Theorem vdwlem3 14712

Description: Lemma for vdw 14723. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
vdwlem3.v	|- ( ph -> V e. NN )
vdwlem3.w	|- ( ph -> W e. NN )
vdwlem3.a	|- ( ph -> A e. ( 1 ... V ) )
vdwlem3.b	|- ( ph -> B e. ( 1 ... W ) )

Assertion

Ref	Expression
vdwlem3	|- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )

Proof of Theorem vdwlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdwlem3.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. ( 1 ... W ) )
2		elfznn 11770	. . . . . 6 |- ( B e. ( 1 ... W ) -> B e. NN )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> B e. NN )
4		vdwlem3.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. NN )
5		vdwlem3.a	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. ( 1 ... V ) )
6		elfznn 11770	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 1 ... V ) -> A e. NN )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. NN )
8		nnm1nn0 10880	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( A - 1 ) e. NN0 )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. NN0 )
10		vdwlem3.v	. . . . . . 7 |- ( ph -> V e. NN )
11		nn0nnaddcl 10870	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - 1 ) e. NN0 /\ V e. NN ) -> ( ( A - 1 ) + V ) e. NN )
12	9, 10, 11	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + V ) e. NN )
13	4, 12	nnmulcld 10626	. . . . 5 |- ( ph -> ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. NN )
14	3, 13	nnaddcld 10625	. . . 4 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. NN )
15	14	nnred 10593	. . 3 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. RR )
16	7, 10	nnaddcld 10625	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + V ) e. NN )
17	4, 16	nnmulcld 10626	. . . 4 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) e. NN )
18	17	nnred 10593	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) e. RR )
19		2nn 10736	. . . . . 6 |- 2 e. NN
20		nnmulcl 10601	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ V e. NN ) -> ( 2 x. V ) e. NN )
21	19, 10, 20	sylancr 663	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. V ) e. NN )
22	4, 21	nnmulcld 10626	. . . 4 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. NN )
23	22	nnred 10593	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. RR )
24		elfzle2 11746	. . . . . 6 |- ( B e. ( 1 ... W ) -> B <_ W )
25	1, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> B <_ W )
26		nnre 10585	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. RR )
27		nnre 10585	. . . . . . 7 |- ( W e. NN -> W e. RR )
28		nnre 10585	. . . . . . 7 |- ( ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. NN -> ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. RR )
29		leadd1 10063	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ W e. RR /\ ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. RR ) -> ( B <_ W <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) ) )
30	26, 27, 28, 29	syl3an 1274	. . . . . 6 |- ( ( B e. NN /\ W e. NN /\ ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) e. NN ) -> ( B <_ W <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) ) )
31	3, 4, 13, 30	syl3anc 1232	. . . . 5 |- ( ph -> ( B <_ W <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) ) )
32	25, 31	mpbid 212	. . . 4 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
33	4	nncnd 10594	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. CC )
34		1cnd 9644	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
35	12	nncnd 10594	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) + V ) e. CC )
36	33, 34, 35	adddid 9652	. . . . 5 |- ( ph -> ( W x. ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) ) = ( ( W x. 1 ) + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
37	9	nn0cnd 10897	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. CC )
38	10	nncnd 10594	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. CC )
39	34, 37, 38	addassd 9650	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) + V ) = ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) )
40		ax-1cn 9582	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
41	7	nncnd 10594	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
42		pncan3 9866	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
43	40, 41, 42	sylancr 663	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
44	43	oveq1d 6295	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) + V ) = ( A + V ) )
45	39, 44	eqtr3d 2447	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) = ( A + V ) )
46	45	oveq2d 6296	. . . . 5 |- ( ph -> ( W x. ( 1 + ( ( A - 1 ) + V ) ) ) = ( W x. ( A + V ) ) )
47	33	mulid1d 9645	. . . . . 6 |- ( ph -> ( W x. 1 ) = W )
48	47	oveq1d 6295	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( W x. 1 ) + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) = ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
49	36, 46, 48	3eqtr3d 2453	. . . 4 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) = ( W + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) )
50	32, 49	breqtrrd 4423	. . 3 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( A + V ) ) )
51	7	nnred 10593	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
52	10	nnred 10593	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. RR )
53		elfzle2 11746	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 1 ... V ) -> A <_ V )
54	5, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ V )
55	51, 52, 52, 54	leadd1dd 10208	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + V ) <_ ( V + V ) )
56	38	2timesd 10824	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. V ) = ( V + V ) )
57	55, 56	breqtrrd 4423	. . . 4 |- ( ph -> ( A + V ) <_ ( 2 x. V ) )
58	16	nnred 10593	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + V ) e. RR )
59	21	nnred 10593	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. V ) e. RR )
60	4	nnred 10593	. . . . 5 |- ( ph -> W e. RR )
61	4	nngt0d 10622	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < W )
62		lemul2 10438	. . . . 5 |- ( ( ( A + V ) e. RR /\ ( 2 x. V ) e. RR /\ ( W e. RR /\ 0 < W ) ) -> ( ( A + V ) <_ ( 2 x. V ) <-> ( W x. ( A + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
63	58, 59, 60, 61, 62	syl112anc 1236	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + V ) <_ ( 2 x. V ) <-> ( W x. ( A + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
64	57, 63	mpbid 212	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( A + V ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) )
65	15, 18, 23, 50, 64	letrd 9775	. 2 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) )
66		nnuz 11164	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
67	14, 66	syl6eleq 2502	. . 3 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
68	22	nnzd 11009	. . 3 |- ( ph -> ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ZZ )
69		elfz5 11736	. . 3 |- ( ( ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( W x. ( 2 x. V ) ) e. ZZ ) -> ( ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
70	67, 68, 69	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) <-> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) <_ ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )
71	65, 70	mpbird 234	1 |- ( ph -> ( B + ( W x. ( ( A - 1 ) + V ) ) ) e. ( 1 ... ( W x. ( 2 x. V ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 186   = wceq 1407   e. wcel 1844   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525   + caddc 9527   x. cmul 9529   < clt 9660   <_ cle 9661   - cmin 9843   NNcn 10578   2c2 10628   NN0cn0 10838   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129   ...cfz 11728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729

This theorem is referenced by:  vdwlem4  14713  vdwlem6  14715