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Theorem vdwlem2 14039
Description: Lemma for vdw 14051. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
vdwlem2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
vdwlem2.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> R )
vdwlem2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) ) )
vdwlem2.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( F `  (
x  +  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  ->  K MonoAP  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, K    x, M    ph, x    x, G    x, N    x, R    x, W

Proof of Theorem vdwlem2
Dummy variables  a 
b  c  d  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN )
2 vdwlem2.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 nnaddcl 10340 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( a  +  N
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anr 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( a  +  N )  e.  NN )
5 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  a  e.  NN )
65nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  a  e.  CC )
72ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
87nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
9 elfznn0 11477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
109adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  m  e.  CC )
12 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  d  e.  NN )
1312nncnd 10334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  d  e.  CC )
1411, 13mulcld 9402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
m  x.  d )  e.  CC )
156, 8, 14add32d 9588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) )  =  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )
16 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } ) )
17 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) )
18 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  d )  =  ( m  x.  d ) )
1918oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
a  +  ( n  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d
) ) )
2019eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) )  <->  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) ) ) )
2120rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  /\  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
2217, 21mpan2 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
2322adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
24 vdwlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2524ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
2625adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
27 vdwapval 14030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP `  K ) d )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) ) )
2826, 5, 12, 27syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP `  K ) d )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) ) )
2923, 28mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP
`  K ) d ) )
3016, 29sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } ) )
31 elfznn 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... W )  ->  x  e.  NN )
32 nnaddcl 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  +  N
)  e.  NN )
3331, 2, 32syl2anr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  NN )
34 nnuz 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
36 vdwlem2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) ) )
3736adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N ) ) )
38 elfzuz3 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... W )  ->  W  e.  ( ZZ>= `  x )
)
392nnzd 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
40 eluzadd 10885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( W  e.  ( ZZ>= `  x )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
4138, 39, 40syl2anr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
42 uztrn 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) )  /\  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )  ->  M  e.  (
ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
4337, 41, 42syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
44 elfzuzb 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
x  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  /\  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) ) )
4535, 43, 44sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
46 vdwlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> R )
4746ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( F `  ( x  +  N
) )  e.  R
)
4845, 47syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( F `  ( x  +  N ) )  e.  R )
49 vdwlem2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( F `  (
x  +  N ) ) )
5048, 49fmptd 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... W ) --> R )
51 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G : ( 1 ... W ) --> R  ->  G  Fn  ( 1 ... W ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 1 ... W ) )
5352ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  G  Fn  ( 1 ... W
) )
54 fniniseg 5821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  ( 1 ... W )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
5630, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
5756simpld 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W ) )
5845ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... W ) ( x  +  N
)  e.  ( 1 ... M ) )
5958ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... W
) ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
60 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  +  N )  =  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )
6160eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( x  +  N
)  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M
) ) )
6261rspcv 3066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... W ) ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M ) ) )
6357, 59, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
6415, 63eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M ) )
6515fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
6660fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  ( F `  ( x  +  N ) )  =  ( F `  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) ) )
67 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )  e. 
_V
6866, 49, 67fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
6957, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
7056simprd 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c )
7165, 69, 703eqtr2d 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c )
7264, 71jca 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
73 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M
) ) )
74 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) ) )
7574eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( F `  x
)  =  c  <->  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
7673, 75anbi12d 705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c )  <->  ( ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
7772, 76syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  -> 
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
7877rexlimdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
794adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
a  +  N )  e.  NN )
80 simprl 750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  d  e.  NN )
81 vdwapval 14030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( a  +  N
)  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( ( a  +  N
) (AP `  K
) d )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) ) ) )
8225, 79, 80, 81syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) ) ) )
83 ffn 5556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... M ) --> R  ->  F  Fn  ( 1 ... M ) )
8446, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... M ) )
8584ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... M
) )
86 fniniseg 5821 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  ( 1 ... M )  ->  (
x  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
8878, 82, 873imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d )  ->  x  e.  ( `' F " { c } ) ) )
8988ssrdv 3359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
( a  +  N
) (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
9089expr 612 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  d  e.  NN )  ->  (
( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } )  ->  ( ( a  +  N ) (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9190reximdva 2826 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. d  e.  NN  ( ( a  +  N ) (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
92 oveq1 6097 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  (
b (AP `  K
) d )  =  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) )
9392sseq1d 3380 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  (
( b (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } )  <-> 
( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } ) ) )
9493rexbidv 2734 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  ( E. d  e.  NN  ( b (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } )  <->  E. d  e.  NN  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } ) ) )
9594rspcev 3070 . . . . 5  |-  ( ( ( a  +  N
)  e.  NN  /\  E. d  e.  NN  (
( a  +  N
) (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
964, 91, 95syl6an 542 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  ( b (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9796rexlimdva 2839 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  ( b (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9897eximdv 1681 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. c E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
99 ovex 6115 . . 3  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
10099, 24, 50vdwmc 14035 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  <->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
101 ovex 6115 . . 3  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
102101, 24, 46vdwmc 14035 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  <->  E. c E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
10398, 100, 1023imtr4d 268 1  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  ->  K MonoAP  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   "cima 4839    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433  APcvdwa 14022   MonoAP cvdwm 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-vdwap 14025  df-vdwmc 14026
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