MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem4 Structured version   Unicode version

Theorem vdwlem4 14897
Description: Lemma for vdw 14907. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem3.v  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
vdwlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem4.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem4.h  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
vdwlem4.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem4  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, ph    x, R, y    x, H, y    x, W, y   
x, V, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem vdwlem4
StepHypRef Expression
1 vdwlem4.h . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  ( 2  x.  V
) ) ) --> R )
21ad2antrr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  H : ( 1 ... ( W  x.  (
2  x.  V ) ) ) --> R )
3 vdwlem3.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  e.  NN )
43ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  V  e.  NN )
5 vdwlem3.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
65ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  W  e.  NN )
7 simplr 760 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  x  e.  ( 1 ... V
) )
8 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  y  e.  ( 1 ... W
) )
94, 6, 7, 8vdwlem3 14896 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) )  e.  ( 1 ... ( W  x.  (
2  x.  V ) ) ) )
102, 9ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  /\  y  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) )  e.  R )
11 eqid 2429 . . . 4  |-  ( y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `
 ( y  +  ( W  x.  (
( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  =  ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) )
1210, 11fmptd 6061 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) ) ) : ( 1 ... W ) --> R )
13 vdwlem4.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
1413adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  ->  R  e.  Fin )
15 ovex 6333 . . . 4  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
16 elmapg 7493 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... W
)  e.  _V )  ->  ( ( y  e.  ( 1 ... W
)  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  e.  ( R  ^m  (
1 ... W ) )  <-> 
( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) : ( 1 ... W ) --> R ) )
1714, 15, 16sylancl 666 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  ->  (
( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) )  <-> 
( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) : ( 1 ... W ) --> R ) )
1812, 17mpbird 235 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... V
) )  ->  (
y  e.  ( 1 ... W )  |->  ( H `  ( y  +  ( W  x.  ( ( x  - 
1 )  +  V
) ) ) ) )  e.  ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
19 vdwlem4.f . 2  |-  F  =  ( x  e.  ( 1 ... V ) 
|->  ( y  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( H `  (
y  +  ( W  x.  ( ( x  -  1 )  +  V ) ) ) ) ) )
2018, 19fmptd 6061 1  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... V ) --> ( R  ^m  ( 1 ... W ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    - cmin 9859   NNcn 10609   2c2 10659   ...cfz 11782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783
This theorem is referenced by:  vdwlem5  14898  vdwlem6  14899  vdwlem9  14902
  Copyright terms: Public domain W3C validator