Theorem vdwlem9 14366

Description: Lemma for vdw 14371. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdw.r	|- ( ph -> R e. Fin )
vdwlem9.k	|- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
vdwlem9.s	|- ( ph -> A. s e. Fin E. n e. NN A. f e. ( s ^m ( 1 ... n ) ) K MonoAP f )
vdwlem9.m	|- ( ph -> M e. NN )
vdwlem9.w	|- ( ph -> W e. NN )
vdwlem9.g	|- ( ph -> A. g e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) ( <. M , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) )
vdwlem9.v	|- ( ph -> V e. NN )
vdwlem9.a	|- ( ph -> A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... W ) ) ^m ( 1 ... V ) ) K MonoAP f )
vdwlem9.h	|- ( ph -> H : ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) --> R )
vdwlem9.f	|- F = ( x e. ( 1 ... V ) |-> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
vdwlem9	|- ( ph -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP H ) )

Distinct variable groups:   g, n, x, y, ph   x, f, y, V   f, W, x, y   f, g, F, x, y   f, n, s, K, g, x, y   f, M, g, n, x, y   R, f, g, n, s, x, y   g, H, x, y

Allowed substitution hints:   ph( f, s)   F( n, s)   H( f, n, s)   M( s)   V( g, n, s)   W( g, n, s)

Proof of Theorem vdwlem9

Dummy variables a d z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem9.v	. . . . 5 |- ( ph -> V e. NN )
2		vdwlem9.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. NN )
3		vdw.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Fin )
4		vdwlem9.h	. . . . 5 |- ( ph -> H : ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) --> R )
5		vdwlem9.f	. . . . 5 |- F = ( x e. ( 1 ... V ) |-> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	vdwlem4 14361	. . . 4 |- ( ph -> F : ( 1 ... V ) --> ( R ^m ( 1 ... W ) ) )
7		ovex 6309	. . . . 5 |- ( R ^m ( 1 ... W ) ) e. _V
8		ovex 6309	. . . . 5 |- ( 1 ... V ) e. _V
9	7, 8	elmap 7447	. . . 4 |- ( F e. ( ( R ^m ( 1 ... W ) ) ^m ( 1 ... V ) ) <-> F : ( 1 ... V ) --> ( R ^m ( 1 ... W ) ) )
10	6, 9	sylibr 212	. . 3 |- ( ph -> F e. ( ( R ^m ( 1 ... W ) ) ^m ( 1 ... V ) ) )
11		vdwlem9.a	. . 3 |- ( ph -> A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... W ) ) ^m ( 1 ... V ) ) K MonoAP f )
12		breq2 4451	. . . 4 |- ( f = F -> ( K MonoAP f <-> K MonoAP F ) )
13	12	rspcv 3210	. . 3 |- ( F e. ( ( R ^m ( 1 ... W ) ) ^m ( 1 ... V ) ) -> ( A. f e. ( ( R ^m ( 1 ... W ) ) ^m ( 1 ... V ) ) K MonoAP f -> K MonoAP F ) )
14	10, 11, 13	sylc 60	. 2 |- ( ph -> K MonoAP F )
15		vdwlem9.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
16		eluz2b2 11154	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( K e. NN /\ 1 < K ) )
17	16	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN )
18	15, 17	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN )
19	18	nnnn0d 10852	. . . 4 |- ( ph -> K e. NN0 )
20	8, 19, 6	vdwmc 14355	. . 3 |- ( ph -> ( K MonoAP F <-> E. g E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) )
21		vdwlem9.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. g e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) ( <. M , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) )
22	21	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> A. g e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) ( <. M , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) )
23		simprr 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) )
24	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> K e. NN )
25		simprll 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> a e. NN )
26		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> d e. NN )
27		vdwapid1 14352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ a e. NN /\ d e. NN ) -> a e. ( a (AP ` K ) d ) )
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> a e. ( a (AP ` K ) d ) )
29	23, 28	sseldd 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> a e. ( `' F " { g } ) )
30		ffn 5731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( 1 ... V ) --> ( R ^m ( 1 ... W ) ) -> F Fn ( 1 ... V ) )
31	6, 30	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn ( 1 ... V ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> F Fn ( 1 ... V ) )
33		fniniseg 6002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn ( 1 ... V ) -> ( a e. ( `' F " { g } ) <-> ( a e. ( 1 ... V ) /\ ( F ` a ) = g ) ) )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( a e. ( `' F " { g } ) <-> ( a e. ( 1 ... V ) /\ ( F ` a ) = g ) ) )
35	29, 34	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( a e. ( 1 ... V ) /\ ( F ` a ) = g ) )
36	35	simprd 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( F ` a ) = g )
37	6	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> F : ( 1 ... V ) --> ( R ^m ( 1 ... W ) ) )
38	35	simpld 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> a e. ( 1 ... V ) )
39	37, 38	ffvelrnd 6022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( F ` a ) e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) )
40	36, 39	eqeltrrd 2556	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> g e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) )
41		rsp 2830	. . . . . . . 8 |- ( A. g e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) ( <. M , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) -> ( g e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) -> ( <. M , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) )
42	22, 40, 41	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( <. M , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) )
43	1	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> V e. NN )
44	2	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> W e. NN )
45	3	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> R e. Fin )
46	4	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> H : ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) --> R )
47		vdwlem9.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
48	47	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> M e. NN )
49		ovex 6309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... W ) e. _V
50		elmapg 7433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Fin /\ ( 1 ... W ) e. _V ) -> ( g e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) <-> g : ( 1 ... W ) --> R ) )
51	45, 49, 50	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( g e. ( R ^m ( 1 ... W ) ) <-> g : ( 1 ... W ) --> R ) )
52	40, 51	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> g : ( 1 ... W ) --> R )
53	15	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
54	43, 44, 45, 46, 5, 48, 52, 53, 25, 26, 23	vdwlem7 14364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( <. M , K >. PolyAP g -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) )
55		olc 384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K + 1 ) MonoAP g -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) )
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( K + 1 ) MonoAP g -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) )
57	54, 56	jaod 380	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( <. M , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) ) )
58		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( x - 1 ) = ( a - 1 ) )
59	58	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( ( x - 1 ) + V ) = ( ( a - 1 ) + V ) )
60	59	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = a -> ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) = ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) )
61	60	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) = ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) )
62	61	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) = ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) )
63	62	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = a -> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( x - 1 ) + V ) ) ) ) ) = ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) ) )
64	49	mptex 6131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) ) e. _V
65	63, 5, 64	fvmpt 5950	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a e. ( 1 ... V ) -> ( F ` a ) = ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) ) )
66	38, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( F ` a ) = ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) ) )
67	66, 36	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) ) = g )
68	67	breq2d 4459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( K + 1 ) MonoAP ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) ) <-> ( K + 1 ) MonoAP g ) )
69	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> K e. NN0 )
70		peano2nn0 10836	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
71	69, 70	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( K + 1 ) e. NN0 )
72		nnm1nn0 10837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a e. NN -> ( a - 1 ) e. NN0 )
73	25, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( a - 1 ) e. NN0 )
74		nn0nnaddcl 10827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( a - 1 ) e. NN0 /\ V e. NN ) -> ( ( a - 1 ) + V ) e. NN )
75	73, 43, 74	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( a - 1 ) + V ) e. NN )
76	44, 75	nnmulcld 10583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) e. NN )
77	25, 43	nnaddcld 10582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( a + V ) e. NN )
78	44, 77	nnmulcld 10583	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( a + V ) ) e. NN )
79	78	nnzd 10965	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( a + V ) ) e. ZZ )
80		2nn 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. NN
81		nnmulcl 10559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. NN /\ V e. NN ) -> ( 2 x. V ) e. NN )
82	80, 1, 81	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. V ) e. NN )
83	2, 82	nnmulcld 10583	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. NN )
84	83	nnzd 10965	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ZZ )
85	84	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ZZ )
86	25	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> a e. RR )
87	43	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> V e. RR )
88		elfzle2 11690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a e. ( 1 ... V ) -> a <_ V )
89	38, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> a <_ V )
90	86, 87, 87, 89	leadd1dd 10166	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( a + V ) <_ ( V + V ) )
91	43	nncnd 10552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> V e. CC )
92	91	2timesd 10781	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( 2 x. V ) = ( V + V ) )
93	90, 92	breqtrrd 4473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( a + V ) <_ ( 2 x. V ) )
94	77	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( a + V ) e. RR )
95	82	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 x. V ) e. RR )
96	95	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( 2 x. V ) e. RR )
97	44	nnred 10551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> W e. RR )
98	44	nngt0d 10579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> 0 < W )
99		lemul2 10395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( a + V ) e. RR /\ ( 2 x. V ) e. RR /\ ( W e. RR /\ 0 < W ) ) -> ( ( a + V ) <_ ( 2 x. V ) <-> ( W x. ( a + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
100	94, 96, 97, 98, 99	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( a + V ) <_ ( 2 x. V ) <-> ( W x. ( a + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
101	93, 100	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( a + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) )
102		eluz2 11088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ( ZZ>= ` ( W x. ( a + V ) ) ) <-> ( ( W x. ( a + V ) ) e. ZZ /\ ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ZZ /\ ( W x. ( a + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
103	79, 85, 101, 102	syl3anbrc 1180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ( ZZ>= ` ( W x. ( a + V ) ) ) )
104	44	nncnd 10552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> W e. CC )
105		ax-1cn 9550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> 1 e. CC )
107	73	nn0cnd 10854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( a - 1 ) e. CC )
108	107, 91	addcld 9615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( a - 1 ) + V ) e. CC )
109	104, 106, 108	adddid 9620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( 1 + ( ( a - 1 ) + V ) ) ) = ( ( W x. 1 ) + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) )
110	106, 107, 91	addassd 9618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( 1 + ( a - 1 ) ) + V ) = ( 1 + ( ( a - 1 ) + V ) ) )
111	25	nncnd 10552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> a e. CC )
112		pncan3 9828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. CC /\ a e. CC ) -> ( 1 + ( a - 1 ) ) = a )
113	105, 111, 112	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( 1 + ( a - 1 ) ) = a )
114	113	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( 1 + ( a - 1 ) ) + V ) = ( a + V ) )
115	110, 114	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( 1 + ( ( a - 1 ) + V ) ) = ( a + V ) )
116	115	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( 1 + ( ( a - 1 ) + V ) ) ) = ( W x. ( a + V ) ) )
117	104	mulid1d 9613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. 1 ) = W )
118	117	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( W x. 1 ) + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) = ( W + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) )
119	109, 116, 118	3eqtr3d 2516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( a + V ) ) = ( W + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) )
120	119	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ZZ>= ` ( W x. ( a + V ) ) ) = ( ZZ>= ` ( W + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) )
121	103, 120	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ( ZZ>= ` ( W + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) )
122		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) = ( z + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) )
123	122	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) = ( H ` ( z + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) )
124	123	cbvmptv 4538	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) ) = ( z e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( z + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) )
125	45, 71, 44, 76, 46, 121, 124	vdwlem2 14359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( K + 1 ) MonoAP ( y e. ( 1 ... W ) |-> ( H ` ( y + ( W x. ( ( a - 1 ) + V ) ) ) ) ) -> ( K + 1 ) MonoAP H ) )
126	68, 125	sylbird 235	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( K + 1 ) MonoAP g -> ( K + 1 ) MonoAP H ) )
127	126	orim2d 838	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP H ) ) )
128	57, 127	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( ( <. M , K >. PolyAP g \/ ( K + 1 ) MonoAP g ) -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP H ) ) )
129	42, 128	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( a e. NN /\ d e. NN ) /\ ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) ) ) -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP H ) )
130	129	expr 615	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. NN /\ d e. NN ) ) -> ( ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP H ) ) )
131	130	rexlimdvva 2962	. . . 4 |- ( ph -> ( E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP H ) ) )
132	131	exlimdv 1700	. . 3 |- ( ph -> ( E. g E. a e. NN E. d e. NN ( a (AP ` K ) d ) C_ ( `' F " { g } ) -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP H ) ) )
133	20, 132	sylbid 215	. 2 |- ( ph -> ( K MonoAP F -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP H ) ) )
134	14, 133	mpd 15	1 |- ( ph -> ( <. ( M + 1 ) , K >. PolyAP H \/ ( K + 1 ) MonoAP H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   {csn 4027   <.cop 4033   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ^m cmap 7420   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   NNcn 10536   2c2 10585   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672  APcvdwa 14342   MonoAP cvdwm 14343   PolyAP cvdwp 14344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-hash 12374  df-vdwap 14345  df-vdwmc 14346  df-vdwpc 14347

This theorem is referenced by:  vdwlem10  14367