f, n, s, K, g, x, y    f, M, g, n, x, y    R, f, g, n, s, x, y    g, H, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, s)    F( n, s)    H( f, n, s)    M( s)    V( g, n, s)    W( g, n, s)

Proof of Theorem vdwlem9
Dummy variables  a 
d  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem9.v . . . . 5  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
2 vdwlem9.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
3 vdw.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
4 vdwlem9.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
5 vdwlem9.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
61, 2, 3, 4, 5vdwlem4 14513 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
7 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  e. 
_V
8 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( 1 ... V )  e. 
_V
97, 8elmap 7466 . . . 4  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  <->  F :
( 1 ... V
) --> ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) )
106, 9sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) )
11 vdwlem9.a . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( ( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f )
12 breq2 4460 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  ( K MonoAP  f  <->  K MonoAP  F ) )
1312rspcv 3206 . . 3  |-  ( F  e.  ( ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V
) )  ->  ( A. f  e.  (
( R  ^m  (
1 ... W ) )  ^m  ( 1 ... V ) ) K MonoAP 
f  ->  K MonoAP  F ) )
1410, 11, 13sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  K MonoAP  F )
15 vdwlem9.k . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
16 eluz2nn 11144 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  K  e.  NN )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
1817nnnn0d 10873 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
198, 18, 6vdwmc 14507 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  <->  E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) ) )
20 vdwlem9.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
2120adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  A. g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
22 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } ) )
2317adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN )
24 simprll 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  NN )
25 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  d  e.  NN )
26 vdwapid1 14504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  NN  /\  a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( a (AP `  K ) d ) )
2822, 27sseldd 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( `' F " { g } ) )
29 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
306, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... V ) )
3130adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... V
) )
32 fniniseg 6009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  ( 1 ... V )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( `' F " { g } )  <->  ( a  e.  ( 1 ... V
)  /\  ( F `  a )  =  g ) ) )
3428, 33mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  e.  ( 1 ... V )  /\  ( F `  a )  =  g ) )
3534simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  g )
366adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
3734simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... V
) )
3836, 37ffvelrnd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
3935, 38eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) ) )
40 rsp 2823 . . . . . . . 8  |-  ( A. g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W
) ) ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP 
g ) ) )
4121, 39, 40sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  + 
1 ) MonoAP  g )
)
421adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  NN )
432adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  NN )
443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  R  e.  Fin )
454adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  (
2  x.  V ) ) ) --> R )
46 vdwlem9.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4746adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  M  e.  NN )
48 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
49 elmapg 7451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... W
)  e.  _V )  ->  ( g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <-> 
g : ( 1 ... W ) --> R ) )
5044, 48, 49sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
g  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <->  g :
( 1 ... W
) --> R ) )
5139, 50mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  g : ( 1 ... W ) --> R )
5215adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
5342, 43, 44, 45, 5, 47, 51, 52, 24, 25, 22vdwlem7 14516 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. M ,  K >. PolyAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
54 olc 384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  +  1 ) MonoAP 
g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) )
5554a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g ) ) )
5653, 55jaod 380 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  g ) ) )
57 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  a  ->  (
x  -  1 )  =  ( a  - 
1 ) )
5857oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  a  ->  (
( x  -  1 )  +  V )  =  ( ( a  -  1 )  +  V ) )
5958oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  ( W  x.  ( (
x  -  1 )  +  V ) )  =  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
6059oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
6160fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
6261mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  a  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6348mptex 6144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  e.  _V
6462, 5, 63fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6537, 64syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
6665, 35eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  =  g )
6766breq2d 4468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  <->  ( K  +  1 ) MonoAP  g
) )
6818adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
69 peano2nn0 10857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
71 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
7224, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
73 nn0nnaddcl 10848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  -  1 )  e.  NN0  /\  V  e.  NN )  ->  ( ( a  - 
1 )  +  V
)  e.  NN )
7472, 42, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  NN )
7543, 74nnmulcld 10604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( (
a  -  1 )  +  V ) )  e.  NN )
7624, 42nnaddcld 10603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  NN )
7743, 76nnmulcld 10604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  NN )
7877nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  e.  ZZ )
79 2nn 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  NN
80 nnmulcl 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  V  e.  NN )  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
8179, 1, 80sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  NN )
822, 81nnmulcld 10604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  NN )
8382nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8483adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ZZ )
8524nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  RR )
8642nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  RR )
87 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( 1 ... V )  ->  a  <_  V )
8837, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  <_  V )
8985, 86, 86, 88leadd1dd 10187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( V  +  V ) )
9042nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  V  e.  CC )
91902timesd 10802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  =  ( V  +  V ) )
9289, 91breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V ) )
9376nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  +  V )  e.  RR )
9481nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  V
)  e.  RR )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
2  x.  V )  e.  RR )
9643nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  RR )
9743nngt0d 10600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  0  <  W )
98 lemul2 10416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  +  V
)  e.  RR  /\  ( 2  x.  V
)  e.  RR  /\  ( W  e.  RR  /\  0  <  W ) )  ->  ( (
a  +  V )  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
9993, 95, 96, 97, 98syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  +  V
)  <_  ( 2  x.  V )  <->  ( W  x.  ( a  +  V
) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V ) ) ) )
10092, 99mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  <_ 
( W  x.  (
2  x.  V ) ) )
101 eluz2 11112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) )  <-> 
( ( W  x.  ( a  +  V
) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
2  x.  V ) )  e.  ZZ  /\  ( W  x.  (
a  +  V ) )  <_  ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) )
10278, 84, 100, 101syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  x.  ( a  +  V ) ) ) )
10343nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  W  e.  CC )
104 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  1  e.  CC )
10572nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
a  -  1 )  e.  CC )
106105, 90addcld 9632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( a  -  1 )  +  V )  e.  CC )
107103, 104, 106adddid 9637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( ( W  x.  1 )  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
108104, 105, 90addassd 9635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( 1  +  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) )
109 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  CC
11024nncnd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  a  e.  CC )
111 pncan3 9847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
112109, 110, 111sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( a  -  1 ) )  =  a )
113112oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( 1  +  ( a  -  1 ) )  +  V )  =  ( a  +  V ) )
114108, 113eqtr3d 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) )  =  ( a  +  V ) )
115114oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 1  +  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )
116103mulid1d 9630 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  1 )  =  W )
117116oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( W  x.  1 )  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( W  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
118107, 115, 1173eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( a  +  V ) )  =  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
119118fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( ZZ>=
`  ( W  x.  ( a  +  V
) ) )  =  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
120102, 119eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( W  x.  ( 2  x.  V ) )  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )
121 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  z  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) )  =  ( z  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) )
122121fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  - 
1 )  +  V
) ) ) )  =  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
123122cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  =  ( z  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( z  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
12444, 70, 43, 75, 45, 120, 123vdwlem2 14511 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( a  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  -> 
( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
12567, 124sylbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( K  +  1 ) MonoAP  g  ->  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
126125orim2d 840 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12756, 126syld 44 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  (
( <. M ,  K >. PolyAP  g  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  g
)  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
12841, 127mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { g } ) ) )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) )
129128expr 615 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
130129rexlimdvva 2956 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1
) MonoAP  H ) ) )
131130exlimdv 1725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { g } )  ->  ( <. ( M  +  1 ) ,  K >. PolyAP  H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H ) ) )
13219, 131sylbid 215 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  -> 
( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) ) )
13314, 132mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( <. ( M  + 
1 ) ,  K >. PolyAP 
H  \/  ( K  +  1 ) MonoAP  H
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032   <.cop 4038   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697  APcvdwa 14494   MonoAP cvdwm 14495   PolyAP cvdwp 14496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-hash 12408  df-vdwap 14497  df-vdwmc 14498  df-vdwpc 14499
This theorem is referenced by:  vdwlem10  14519
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