Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem8 Structured version   Unicode version

Theorem vdwlem8 14045
 Description: Lemma for vdw 14051. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem8.r
vdwlem8.k
vdwlem8.w
vdwlem8.f
vdwlem8.c
vdwlem8.a
vdwlem8.d
vdwlem8.s AP
vdwlem8.g
Assertion
Ref Expression
vdwlem8 PolyAP
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem vdwlem8
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem8.a . . . . . . . . . 10
21nncnd 10334 . . . . . . . . 9
3 vdwlem8.d . . . . . . . . . 10
43nncnd 10334 . . . . . . . . 9
52, 4addcomd 9567 . . . . . . . 8
65oveq2d 6106 . . . . . . 7
7 vdwlem8.w . . . . . . . . 9
87nncnd 10334 . . . . . . . 8
98, 4, 2subsub4d 9746 . . . . . . 7
106, 9eqtr4d 2476 . . . . . 6
1110oveq2d 6106 . . . . 5
128, 4subcld 9715 . . . . . 6
132, 2, 12ppncand 9755 . . . . 5
1411, 13eqtrd 2473 . . . 4
151, 1nnaddcld 10364 . . . . 5
16 vdwlem8.s . . . . . . . 8 AP
17 cnvimass 5186 . . . . . . . . 9
18 fvex 5698 . . . . . . . . . 10
19 vdwlem8.g . . . . . . . . . 10
2018, 19dmmpti 5537 . . . . . . . . 9
2117, 20sseqtri 3385 . . . . . . . 8
2216, 21syl6ss 3365 . . . . . . 7 AP
23 ssun2 3517 . . . . . . . . 9 AP AP
24 vdwlem8.k . . . . . . . . . . 11
25 uz2m1nn 10925 . . . . . . . . . . 11
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10
271, 3nnaddcld 10364 . . . . . . . . . 10
28 vdwapid1 14032 . . . . . . . . . 10 AP
2926, 27, 3, 28syl3anc 1213 . . . . . . . . 9 AP
3023, 29sseldi 3351 . . . . . . . 8 AP
31 eluz2b2 10923 . . . . . . . . . . . . . . 15
3231simplbi 457 . . . . . . . . . . . . . 14
3324, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
3433nncnd 10334 . . . . . . . . . . . 12
35 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . . . 12
36 npcan 9615 . . . . . . . . . . . 12
3734, 35, 36sylancl 657 . . . . . . . . . . 11
3837fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10 AP AP
3938oveqd 6107 . . . . . . . . 9 AP AP
4026nnnn0d 10632 . . . . . . . . . 10
41 vdwapun 14031 . . . . . . . . . 10 AP AP
4240, 1, 3, 41syl3anc 1213 . . . . . . . . 9 AP AP
4339, 42eqtr3d 2475 . . . . . . . 8 AP AP
4430, 43eleqtrrd 2518 . . . . . . 7 AP
4522, 44sseldd 3354 . . . . . 6
46 elfzuz3 11446 . . . . . 6
47 uznn0sub 10888 . . . . . 6
4845, 46, 473syl 20 . . . . 5
49 nnnn0addcl 10606 . . . . 5
5015, 48, 49syl2anc 656 . . . 4
5114, 50eqeltrrd 2516 . . 3
52 1nn 10329 . . . . . . . 8
53 f1osng 5676 . . . . . . . 8
5452, 3, 53sylancr 658 . . . . . . 7
55 f1of 5638 . . . . . . 7
5654, 55syl 16 . . . . . 6
573snssd 4015 . . . . . 6
58 fss 5564 . . . . . 6
5956, 57, 58syl2anc 656 . . . . 5
60 1z 10672 . . . . . . 7
61 fzsn 11496 . . . . . . 7
6260, 61ax-mp 5 . . . . . 6
6362feq2i 5549 . . . . 5
6459, 63sylibr 212 . . . 4
65 nnex 10324 . . . . 5
66 ovex 6115 . . . . 5
6765, 66elmap 7237 . . . 4
6864, 67sylibr 212 . . 3
691, 7nnaddcld 10364 . . . . . . . . . . . . . 14
7069adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13
71 elfznn0 11477 . . . . . . . . . . . . . 14
723nnnn0d 10632 . . . . . . . . . . . . . 14
73 nn0mulcl 10612 . . . . . . . . . . . . . 14
7471, 72, 73syl2anr 475 . . . . . . . . . . . . 13
75 nnnn0addcl 10606 . . . . . . . . . . . . 13
7670, 74, 75syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12
77 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . 12
7876, 77syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . 11
7916adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
80 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8281oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8382eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8580, 84mpan2 666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8633nnnn0d 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
87 vdwapval 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 AP
8886, 1, 3, 87syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 AP
8988biimpar 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 AP
9085, 89sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 AP
9179, 90sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15
9218, 19fnmpti 5536 . . . . . . . . . . . . . . . 16
93 fniniseg 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
9591, 94sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
9695simpld 456 . . . . . . . . . . . . 13
97 elfzuz3 11446 . . . . . . . . . . . . 13
98 eluzelz 10866 . . . . . . . . . . . . . 14
99 eluzadd 10885 . . . . . . . . . . . . . 14
10098, 99mpdan 663 . . . . . . . . . . . . 13
10196, 97, 1003syl 20 . . . . . . . . . . . 12
10282timesd 10563 . . . . . . . . . . . . 13
103102adantr 462 . . . . . . . . . . . 12
1042adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14
1058adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14
10674nn0cnd 10634 . . . . . . . . . . . . . 14
107104, 105, 106add32d 9588 . . . . . . . . . . . . 13
108107fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12
109101, 103, 1083eltr4d 2522 . . . . . . . . . . 11
110 elfzuzb 11443 . . . . . . . . . . 11
11178, 109, 110sylanbrc 659 . . . . . . . . . 10
112107fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11
113 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . 14
114113fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13
115 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . 13
116114, 19, 115fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . 12
11796, 116syl 16 . . . . . . . . . . 11
11895simprd 460 . . . . . . . . . . 11
119112, 117, 1183eqtr2d 2479 . . . . . . . . . 10
120111, 119jca 529 . . . . . . . . 9
121 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10
122 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11
123122eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10
124121, 123anbi12d 705 . . . . . . . . 9
125120, 124syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8
126125rexlimdva 2839 . . . . . . 7
127 vdwapval 14030 . . . . . . . 8 AP
12886, 69, 3, 127syl3anc 1213 . . . . . . 7 AP
129 vdwlem8.f . . . . . . . 8
130 ffn 5556 . . . . . . . 8
131 fniniseg 5821 . . . . . . . 8
132129, 130, 1313syl 20 . . . . . . 7
133126, 128, 1323imtr4d 268 . . . . . 6 AP
134133ssrdv 3359 . . . . 5 AP
135 fvsng 5909 . . . . . . . . 9
13652, 3, 135sylancr 658 . . . . . . . 8
137136oveq2d 6106 . . . . . . 7
1382, 12, 4addassd 9404 . . . . . . 7
1398, 4npcand 9719 . . . . . . . 8
140139oveq2d 6106 . . . . . . 7
141137, 138, 1403eqtrd 2477 . . . . . 6
142141, 136oveq12d 6108 . . . . 5 AP AP
143141fveq2d 5692 . . . . . . . 8
144 vdwapid1 14032 . . . . . . . . . . . . 13 AP
14533, 1, 3, 144syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12 AP
14616, 145sseldd 3354 . . . . . . . . . . 11
147 fniniseg 5821 . . . . . . . . . . . 12
14892, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
149146, 148sylib 196 . . . . . . . . . 10
150149simpld 456 . . . . . . . . 9
151 oveq1 6097 . . . . . . . . . . 11
152151fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10
153 fvex 5698 . . . . . . . . . 10
154152, 19, 153fvmpt 5771 . . . . . . . . 9
155150, 154syl 16 . . . . . . . 8
156149simprd 460 . . . . . . . 8
157143, 155, 1563eqtr2d 2479 . . . . . . 7
158157sneqd 3886 . . . . . 6
159158imaeq2d 5166 . . . . 5
160134, 142, 1593sstr4d 3396 . . . 4 AP
161160ralrimivw 2798 . . 3 AP
162157mpteq2dv 4376 . . . . . . . 8
163 fconstmpt 4878 . . . . . . . 8
164162, 163syl6eqr 2491 . . . . . . 7
165164rneqd 5063 . . . . . 6
166 elfz3 11457 . . . . . . . 8
167 ne0i 3640 . . . . . . . 8
16860, 166, 167mp2b 10 . . . . . . 7
169 rnxp 5265 . . . . . . 7
170168, 169ax-mp 5 . . . . . 6
171165, 170syl6eq 2489 . . . . 5
172171fveq2d 5692 . . . 4
173 vdwlem8.c . . . . 5
174 hashsng 12132 . . . . 5
175173, 174ax-mp 5 . . . 4
176172, 175syl6eq 2489 . . 3
177 oveq1 6097 . . . . . . . 8
178177oveq1d 6105 . . . . . . 7 AP AP
179177fveq2d 5692 . . . . . . . . 9
180179sneqd 3886 . . . . . . . 8
181180imaeq2d 5166 . . . . . . 7
182178, 181sseq12d 3382 . . . . . 6 AP AP
183182ralbidv 2733 . . . . 5 AP AP
184179mpteq2dv 4376 . . . . . . . 8
185184rneqd 5063 . . . . . . 7
186185fveq2d 5692 . . . . . 6
187186eqeq1d 2449 . . . . 5
188183, 187anbi12d 705 . . . 4 AP AP
189 fveq1 5687 . . . . . . . . . 10
190 elfz1eq 11458 . . . . . . . . . . 11
191190fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10
192189, 191sylan9eq 2493 . . . . . . . . 9
193192oveq2d 6106 . . . . . . . 8
194193, 192oveq12d 6108 . . . . . . 7 AP AP
195193fveq2d 5692 . . . . . . . . 9
196195sneqd 3886 . . . . . . . 8
197196imaeq2d 5166 . . . . . . 7
198194, 197sseq12d 3382 . . . . . 6 AP AP
199198ralbidva 2729 . . . . 5 AP AP
200195mpteq2dva 4375 . . . . . . . 8
201200rneqd 5063 . . . . . . 7
202201fveq2d 5692 . . . . . 6
203202eqeq1d 2449 . . . . 5
204199, 203anbi12d 705 . . . 4 AP AP
205188, 204rspc2ev 3078 . . 3 AP AP
20651, 68, 161, 176, 205syl112anc 1217 . 2 AP
207 ovex 6115 . . 3
20852a1i 11 . . 3
209 eqid 2441 . . 3
210207, 86, 129, 208, 209vdwpc 14037 . 2 PolyAP AP
211206, 210mpbird 232 1 PolyAP
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1364   wcel 1761   wne 2604  wral 2713  wrex 2714  cvv 2970   cun 3323   wss 3325  c0 3634  csn 3874  cop 3880   class class class wbr 4289   cmpt 4347   cxp 4834  ccnv 4835   cdm 4836   crn 4837  cima 4839   wfn 5410  wf 5411  wf1o 5414  cfv 5415  (class class class)co 6090   cmap 7210  cfn 7306  cc 9276  cc0 9278  c1 9279   caddc 9281   cmul 9283   clt 9414   cmin 9591  cn 10318  c2 10367  cn0 10575  cz 10642  cuz 10857  cfz 11433  chash 12099  APcvdwa 14022   PolyAP cvdwp 14024 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-hash 12100  df-vdwap 14025  df-vdwpc 14027 This theorem is referenced by:  vdwlem10  14047
 Copyright terms: Public domain W3C validator