Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem13 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vdwlem13 14943
 Description: Lemma for vdw 14944. Main induction on ; , base cases. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r
vdw.k
Assertion
Ref Expression
vdwlem13 MonoAP
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,

Proof of Theorem vdwlem13
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 11235 . . 3
2 vdw.r . . . . . . . . . 10
3 ovex 6318 . . . . . . . . . 10
4 elmapg 7485 . . . . . . . . . 10
52, 3, 4sylancl 668 . . . . . . . . 9
65biimpa 487 . . . . . . . 8
7 1nn 10620 . . . . . . . . . 10
8 vdwap1 14927 . . . . . . . . . 10 AP
97, 7, 8mp2an 678 . . . . . . . . 9 AP
10 1z 10967 . . . . . . . . . . . 12
11 elfz3 11809 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11mp1i 13 . . . . . . . . . . 11
13 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11
14 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . 13
1514adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
16 fniniseg 6003 . . . . . . . . . . . 12
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11
1812, 13, 17mpbir2and 933 . . . . . . . . . 10
1918snssd 4117 . . . . . . . . 9
209, 19syl5eqss 3476 . . . . . . . 8 AP
216, 20syldan 473 . . . . . . 7 AP
2221ralrimiva 2802 . . . . . 6 AP
23 fveq2 5865 . . . . . . . . 9 AP AP
2423oveqd 6307 . . . . . . . 8 AP AP
2524sseq1d 3459 . . . . . . 7 AP AP
2625ralbidv 2827 . . . . . 6 AP AP
2722, 26syl5ibrcom 226 . . . . 5 AP
28 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12 AP AP
2928sseq1d 3459 . . . . . . . . . . 11 AP AP
30 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12 AP AP
3130sseq1d 3459 . . . . . . . . . . 11 AP AP
3229, 31rspc2ev 3161 . . . . . . . . . 10 AP AP
337, 7, 32mp3an12 1354 . . . . . . . . 9 AP AP
34 fvex 5875 . . . . . . . . . 10
35 sneq 3978 . . . . . . . . . . . . 13
3635imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . 12
3736sseq2d 3460 . . . . . . . . . . 11 AP AP
38372rexbidv 2908 . . . . . . . . . 10 AP AP
3934, 38spcev 3141 . . . . . . . . 9 AP AP
4033, 39syl 17 . . . . . . . 8 AP AP
41 vdw.k . . . . . . . . . 10
4241adantr 467 . . . . . . . . 9
433, 42, 6vdwmc 14928 . . . . . . . 8 MonoAP AP
4440, 43syl5ibr 225 . . . . . . 7 AP MonoAP
4544ralimdva 2796 . . . . . 6 AP MonoAP
46 oveq2 6298 . . . . . . . . . 10
4746oveq2d 6306 . . . . . . . . 9
4847raleqdv 2993 . . . . . . . 8 MonoAP MonoAP
4948rspcev 3150 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
507, 49mpan 676 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
5145, 50syl6 34 . . . . 5 AP MonoAP
5227, 51syld 45 . . . 4 MonoAP
53 breq1 4405 . . . . . . . 8 MonoAP MonoAP
5453rexralbidv 2909 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
5554ralbidv 2827 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
56 breq1 4405 . . . . . . . 8 MonoAP MonoAP
5756rexralbidv 2909 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
5857ralbidv 2827 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
59 breq1 4405 . . . . . . . 8 MonoAP MonoAP
6059rexralbidv 2909 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
6160ralbidv 2827 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
62 breq1 4405 . . . . . . . 8 MonoAP MonoAP
6362rexralbidv 2909 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
6463ralbidv 2827 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
65 hashcl 12538 . . . . . . . . . 10
66 nn0p1nn 10909 . . . . . . . . . 10
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9
68 simpll 760 . . . . . . . . . . . 12 MonoAP
69 simplr 762 . . . . . . . . . . . . 13 MonoAP
70 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14
71 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71elmap 7500 . . . . . . . . . . . . 13
7369, 72sylib 200 . . . . . . . . . . . 12 MonoAP
74 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12 MonoAP MonoAP
7568, 73, 74vdwlem12 14942 . . . . . . . . . . 11 MonoAP
76 iman 426 . . . . . . . . . . 11 MonoAP MonoAP
7775, 76mpbir 213 . . . . . . . . . 10 MonoAP
7877ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9 MonoAP
79 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . 12
8079oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11
8180raleqdv 2993 . . . . . . . . . 10 MonoAP MonoAP
8281rspcev 3150 . . . . . . . . 9 MonoAP MonoAP
8367, 78, 82syl2anc 667 . . . . . . . 8 MonoAP
8483rgen 2747 . . . . . . 7 MonoAP
8584a1i 11 . . . . . 6 MonoAP
86 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11
8786raleqdv 2993 . . . . . . . . . 10 MonoAP MonoAP
8887rexbidv 2901 . . . . . . . . 9 MonoAP MonoAP
89 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . 13
9089oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . 12
9190raleqdv 2993 . . . . . . . . . . 11 MonoAP MonoAP
92 breq2 4406 . . . . . . . . . . . 12 MonoAP MonoAP
9392cbvralv 3019 . . . . . . . . . . 11 MonoAP MonoAP
9491, 93syl6bb 265 . . . . . . . . . 10 MonoAP MonoAP
9594cbvrexv 3020 . . . . . . . . 9 MonoAP MonoAP
9688, 95syl6bb 265 . . . . . . . 8 MonoAP MonoAP
9796cbvralv 3019 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
98 simplr 762 . . . . . . . . . 10 MonoAP
99 simpll 760 . . . . . . . . . 10 MonoAP
100 simpr 463 . . . . . . . . . . 11 MonoAP MonoAP
10195ralbii 2819 . . . . . . . . . . 11 MonoAP MonoAP
102100, 101sylibr 216 . . . . . . . . . 10 MonoAP MonoAP
10398, 99, 102vdwlem11 14941 . . . . . . . . 9 MonoAP MonoAP
104103ex 436 . . . . . . . 8 MonoAP MonoAP
105104ralrimdva 2806 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
10697, 105syl5bi 221 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
10755, 58, 61, 64, 85, 106uzind4 11217 . . . . 5 MonoAP
108 oveq1 6297 . . . . . . . 8
109108raleqdv 2993 . . . . . . 7 MonoAP MonoAP
110109rexbidv 2901 . . . . . 6 MonoAP MonoAP
111110rspcv 3146 . . . . 5 MonoAP MonoAP
1122, 107, 111syl2im 39 . . . 4 MonoAP
11352, 112jaod 382 . . 3 MonoAP
1141, 113syl5bi 221 . 2 MonoAP
115 fveq2 5865 . . . . . . 7 AP AP
116115oveqd 6307 . . . . . 6 AP AP
117 vdwap0 14926 . . . . . . 7 AP
1187, 7, 117mp2an 678 . . . . . 6 AP
119116, 118syl6eq 2501 . . . . 5 AP
120 0ss 3763 . . . . 5
121119, 120syl6eqss 3482 . . . 4 AP
122121ralrimivw 2803 . . 3 AP
123122, 51syl5 33 . 2 MonoAP
124 elnn0 10871 . . 3
12541, 124sylib 200 . 2
126114, 123, 125mpjaod 383 1 MonoAP
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1444  wex 1663   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738  cvv 3045   wss 3404  c0 3731  csn 3968   class class class wbr 4402  ccnv 4833  cima 4837   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472  cfn 7569  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542  cn 10609  c2 10659  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11784  chash 12515  APcvdwa 14915   MonoAP cvdwm 14916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-hash 12516  df-vdwap 14918  df-vdwmc 14919  df-vdwpc 14920 This theorem is referenced by:  vdw  14944
 Copyright terms: Public domain W3C validator