Theorem vdwlem3 14356

Description: Lemma for vdw 14367. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	|- ( ph -> V e. NN )
vdwlem3.w	|- ( ph -> W e. NN )
vdwlem3.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... V ) )
vdwlem3.b	|- ( ph -> B e. ( 1 ... W ) )

Assertion

Ref	Expression
vdwlem3	|- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )

Proof of Theorem vdwlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem3.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( 1 ... W ) )
2		elfznn 11710	. . . . . 6 |- ( B e. ( 1 ... W ) -> B e. NN )
3	1, 2	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> B e. NN )
4		vdwlem3.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. NN )
5		vdwlem3.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ( 1 ... V ) )
6		elfznn 11710	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 1 ... V ) -> A e. NN )
7	5, 6	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. NN )
8		nnm1nn0 10833	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( A - 1 ) e. NN0 )
9	7, 8	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. NN0 )
10		vdwlem3.v	. . . . . . 7 |- ( ph -> V e. NN )
11		nn0nnaddcl 10823	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - 1 ) e. NN0 /\ V e. NN ) -> ( ( A - 1 ) + V ) e. NN )
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + V ) e. NN )
13	4, 12	nnmulcld 10579	. . . . 5 |- ( ph -> ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. NN )
14	3, 13	nnaddcld 10578	. . . 4 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. NN )
15	14	nnred 10547	. . 3 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. RR )
16	7, 10	nnaddcld 10578	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + V ) e. NN )
17	4, 16	nnmulcld 10579	. . . 4 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) e. NN )
18	17	nnred 10547	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) e. RR )
19		2nn 10689	. . . . . 6 |- 2 e. NN
20		nnmulcl 10555	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ V e. NN ) -> ( 2 x. V ) e. NN )
21	19, 10, 20	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. V ) e. NN )
22	4, 21	nnmulcld 10579	. . . 4 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. NN )
23	22	nnred 10547	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. RR )
24		elfzle2 11686	. . . . . 6 |- ( B e. ( 1 ... W ) -> B <_ W )
25	1, 24	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> B <_ W )
26		nnre 10539	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. RR )
27		nnre 10539	. . . . . . 7 |- ( W e. NN -> W e. RR )
28		nnre 10539	. . . . . . 7 |- ( ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. NN -> ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. RR )
29		leadd1 10016	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ W e. RR /\ ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. RR ) -> ( B <_ W <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) ) )
30	26, 27, 28, 29	syl3an 1270	. . . . . 6 |- ( ( B e. NN /\ W e. NN /\ ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. NN ) -> ( B <_ W <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) ) )
31	3, 4, 13, 30	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( B <_ W <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) ) )
32	25, 31	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
33	4	nncnd 10548	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. CC )
34		ax-1cn 9546	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
35	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
36	12	nncnd 10548	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + V ) e. CC )
37	33, 35, 36	adddid 9616	. . . . 5 |- ( ph -> ( W x. ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) ) = ( ( W x. 1 ) + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
38	9	nn0cnd 10850	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. CC )
39	10	nncnd 10548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. CC )
40	35, 38, 39	addassd 9614	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) + V ) = ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) )
41	7	nncnd 10548	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
42		pncan3 9824	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
43	34, 41, 42	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
44	43	oveq1d 6297	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) + V ) = ( A + V ) )
45	40, 44	eqtr3d 2510	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) = ( A + V ) )
46	45	oveq2d 6298	. . . . 5 |- ( ph -> ( W x. ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) ) = ( W x. ( A + V ) ) )
47	33	mulid1d 9609	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W x. 1 ) = W )
48	47	oveq1d 6297	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( W x. 1 ) + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) = ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
49	37, 46, 48	3eqtr3d 2516	. . . 4 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) = ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
50	32, 49	breqtrrd 4473	. . 3 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( A + V ) ) )
51	7	nnred 10547	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
52	10	nnred 10547	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. RR )
53		elfzle2 11686	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 1 ... V ) -> A <_ V )
54	5, 53	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ V )
55	51, 52, 52, 54	leadd1dd 10162	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + V ) <_ ( V + V ) )
56	39	2timesd 10777	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. V ) = ( V + V ) )
57	55, 56	breqtrrd 4473	. . . 4 |- ( ph -> ( A + V ) <_ ( 2 x. V ) )
58	16	nnred 10547	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + V ) e. RR )
59	21	nnred 10547	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. V ) e. RR )
60	4	nnred 10547	. . . . 5 |- ( ph -> W e. RR )
61	4	nngt0d 10575	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < W )
62		lemul2 10391	. . . . 5 |- ( ( ( A + V ) e. RR /\ ( 2 x. V ) e. RR /\ ( W e. RR /\ 0 < W ) ) -> ( ( A + V ) <_ ( 2 x. V ) <-> ( W x. ( A + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
63	58, 59, 60, 61, 62	syl112anc 1232	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + V ) <_ ( 2 x. V ) <-> ( W x. ( A + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
64	57, 63	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) )
65	15, 18, 23, 50, 64	letrd 9734	. 2 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) )
66		nnuz 11113	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
67	14, 66	syl6eleq 2565	. . 3 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
68	22	nnzd 10961	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ZZ )
69		elfz5 11676	. . 3 |- ( ( ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ZZ ) -> ( ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
70	67, 68, 69	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
71	65, 70	mpbird 232	1 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   = wceq 1379   e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   < clt 9624   <_ cle 9625   - cmin 9801   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669

This theorem is referenced by:  vdwlem4  14357  vdwlem6  14359