Theorem vdwlem3 14036

Description: Lemma for vdw 14047. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	|- ( ph -> V e. NN )
vdwlem3.w	|- ( ph -> W e. NN )
vdwlem3.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... V ) )
vdwlem3.b	|- ( ph -> B e. ( 1 ... W ) )

Assertion

Ref	Expression
vdwlem3	|- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )

Proof of Theorem vdwlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem3.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( 1 ... W ) )
2		elfznn 11470	. . . . . 6 |- ( B e. ( 1 ... W ) -> B e. NN )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> B e. NN )
4		vdwlem3.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. NN )
5		vdwlem3.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ( 1 ... V ) )
6		elfznn 11470	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 1 ... V ) -> A e. NN )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. NN )
8		nnm1nn0 10613	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( A - 1 ) e. NN0 )
9	7, 8	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. NN0 )
10		vdwlem3.v	. . . . . . 7 |- ( ph -> V e. NN )
11		nn0nnaddcl 10603	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - 1 ) e. NN0 /\ V e. NN ) -> ( ( A - 1 ) + V ) e. NN )
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + V ) e. NN )
13	4, 12	nnmulcld 10361	. . . . 5 |- ( ph -> ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. NN )
14	3, 13	nnaddcld 10360	. . . 4 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. NN )
15	14	nnred 10329	. . 3 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. RR )
16	7, 10	nnaddcld 10360	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + V ) e. NN )
17	4, 16	nnmulcld 10361	. . . 4 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) e. NN )
18	17	nnred 10329	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) e. RR )
19		2nn 10471	. . . . . 6 |- 2 e. NN
20		nnmulcl 10337	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ V e. NN ) -> ( 2 x. V ) e. NN )
21	19, 10, 20	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. V ) e. NN )
22	4, 21	nnmulcld 10361	. . . 4 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. NN )
23	22	nnred 10329	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. RR )
24		elfzle2 11447	. . . . . 6 |- ( B e. ( 1 ... W ) -> B <_ W )
25	1, 24	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> B <_ W )
26		nnre 10321	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. RR )
27		nnre 10321	. . . . . . 7 |- ( W e. NN -> W e. RR )
28		nnre 10321	. . . . . . 7 |- ( ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. NN -> ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. RR )
29		leadd1 9799	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ W e. RR /\ ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. RR ) -> ( B <_ W <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) ) )
30	26, 27, 28, 29	syl3an 1260	. . . . . 6 |- ( ( B e. NN /\ W e. NN /\ ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. NN ) -> ( B <_ W <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) ) )
31	3, 4, 13, 30	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ph -> ( B <_ W <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) ) )
32	25, 31	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
33	4	nncnd 10330	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. CC )
34		ax-1cn 9332	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
36	12	nncnd 10330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + V ) e. CC )
37	33, 35, 36	adddid 9402	. . . . 5 |- ( ph -> ( W x. ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) ) = ( ( W x. 1 ) + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
38	9	nn0cnd 10630	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. CC )
39	10	nncnd 10330	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. CC )
40	35, 38, 39	addassd 9400	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) + V ) = ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) )
41	7	nncnd 10330	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
42		pncan3 9610	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
43	34, 41, 42	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
44	43	oveq1d 6101	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) + V ) = ( A + V ) )
45	40, 44	eqtr3d 2472	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) = ( A + V ) )
46	45	oveq2d 6102	. . . . 5 |- ( ph -> ( W x. ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) ) = ( W x. ( A + V ) ) )
47	33	mulid1d 9395	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W x. 1 ) = W )
48	47	oveq1d 6101	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( W x. 1 ) + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) = ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
49	37, 46, 48	3eqtr3d 2478	. . . 4 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) = ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
50	32, 49	breqtrrd 4313	. . 3 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( A + V ) ) )
51	7	nnred 10329	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
52	10	nnred 10329	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. RR )
53		elfzle2 11447	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 1 ... V ) -> A <_ V )
54	5, 53	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ V )
55	51, 52, 52, 54	leadd1dd 9945	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + V ) <_ ( V + V ) )
56	39	2timesd 10559	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. V ) = ( V + V ) )
57	55, 56	breqtrrd 4313	. . . 4 |- ( ph -> ( A + V ) <_ ( 2 x. V ) )
58	16	nnred 10329	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + V ) e. RR )
59	21	nnred 10329	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. V ) e. RR )
60	4	nnred 10329	. . . . 5 |- ( ph -> W e. RR )
61	4	nngt0d 10357	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < W )
62		lemul2 10174	. . . . 5 |- ( ( ( A + V ) e. RR /\ ( 2 x. V ) e. RR /\ ( W e. RR /\ 0 < W ) ) -> ( ( A + V ) <_ ( 2 x. V ) <-> ( W x. ( A + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
63	58, 59, 60, 61, 62	syl112anc 1222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + V ) <_ ( 2 x. V ) <-> ( W x. ( A + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
64	57, 63	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) )
65	15, 18, 23, 50, 64	letrd 9520	. 2 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) )
66		nnuz 10888	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
67	14, 66	syl6eleq 2528	. . 3 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
68	22	nnzd 10738	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ZZ )
69		elfz5 11437	. . 3 |- ( ( ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ZZ ) -> ( ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
70	67, 68, 69	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
71	65, 70	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1369   e. wcel 1756   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430

This theorem is referenced by:  vdwlem4  14037  vdwlem6  14039