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Theorem vdwlem13 14059
Description: Lemma for vdw 14060. Main induction on  K;  K  = 
0,  K  =  1 base cases. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdw.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
vdwlem13  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f )
Distinct variable groups:    ph, n, f   
f, K, n    R, f, n    ph, f

Proof of Theorem vdwlem13
Dummy variables  a 
c  d  g  k  m  x  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 10936 . . 3  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  =  1  \/  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2 vdw.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
3 ovex 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 1 )  e. 
_V
4 elmapg 7232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... 1
)  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) )  <-> 
f : ( 1 ... 1 ) --> R ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) )  <-> 
f : ( 1 ... 1 ) --> R ) )
65biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  f :
( 1 ... 1
) --> R )
7 1nn 10338 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
8 vdwap1 14043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( 1 (AP ` 
1 ) 1 )  =  { 1 } )
97, 7, 8mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 (AP `  1 ) 1 )  =  {
1 }
10 1z 10681 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
11 elfz3 11466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ( 1 ... 1
) )
1210, 11mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
1  e.  ( 1 ... 1 ) )
13 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
( f `  1
)  =  ( f `
 1 ) )
14 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... 1 ) --> R  -> 
f  Fn  ( 1 ... 1 ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
f  Fn  ( 1 ... 1 ) )
16 fniniseg 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( 1 ... 1 )  ->  (
1  e.  ( `' f " { ( f `  1 ) } )  <->  ( 1  e.  ( 1 ... 1 )  /\  (
f `  1 )  =  ( f ` 
1 ) ) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
( 1  e.  ( `' f " {
( f `  1
) } )  <->  ( 1  e.  ( 1 ... 1 )  /\  (
f `  1 )  =  ( f ` 
1 ) ) ) )
1812, 13, 17mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
1  e.  ( `' f " { ( f `  1 ) } ) )
1918snssd 4023 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  ->  { 1 }  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
209, 19syl5eqss 3405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
( 1 (AP ` 
1 ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) )
216, 20syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  ( 1 (AP `  1 ) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
2221ralrimiva 2804 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` 
1 ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) )
23 fveq2 5696 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  1  ->  (AP `  K )  =  (AP
`  1 ) )
2423oveqd 6113 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  1  ->  (
1 (AP `  K
) 1 )  =  ( 1 (AP ` 
1 ) 1 ) )
2524sseq1d 3388 . . . . . . 7  |-  ( K  =  1  ->  (
( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  <->  ( 1 (AP
`  1 ) 1 )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
2625ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( K  =  1  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` 
1 ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) ) )
2722, 26syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  =  1  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) ) )
28 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
a (AP `  K
) d )  =  ( 1 (AP `  K ) d ) )
2928sseq1d 3388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  (
( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  <->  ( 1 (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
30 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  1  ->  (
1 (AP `  K
) d )  =  ( 1 (AP `  K ) 1 ) )
3130sseq1d 3388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  1  ->  (
( 1 (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  <->  ( 1 (AP
`  K ) 1 )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
3229, 31rspc2ev 3086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  1  e.  NN  /\  (
1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
337, 7, 32mp3an12 1304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
34 fvex 5706 . . . . . . . . . 10  |-  ( f `
 1 )  e. 
_V
35 sneq 3892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( f ` 
1 )  ->  { c }  =  { ( f `  1 ) } )
3635imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( f ` 
1 )  ->  ( `' f " {
c } )  =  ( `' f " { ( f ` 
1 ) } ) )
3736sseq2d 3389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( f ` 
1 )  ->  (
( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' f
" { c } )  <->  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
38372rexbidv 2763 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( f ` 
1 )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
3934, 38spcev 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  ->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { c } ) )
4033, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  ->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { c } ) )
41 vdw.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
433, 42, 6vdwmc 14044 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  ( K MonoAP  f  <->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { c } ) ) )
4440, 43syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  ( (
1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  ->  K MonoAP  f ) )
4544ralimdva 2799 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) K MonoAP  f ) )
46 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
4746oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )
4847raleqdv 2928 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) K MonoAP  f ) )
4948rspcev 3078 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) K MonoAP 
f )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f )
507, 49mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1
) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f )
5145, 50syl6 33 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
5227, 51syld 44 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  =  1  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
53 breq1 4300 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  2  ->  (
x MonoAP  f  <->  2 MonoAP  f )
)
5453rexralbidv 2764 . . . . . . 7  |-  ( x  =  2  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) x MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP 
f ) )
5554ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) x MonoAP  f  <->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) 2 MonoAP  f ) )
56 breq1 4300 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  (
x MonoAP  f  <->  k MonoAP  f )
)
5756rexralbidv 2764 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) x MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP 
f ) )
5857ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) x MonoAP  f  <->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f ) )
59 breq1 4300 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x MonoAP  f  <->  ( k  +  1 ) MonoAP  f ) )
6059rexralbidv 2764 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) x MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP 
f ) )
6160ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) x MonoAP  f  <->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP  f ) )
62 breq1 4300 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
x MonoAP  f  <->  K MonoAP  f )
)
6362rexralbidv 2764 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) x MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
6463ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) x MonoAP  f  <->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
65 hashcl 12131 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  Fin  ->  ( # `
 r )  e. 
NN0 )
66 nn0p1nn 10624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  r )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 r )  +  1 )  e.  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
( # `  r )  +  1 )  e.  NN )
68 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )  ->  r  e.  Fin )
69 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )  ->  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )
70 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  r  e. 
_V
71 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( ( # `  r )  +  1 ) )  e.  _V
7270, 71elmap 7246 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... (
( # `  r )  +  1 ) ) )  <->  f : ( 1 ... ( (
# `  r )  +  1 ) ) --> r )
7369, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )  ->  f : ( 1 ... ( ( # `  r )  +  1 ) ) --> r )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )  ->  -.  2 MonoAP  f )
7568, 73, 74vdwlem12 14058 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (
( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )
76 iman 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  -> 
2 MonoAP  f )  <->  -.  (
( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )
)
7775, 76mpbir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... (
( # `  r )  +  1 ) ) ) )  ->  2 MonoAP  f )
7877ralrimiva 2804 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  Fin  ->  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... ( ( # `  r )  +  1 ) ) ) 2 MonoAP 
f )
79 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( # `  r )  +  1 )  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... (
( # `  r )  +  1 ) ) )
8079oveq2d 6112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( # `  r )  +  1 )  ->  ( r  ^m  ( 1 ... n
) )  =  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r )  +  1 ) ) ) )
8180raleqdv 2928 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( # `  r )  +  1 )  ->  ( A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) 2 MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) 2 MonoAP  f
) )
8281rspcev 3078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  r
)  +  1 )  e.  NN  /\  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... (
( # `  r )  +  1 ) ) ) 2 MonoAP  f )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP 
f )
8367, 78, 82syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Fin  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) 2 MonoAP  f )
8483rgen 2786 . . . . . . 7  |-  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) 2 MonoAP  f
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) 2 MonoAP  f )
86 oveq1 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  s  ->  (
r  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) )
8786raleqdv 2928 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  s  ->  ( A. f  e.  (
r  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f ) )
8887rexbidv 2741 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  s  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP 
f ) )
89 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... m
) )
9089oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
s  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) )
9190raleqdv 2928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  f ) )
92 breq2 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
k MonoAP  f  <->  k MonoAP  g )
)
9392cbvralv 2952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  f  <->  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m ) ) k MonoAP 
g )
9491, 93syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g ) )
9594cbvrexv 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) k MonoAP  f  <->  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)
9688, 95syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  s  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP 
f  <->  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m ) ) k MonoAP 
g ) )
9796cbvralv 2952 . . . . . . 7  |-  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g )
98 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  r  e.  Fin )
99 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
100 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g )
10195ralbii 2744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g )
102100, 101sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f )
10398, 99, 102vdwlem11 14057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP  f )
104103ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  r  e.  Fin )  ->  ( A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP 
f ) )
105104ralrimdva 2811 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g  ->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP  f ) )
10697, 105syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f  ->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP  f ) )
10755, 58, 61, 64, 85, 106uzind4 10917 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f )
108 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
r  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) )
109108raleqdv 2928 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  (
r  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
110109rexbidv 2741 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
111110rspcv 3074 . . . . 5  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
1122, 107, 111syl2im 38 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  (
ZZ>= `  2 )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
11352, 112jaod 380 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  =  1  \/  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
1141, 113syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
115 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( K  =  0  ->  (AP `  K )  =  (AP
`  0 ) )
116115oveqd 6113 . . . . . 6  |-  ( K  =  0  ->  (
1 (AP `  K
) 1 )  =  ( 1 (AP ` 
0 ) 1 ) )
117 vdwap0 14042 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( 1 (AP ` 
0 ) 1 )  =  (/) )
1187, 7, 117mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 1 (AP `  0 ) 1 )  =  (/)
119116, 118syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( K  =  0  ->  (
1 (AP `  K
) 1 )  =  (/) )
120 0ss 3671 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )
121119, 120syl6eqss 3411 . . . 4  |-  ( K  =  0  ->  (
1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
122121ralrimivw 2805 . . 3  |-  ( K  =  0  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) )
123122, 51syl5 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  =  0  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
124 elnn0 10586 . . 3  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  NN  \/  K  =  0 ) )
12541, 124sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  \/  K  =  0
) )
126114, 123, 125mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {csn 3882   class class class wbr 4297   `'ccnv 4844   "cima 4848    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   ...cfz 11442   #chash 12108  APcvdwa 14031   MonoAP cvdwm 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-hash 12109  df-vdwap 14034  df-vdwmc 14035  df-vdwpc 14036
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