MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem4 Structured version   Unicode version

Theorem vdwlem4 14361
Description: Lemma for vdw 14371. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem3.v  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
vdwlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem4.h  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
vdwlem4.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, R, y    x, H, y    x, W, y   
x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem vdwlem4
StepHypRef Expression
1 vdwlem4.h . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
21ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  (
2  x.  V ) ) ) --> R )
3 vdwlem3.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
43ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  V  e.  NN )
5 vdwlem3.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
65ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  W  e.  NN )
7 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  x  e.  ( 1 ... V
) )
8 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  y  e.  ( 1 ... W
) )
94, 6, 7, 8vdwlem3 14360 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) )  e.  ( 1 ... ( W  x.  (
2  x.  V ) ) ) )
102, 9ffvelrnd 6022 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) )  e.  R )
11 eqid 2467 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
1210, 11fmptd 6045 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) ) ) : ( 1 ... W ) --> R )
13 vdwlem4.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  ->  R  e.  Fin )
15 ovex 6309 . . . 4  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
16 elmapg 7433 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... W
)  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) )  <-> 
( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) : ( 1 ... W ) --> R ) )
1714, 15, 16sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  ->  (
( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <-> 
( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) : ( 1 ... W ) --> R ) )
1812, 17mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
19 vdwlem4.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
2018, 19fmptd 6045 1  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    - cmin 9805   NNcn 10536   2c2 10585   ...cfz 11672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673
This theorem is referenced by:  vdwlem5  14362  vdwlem6  14363  vdwlem9  14366
  Copyright terms: Public domain W3C validator