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Theorem vdwlem2 14064
Description: Lemma for vdw 14076. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdwlem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
vdwlem2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  NN )
vdwlem2.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
vdwlem2.f  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> R )
vdwlem2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) ) )
vdwlem2.g  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( F `  (
x  +  N ) ) )
Assertion
Ref Expression
vdwlem2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  ->  K MonoAP  F ) )
Distinct variable groups:    x, F    x, K    x, M    ph, x    x, G    x, N    x, R    x, W

Proof of Theorem vdwlem2
Dummy variables  a 
b  c  d  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  NN )
2 vdwlem2.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 nnaddcl 10365 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( a  +  N
)  e.  NN )
41, 2, 3syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( a  +  N )  e.  NN )
5 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  a  e.  NN )
65nncnd 10359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  a  e.  CC )
72ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
87nncnd 10359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
9 elfznn0 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  m  e.  NN0 )
109adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  m  e.  CC )
12 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  d  e.  NN )
1312nncnd 10359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  d  e.  CC )
1411, 13mulcld 9427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
m  x.  d )  e.  CC )
156, 8, 14add32d 9613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) )  =  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )
16 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } ) )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) )
18 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  =  m  ->  (
n  x.  d )  =  ( m  x.  d ) )
1918oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  m  ->  (
a  +  ( n  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d
) ) )
2019eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  m  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) )  <->  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) ) ) )
2120rspcev 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) )  /\  ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d ) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
2217, 21mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) )
24 vdwlem2.k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
27 vdwapval 14055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  a  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP `  K ) d )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) ) )
2826, 5, 12, 27syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP `  K ) d )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( a  +  ( m  x.  d
) )  =  ( a  +  ( n  x.  d ) ) ) )
2923, 28mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( a (AP
`  K ) d ) )
3016, 29sseldd 3378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } ) )
31 elfznn 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... W )  ->  x  e.  NN )
32 nnaddcl 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( x  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( x  +  N
)  e.  NN )
3331, 2, 32syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  NN )
34 nnuz 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3533, 34syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
36 vdwlem2.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N ) ) )
38 elfzuz3 11471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  ( 1 ... W )  ->  W  e.  ( ZZ>= `  x )
)
392nnzd 10767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
40 eluzadd 10910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( W  e.  ( ZZ>= `  x )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
4138, 39, 40syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
42 uztrn 10898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= `  ( W  +  N
) )  /\  ( W  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )  ->  M  e.  (
ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
4337, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) )
44 elfzuzb 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
x  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  /\  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  N ) ) ) )
4535, 43, 44sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  (
x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
46 vdwlem2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... M ) --> R )
4746ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( F `  ( x  +  N
) )  e.  R
)
4845, 47syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 ... W
) )  ->  ( F `  ( x  +  N ) )  e.  R )
49 vdwlem2.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  G  =  ( x  e.  ( 1 ... W ) 
|->  ( F `  (
x  +  N ) ) )
5048, 49fmptd 5888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G : ( 1 ... W ) --> R )
51 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G : ( 1 ... W ) --> R  ->  G  Fn  ( 1 ... W ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  Fn  ( 1 ... W ) )
5352ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  G  Fn  ( 1 ... W
) )
54 fniniseg 5845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  ( 1 ... W )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( `' G " { c } )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
5630, 55mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  /\  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
5756simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W ) )
5845ralrimiva 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( 1 ... W ) ( x  +  N
)  e.  ( 1 ... M ) )
5958ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  A. x  e.  ( 1 ... W
) ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
60 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  +  N )  =  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )
6160eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( x  +  N
)  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M
) ) )
6261rspcv 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  ->  ( A. x  e.  (
1 ... W ) ( x  +  N )  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M ) ) )
6357, 59, 62sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N )  e.  ( 1 ... M ) )
6415, 63eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M ) )
6515fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
6660fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( a  +  ( m  x.  d
) )  ->  ( F `  ( x  +  N ) )  =  ( F `  (
( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) ) )
67 fvex 5722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  +  N ) )  e. 
_V
6866, 49, 67fvmpt 5795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... W )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
6957, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  ( F `  ( ( a  +  ( m  x.  d
) )  +  N
) ) )
7056simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( G `  ( a  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c )
7165, 69, 703eqtr2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c )
7264, 71jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
73 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  <->  ( (
a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M
) ) )
74 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) ) )
7574eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( F `  x
)  =  c  <->  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) )
7673, 75anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c )  <->  ( ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) ) )  =  c ) ) )
7772, 76syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  ( d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  /\  m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d ) )  -> 
( x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
7877rexlimdva 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  ( E. m  e.  (
0 ... ( K  - 
1 ) ) x  =  ( ( a  +  N )  +  ( m  x.  d
) )  ->  (
x  e.  ( 1 ... M )  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
794adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
a  +  N )  e.  NN )
80 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  d  e.  NN )
81 vdwapval 14055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  ( a  +  N
)  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( ( a  +  N
) (AP `  K
) d )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) ) ) )
8225, 79, 80, 81syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d )  <->  E. m  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) x  =  ( ( a  +  N
)  +  ( m  x.  d ) ) ) )
83 ffn 5580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : ( 1 ... M ) --> R  ->  F  Fn  ( 1 ... M ) )
8446, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( 1 ... M ) )
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  F  Fn  ( 1 ... M
) )
86 fniniseg 5845 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  ( 1 ... M )  ->  (
x  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( `' F " { c } )  <->  ( x  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( F `  x )  =  c ) ) )
8878, 82, 873imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
x  e.  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d )  ->  x  e.  ( `' F " { c } ) ) )
8988ssrdv 3383 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  (
d  e.  NN  /\  ( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } ) ) )  ->  (
( a  +  N
) (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
9089expr 615 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  NN )  /\  d  e.  NN )  ->  (
( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' G " { c } )  ->  ( ( a  +  N ) (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9190reximdva 2849 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. d  e.  NN  ( ( a  +  N ) (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
92 oveq1 6119 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  (
b (AP `  K
) d )  =  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) )
9392sseq1d 3404 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  (
( b (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } )  <-> 
( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } ) ) )
9493rexbidv 2757 . . . . . 6  |-  ( b  =  ( a  +  N )  ->  ( E. d  e.  NN  ( b (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } )  <->  E. d  e.  NN  ( ( a  +  N ) (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' F " { c } ) ) )
9594rspcev 3094 . . . . 5  |-  ( ( ( a  +  N
)  e.  NN  /\  E. d  e.  NN  (
( a  +  N
) (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) )
964, 91, 95syl6an 545 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  NN )  ->  ( E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  ( b (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9796rexlimdva 2862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  ( b (AP
`  K ) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
9897eximdv 1676 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } )  ->  E. c E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
99 ovex 6137 . . 3  |-  ( 1 ... W )  e. 
_V
10099, 24, 50vdwmc 14060 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  <->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
101 ovex 6137 . . 3  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
102101, 24, 46vdwmc 14060 . 2  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  F  <->  E. c E. b  e.  NN  E. d  e.  NN  (
b (AP `  K
) d )  C_  ( `' F " { c } ) ) )
10398, 100, 1023imtr4d 268 1  |-  ( ph  ->  ( K MonoAP  G  ->  K MonoAP  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   {csn 3898   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   "cima 4864    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    - cmin 9616   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   ...cfz 11458  APcvdwa 14047   MonoAP cvdwm 14048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-vdwap 14050  df-vdwmc 14051
This theorem is referenced by:  vdwlem9  14071
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