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Theorem vdwlem13 14366
Description: Lemma for vdw 14367. Main induction on  K;  K  = 
0,  K  =  1 base cases. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
vdw.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
vdwlem13  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f )
Distinct variable groups:    ph, n, f   
f, K, n    R, f, n    ph, f

Proof of Theorem vdwlem13
Dummy variables  a 
c  d  g  k  m  x  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 11154 . . 3  |-  ( K  e.  NN  <->  ( K  =  1  \/  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
2 vdw.r . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
3 ovex 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ... 1 )  e. 
_V
4 elmapg 7430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Fin  /\  ( 1 ... 1
)  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) )  <-> 
f : ( 1 ... 1 ) --> R ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) )  <-> 
f : ( 1 ... 1 ) --> R ) )
65biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  f :
( 1 ... 1
) --> R )
7 1nn 10543 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
8 vdwap1 14350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( 1 (AP ` 
1 ) 1 )  =  { 1 } )
97, 7, 8mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 (AP `  1 ) 1 )  =  {
1 }
10 1z 10890 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
11 elfz3 11692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ( 1 ... 1
) )
1210, 11mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
1  e.  ( 1 ... 1 ) )
13 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
( f `  1
)  =  ( f `
 1 ) )
14 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... 1 ) --> R  -> 
f  Fn  ( 1 ... 1 ) )
1514adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
f  Fn  ( 1 ... 1 ) )
16 fniniseg 6000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( 1 ... 1 )  ->  (
1  e.  ( `' f " { ( f `  1 ) } )  <->  ( 1  e.  ( 1 ... 1 )  /\  (
f `  1 )  =  ( f ` 
1 ) ) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
( 1  e.  ( `' f " {
( f `  1
) } )  <->  ( 1  e.  ( 1 ... 1 )  /\  (
f `  1 )  =  ( f ` 
1 ) ) ) )
1812, 13, 17mpbir2and 920 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
1  e.  ( `' f " { ( f `  1 ) } ) )
1918snssd 4172 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  ->  { 1 }  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
209, 19syl5eqss 3548 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... 1
) --> R )  -> 
( 1 (AP ` 
1 ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) )
216, 20syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  ( 1 (AP `  1 ) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
2221ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` 
1 ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) )
23 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( K  =  1  ->  (AP `  K )  =  (AP
`  1 ) )
2423oveqd 6299 . . . . . . . 8  |-  ( K  =  1  ->  (
1 (AP `  K
) 1 )  =  ( 1 (AP ` 
1 ) 1 ) )
2524sseq1d 3531 . . . . . . 7  |-  ( K  =  1  ->  (
( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  <->  ( 1 (AP
`  1 ) 1 )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
2625ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( K  =  1  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) ( 1 (AP ` 
1 ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) ) )
2722, 26syl5ibrcom 222 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  =  1  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) ) )
28 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
a (AP `  K
) d )  =  ( 1 (AP `  K ) d ) )
2928sseq1d 3531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  (
( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  <->  ( 1 (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
30 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  1  ->  (
1 (AP `  K
) d )  =  ( 1 (AP `  K ) 1 ) )
3130sseq1d 3531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  1  ->  (
( 1 (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  <->  ( 1 (AP
`  K ) 1 )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
3229, 31rspc2ev 3225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  1  e.  NN  /\  (
1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
337, 7, 32mp3an12 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  ->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
34 fvex 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( f `
 1 )  e. 
_V
35 sneq 4037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  ( f ` 
1 )  ->  { c }  =  { ( f `  1 ) } )
3635imaeq2d 5335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  ( f ` 
1 )  ->  ( `' f " {
c } )  =  ( `' f " { ( f ` 
1 ) } ) )
3736sseq2d 3532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  ( f ` 
1 )  ->  (
( a (AP `  K ) d ) 
C_  ( `' f
" { c } )  <->  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
38372rexbidv 2980 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( f ` 
1 )  ->  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { ( f `
 1 ) } ) ) )
3934, 38spcev 3205 . . . . . . . . 9  |-  ( E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  (
a (AP `  K
) d )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  ->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { c } ) )
4033, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  ->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { c } ) )
41 vdw.k . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  K  e.  NN0 )
433, 42, 6vdwmc 14351 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  ( K MonoAP  f  <->  E. c E. a  e.  NN  E. d  e.  NN  ( a (AP
`  K ) d )  C_  ( `' f " { c } ) ) )
4440, 43syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )  ->  ( (
1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )  ->  K MonoAP  f ) )
4544ralimdva 2872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) K MonoAP  f ) )
46 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... 1
) )
4746oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  1  ->  ( R  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) )
4847raleqdv 3064 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  1  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) K MonoAP  f ) )
4948rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1 ) ) K MonoAP 
f )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f )
507, 49mpan 670 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... 1
) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f )
5145, 50syl6 33 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
5227, 51syld 44 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  =  1  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
53 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  2  ->  (
x MonoAP  f  <->  2 MonoAP  f )
)
5453rexralbidv 2981 . . . . . . 7  |-  ( x  =  2  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) x MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP 
f ) )
5554ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( x  =  2  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) x MonoAP  f  <->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) 2 MonoAP  f ) )
56 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  (
x MonoAP  f  <->  k MonoAP  f )
)
5756rexralbidv 2981 . . . . . . 7  |-  ( x  =  k  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) x MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP 
f ) )
5857ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) x MonoAP  f  <->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f ) )
59 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  (
x MonoAP  f  <->  ( k  +  1 ) MonoAP  f ) )
6059rexralbidv 2981 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) x MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP 
f ) )
6160ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( k  +  1 )  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) x MonoAP  f  <->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP  f ) )
62 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  K  ->  (
x MonoAP  f  <->  K MonoAP  f )
)
6362rexralbidv 2981 . . . . . . 7  |-  ( x  =  K  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) x MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
6463ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( x  =  K  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) x MonoAP  f  <->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
65 hashcl 12392 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  Fin  ->  ( # `
 r )  e. 
NN0 )
66 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  r )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 r )  +  1 )  e.  NN )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  Fin  ->  (
( # `  r )  +  1 )  e.  NN )
68 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )  ->  r  e.  Fin )
69 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )  ->  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )
70 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  r  e. 
_V
71 ovex 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( ( # `  r )  +  1 ) )  e.  _V
7270, 71elmap 7444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... (
( # `  r )  +  1 ) ) )  <->  f : ( 1 ... ( (
# `  r )  +  1 ) ) --> r )
7369, 72sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )  ->  f : ( 1 ... ( ( # `  r )  +  1 ) ) --> r )
74 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )  ->  -.  2 MonoAP  f )
7568, 73, 74vdwlem12 14365 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (
( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )
76 iman 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  -> 
2 MonoAP  f )  <->  -.  (
( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) )  /\  -.  2 MonoAP  f )
)
7775, 76mpbir 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( r  e.  Fin  /\  f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... (
( # `  r )  +  1 ) ) ) )  ->  2 MonoAP  f )
7877ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  Fin  ->  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... ( ( # `  r )  +  1 ) ) ) 2 MonoAP 
f )
79 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( ( # `  r )  +  1 )  ->  ( 1 ... n )  =  ( 1 ... (
( # `  r )  +  1 ) ) )
8079oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( ( # `  r )  +  1 )  ->  ( r  ^m  ( 1 ... n
) )  =  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r )  +  1 ) ) ) )
8180raleqdv 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( ( # `  r )  +  1 )  ->  ( A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) 2 MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... ( ( # `  r
)  +  1 ) ) ) 2 MonoAP  f
) )
8281rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  r
)  +  1 )  e.  NN  /\  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... (
( # `  r )  +  1 ) ) ) 2 MonoAP  f )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) 2 MonoAP 
f )
8367, 78, 82syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  Fin  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) 2 MonoAP  f )
8483rgen 2824 . . . . . . 7  |-  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) 2 MonoAP  f
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) 2 MonoAP  f )
86 oveq1 6289 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  s  ->  (
r  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) )
8786raleqdv 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  s  ->  ( A. f  e.  (
r  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f ) )
8887rexbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  s  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP 
f ) )
89 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... m
) )
9089oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
s  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) )
9190raleqdv 3064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  f ) )
92 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
k MonoAP  f  <->  k MonoAP  g )
)
9392cbvralv 3088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  f  <->  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m ) ) k MonoAP 
g )
9491, 93syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( A. f  e.  (
s  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g ) )
9594cbvrexv 3089 . . . . . . . . 9  |-  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  ( 1 ... n
) ) k MonoAP  f  <->  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)
9688, 95syl6bb 261 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  s  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) k MonoAP 
f  <->  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m ) ) k MonoAP 
g ) )
9796cbvralv 3088 . . . . . . 7  |-  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g )
98 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  r  e.  Fin )
99 simpll 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
100 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g )
10195ralbii 2895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f  <->  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g )
102100, 101sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  A. s  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( s  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f )
10398, 99, 102vdwlem11 14364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  r  e.  Fin )  /\  A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g
)  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP  f )
104103ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  r  e.  Fin )  ->  ( A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  ( 1 ... m
) ) k MonoAP  g  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP 
f ) )
105104ralrimdva 2882 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. s  e.  Fin  E. m  e.  NN  A. g  e.  ( s  ^m  (
1 ... m ) ) k MonoAP  g  ->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP  f ) )
10697, 105syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) k MonoAP  f  ->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) ( k  +  1 ) MonoAP  f ) )
10755, 58, 61, 64, 85, 106uzind4 11135 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f )
108 oveq1 6289 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
r  ^m  ( 1 ... n ) )  =  ( R  ^m  ( 1 ... n
) ) )
109108raleqdv 3064 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  (
r  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP  f  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
110109rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f  <->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
111110rspcv 3210 . . . . 5  |-  ( R  e.  Fin  ->  ( A. r  e.  Fin  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( r  ^m  ( 1 ... n
) ) K MonoAP  f  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
1122, 107, 111syl2im 38 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  e.  (
ZZ>= `  2 )  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
11352, 112jaod 380 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( K  =  1  \/  K  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... n ) ) K MonoAP  f ) )
1141, 113syl5bi 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
115 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( K  =  0  ->  (AP `  K )  =  (AP
`  0 ) )
116115oveqd 6299 . . . . . 6  |-  ( K  =  0  ->  (
1 (AP `  K
) 1 )  =  ( 1 (AP ` 
0 ) 1 ) )
117 vdwap0 14349 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( 1 (AP ` 
0 ) 1 )  =  (/) )
1187, 7, 117mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 1 (AP `  0 ) 1 )  =  (/)
119116, 118syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( K  =  0  ->  (
1 (AP `  K
) 1 )  =  (/) )
120 0ss 3814 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } )
121119, 120syl6eqss 3554 . . . 4  |-  ( K  =  0  ->  (
1 (AP `  K
) 1 )  C_  ( `' f " {
( f `  1
) } ) )
122121ralrimivw 2879 . . 3  |-  ( K  =  0  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
1 ... 1 ) ) ( 1 (AP `  K ) 1 ) 
C_  ( `' f
" { ( f `
 1 ) } ) )
123122, 51syl5 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  =  0  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f ) )
124 elnn0 10793 . . 3  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  NN  \/  K  =  0 ) )
12541, 124sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  \/  K  =  0
) )
126114, 123, 125mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  A. f  e.  ( R  ^m  ( 1 ... n ) ) K MonoAP 
f )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   "cima 5002    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417   Fincfn 7513   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   #chash 12369  APcvdwa 14338   MonoAP cvdwm 14339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-hash 12370  df-vdwap 14341  df-vdwmc 14342  df-vdwpc 14343
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